«Το πρόβλημα του τετραγωνισμού πολυγώνου και του τετραγωνισμού κύκλου» - Σχεδιασμός και εφαρμογή εκπαιδευτικής παρέμβασης μέσα από το πρίσμα σύγχρονων θεωριών μάθησης, στο πλαίσιο της εκπαιδευτικής δομής του Λυκείου. Θεματική ενότητα 4: Ο μετασχηματισμός της μαθηματικής γνώσης σε σχολική πανεπιστημιακή γνώση και η συμβολή των μαθηματικών της εκπαίδευσης στην ανάπτυξη και στον εκσυγχρονισμό της κοινωνίας. Μαλλιάκας Κωνσταντίνος, κιν. 6946446392, Καθηγητής Μαθηματικών - 1ο Γενικό Λύκειο Ρόδου, Μεταπτυχιακός Φοιτητής στο ΠΜΣ «Διδακτική Θετικών Επιστημών και ΤΠΕ στην Εκπαίδευση: Διεπιστημονική Προσέγγιση» του Πανεπιστημίου Αιγαίου ΤΕΠΑΕΣ, kmath@otenet.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε το πρόβλημα του τετραγωνισμού πολυγώνου και κύκλου προτείνοντας μια καινοτόμα εκπαιδευτική παρέμβαση και εφαρμόζοντας σύγχρονες θεωρίες και περιβάλλοντα μάθησης. Λαμβάνοντας υπόψη τα θεσμικό πλαίσιο και τις εκπαιδευτικές δομές που διέπουν το λύκειο σήμερα προσπαθούμε μέσα από μια συστημική προσέγγιση να επιτύχουμε αλλαγή στάσης των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά και γενικότερα τηγνώση. Abstract In this paper we present the problem of squaring the circle and polygon proposing an innovative educational intervention and applying modern theories and learning environments. Considering the institutional framework and educational structures of high school we try through a systemic approach to achieve students' changing attitudes towards mathematics and knowledge in general. Λέξειςκλειδιά: Τετραγωνισμός κύκλου, τετραγωνισμός πολυγώνου, πείραμα.
Εισαγωγή Στο βιβλίο του «Η χαρά του π» ο Μπλάτνερ (2001) περιγράφει τα εξής: «Από την μια έχουμε ένα κύκλο, το πιο απλό σχήμα στο σύμπαν. Μια σταγόνα βροχής πέφτει στην λίμνη και δημιουργεί τέλειους κύκλους από κύματα που επεκτείνονται επ αόριστο μέχρι να εξουδετερωθούν εξαιτίας της τριβής με την όχθη ή από άλλους τέλειους κύκλους που σχηματίζουν άλλες σταγόνες βροχής. Κύκλοι φαίνονται παντού στον φυσικό κόσμο και για τους ανθρώπους των πρώιμων πολιτισμών οι εξαίσιοι δίσκοι της σελήνης και του ήλιου που τους κοίταζαν κάθε μέρα από ψηλά, ήταν πηγές απεριόριστης δύναμης και μυστηρίου. Τα πρώτα σπίτια και ιερά αν ανατρέξουμε ως το 800π.Χ. ήταν κυκλικά, ίσως επειδή σχετίζονταν με τις θρησκείες που λάτρευαν την Γη, τη Μητέρα θεά. Από την άλλη έχουμε ένα τετράγωνο έξοχα κατασκευασμένο με τέσσερις ίσες πλευρές και τέσσερις ίσες γωνίες. Από τις απαρχές της Ιστορίας, το τετράγωνο υπήρξε το αντίθετο του κύκλου. Σπάνια συναντάμε τετράγωνα στην φύση. Το τετράγωνο έγινε το σύμβολο της ικανότητας του ανθρώπου να μετράει, να επιλύει και να διαμερίζει. Ενώ ο κύκλος εκφράζει το άπειρο, το τετράγωνο εκπροσωπεί το πεπερασμένο. Ενώ ο κύκλος αντανακλά το μυστήριο του φυσικού κόσμου, το τετράγωνο επέτρεψε στον άνθρωπο να κατανείμει τη γη για καλλιέργεια και ιδιοκτησία». Γιατί όμως να ενδιαφέρει τόσο πολύ τους αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς το τετράγωνο; Γιατί να τετραγωνίζουμε πολύγωνα και κύκλους και όχι να τα τριγωνίζουμε για παράδειγμα; Μια απάντηση στο ερώτημα αυτό φαίνεται σε μια μετάφραση του έργου του Ήρωνα από την Αλεξάνδρεια, Ονόματα Γεωμετρικών Όρων Γεωμετρικά (Κηπουρός, 1995) όπου μεταξύ άλλων αναφέρει: «Η ορθότητα της γωνίας σχετίζεται με την ισότητα, όπως η οξύτητα και η αμβλύτητα με την ανισότητα. Ανάγουν τις ορθές γωνίες στις άσπιλες οντότητες των θείων τάξεων. Η κάθετος είναι το σύμβολο της άσπιλης καθαρότητας, της σταθερής δύναμης και όλων των συναφών. Είναι ακόμη σύμβολο