ΗΜΥ-2: 2:Ψηφιακοί Υπολογιστές Χειμερινό Εξάμηνο 26 Βασικά Ψηφιακής Σχεδίασης
Σκοπός του μαθήματος Λογικός Σχεδιασμός και Σχεδιασμός Η/Υ Βασικές έννοιες & εργαλεία που χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό ψηφιακού υλικού (από ψηφιακά κυκλώματα) Επιπρόσθετες έννοιες & εργαλεία που χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό Υπολογιστικών Συστημάτων Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων
Περίληψη Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθμητικά Συστήματα Αναπαραστάσεις Μετατροπές Αριθμητικές Λειτουργίες εκαδικοί Κώδικες Αλφαριθμητικοί Κώδικες
Ψηφιακά Συστήματα Κύρια χαρακτηριστικά: επεξεργασία διακριτών στοιχείων πληροφορίας (οποιοδήποτε σύνολο που περιορίζεται σε ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων) π.χ. δεκαδικά ψηφία,, 26 γράμματα, ιακριτά στοιχεία (σε ψηφιακά συστήματα) μπορούν να αναπαρασταθούν από σήματα (φυσικές οντότητες) Πιο κοινά σήματα: ηλεκτρικά (voltage, current)
Εύρος Τάσης (Voltage Ranges) Ένα ψηφιακό σήμα έχει δυαδική τιμή (HIGH, LOW) η οποία αναπαριστεί ένα εύρος τιμών τάσης Εύρος Εξόδου: HIGH: 4... 5.5 V LOW: -.5... V Εύρος Εισόδου: HIGH: 3... 5.5 V LOW: -.5.. 2. V Το εύρος των εισόδων είναι μεγαλύτερο έτσι ώστε να λαμβάνεται υπόψη ο θόρυβος εισόδου
Αναπαράσταση Πληροφοριών υαδικά σήματα (2 διακριτές τιμές) και (ή( LOW και HIGH ή FALSE και TRUE) υαδική μονάδα: δυαδικό ψηφίο/μπιτ (digit/bit) Πληροφορία: σύνολο από bits (=words words). Τυπικό μέγεθος: : 8, 6, 32, 64, Ψηφιακό Υλικό: υπολογίζει δυαδικές συναρτήσεις από διάδικους αριθμούς Συνδυαστικά υλικό (χωρίς μνήμη) Ακολουθιακά υλικό (με μνήμη)
Βασική ομή Η/Υ Αποθηκεύει προγρ., δεδομένα I/O, και ενδιάμεσα δεδομένα Ελέγχει τη ροή πληροφοριών σε όλες τις μονάδες Εκτελεί αριθμητικές και άλλες λειτουργίες επεξεργασίας δεδομένων
Μια πιο λεπτομερής όψη Επεξεργαστής: Πολύπλοκο κύκλωμα (αποτελείτε από εκατομμύρια transistors) FPU CPU Internal Cache MMU Μνήμη External Cache (κρυφή μνήμη - εξωτερική ) RAM (μνήμη τυχαίας προσπέλασης)
Αριθμητικά Συστήματα Αναπαράσταση αριθμών Radix: η βάση βασική μονάδα μιας ομάδας αριθμών, π.χ. για το δεκαδικό σύστημα το radix = ( βάση( βάση ) Για κάθε σύστημα χρειαζόμαστε αριθμητικές λειτουργίες (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός) Επίσης, μετατροπή από μια βάση σε άλλη
Αριθμητικά Συστήματα - εκαδικό βάση (το( radix είναι ) ψηφία: :...9.9 (25.3) = 2 2 + 5 + + 3 - Σημείωση:. ονομάζεται η υποδιαστολή για το σύστημα radix (υποδιαστολή για τη βάση )
Αριθμητικά Συστήματα εκαδικό (συν.) Γενικά, ένας δεκαδικός αριθμός με n ψηφία αριστερά (πριν) από την υποδιαστολή, και m ψηφία στα δεξιά (μετά) γράφεται ως ακολούθως: A n- A n-2 A A. A - A -2 A -m+ A -m το A i λέγεται συντελεστής (coefficient) και παίρνει τιμές μεταξύ...9,.9, ενώ το i δείχνει το βάρος (την τάξη) (= i ) του A i.
