ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

1. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Στατιστικός πίακας : Πίακας µε στήλες και γραµµές στις οποίες ααγράφοται οι πληροφορίες που συλλέξαµε για µια έρευα.. ιάκριση στατιστικώ πιάκω : Γεικοί και ειδικοί. Ο γεικός πίακας περιέχει όλες τις πληροφορίες, εώ ο ειδικός περιέχει µέρος τω πληροφοριώ γεικού πίακα 3. Περιεχόµεο στατιστικού πίακα : α) Τίτλος β) Επικεφαλίδες γραµµώ και στηλώ γ) Κύριο σώµα δ) Πηγή πληροφοριώ

4. Συµβολισµοί : το µέγεθος του δείγµατος (το πλήθος τω στοιχείω του) x τιµή της µεταβλητής συχότητα της τιµής x ηλώει το πλήθος εµφάισης της τιµής x f σχετική συχότητα της τιµής x Είαι f = f % σχετική συχότητα της τιµής Είαι f % = 100 f ( x, ) ( x, f ) ( x, f %) καταοµή συχοτήτω Αποτελού συτεταγµέες σηµείω. καταοµή σχετικώ συχοτήτω Αποτελού συτεταγµέες σηµείω. x επί τοις εκατό καταοµή σχετικώ συχοτήτω επί τοις εκατό Αποτελού συτεταγµέες σηµείω. Ν αθροιστική συχότητα Είαι Ν = 1 + +... + ηλώει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι της τιµής x F αθροιστική σχετική συχότητα Είαι F = f 1 + f +... + f F % αθροιστική σχετική συχότητα επί τοις εκατό. Είαι F % = 100 F

3 5. Πίακας καταοµής συχοτήτω : Πίακας µε στήλες που ατιστοιχού στις x, 6. Τυπολόγιο : 1 + +... + κ = f = 0 f 1 f 1 + f +... + f κ = 1 f % = 100 f, f, f 1 % + f % +... + f κ % = 100 F % = 100 F Ν = 1 Ν + f %, F = F 1 + f και F % = F 1 % + f % Ν, F, F %

4 7. Γραφικές παραστάσεις καταοµής συχοτήτω α) Ραβδόγραµµα : Μόο για ποιοτική µεταβλητή. Είαι σύστηµα αξόω µε ράβδους ίσου πλάτους. Ο άξοας τω τετµηµέω έχει τις τιµές x και ο άξοας τω τεταγµέω κάποια από τις συχότητες. Το ύψος κάθε ράβδου είαι ίσο µε τη ατίστοιχη συχότητα β) ιάγραµµα συχοτήτω : Μόο για ποσοτική µεταβλητή. Είαι ό,τι και το ραβδόγραµµα, γράφοτας ευθύγραµµα τµήµατα ατί για ράβδους. γ) Κυκλικό διάγραµµα : Για ποσοτική και ποιοτική µεταβλητή. Χωρίζουµε έα κυκλικό δίσκο σε κυκλικούς τοµείς, τω οποίω τα εµβαδά ή τα ατίστοιχα τόξα α είαι αάλογα προς τις συχότητες. 0 Ισχύει α = 360 = 360 ο = 360ο f δ) Σηµειόγραµµα : Ότα έχουµε λίγες παρατηρήσεις. Είαι οριζότιος άξοας τω x, σηµειώοτας κατακόρυφα πάω από κάθε τιµή τόσες τελείες όση είαι η ατίστοιχη συχότητα. ε) Χροόγραµµα : Μόο για µεταβλητή που εκφράζει το χρόο. Είαι σύστηµα αξόω. Ο άξοας τω τετµηµέω έχει τις τιµές t του χρόου και ο άξοας τω τεταγµέω κάποια από τις συχότητες. 8. Κλάση: Οµάδα τιµώ x, που αήκου σε έα µόο διάστηµα της µορφής [, ) Η κλάση λειτουργεί σα τιµή της µεταβλητής. Ατί για συχότητα τιµής έχουµε συχότητα κλάσης. Τα άκρα τω διαστηµάτω [, ) λέγοται όρια τω κλάσεω. Πλάτος κλάσης λέγεται η διαφορά τω ορίω της. Κετρική τιµή κλάσης λέγεται το ηµιάθροισµα τω ορίω της. Συχότητα κετρικής τιµής συχότητα κλάσης. 9. Ιστόγραµµα συχοτήτω : Ιστοί πλάτους ίσου µε τα πλάτη τω κλάσεω και ύψους τέτοιου ώστε το εµβαδό κάθε ιστού α είαι ίσο µε τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης.