του θεϊκού και νοερού μέτρου γιατί με την βοήθεια της καθέτου υπολογίζουμε και τα ύψη των σχημάτων και δια αναφοράς προς την ορθή γωνία, υπολογίζουμε τις άλλες γωνίες Λέγουν οι Πυθαγόρειοι ότι την Αρετή χαρακτηρίζει η ορθότητα ενώ την Κακία υποκαθιστά η αοριστία της αμβλείας και οξείας γωνίας Η ορθότητα των γωνιών είναι εικόνα της τελειότητας, της σταθερής ενέργειας. Από όλα τα σχήματα, το τετράγωνο είναι το μόνο το οποίο έχει τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ορθές γι αυτό θεωρείται και τιμιότερο (αγιότερο). Οι Πυθαγόρειοι το παρουσιάζουν προς το θείον, το οποίο επειδή κατέχει την άσπιλη τάξη, μιμείται την ισότητα, ορθότητα και την παντοτινή δύναμη, διότι 1
από την ανισότητα παράγεται κίνηση ενώ από την ανισότητα ηρεμία. Ο κύκλος είναι μια εικόνα της νοερής ουσίας». Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη μια βασική Πυθαγόρεια δοξασία, ήταν πως ο κόσμος στηριζόταν σε δέκα αρχές οι οποίες εμφανίζονταν με την μορφή εννοιολογικών δίπολων έτσι ώστε τα μέρη των δίπολων που ανήκαν στην ίδια συστοιχία να αποτελούν μια απόλυτα συγγενική κλάση. Κάποιες από αυτές τις αρχές ήταν το πεπερασμένο και το άπειρο,το ηρεμούν και κινούμενο, το ευθύ και το καμπύλον, το αγαθόν και το κακόν και το τετράγωνο και το ετερομήκες (Αναπολιτάνος, 1985). Βλέπουμε λοιπόν εδώ πως επηρέασε τους αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς η Πυθαγόρεια Σχολή. Πάλι στον Ήρωνα συναντάμε προσπάθειες μετασχηματισμού σχημάτων σε ισοδύναμα σχήματα και τετραγωνισμού σχημάτων όπως: «Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι κάθε κύκλος είναι ισοδύναμος με ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η κάθετος είναι η ακτίς του κύκλου, ενώ η βάση του ισούται με την περίμετρο του κύκλου. Ο ρόμβος μπορεί να μετασχηματιστεί σε τετράγωνο με μετακίνηση, ενώ το ρομβοειδές σε ορθογώνιο». ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Το πρόβλημα του τετραγωνισμού πολυγώνου είναι ο μετασχηματισμός μόνο με χρήση κανόνα και διαβήτη πολυγώνου σε ισοδύναμο (ισεμβαδικό) τετράγωνο. Η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος περιλαμβάνει αρχικά τον μετασχηματισμό του πολυγώνου σε ισοδύναμο πολύγωνο με μία πλευρά λιγότερη έως να καταλήξουμε σε τρίγωνο. Κατόπιν μετασχηματίζεται το τρίγωνο σε ισοδύναμο τετράγωνο με διάφορες μεθόδους. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος:να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, ώστε η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη και να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων. Παρακάτω αναφέρονται μερικές πληροφορίες από το βιβλίο «Η χαρά του π» (Μπλάτνερ, 2001) για το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και αναδεικνύουν πόσο δημοφιλές και ενδιαφέρον είναι ιστορικά. 2
Κατά τον Πλούταρχο, ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (499 π.χ. 425 π.χ. περίπου) είναι ο πρώτος Έλληνας που ασχολήθηκε με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου χωρίς να είναι γνωστά τα αποτελέσματα των ερευνών του.το πρόβλημα αποδείχτηκε ότι δεν μπορεί να λυθεί μόνο με κανόνα και διαβήτη (Wantzel, 1837).Σύμφωνα με τον Γάλλο Μαθηματικό Galois (1811-1832), για να λυθεί ένα γεωμετρικό πρόβλημα αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη θα πρέπει να ανάγεται σε λύση πρωτοβάθμιας ή δευτεροβάθμιας εξίσωσης.