Αριθμητικά Συστήματα εκαδικό (συν.) Η τιμή του A n- A n-2 A A. A - A -2 A -m+ A -m υπολογίζεται από (A i i ) + (A i i ) i=n-.. i=-....-m
Αριθμητικά Συστήματα Γενικά βάση r (radix r) r ψηφία N = A n- r n- + A n-2 r n-2 + + A r + A + A - r - + A -2 r -2 + + A -m r -m Περισσότερο Σημαντικό Ψηφίο (Most Significant Bit -MSB) Λιγότερο Σημαντικό Ψηφίο (Least Significant Bit - LSB)
Αριθμητικά Συστήματα Γενικά (συν.) π.χ. r = 6 (32.4) 6 = 3 6 2 + 6 + 6 + 4 6 - = (6.66) Μετατροπή από n-δικό (οποιοδήποτε σύστημα με radix n) σε δεκαδικό ακολουθεί παρόμοια διαδικασία όπως την πιο πάνω
Αριθμητικά Συστήματα (συν.) Τα πιο κοινά αριθμητικά συστήματα για Η/Υ: υαδικό (r = 2) (Binary) Οκταδικό (r = 8) (Octal) εκαεξαδικό (r = 6) (Hexadecimal)
υαδικοί αριθμοί -- βάση 2 Οι Η/Υ αναπαριστούν όλα τα δεδομένα σαν συμβολοσειρές bits, κάθε bit είναι ή βάση 2, με 2 ψηφία: : και π.χ. (.) 2 = 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 + 2 + 2 - + 2-2 (σε δεκαδικό) ) = 32 + + 8 + 4 + + + ½ + = (45.5)
υαδικοί αριθμοί -- βάση 2 (συν.) π.χ. (.) 2 = 2 3 + 2 2 + 2 + 2 + 2 - + 2-2 + 2-3 (σε δεκαδικό) ) = 8 + +.25 +.25 = (9.375)
υνάμεις του 2
Οκταδικοί αριθμοί (Octal) - βάση 8 βάση 8, με 8 ψηφία: :..7 π.χ. (762) 8 = 7 8 2 + 6 86 + 2 8 (σε δεκαδικό) ) = 448 + 48 + 2 = (498)
εκαεξαδικοί αριθμοί (Hex) - βάση 6 r = 6 Ψηφία (σύμβαση):..9, A, B, C, D, E, F A=, B=,, F = 5 π.χ. (3FB) 6 = 3 63 2 + 5 6 6 + 6 6 (σε δεκαδικό) ) = 768 + 24 + = (9)
Μετατροπή Βάσεων Οποιαδήποτε βάση r δεκαδικό Εύκολο! (Το έχουμε δει, βλέπε διαφάνειες 3-4, 4, 6-7, 7, 9-2) εκαδικό υαδικό Οκταδικό υαδικό εκαεξαδικό υαδικό εκαδικό Όποια βάση r
εκαδικό σε υαδικό N είναι ένας δεκαδικός αριθμός. a) Βρείτε το μεγαλύτερο αριθμό που είναι δύναμη του 2 και όταν αφαιρείται από το N παράγει μια θετική διαφορά N ( Ν = 2 x +Ν ) b) Βάλτε στο MSB c) Εκτελέστε αναδρομικά το α), ξεκινώντας από το N και βρίσκοντας την διαφορά N 2, βάζοντας στα bit που αναλογούν στο x και στα υπόλοιπα bit. Σταμάτησε όταν η διαφορά είναι.