5 10. Πολύγωο συχοτήτω : Το πολύγωο που έχει κορυφές τα µέσα τω (Μη αθροιστικώ) άω βάσεω τω ιστώ, αφού προηγουµέως προσθέσουµε εκατέρωθε τω κλάσεω, δύο κλάσεις µε µηδεική συχότητα. 11. Πολύγωο συχοτήτω : Το πολύγωο που έχει κορυφές τα δεξιά (Αθροιστικώ) άκρα τω άω βάσεω τω ιστώ και τα σηµεία ( x 1, 0), ( x, F ). 1. Η ιδιότητα του πολυγώου : Το εµβαδό που περικλείεται από το πολύγωο συχοτήτω συχοτήτω και το οριζότιο άξοα ισούται µε το άθροισµα τω συχοτήτω, δηλαδή µε το µέγεθος του δείγµατος. 13. Καµπύλη συχοτήτω : Ότα το πλήθος τω κλάσεω είαι πολύ µεγάλο και το πλάτος τους πολύ µικρό, η περίµετρος του πολυγώου συχοτήτω, εκτός από τη βάση του, µετατρέπεται σε καµπύλη. 14. Χαρακτηριστικές καµπύλες συχοτήτω : Οµοιόµορφη καταοµή συχοτήτω Καοική καταοµή συχοτήτω Ασύµµετρη καταοµή µε θετική ασυµµετρία Ασύµµετρη καταοµή µε αρητική ασυµµετρία

6 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Στο πίακα καταοµής συχοτήτω : Τοποθετούµε τις τιµές σε αύξουσα σειρά. x. Στις συχότητες : Ν 1 = 1 Ν = Ν 1 + = 1 + Ν 3 = Ν + 3 = 1 + + 3... Ν κ = Ν κ-1 + κ = 1 + + 3 +... + κ = F 1 = f 1 F = F 1 + f = f 1 + f F 3 = F + f 3 = f 1 + f + f 3... F κ = F κ-1 + f κ = f 1 + f + f 3 + + f κ = 1 3. Μια επισήµαση : Ραβδόγραµµα κατασκευάζουµε για ποιοτική µεταβλητή. ιάγραµµα κατασκευάζουµε για ποσοτική µεταβλητή. 4. Για α σχεδιάσω ραβδόγραµµα : α) Πολλές φορές ο ρόλος τω αξόω ατιστρέφεται. ύο κάθετους άξοες β) Στο οριζότιο τις τιµές x και στο κατακόρυφο τις συχότητες γ) Πάω από κάθε τιµή x µία ράβδο ύψους όση η συχότητα. 5. Για α σχεδιάσω διάγραµµα : Ίδια δουλειά µε το ραβδόγραµµα µόο που το ρόλο τω ράβδω το παίζου ευθύγραµµα τµήµατα.