το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή της μέσης αναλόγου των τμημάτων R και πrπου είχε λυθεί με κανόνα και διαβήτη για τμήματα όμως που κατασκευάζονται οπότε πίστευαν ότι μπορεί να λυθεί έτσι και το πρόβλημα αυτό. Το άλυτο του τετραγωνισμού του κύκλου οφείλεται στο ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός άρρητος αριθμός (Θεώρημα Lindemann - Weierstrass, 1882), που σημαίνει ότι δεν αποτελεί λύση καμιάς πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Το π είναι ο λόγος της περιμέτρου ενός κύκλου προς την διάμετρο του και αυτή η τιμή προβληματίζει τους Μαθηματικούς εδώ και τέσσερις χιλιάδες χρόνια. Η αρχαιότερη καταχώριση αυτής της αναλογίας έγινε από ένα Αιγύπτιο γραφέα, τον Αχμές, γύρω στο 1650 π.χ. στον Πάπυρο του Ριντ, όπου ο Αχμές έγραφε: «Κόψτε το ένα ένατο της διαμέτρου και σχημάτισε ένα τετράγωνο με βάση το υπόλοιπο. Το τετράγωνο αυτό έχει το ίδιο εμβαδόν με τον κύκλο».σύμφωνα με τον Αχμές προκύπτει μια προσεγγιστική τιμή 256/81 για το π, δηλαδή περίπου 3,16049 αντί της σημερινής προσέγγισης 3,14159, δηλαδή με πολύ μικρό σφάλμα. Αυτή η σχέση ήταν η πρώτη καταγεγραμμένη απόπειρα τετραγωνισμού του κύκλου. Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» χρησιμοποιούσε την λέξη «περιεχόμενο» αντί για «εμβαδό» σχήματος και θεωρούσε προφανή αυτή την έννοια ώστε δεν χρειάστηκε να την ορίσει, όπως επίσης δεν όρισε την ισότητα εμβαδών. Επίσης δεν ενδιαφερόταν για τον αριθμητικό υπολογισμό των εμβαδών αλλά για την αναγωγή των εμβαδών, σε εμβαδά γνωστών σχημάτων όπως για παράδειγμα σε εμβαδά τετραγώνων. Τα εμβαδά δύο ευθυγράμμων σχημάτων θεωρούνταν ίσα, αν το καθένα από αυτά μπορούσε να διαιρεθεί σε υποσχήματα τα οποία ήταν δυνατό να αντιστοιχηθούν έτσι ώστε τα αντίστοιχα μεταξύ τους υποσχήματα να είναι ίσα (ισεμβαδικά) (Στράντζαλος, 1987). Θεωρητικό πλαίσιο Οι καινοτομίες είναι μια αναγκαιότητα και πορεία επιβίωσης για συστήματα ή οργανισμούς όπως το εκπαιδευτικό σύστημα ή τα σχολείακαι στοχεύουν 3
στην αύξηση της αποτελεσματικότητας, σε καλύτερη επίδοση και στην βελτίωση της παιδαγωγικής διαδικασίας. Οι καινοτομίες είναι δυναμικές διαδικασίες που μπορούν να προβλεφθούν εκ των προτέρων. Χρειάζονται ελεύθερο χώρο για δράση, φάσεις ηρεμίας για σκέψη και δοκιμές χωρίς πίεση. Η εφαρμογή τους προϋποθέτει ξεκάθαρους στόχους, σχεδιασμό, τάξη, υπακοή και ακρίβεια, ισορροπία ανάμεσα στην τάξη και στην ελευθερία. Τα κριτήρια που πρέπει να πληροί μια καινοτομία είναι:να έχει ένα αντικείμενο προς το οποίο θα στρέφεται η προσπάθεια για αλλαγή (όπως συστήματα, διαδικασίες, δομές, ενέργειες), να συντίθενται και από ένα αντικείμενο και από ένα υποκείμενο οπότε πρέπει να ενεργοποιηθούν άνθρωποι, να έχουν σαν αποτέλεσμα ένα προϊόν που θα εκπληρώνει την νέα πραγματικότητα και να διαφέρει από την ισχύουσα.για την επιτυχία μιας καινοτομίας σε μια σχολική μονάδα είναι αναγκαία και η συμμετοχή του διευθυντή, ο οποίος πρέπει να στηρίξει την καινοτομία αναγνωρίζοντας το έργο της, να ενθαρρύνει τους εκπαιδευτικούς να πραγματοποιούν καινοτόμες δράσεις, να προετοιμάζει το έδαφος οργανώνοντας συναντήσεις και επιμορφωτικά σεμινάρια με ειδικούς (ερευνητές, σχολικούς συμβούλους, επιστημονικά σωματεία) ή και μεταξύ των εκπαιδευτικών της σχολικής μονάδας, ώστε να αναπτυχθεί μια δυναμική με δοκιμές της καινοτομίας αυτής ή άλλων και από άλλους εκπαιδευτικούς. Επίσης ο διευθυντής πρέπει να φροντίζει για την έγκαιρη ενημέρωση των γονέων για αυτές τις καινοτομίες και να επιδιώκει την στήριξη τους (Κοντάκος, Παπαγεωργίου, Κιούση, 2007). Η διδακτική παρέμβαση για να έχει επιτυχία στους στόχους που θέτει πρέπει να βασιστεί σε μια συστημική προσέγγιση όπου θα λάβει υπόψη την εμπειρία του εκπαιδευτικού σε αυτού του είδους δραστηριότητες, το συντονισμό του συστήματος σχολείο διεύθυνση σχολείου διδάσκοντας εμπλεκόμενοι εκπαιδευτικοί, το γνωστικό υπόβαθρο και τις πρότερες και προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών καθώς και τις κοινωνικές αντιλήψεις τους και τη στάση για γνώση, την εφαρμογή σύγχρονων αλλά και κατάλληλων για την προτεινόμενη διδακτική παρέμβαση θεωριών μάθησης και εκπαίδευσης που θα λάβουν χώρα σε συνεργατικά και σε τεχνολογικά περιβάλλοντα μάθησης.