εκαδικό σε υαδικό (συν.) π.χ. N = (77) 77 52 = 25 = N 52 = 2 9 (x = 9) 25 28 = 77 = N 2 28 = 2 7 (x = 7) 77 64 = 3 = N 3 64 = 2 6 (x = 6) 3 8 = 5 = N 4 8 = 2 3 (x = 3) 5 4 = = N 5 4 = 2 2 (x = 2) = = N 6 = 2 (x = ) (77) = 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 = ( ) 2
υαδικό σε Οκταδικό και εκαεξαδικό Οκταδικό: 8 = 2 3 κάθε 3 bits μεταφράζονται σε οκταδικό εκαεξαδικό: 6 = 2 4 κάθε 4 bits μεταφράζονται σε δεκαεξαδικό
υαδικό Οκταδικό (. ) 2 ( 3 2 5. 7 5 3 4 ) 8
Οκταδικό εκαεξαδικό (. ) 2 ( 6 A 8. F 5 C ) 6
Οκταδικό εκαεξαδικό Μέσο δυαδικού! εκαεξαδικό υαδικό Οκταδικό Οκταδικό υαδικό εκαεξαδικό
Μετατροπή εκαδικών σε οποιαδήποτε βάση r Ακέραιο Μέρος: Αναδρομικά, διαιρέστε το ακέραιο μέρος δια τη βάση, κρατώντας το υπόλοιπο μέχρι το ακέραιο μέρος να γίνει π.χ.. (53) = (? ) 8, r = 8 53 / 8 = 9 + /8 υπόλοιπο = LSB 9 / 8 = 2 + 3/8 υπόλοιπο = 3 2 / 8 = + 2/8 υπόλοιπο = 2 MSB τέλος (53) = ( 23) 8
Μετατροπή εκαδικών σε οποιαδήποτε βάση r Κλασματικό Μέρος: Αναδρομικά, πολ/στε το κλασματικό μέρος επί τη βάση κρατώντας το ακέραιο μέρος μέχρι το κλασματικό μέρος να γίνει π.χ.. (.7825) = (? ) 6, r = 6.7825 6 = 2.5 ακέραιος = 2 = C MSB.5 6 = 8. ακέραιος = 8 = 8 LSB τέλος (.7825) = (.C8) 6
υαδικές Αριθμητικές Πράξεις: Πρόσθεση Ακολουθεί τους ίδιους κανόνες με τη δεκαδική πρόσθεση, με την διαφορά ότι όταν το άθροισμα είναι 2 (και( όχι ) έχουμε κρατούμενο Νέοι κανόνες κρατουμένου (carry) + = c (άθροισμα( με carry ) + = + = c + = c ++ = c Κρατούμενο Προσθετέος Προσθετέος 2 Αποτέλεσμα +
υαδικές Αριθμητικές Πράξεις: Πρόσθεση (συν.) Ημιάθροισμα (δεξιότερο bit, π.χ LSB): μόνο 2 bits προσθέτονται, με αποτέλεσμα ένα ψηφίο αθροίσματος και ένα κρατουμένου Πλήρες Άθροισμα (υπόλοιπες θέσεις): 3 bits προσθέτονται με αποτέλεσμα ένα άθροισμα (3 ψηφίων) και ένα κρατούμενο Στο κεφάλαιο 3, θα δούμε πολλές διαφορετικές υλοποιήσεις ημιαθροιστών (half-adders) και αθροιστών (full-adders).
Υπερχείλιση Εάν το μέγεθος της λέξης (word) είναι n bits και το αποτέλεσμα του αθροίσματος είναι (n+) bits, έχουμε υπερχείλιση (overflow) το αποτέλεσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ορθά (πλήρως) με n bits Υπερχείλιση δεν συμβαίνει ποτέ στην αφαίρεση. Γιατί;
υαδικές Αριθμητικές Πράξεις: Αφαίρεση Νέοι κανόνες δανεικού (borrow) - = - = b (αποτέλεσμα( με δανεικό ) - = b - = b ανεικό Αφαιρετέος Αφαιρέτης Αποτέλεσμα -
Κλειδιά για επιτυχία Χρήση των ίδιων αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται για την εκτέλεση δεκαδικών αριθμητικών λειτουργιών Γενίκευση για τη καινούργια βάση (οι κανόνες carry, borrow αλλάζουν) ιατήρηση της βάσης! Στο δυαδικό,, +=
υαδικές Αριθμητικές Πράξεις: Πολ/σμός Αλγόριθμος Ολίσθησης-και και-πρόσθεσης (Shift-and- add), όπως για τη βάση Πολλ/στής Πολλ/στέος () (2) (3) Άθροισμα Επαλήθευση: : 3 * 6 = 78
Κώδικες Αναπαράσταση ενός συνόλου από στοιχεία (π.χ. αριθμούς) αντιστοιχώντας ένα κώδικα (codeword) για κάθε στοιχείο του συνόλου. Ο κώδικας είναι μια συμβολοσειρά υαδικός κώδικας με n bits: μια ομάδα από n bits που κωδικοποιούν 2 n διακριτά στοιχεία π.χ. Ένα σύνολο από 4 διακριτούς αριθμούς μπορεί να αναπαρασταθεί με κώδικα 2-bit έτσι ώστε κάθε αριθμός του συνόλου να αντιστοιχεί ακριβώς σε ένα συνδυασμό στο σύνολο {,,,}.