7 6. Για α σχεδιάσω κυκλικό διάγραµµα : Χωρίζω έα κυκλικό δίσκο σε κυκλικούς τοµείς, τω οποίω τα εµβαδά ή τα τόξα α α είαι αάλογα τω συχοτήτω. 7. Για α σχεδιάσω χροόγραµµα : α) ύο κάθετους άξοες β) Στο οριζότιο τις τιµές t του χρόου και στο κατακόρυφο τις συχότητες. γ) Με τεθλασµέη γραµµή εώω τα σηµεία ( t, ) ή ( t, f ). 8. Για τη οµαδοποίηση τω παρατηρήσεω α) Κάθε τιµή α αήκει σε µία µόο κλάση. β) Οι κλάσεις α είαι κλειστές αριστερά και αοιχτές δεξιά. γ) Οι τιµές σε κάθε κλάση θεωρούµε ότι είαι οµοιόµορφα καταεµηµέες, οπότε κάθε κλάση ατιπροσωπεύεται από τη κετρική της τιµή. δ) Συχότητα κλάσης είαι το πλήθος τω παρατηρήσεω που αήκου σ αυτή. 9. Για α δηµιουργήσουµε τις κλάσεις α) Βρίσκουµε το εύρος R της καταοµής. β) Καθορίζουµε το πλήθος τω κλάσεω σύµφωα µε το πίακα. γ) Βρίσκουµε το πλάτος τω κλάσεω διαιρώτας το εύρος µε το πλήθος τω κλάσεω και στρογγυλεύοτας προς τα πάω. δ) Κατασκευάζουµε τις κλάσεις ξεκιώτας από τη µικρότερη τιµή και προσθέτοτας το πλάτος κλάσης διαδοχικά µέχρι α φθάσουµε στη µεγαλύτερη τιµή. Μέγεθος δείγµατος Πλήθος κλάσεω < 0 5 0-50 6 50-100 7 100-00 8 00-400 9 400-700 10 700-1000 11 1000 1 10. Στα οµαδοποιηµέα δεδοµέα : οι κετρικές τιµές τω διαδοχικώ κλάσεω έχου διαφορά ίση µε το πλάτος της κλάσης.

8 11. Για α σχεδιάσω ιστόγραµµα : (συχοτήτω ή σχετικώ συχοτήτω) α) ύο κάθετους άξοες β) Στο οριζότιο τα άκρα τω κλάσεω και στο κατακόρυφο τις συχότητες γ) Με βάση κάθε κλάση σχεδιάζω ορθογώιο του οποίου το εµβαδό α είαι ίσο µε τη συχότητα της κλάσης. Ότα οι κλάσεις έχου ίδιο πλάτος, θεωρούµε το πλάτος αυτό ως µοάδα µήκους, οπότε το εµβαδό του ορθογωίου θα ισούται αριθµητικά µε το ύψος του. Το άθροισµα τω εµβαδώ όλω τω ορθογωίω θα είαι ίσο µε το άθροισµα όλω τω συχοτήτω δηλαδή ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος. Για α συµπληρώσω το πολύγωο συχοτήτω : α) Εκατέρωθε του συόλου τω κλάσεω θεωρώ δύο κλάσεις µε συχότητα µηδέ β) Σηµειώω τα µέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω και τα συδέω µε διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα. 1. Για α σχεδιάσω ιστόγραµµα αθροιστικώ συχοτήτω: Ακολουθώ το (11) θέτοτας στο κατακόρυφο άξοα τη αθροιστική συχότητα. Το εµβαδό του τελευταίου ορθογωίου θα είαι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος. Για α συµπληρώσω το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω : Συδέω µε διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα τις δεξιά άω κορυφές τω ορθογωίω.