η Μάθηση ως οργανωσιακή διαδικασία λαμβάνει χώρα σε διαφορετικά επίπεδα: ατομικό, συλλογικό και οργανωσιακό επίπεδο. Η Μάθηση, σε ατομικό επίπεδο θεωρείται ως η βάση κάθε οργανωσιακής μάθησης. Το σχολείο σαν οργανισμός, με τη δομή του και την κουλτούρα του βάζει το πλαίσιο το οποίο επιδρά θετικά ή αρνητικά στην ατομική μάθηση. Η Μάθηση στο συλλογικό επίπεδο, λαμβάνει χώρα 4
σε ομάδες που αποτελούν το συνδετικό κρίκο μεταξύ ατόμου και οργάνωσης(κοντάκος, 2010). Μια διδακτική παρέμβαση δεν πρέπει να αποθαρρύνει τον μαθητή και να τον αποστρέψει από τα μαθηματικά αλλά να δώσει τα κατάλληλα εργαλεία για την οικοδόμηση της νέας θεωρίαςστην οποία θα εντάσσεται η νέα γνώση. Κεντρικό στοιχείο της προσοχής του εκπαιδευτικούκαθίσταται το «λάθος» του μαθητή, το συστηματικά επαναλαμβανόμενο, το οποίο πρέπει να εκλαμβάνει σαν «ενδιάμεση γνώση» που θα αποκαλυφθεί η ανεπάρκεια της ώστε να διαμορφωθεί η νέα ορθή γνώση (Καλαβάσης, 2003). Σύμφωνα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα, τα προβλήματα του τετραγωνισμού πολυγώνου και κύκλου εντάσσονται στην διδασκαλία της Γεωμετρίας Β Λυκείου. Σχετικές πληροφορίες υπάρχουν στα ιστορικά σημειώματα του σχολικού βιβλίου.είναι λοιπόν μια πρόκληση να συνδυάσουμε το φαινομενικά παραδοσιακό (Ιστορία Μαθηματικών) με το σύγχρονο (Διδασκαλία με Νέες Τεχνολογίες).Ερευνητικά ερωτήματα στα οποία επιχειρούμε να δώσουμε απαντήσεις είναι:πώς μπορούν να ενταχθούν στοιχεία της Ιστορίας των Μαθηματικών στην σημερινή Μαθηματική Εκπαίδευση;Μπορεί η γνώση της ιστορικής ανάπτυξης μαθηματικών εννοιών να αξιοποιηθεί στην πρόβλεψη δυσκολιών που θα αντιμετωπίσουν οι μαθητές;είναι δυνατή η πειραματική εφαρμογή διδακτικών δραστηριοτήτων που ενσωματώνουν ιστορικά στοιχεία με δεδομένο το υπάρχον ΑΠ, τον όγκο της διδακτέα ύλης και τις παγιωμένες αντιλήψεις εκπαιδευτικών, μαθητών και γονέων;τι μπορεί να μας προσφέρει η διεθνής εμπειρία σχετικά με το θέμα;μπορούν οι νέες τεχνολογίες να συνεισφέρουν σε αυτό τον σκοπό;μπορούν να ενσωματωθούν σε αυτές τις δραστηριότητες σύγχρονες θεωρίες μάθησης, στρατηγικές διδασκαλίες και ανάπτυξη συνεργατικού και διερευνητικού πνεύματος; Η αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών έχει γίνει τα τελευταία χρόνια αντικείμενο συστηματικών μελετών όπως για παράδειγμα στην Ελλάδα οιδιαλέξεις και ημερίδες για την Αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών στην Διδασκαλία από την Επιστημονική Ένωση για την ΔτΜ, τα Ευρωπαϊκά Θερινά Πανεπιστήμια Ιστορίας και Επιστημολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευσηανά τριετία και άλλα. Συνδετικόςκρίκοςόλωναυτώνείναιηομάδα International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics (HPM,) υπότηναιγίδατης International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). 5