Κώδικες (συν.) Για την κωδικοποίηση m διακριτών στοιχείων με ένα κώδικα n-bit πρέπει: 2 n >= m Σημείωση: Ο κώδικας που συσχετίζεται με κάθε αριθμό γίνεται κωδικοποιώντας τον αριθμό και ΟΧΙ με την μετατροπή του αριθμού σε δυαδικό Θα δούμε: : BCD, ASCII, Unicode
εκαδικοί με υαδική Κωδικοποίηση (Binary Coded Decimals - BCD) Ένας δεκαδικός κώδικας: εκαδικοί αριθμοί (..9) κωδικοποιούνται χρησιμοποιώντας διακριτές δυαδικές λέξεις 4 ων bit.. (δεκαδικοί(..5) δεν αναπαρίστανται (άκυρες λέξεις για BCD)
εκαδικοί με υαδική συν.) Κωδικοποίηση (συν Για την κωδικοποίηση αριθμών με n δεκαδικά ψηφία, χρειαζόμαστε 4n bits στο BCD π.χ.. (365) = ( ) BCD Αυτό είναι διαφορετικό από την μετατροπή σε δυαδικό όπου (365) = () 2 Ο κώδικας BCD χρειάζεται περισσότερα bits. Όμως, παρέχει μεγαλύτερη ευκολία στην ανάγνωση/ερμηνεία ερμηνεία.
Πρόσθεση με BCD Όταν 2 κώδικες BCD προστίθενται: Εάν το δυαδικό άθροισμα είναι μικρότερο από 2 (= ), το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δίνει έγκυρο και ορθό κώδικα για BCD Εάν το δυαδικό άθροισμα είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 2, τότε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δίνει άκυρο ή/και λανθασμένο κώδικα για BCD. ιορθώνεται με την πρόσθεση του 2 (=6 ) στο αποτέλεσμα της πρόσθεσης, έτσι ώστε να παραχθεί το σωστό κρατούμενο στο αριστερό ψηφίο.
Πρόσθεση με BCD (συν.) Παράδειγμα: Πρόσθεση 448 & 489 σε BCD. (448 σε BCD) (489 σε BCD) ( > 9, πρόσθεσε 6) (κρατούμενο στο ( > 9, πρόσθεσε 6) στο μεσαίο ψηφίο) (κρατούμενο στο αριστερότερο ψηφίο) (κώδικας BCD για για 937 )
Κώδικας Gray Απόσταση Hamming: Ο # των αλλαγών στις τιμές των bit μεταξύ δύο δυαδικών τιμών/κωδίκων Στον κώδικα Gray, η απόσταση Hamming πρέπει να είναι μεταξύ κάθε δύο συνεχόμενων κωδίκων Σε ένα κώδικα Gray των n κωδίκων (n άρτιος): Οι πρώτοι n/2 κώδικες έχουν για MSB και άρτια ισοτιμία μεταξύ συνεχόμενων bit Οι υπόλοιποι n/2 παράγονται παίρνοντας την πρώτη λίστα ανάποδα, με για MSB υαδικός κώδικας 2 3 2 3 Για οκταδικό # αλλαγών Κώδικας Gray # αλλαγών
Κώδικας Χαρακτήρων ASCII Χρειαζόμαστε αναπαράσταση γραμμάτων και άλλων συμβόλων αλφαριθμητικοί κώδικες ASCII = American Standard Code for Information Interchange. Γνωστό ως «Western European» Περιέχει 28 χαρακτήρες: 94 εκτυπώσιμους (26 κεφαλαία και 26 μικρά γράμματα,, ψηφία,, 32 ειδικά σύμβολα) 34 μη εκτυπώσιμους (για πράξεις ελέγχου) Χρησιμοποιεί δυαδικό κώδικα των 7-bit για να αναπαραστήσει κάθε ένα από τους 28 χαρακτήρες
Πίνακας ASCII