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Οι βαθµοί στα µαθηµατικά 40 µαθητώ εός Λυκείου είαι οι 15, 16, 10, 1, 1, 15, 0, 17, 10, 13, 1, 1, 14, 14, 19, 18, 09, 09, 09, 16, 0, 18, 17, 17, 15, 15, 13, 13, 10, 0, 0, 0,04, 06, 14, 14, 16, 16, 0, 0 ) Να κατασκευάσετε πίακα καταοµής συχοτήτω µε στήλες x,, f, f %, Ν, F, F % ) Να βρείτε πόσοι µαθητές έχου βαθµό τουλάχιστο 15 ) Να βρείτε το ποσοστό µαθητώ που έχει βαθµό το πολύ 10 ) Να βρείτε πόσοι µαθητές έχου βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 1 και µικρότερο του 18 ) Α στο 1,5% δοθεί έπαιος τι βαθµό θα πρέπει α έχει έας µαθητής για α πάρει έπαιο; ) Βαθµοί x Συχοτητ Σχ.συχτ f Σχ.συχ. f % Aθρ.συχ Ν Σχ.αθρ.σχ F Σχ.αθρ.σχ F % 0 1 0,05,5 1 0,05,5 04 1 0,05,5 0,050 5 06 1 0,05,5 3 0,075 7,5 09 3 0,075 7,5 6 0,150 15 10 3 0,075 7,5 9 0,5,5 1 4 0,100 10 13 0,35 3,5 13 3 0,075 7,5 16 0,400 40 14 4 0,100 10 0 0,500 50 15 4 0,100 10 4 0,600 60 16 4 0,100 10 8 0,700 70 17 3 0,075 7,5 31 0,775 77,5 18 0,050 5 33 0,85 8,5 19 0,050 5 35 0,875 87,5 0 5 0,15 1,5 40 1 100 Σύολο 40 1,00 100 ----------- ---------- --------- ) Από τη στήλη τω συχοτήτω 4 + 4 + 3 + + + 5 = 0 µαθητές βρίσκουµε ) Από τη στήλη τω σχ. αθρ. συχοτήτω F % βρίσκουµε,5

10 ) Από τη στήλη τω συχοτήτω βρίσκουµε 4 +3 + 4 + 4 + 4 + 3 = µαθητές ) Από τη στήλη τω σχ. συχ. f % βρίσκουµε ότι το 1,5% έχει βαθµό 0 άρα για α πάρει έπαιο ο µαθητής θα πρέπει α έχει βαθµό 0.. Η µεταβλητή Χ παίρει τιµές x 1, x, x 3 µε x 1 < x < x 3. Οι ατίστοιχες αθροιστικές συχότητες είαι : Ν 1 = 30, Ν = 70, Ν 3 = 10. Ποια είαι η σχετική συχότητα τω τιµώ x 1, x και x 3 ; Αφού η αθροιστική συχότητα Ν 3 της µεγαλύτερης τιµής x 3 είαι Ν 3 = 10, το µέγεθος του δείγµατος θα είαι = 10. Επίσης αφού η αθροιστική συχότητα της µικρότερης τιµής x 1 είαι Ν 1 = 30, η συχότητα της τιµής x 1 θα είαι 1 = 30. Ν = 70 1 + = 70 30 + = 70 = 40 1 + + 3 = 30 + 40 + 3 = 10 3 = 50 30 10 40 f = = = 0,33 10 3 50 f3 = = = 0,4 10 1 f1 = = = 0,5 Σχόλιο 3. Μία µεταβλητή Χ παίρει τις τιµές x 1, x, x 3 µε x 1 < x < x 3. Α F = 0,6 α βρεθεί η σχετική συχότητα της τιµής x 3. Γωρίζουµε ότι F 3 = F + f 3. Όµως η σχετική αθροιστική συχότητα της µεγαλύτερης τιµής x 3 είαι F 3 =1. Οπότε 1 = 0,6 + f 3 f 3 = 0,4 Σχόλιο

11 4. Μία µεταβλητή Χ έχει τιµές x 1 < x < x 3 και αθροιστικές συχότητες Ν 1, Ν, Ν 3 τέτοιες, ώστε Ν = 3 Ν1 και Ν 3 = Ν. Να διατάξετε τις συχότητες 1,, 3 από τη µικρότερη στη µεγαλύτερη 3 3 Ν = Ν1 1+ = 1 3 = 1 1 1 = 1 άρα < 1 Ν 3 = Ν 1+ + 3 = ( 1+ ) + + = + 1 3 1 = + 3 1 1 3 = + = 3 1 1 1 Οπότε, τελικά είαι < 1 < 3. άρα 3 > 1 Σχόλιο