Σύμφωνα με τον Γάλλο Θετικιστή A.Compte, «για να γνωρίσουμε μια έννοια πρέπει να γνωρίζουμε την ιστορία της». Θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίας αποτελούν η ισότητα, η ομοιότητα, το εμβαδόν και ο όγκος. Τα παρακάτω ενδεικτικά αποσπάσματα από συναφή κείμενα προσφέρουν το θεωρητικό υπόβαθρο για τηστήριξη θέσεων που αφορούντη χρησιμότητα της Ιστορίας των Μαθηματικών στην Διδασκαλίακαι επιχειρήματα που θα απαντήσουν στα παραπάνω ερωτήματα (Μαλλιάκας, Σωτηράκης, 2012). «Η Γεωμετρία είναι η μελέτη των σχημάτων μέσω των ιεραρχημένων ιδιοτήτων τους. Τα σχήματα μπορεί να είναι ίσα. Όταν δεν είναι ίσα μπορεί να μοιάζουν οπότε είναι όμοια και όταν δεν μοιάζουν, μπορεί να μετρηθούν και να βγουν ίσα, δηλαδή να είναι ισεμβαδικά» (Λάππας, 2009). «Μέσω της Ιστορίας των Μαθηματικών ο δάσκαλος των Μαθηματικών μπορεί να έχει μια ευρεία δεξαμενή προβλημάτων, ερωτημάτων και καταστάσεων για τον εμπλουτισμό της διδασκαλίας του και την κινητοποίηση των μαθητών του» (Τζανάκης, 2009). Στην σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών, τα θεμελιώδη επιστημολογικά χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως είναι η παραγωγική οργάνωση του περιεχομένου, η αποδεικτική διαδικασία και η έμφαση στις γεωμετρικές κατασκευές αναφέρονται συνήθως ως «ανώτερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης».η κύρια θεωρία μάθησης που εφαρμόζεται στην προτεινόμενη διδασκαλία είναι του Εποικοδομισμού. Στην διδακτική παρέμβαση εφαρμόζεται και η συνεργατική μάθηση. Τα άτομα αναπτύσσονται γνωστικά στο πλαίσιο πολιτισμικών ομάδων και μέσω κοινωνικών αλληλεπιδράσεων με άλλους ανθρώπους. Όσον αφορά τις ΤΠΕ σημειώνεται μεγάλη επίδραση της θεωρίας του Vygotsky στην μελέτη του διαμεσολαβητικού ρόλου των σύγχρονων ψηφιακών νοητικών εργαλείων και στην ενίσχυση της ομαδοσυνεργατικής μάθησης με την αξιοποίηση σχετικών ηλεκτρονικών περιβαλλόντων μάθησης (Φεσάκης, 2014). Σκοπός - Στόχοι Η διδασκαλία μέσω της Ιστορίας των Μαθηματικών και παράλληλης χρήσης Νέων Τεχνολογιών και εκπαιδευτικών περιβαλλόντων προκαλεί ανάμικτα συναισθήματα και ο συνδυασμός τους είναι μια διδακτική πρόκληση. Ο σκοπός λοιπόν της διδακτικής αυτής παρέμβασης είναι να εμπλακούν οι μαθητές σε δραστηριότητες οι οποίες συνδυάζουν την Ιστορία των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας με τις Νέες Τεχνολογίες ώστε μέσα από διερευνητικές και συνεργατικές διαδικασίες να αποκτήσουν 6
γνώσεις γύρω από την έννοια του εμβαδού και ταυτόχρονα να διαμορφώσουν θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά γενικότερα. Ένα από τα κριτήρια για την επιλογή της συγκεκριμένης διδακτικής ενότητας αποτέλεσε το γεγονός ότι συνηθίζεται να είναι εκτός εξετάσεων όλα τα χρόνια (άτυπο αναλυτικό πρόγραμμα), οπότε υποβαθμίζεται η διδασκαλία της, μιας και ουσιαστικά δεν διδάσκεται. Άρα είναι ένα θέμα που αξίζει και μπορούμε να διερευνήσουμε καθαρότερα μιας και έχει λιγότερες και αγνότερες εξωτερικές επιδράσεις και να βγάλουμε χρήσιμα ερευνητικά συμπεράσματα. Γενικοί στόχοι της διδακτικής παρέμβασης είναι: Να κεντρίσει την περιέργεια των μαθητών, να ενημερωθούν οι μαθητές σωστά για τα δημοφιλή αυτά προβλήματα, να δραστηριοποιηθούν με την βοήθεια του καθηγητή και τεχνολογικών εργαλείων ώστε να κατασκευάσουν λύσεις για το πρόβλημα του τετραγωνισμού πολυγώνου, να αναζητήσουν πληροφορίες στο διαδίκτυο ή σε άλλες πηγές για το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. να εργαστούν σε ομάδες και να παρουσιάσουν μια ερευνητική εργασία σχετική με το θέμα, να δημιουργηθεί θετικό κλίμα στην τάξη για μάθηση και ιδιαίτερα να αγαπήσουν το μάθημα της Γεωμετρίας μέσα από την Ιστορία της, να διερευνηθούν οι παράμετροι που θα οδηγήσουν σε πετυχημένες και ποικίλες καινοτόμες διδακτικές παρεμβάσεις, αλλαγή στάσης των μαθητών και του κλίματος της τάξης για ένα πιο σύγχρονο, δημιουργικό