Κώδικας Unicode Καθιερωμένο Πρότυπο (Established Standard) Αλφαριθμητικός κώδικας 6-bit για διεθνή σύνολα χαρακτήρων Αφού έχει 6-bit, υποστηρίζει 65,536 διαφορετικούς κώδικες Αναπαρίσταται από 4 δεκαεξαδικά (Hex) ψηφία Οι ASCII χαρακτήρες αντιστοιχούν στις τιμές 6 έως 7B 6 του Unicode
Πίνακας Unicode (9 πρώτοι χαρακτήρες)
Bit ισοτιμίας (Parity Bit) για ASCII Η κωδικοποίηση με ισοτιμία (parity) χρησιμοποιείται για τον εντοπισμό σφαλμάτων κατά τη διάρκεια μεταφοράς (επικοινωνία) ή/και υπολογισμού δεδομένων Ένα 8 ο bit προστίθεται στον 7-bit κώδικα ASCII Άρτια (Περιττή) Ισοτιμία: το bit ισοτιμίας ορίζεται έτσι ώστε ο αριθμός των στην 8-bit λέξη να είναι άρτιος (περιττός)
Bit ισοτιμίας για ASCII (συν.) Για παράδειγμα: Μετατροπή της 7-bit λέξης σε 8-bit λέξη άρτιας ισοτιμίας Μετατροπή της 7-bit λέξη σε 8-bit λέξη περιττής ισοτιμίας Και οι 2 κώδικες ισοτιμίας μπορούν να ανιχνεύσουν περιττό αριθμό λαθών. Κανένας άρτιος αριθμός λαθών δεν εντοπίζεται.
υαδική Λογική Ασχολείται με δυαδικές μεταβλητές που παίρνουν 2 διακριτές τιμές ( και ) και με λογικές (δυαδικές) πράξεις. 3 βασικές πράξεις: AND, OR, NOT υαδικές/λογικές μεταβλητές αναπαριστούνται από γράμματα: A,B,C,,X,Y,Z,X,Y,Z
Συναρτήσεις υαδικής Λογικής F(vars) = έκφραση Σύνολο δυαδικών μεταβλητών Τελεστές ( +,, ) Μεταβλητές Σταθερές (, ) Ομαδοποίηση (παρενθέσεις) Παράδειγμα: : F(a,b) = a b a b + b b G(x,y,z) = x (y+zx (y+z )
Βασικοί Λογικοί Τελεστές AND (επίσης( επίσης:,, ) OR (επίσης( επίσης: +, ) NOT (επίσης( επίσης:,, ) υαδικοί (Binary) Mοναδιαίος (Unary) F(a,b) = a b, a διαβ. F = αν και μόνο αν a=b= G(a,b) = a+b, διαβ. G = αν a = ή αν b= H(a) = a, a διαβ. H = aνa a =
Βασικοί Λογικοί Τελεστές (συν.) Λογικό AND ενός bit (-bit) bit), μοιάζει με δυαδικό πολλαπλασιασμό: =, =, =, = Λογικό OR ενός bit (-bit) bit), μοιάζει με δυαδική πρόσθεση, εκτός από μία πράξη: + =, + =, + =, + = ( 2 )
Πίνακες Αληθείας (Truth Tables) για Λογικές Πράξεις Πίνακας Αληθείας: μορφή πίνακα που εκφράζει μοναδικά τη σχέση μεταξύ των μεταβλητών εισόδου μιας συνάρτησης και των εξόδων της AND 2-Εισόδων A B F=A B OR 2-Εισόδων A B F=A+B A NOT F=A
Πίνακες Αληθείας (συν.) Ερώτηση: Η συνάρτηση F( ) εξαρτάται από n μεταβλητές. Πόσες γραμμές υπάρχουν στον αληθοπίνακα του F( ); Απάντηση: 2 n γραμμές, αφού υπάρχουν 2 n πιθανοί δυαδικοί συνδυασμοί (patterns) για n μεταβλητές
Λογικές Πύλες Οι λογικές πύλες είναι αφαιρετικά μοντέλα στοιχείων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων που λειτουργούν με ένα ή περισσότερα σήματα εισόδου και παράγουν ένα σήμα εξόδου. AND 2-Εισόδων OR 2-Εισόδων NOT (Αντιστροφέας) A B F = A BA F A G A H B G = A+B H = A A