1 5. Στο παρακάτω πίακα φαίεται το πλήθος και το είδος τω µεταλλίω που κατέκτησα σ έα παγκόσµιο πρωτάθληµα οι τρείς πρώτες χώρες Χώρα χρυσά αργυρά χάλκια σύολο ΗΠΑ 3 7 9 19 ΡΩΣΙΑ 4 8 ΓΕΡΜΑΝΙΑ 0 5 7 Να γίει το ραβδόγραµµα τω συχοτήτω ως προς ) το σύολο τω µεταλλίω ) τα χάλκια µετάλλια ) το πλήθος τω µεταλλίω αάλογα µε το είδος ) Σχόλιο 4 0 18 Σύολο µεταλλίω : 1ΗΠΑ, ΡΩΣΙΑ, 3 ΓΕΡΜΑΝΙΑ 16 Ραβδόγραµµα ως προς το σύολο τω µεταλλίω 14 1 10 8 6 4 0 1 3 4 5 ) Ραβδόγραµµα ως προς τα χάλκια µετάλλια 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 ΗΠΑ ΡΩΣΙΑ ΓΕΡΜΑΝΙΑ ) Ραβδόγραµµα ως προς το πλήθος και το είδος τω µεταλλίω Χρυσά Αργυρά Χάλκια 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 ΗΠΑ ΡΩΣΙΑ ΓΕΡΜΑΝΙΑ

13 6. Σ έα δείγµα 00 µαθητώ διαπιστώθηκε ότι : oι 0 µιλού 3 ξέες γλώσσες οι 60 µιλού, οι 100 µία οι 0 καµία. ) Να κατασκευάσετε πίακα καταοµής συχοτήτω ) Να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω καθώς επίσης τα πολύγωα αυτώ. ) Με στρογγυλοποίηση τω δεδοµέω, ο πίακας καταοµής συχοτήτω είαι Πλήθ. ξ. γλ. Συχ. Σχετ.συχ. x f 0 0 0,1 1 100 0,5 60 0,3 3 0 0,1 Σύολο 00 1 ) To διάγραµµα συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο φαίοται παρακάτω 100 80 60 40 0 Σχόλιο 5 0 ιάγραµµα 1 3 4 χ πολύγωο Α στο κατακόρυφο άξοα βάλουµε τις σχετικές συχότητες f τότε θα προκύψει το διάγραµµα σχετικώ συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο

14 7. Να σχεδιάσετε το κυκλικό διάγραµµα τω δεδοµέω της άσκησης 6. Προσδιορίζουµε τα τόξα τω κυκλικώ τοµέω. α 1 = 360 ο. f 1 = 360 ο 0,1 = 36 ο α = 360 ο. f = 360 ο 0,5 = 180 ο α 3 = 360 ο. f 3 = 360 ο 0,3 = 108 ο α 4 = 360 ο. f 4 = 360 ο 0,1 = 36 ο µε βάση τις τιµές αυτές έχουµε το παρακάτω κυκλικό διάγραµµα Σχόλιο 6 0 γλώσσες 10% 3 γλώσες 10% γλώσσες 30% 0 1 3 1 γλώσσα 50% 8. Ο χρόος σε λεπτά που χρειάστηκα 10 µαθητές α λύσου µία άσκηση είαι, 3, 3, 5,, 5, 5, 4, 4, 4. Να γίει το σηµειόγραµµα της καταοµής. * * * * * * * * * * 3 4 5 χρόος σε λεπτά

15 9. Η τιµή µιας µετοχής σε στο χρηµατιστήριο,στο τέλος τω έξη πρώτω µηώ εός έτους ήτα διαδοχικά η εξής 0, 5, 0,15, 15, 0. Να κατασκευάσετε το χροόγραµµα. 5 0 Σχόλιο 7 15 10 1 ος ος 3 ος 4 ος 5 ος 6 ος µήες Η κόκκιη τεθλασµέη γραµµή δείχει τη εξέλιξη της τιµής της µετοχής στο πρώτο εξάµηο 10. Το παρακάτω ραβδόγραµµα σχετικώ επί τις % συχοτήτω ααφέρεται στις κατευθύσεις που παρακολουθού οι µαθητές εός Λυκείου. Είαι σωστά σχεδιασµέο; Εξηγήστε γιατί. f % 40 35 30 0 Θετική θεωρητική τεχολογική ε είαι σωστό διότι το άθροισµα τω ποσοστώ ξεπεράει το 100.