και ευχάριστο σχολείο. Σχέδιο ανάπτυξης διδακτικής παρέμβασης Σημαντικό ρόλο στην σύλληψη μιας καινοτόμου δράσης και στην οργάνωση της,παίζει η εμπειρία του εκπαιδευτικού σε ανάλογες δράσεις καιη υποδομή του σχολείου. Το σχολείο διαθέτει δύο εργαστήρια πληροφορικής τα οποία μπορούν να διατεθούν σε οποιοδήποτε εκπαιδευτικό που θέλει να τα αξιοποιήσει στην διδασκαλία του. Στους υπολογιστές είναι εγκατεστημένα τα κατάλληλα λογισμικά σε συνεννόηση με τον διευθυντή και τον υπεύθυνο εργαστηρίου, καθηγητή πληροφορικής. Επίσης υπάρχει πρόσβαση στο διαδίκτυο για την αναζήτηση κατάλληλων πληροφοριών.η διεύθυνση του σχολείου έχει στηρίξει και κατά το παρελθόν και συνεχώς στηρίζει καινοτόμες εκπαιδευτικές δράσεις και προτρέπει τους εκπαιδευτικούς σε συνεργασίες.υπάρχει δυνατότητα και ευελιξία σε πιθανή αλλαγή του σχολικού ωρολογίου προγράμματος. Η διδακτική παρέμβαση αυτή εντάσσεται στην κατηγορία των «οιονεί πειραμάτων». Σε πρώτη φάση έγινε μια πιλοτική παρέμβαση σε ένα δείγμα 7
23 μαθητών μιας τάξης Β λυκείου στο 1 ο Γενικό Λύκειο Ρόδου του σχολικού έτους 2014-2015 και η διδακτική αυτή παρέμβαση θα γίνει μετά από ανατροφοδότηση και την επόμενη σχολική χρονιά. Όσο αφορά τις πρότερες αντιλήψεις των μαθητών, αρχικά δόθηκε ένα ερωτηματολόγιο (pretest) όπου ζητήθηκε από τους μαθητές να περιγράψουν με λίγα λόγια τα εξής:«σας ενδιαφέρει η διδασκαλία ιστορικών προβλημάτων της Γεωμετρίας έστω και αν δεν εξεταστούν;σας ενδιαφέρει η διδασκαλία της Γεωμετρίας με χρήση Νέων Τεχνολογιών;Μπορείτε να εντοπίσετε τις δυσκολίες που αντιμετωπίσατε όλα τα χρόνια στη Γεωμετρία;Περιγράψτε ότι γνωρίζετε για το πρόβλημα του τετραγωνισμού πολυγώνου και το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Θα θέλατε να ενημερωθείτε για αυτά;» Βλέπουμε ήδη μια συστημική προσέγγιση της παρέμβασης, η οποία λαμβάνει υπόψη προϋποθέσεις και όρους για την σχολική ανάπτυξη, όπως το θεσμικό πλαίσιο (αναλυτικό πρόγραμμα), αντικειμενικούς και προσωπικούς πόρους του σχολείου και του διδάσκοντα, τις αντιλήψεις των μαθητών καθώς και το περιβάλλον τους, την διδασκαλία του γνωστικού αντικειμένου, τον επαγγελματισμό του διδακτικού προσωπικού, την σχολική ηγεσία, την διαχείριση καινοτόμων δράσεων, το σχολικό κλίμα και το κλίμα της τάξης καθώς και ενδοσχολικές και εξωσχολικές συμπράξεις με άλλους εκπαιδευτικούς φορείς προσπαθώντας να διασφαλίσει μια ποιοτική διαδικασία μάθησης. Τα επιστημονικά, μαθησιακά, κοινωνικά και παιδαγωγικά αποτελέσματα θα αξιολογηθούν μετά το τέλος της παρέμβασης βραχυπρόθεσμα στο συγκεκριμένο τμήμα αλλά και μακροπρόθεσμα στην πορεία ανάπτυξης του σχολείου σε αντίστοιχες δράσεις και από άλλους εκπαιδευτικούς. Η διδακτική παρέμβαση Στο πλαίσιο της εργασίας αυτής προτείνεται μια διδακτική παρέμβαση στο μάθημα της Γεωμετρίας της Β Λυκείου.Το πρώτο μέρος της παρέμβασης αντιστοιχεί στο πρόβλημα του τετραγωνισμού πολυγώνου. Οι αρχικές δραστηριότητες αποτελούν και προαπαιτούμενες γνώσεις για την ομαλή συνέχεια της παρέμβασης, αλλά τονίζουν και τον χαρακτήρα της που εστιάζει στην Ιστορία των Μαθηματικών με παράλληλη χρήση νέων τεχνολογιών. Η πρώτη πειραματική παρουσίαση δραστηριοτήτων έγινε με το λογισμικό Sketchpad-Geometry και χρήση βιντεοπροβολέα μέσα στην τάξη, όπου έγινε μια σύντομη εισαγωγική ενημέρωση για τις δυνατότητες του λογισμικού μέσα από δραστηριότητες που αφορούσαν προαπαιτούμενες 8