Χρονικό Σχεδιάγραμμα (Κυματομορφή -- Waveform) t t t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 Σήματα εισόδου A B Μεταβάσεις Σήματα εξόδου πυλών F=A B G=A+B H=A Προϋπόθεση: Οχρόνος μετάδοσης του σήματος μεταξύ πυλών είναι αμελητέος ()
Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από Λογικές Συναρτήσεις Θεωρήστε την συνάρτηση F = A A + B C B + A B Ένα συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί για την υλοποίηση της F, με την κατάλληλη ένωση σημάτων εισόδου και λογικών πυλών: Σήματα εισόδου από τις μεταβλητές της συνάρτησης (A, B, C) Σήματα εξόδου συνάρτηση εξόδου (F) Λογικές Πύλες από λογικές πράξεις C A F B
Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από Λογικές Συναρτήσεις (συν.) Για να σχεδιάσουμε ένα αποδοτικό κύκλωμα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε το μέγεθος του κυκλώματος (circuit size) και την καθυστέρηση διάδοσης (propagation delay = χρόνος που χρειάζεται ένα σήμα εισόδου να αλλάξει και να γίνει αντιληπτό στην έξοδο) Στον πίνακα αληθείας δίπλα: F = A + B C B + A B και G = A + B C B Οι πίνακες για τις F και G είναι οι ίδιοι ίδια συνάρτηση (F F = G) Η G υλοποιεί την λογική του κυκλώματος (με λιγότερα στοιχεία) A B C F G
Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα από Λογικές Συναρτήσεις (συν.) C A F B F = G C B A G
Λογικές Πύλες AND, OR και NOT Μπορούμε να κατασκευάσουμε οποιοδήποτε συνδυαστικό κύκλωμα με τις πύλες AND, OR, και NOT. Επιπρόσθετες λογικές πύλες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πρακτικούς λόγους.
BUFFER, NAND και NOR
XOR και XNOR XOR: πύλη μη-ισότητας X Y F = X YX X Y F XNOR: πύλη ισότητας X Y F = X YX X Y F
Πύλη NAND Είναι γνωστή ως «οικουμενική» ( universal ) πύλη γιατί μπορούμε να υλοποιήσουμε οποιοδήποτε ψηφιακό κύκλωμα μόνο με αυτές τις πύλες. Για να αποδείξουμε το πιο πάνω χρειάζεται να δείξουμε ότι οι πύλες AND, OR και NOT μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND.
Εξομοίωση πύλης NAND X F = (X X) X) = X +XX +X = X X X F = X X Y X Y F = ((X Y) Y) ) = (X +Y +Y ) = X Y = X YX F = (X Y ) = X +Y = X+Y X Y X Y F = X Y F = X+Y
Κυκλώματα NAND Για να βρείτε μια υλοποίηση ενός κυκλώματος χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND ακολουθήστε τα πιο κάτω βήματα: Βρέστε ένα απλοποιημένο SOP Το SOP είναι ένα AND-OR κύκλωμα Αλλάξτε το AND-OR κύκλωμα σε ένα NAND κύκλωμα Χρησιμοποιήστε τα πιο κάτω εναλλακτικά σύμβολα:
Πύλη NOR Επίσης «οικουμενική» πύλη αφού οποιοδήποτε ψηφιακό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με πύλες NOR. Μπορούμε να το αποδείξουμε με τον ίδιο τρόπο που έχουμε αποδείξει την πύλη NAND (διαφάνεια 7).