16 11. Τα βάρη 30 µαθητώ σε κιλά είαι : 45, 50, 58, 48, 60, 63, 54, 70, 6, 64, 48, 53, 57, 6, 7, 48, 65, 50, 70, 69, 74, 61, 48, 63, 49, 49, 5, 46, 59, 66. ) Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµέα σε κλάσεις του ιδίου πλάτους ) Να φτιάξετε πίακα καταοµής συχοτήτω µε στήλες x,, Ν, f %, F % ) Να Βρείτε πόσοι µαθητές έχου βάρος µεγαλύτερο ή ίσο από 47,5 κιλά και µικρότερο από 60 ) Ποιο ποσοστό µαθητώ έχει βάρος µεγαλύτερο ή ίσο από 57,5 και λιγότερο από 67,5 κιλά ) Σχόλιο 9 Προσδιορίζουµε τις κλάσεις : Εύρος R = 74 45 = 9 Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είαι = 30, το πλήθος τω κλάσεω θα είαι κ = 6 9 Το πλάτος τω κλάσεω είαι c = 5 6 ) Μετά από αυτά και κάοτας διαλογή τω παρατηρήσεω έχουµε το παρακάτω πίακα Κλάσεις [, ) Κετρ τιµή x Συχότ Σχ.συχ f% Αθρ.συχ Νι Σχ.αθρ. συχ. ) Μαθητές που έχου βάρος µεγαλύτερο ή ίσο από 47,5 και λιγότερο από 60 κιλά τρεις της κλάσης [55, 60) πέτε της κλάσης [50, 55) και από τους οκτώ µαθητές της κλάσης [45, 50) θα πάρουµε τους µισούς δηλαδή τέσσερις, αφού το 47,5 είαι το κέτρο της κλάσης και σε κάθε κλάση έχουµε δεχτεί ότι οι τιµές είαι οµοιόµορφα καταεµηµέες. Oπότε οι µισοί έχου βάρος από 45 έως 47,5 και οι υπόλοιποι µισοί έχου βάρος από 47,5 έως 50. Άρα οι ζητούµεοι µαθητές είαι 3 + 5 + 4 = 1. ) Για τους ίδιους λόγους το ποσοστό τω µαθητώ που έχου βάρος µεγαλύτερο ή ίσο του 57,5 και λιγότερο του 67,5 θα είαι : F% [45,50) 47,5 8 6,7 8 6,7 [50, 55) 5,5 5 16,7 13 43,4 [55, 60) 57,5 3 10 16 53,4 [60, 65) 6,5 7 3,3 3 76,7 [65,70) 67,5 3 10 6 86,7 [70,75) 7,5 4 13,3 30 100 Σύολο 30 100

17 το µισό του ποσοστού της κλάσης [55, 60), δηλαδή 5% το ποσοστό 3,3% της κλάσης [60, 65) και το µισό του ποσοστού της κλάσης [65, 70), δηλαδή 5%. Άρα, το ζητούµεο ποσοστό είαι 5 + 3,3 + 5 = 33,3%. 1. Για τα δεδοµέα της προηγούµεης άσκησης α σχεδιαστού όλα τα ιστογράµµατα µε τα ατίστοιχα πολύγωα. ) Ιστόγραµµα και πολύγωο συχοτήτω Σχόλια 11 ) Ιστόγραµµα και πολύγωο σχετικώ επί % συχοτήτω

18 ) Ιστόγραµµα και πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω Σχόλια 1 ) Ιστόγραµµα και πολύγωο σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω F %