γνώσεις.θα ακολουθήσει η παρουσίαση, ο πειραματισμός και σχετικές δραστηριότητες του προβλήματος τετραγωνισμού πολυγώνου μέσα στο εργαστήριο πληροφορικής.οι δραστηριότητες θα πραγματοποιηθούν σε δύο συνεχόμενες διδακτικές ώρες σε ομάδεςκαι θα αφορούν: 1. Κατασκευή με το λογισμικό τυχαίου πολυγώνου με τουλάχιστον 5 πλευρές, μέτρηση του εμβαδού και κατασκευή ισοδύναμου πολυγώνου με μία πλευρά λιγότερη μέχρι να καταλήξουμε σε τρίγωνο. 2. Κατασκευή παραλληλογράμμου ισοδύναμου με το τρίγωνο. 3. Κατασκευή ορθογωνίου ισοδύναμου με το παραλληλόγραμμο. 4. Κατασκευή τετραγώνου ισοδύναμου με το ορθογώνιο. 5. Διερεύνηση και πειραματισμός για διαφορετικές λύσεις. Ενδεικτικά μπορούν να δημιουργηθούν φύλλα εργασίας για τις δραστηριότητες 2, 3, 4 και κατόπιν το παρακάτω φύλλο εργασίας για την δραστηριότητα 1. 1 η Δραστηριότητα Προτεινόμενο φύλο εργασίας Χρησιμοποιώντας το λογισμικό Sketchpad-Geometry,κατασκεύασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και φέρε από την κορυφή Α ευθεία παράλληλη προς την απέναντι πλευρά ΒΓ. Πάρε ένα σημείο Δ στην παράλληλη αυτή και κατασκεύασε το τρίγωνο ΔΒΓ. Μέτρησε και σύγκρινε τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΒΓ. Κάνε το ίδιο μετακινώντας το σημείο Δ πάνω στην παράλληλη. Μπορείς να βγάλεις ένα γενικό συμπέρασμα; 2 η Δραστηριότητα Κατασκεύασε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και φέρε από την κορυφή Α ευθεία (ε) παράλληλη στην διαγώνιο ΒΔ. Ονόμασε Ε το σημείο τομής των ευθειών ε και ΓΒ. Μέτρησε και σύγκρινε τα εμβαδά των τριγώνων ΕΓΔ και του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Τι παρατηρείς; Μπορείς να το ερμηνεύσεις; 3 η Δραστηριότητα Κατασκεύασε ένα κυρτό πεντάγωνο και προσπάθησε να κατασκευάσεις με το λογισμικό τρίγωνο ισοδύναμο με το αυτό εκμεταλλευόμενος τα συμπεράσματα των δύο προηγούμενων δραστηριοτήτων. 4 η Δραστηριότητα Προσπάθησε να μετασχηματίσεις με το λογισμικό ισοδύναμο τετράγωνο με κάποιο τρίγωνο μετασχηματίζοντας το διαδοχικά σε ισοδύναμο 9
παραλληλόγραμμο, μετά αυτό σε ισοδύναμο ορθογώνιο και μετά το ορθογώνιο σε ισοδύναμο τετράγωνο. Το δεύτερο μέρος της διδακτικής παρέμβασης αντιστοιχεί στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και είναι και διερευνητικής μορφής αφού μεταξύ άλλων περιλαμβάνει συζήτηση και ενημέρωση για το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και καθοδήγηση στον τρόπο αναζήτησης πληροφοριών και δημιουργία και παρουσίαση εργασίας. Η παρουσίαση εκτός από την τάξη, προτείνεται να γίνει και στο σχολείο μαζί με τις παρουσιάσεις του μαθήματος «Διερευνητική Εργασία» που γίνονται κάθε χρόνο θεσμικά και να αναρτηθεί και στην ιστοσελίδα του σχολείου. Προσδοκώμενα αποτελέσματα- Αξιολόγηση και έλεγχος Στον γνωστικό τομέα, η κατανόηση της έννοιας του εμβαδού και των σχετικών αξιωμάτων και η κατανόηση μεθόδων εύρεσης εμβαδών και σχετικών αποδείξεων που εφαρμόζονται στις προτεινόμενες δραστηριότητες καθώς και επανάληψη σε προηγούμενες έννοιες. Στον παιδαγωγικό, διδακτικό και κοινωνικό τομέα, η αλλαγή στάσης για τα μαθηματικά και την γνώση γενικότερα, η επαφή με διερευνητικούς και συνεργατικούς τρόπους μάθησης, η ενημέρωση για δυνατότητες των νέων τεχνολογιών στην μάθηση και η κατανόηση του ρόλου της Ιστορίας στην εξέλιξη των Επιστημών. Πιθανά εμπόδια μπορεί να είναι η επίδραση των προηγούμενωνλανθασμένων γνώσεων για τα προβλήματα, οι δυσκολίες στην χρήση των λογισμικών, η συνεργασία μεταξύ των μελών των ομάδων, η αναζήτηση κατάλληλων πληροφοριών για το πρόβλημα του τετραγωνισμού (υπάρχει πρόβλεψη να προταθούν από τον διδάσκοντα κάποιες ιστοσελίδες ή να δοθούν και κάποια βιβλία για μελέτη), η παρουσίαση των ερευνητικών αποτελεσμάτων και ο χρόνος διεκπεραίωσης των εργασιών. Παρόμοιες παρεμβάσεις έχουν γίνει κατά το παρελθόν και μπορεί να γίνει σύγκριση των αποτελεσμάτων.κατά την διάρκεια των διδασκαλιών θα υπάρχει αξιολόγηση και ανατροφοδότηση. Επίσης η παρέμβαση μπορεί να αξιολογηθεί σε μεγάλο βαθμό με την δυνατότητα αποθήκευσης και τον έλεγχο των δραστηριοτήτων των μαθητών από το αρχείο εντολών που φαίνεται στο λογισμικό.η διερευνητική εργασία και η παρουσίαση της επίσης θα αποτυπώσει τα αποτελέσματα της διδακτικής παρέμβασης.μετά της ολοκλήρωση της παρέμβασης θα ακολουθήσει συζήτηση και post-test. 10