Κυκλώματα NOR Για την υλοποίηση μιας συνάρτησης με πύλες NOR : Βρείτε ένα απλοποιημένο POS Το POS είναι ένα κύκλωμα OR-AND Αλλάξτε το OR-AND κύκλωμα σε NOR κύκλωμα Χρησιμοποιήστε τα πιο κάτω σύμβολα
Συνάρτηση Exclusive-OR (XOR) XOR (συμβολίζεται( με ) : η συνάρτηση XOR(X,Y) = X Y = X Y X Y + XY Ταυτότητες: X = X X = X X X X = X X = Ιδιότητες: συνάρτηση μη-ισότητας X Y = Y X -- Αντιμεταθετική (X Y) W = X ( Y W) -- Προσεταιριστική
Υλοποίηση XOR συνάρτησης XOR(a,b) = ab + a ba Άμεσος τρόπος: : 5 πύλες 2 αντιστροφείς, δύο AND 2-εισόδων2 εισόδων, μια OR 2-εισόδων2 ή 2 αντιστροφείς & 3 NAND 2-2 εισόδων Έμμεσος τρόπος: 4 πύλες NAND
Κύκλωμα XOR με 4 NAND
Συνάρτηση Exclusive-NOR (XNOR) XNOR: η συνάρτηση ισότητας XNOR(a,b) = ab + a b a Παρατηρήστε ότι XNOR(a,b) = ( XOR(a,b) ) ) ( a b ) ) = ( a b a b + ab ) = (a b) b) (ab ) = (a + b ) b ) (a +b) = ab + a b a a b = ( a b ) ) = a a b
Περιττή Συνάρτηση (Odd Function) x y y = x y x y + xy x y z z = xy z + x yzx yz + x y z x z +xyz x y z w w = x yzw x + xy zw + xyz w w + xyzw + x y z w w + x yzx yz w + x y zwx zw +xy z w Παρατηρείτε κάτι που επαναλαμβάνεται εδώ;
Περιττή Συνάρτηση (Odd Function) x y y = x y x y + xy x y z z = xy z + x yzx yz + x y z x z +xyz x y z w w = x yzw x + xy zw + xyz w w + xyzw + x y z w w + x yzx yz w + x y zwx zw +xy z w Παρατηρείτε κάτι που επαναλαμβάνεται εδώ; Μια συνάρτηση XOR n-εισόδων είναι αληθής (=) για όλους τους ελαχιστόρους που έχουν περιττό αριθμό από. Γι αυτό το XOR είναι γνωστό ως «η περιττή συνάρτηση»
Περιττή Συνάρτηση (συν.) Οι ελαχιστόροι απέχουν 2 τετράγωνα ο ένας από τον άλλον
Περιττή Συνάρτηση (συν.) Υλοποίηση με XOR 2-εισόδων
Άρτια Συνάρτηση Πως θα υλοποιούσατε μια άρτια συνάρτηση; Από το συμπλήρωμα του XOR XNOR
Παραγωγή ισοτιμίας και έλεγχος Οι περιττές και άρτιες συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την υλοποίηση κυκλωμάτων ελέγχου ισοτιμίας (parity check) που χρησιμοποιούνται για εξεύρεση λαθών και τη διόρθωσή τους. Γεννήτρια Ισοτιμίας (Parity Generator): το κύκλωμα που παράγει το bit ισοτιμίας, πριν τη μετάδοση από τον αποστολέα. Έλεγχος Ισοτιμίας (Parity Check): το κύκλωμα που ελέγχει την ισοτιμία στον παραλήπτη, για εξεύρεση λαθών.
Παραγωγή Άρτιας Ισοτιμίας Παράδειγμα Η P(X,Y,Z) πρέπει να παράγει για κάθε συνδυασμό εισόδων που περιέχει περιττό αριθμό από Είναι μια περιττή συνάρτηση 3 ων -εισόδων P = X Y ZX
Έλεγχος Άρτιας Ισοτιμίας Παράδειγμα (συν.) Πως θα υλοποιούσατε τον έλεγχο ισοτιμίας για το προηγούμενο παράδειγμα; α) Χρησιμοποιήστε ένα κύκλωμα XOR 4 ων -εισόδων (περιττή συνάρτηση) C = X Y Z P υποδεικνύει ένα λάθος ή β) Χρησιμοποιήστε ένα XNOR κύκλωμα 4 ων -εισόδων P) (άρτια συνάρτηση) C = (X Y Z P) υποδεικνύει ορθή ισοτιμία