Συζήτηση Διάφορες έρευνες έχουν δείξει την χρησιμότητα της Ιστορίας των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας στην διδασκαλία και την μάθηση οπότε αυτές οι διδακτικές παρεμβάσεις θα αναδείξουν τα μειονεκτήματα και τα πλεονεκτήματα τους και θα βοηθήσουν την έρευνα σε αυτούς τους τομείς.οι νέες τεχνολογίες προσφέρουν σημαντική βοήθεια στη διδασκαλία και είναι αναγκαία μια συστημική προσέγγιση της διδασκαλίας που θα τις συμπεριλαμβάνει.η αλλαγή του τρόπου διδασκαλίας με χρήση σύγχρονων αλλά και ποικίλων τρόπων διδασκαλίας προκαλεί το ενδιαφέρον των μαθητών και είναι αναγκαίο να γίνεται, όσες δυσκολίες και αν παρουσιάζονται ειδικότερα στο Λύκειο λόγω του ΑΠ και της πίεσης του εξεταστικού συστήματος. Για την επιτυχία τέτοιων καινοτόμων διδακτικών παρεμβάσεων, απαιτείται οργάνωση της διδασκαλίας μέσα στο σύστημα του σχολείου και ολιστική αντιμετώπιση. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αναπολιτάνος, Δ. (1985). Εισαγωγή στην φιλοσοφία των Μαθηματικών, Αθήνα:Eκδόσεις Νεφέλη. Καλαβάσης, Φ. (2003). Προϋποθέσεις για τον σχεδιασμό μιας μαθησιακής διαδρομής στα μαθηματικά. Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Βέροια, σελ. 13-26. Εκδόσεις ΕΜΕ, Αθήνα. Κοντάκος, Α., (2010).Συστήματα και Οργανισμοί Μάθησης. Υλικό παρουσιάσεων στο πλαίσιο του μαθήματος:σύγχρονες θεωρίες μάθησης και οργάνωσης εκπαιδευτικών δομών. Πανεπιστήμιο Αιγαίου, ΤΕΠΑΕΣ, ΠΜΣ ΔΙ.ΘΕ.ΤΠΕ. Κοντάκος, Α., Παπαγεωργίου, Ι., Κιούση, Σ. (2007). Εισαγωγή καινοτομιών στην Εκπαίδευση. Θέματα Εκπαιδευτικού Σχεδιασμού 1, σελ. 29-57, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, ΤΕΠΑΕΣ, ΠΜΣ «Μοντέλα σχεδιασμού και ανάπτυξης εκπαιδευτικών μονάδων», Εκδόσεις ΑΤΡΑΠΟΣ, Αθήνα. Κηπουρός, Χ. (1995). Ήρωνος Αλεξανδρέως, Ονόματα Γεωμετρικών όρων, Γεωμετρικά, σελ. 119-155, Εκδόσεις ΕΜΕ, Αθήνα. Λάππας Δ., (2009). Θεμελιώδεις Γεωμετρικές Έννοιες (Μια γενετική προσέγγιση). Επιστημονική Ένωση για την Διδακτική των Μαθηματικών. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Μαλλιάκας, Κ., Σωτηράκης, Α. (2012). Μελέτη αρχαίων μαθηματικών κειμένων και η ένταξη τους στη διδασκαλία της Γεωμετρίας. Πρακτικά 11
29 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Καλαμάτα, σελ 441-451. Εκδόσεις ΕΜΕ, Αθήνα. Μπλάτνερ, Ν. (2001). Η χαρά του π. Μετάφραση Μοσχόπουλος, Γ. Εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα. Στράντζαλος Χ., (1987). Η εξέλιξη των Ευκλείδειων και των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών (Μέρος πρώτο). Εκδόσεις Καρδαμίτσα, Αθήνα. Τζανάκης Κ., (2009). Η αξιοποίηση των σχέσεων μεταξύ Ιστορίας των Μαθηματικών μια Μαθηματικής Εκπαίδευσης: Συζήτηση σχετικά με τα υπέρ και τα κατά, βάσει της διεθνούς εμπειρίας. Επιστημονική Ένωση για την Διδακτική των Μαθηματικών. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Φεσάκης, Γ., (2014). Εισαγωγή στις εκπαιδευτικές εφαρμογές των ΤΠΕ, Υπό έκδοση, Διδακτικό υλικό μαθήματος Σχεδιασμός, ανάπτυξη και αξιολόγηση εφαρμογών των ΤΠΕ στη Διδακτική Πρακτική, ΠΜΣ, ΔΙ.ΘΕ, ΤΠΕ. 12