19 13. Το παρακάτω πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω µίας καταοµής είαι σωστά σχεδιασµέο; Εξηγήστε γιατί. Ν Όχι διότι το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω είαι τεθλασµέη γραµµή η οποία συεχώς αέρχεται πράγµα που δε συµβαίει στο δοσµέο πολύγωο. x 14. Το παρακάτω ιστόγραµµα αθροιστικώ συχοτήτω N ααφέρεται στο ύψος σε cm εός δείγµατος µαθητώ Είαι σωστό; Εξηγήστε γιατί. Ν 55 50 40 5 15 10 150 155 160 165 170 175 180 x (ύψος µαθ. σε cm ) ε είαι σωστό γιατί η αθροιστική συχότητα της τρίτης κλάσης είαι µικρότερη της αθροιστικής συχότητας της δεύτερης,πράγµα που δε είαι δυατό.

0 15. Α Β Γ 1 3 4 5 6 Ε Στο παραπάω κυκλικό διάγραµµα δίεται ότι 0 ΑΒ = 7, 0 ΒΓ= 36, 0 Γ = 63, 0 Ε= 90 και 0 ΕΑ= 144. Α το διάγραµµα ααφέρεται στη οµάδα που υποστηρίζει έα δείγµα 00 ατόµω και ο τοµέας µε τόξο ΑΕ αφορά το Ολυµπιακό, µε τόξο Ε το Πααθηαϊκό, µε τόξο Γ τη ΑΕΚ, µε τόξο ΓΒ το ΠΑΟΚ και µε τόξο ΑΒ το ΑΡΗ, α κατασκευάσετε το πίακα συχοτήτω της καταοµής και τα ραβδογράµµατα συχοτήτω και σχετικώ επί % συχοτήτω. 0 Από το τύπο α = 360 f θα έχουµε 7 ο = 360 ο o 7 f 1 f1 = o 360 = 0,075 36 ο = 360 ο f o 36 f = o 360 = 0,10 0 63 ο = 360 ο f 3 o 63 f3 = o 360 = 0,175 90 ο = 360 ο f 4 o 90 f4 = = 0, 50 o 360 144 ο =360 ο f 5 o 144 f5 = = 0,400 o 360 Οπότε ο πίακας συχοτήτω είαι Οµάδα x Συχοτ. Σχετ.συχ f % Aρης 15 7,50 Πάοκ 0 10,00 Α.Ε.Κ 35 17,50 Πααθη 50 5,00 Ολυµπ. 80 40,00 Σύολο 00 100

1 Το ραβδόγραµµα συχοτήτω είαι 80 60 50 40 35 0 15 Αρης ΠΑΟΚ ΑΕΚ Πααθ. Ολυµπια. x Και το ραβδόγραµµα τω σχετικώ επί % συχοτήτω είαι f % Σχόλιo 5 40 5 0 17,5 10 7,5 Άρης ΠΑΟΚ Α.Ε.Κ Πα/κος. Ολ/κος x

16. Η βαθµολογία 50 µαθητώ σ έα µάθηµα κυµάθηκε από 10 έως 0. Χωρίζοτας τους 50 βαθµούς σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, παρατηρήσαµε ότι : α) Στο ιστόγραµµα συχοτήτω το εµβαδό του ορθογωίου της κλάσης [10,1) είαι 5. β) Στο ιστόγραµµα τω f % το ύψος του ορθογωίου της κλάσης [16,18) είαι 0. γ) Στο κυκλικό διάγραµµα το τόξο που ατιστοιχεί στη κλάση [14,16) είαι 144 ο. Α οι µαθητές που πήρα βαθµούς της κλάσης [1, 14) είαι τετραπλάσιοι από τους µαθητές που οι βαθµοί τους αήκου στη κλάση [18,0), α δείξετε ότι : ) Το πλάτος τω κλάσεω είαι ) Oι µαθητές µε βαθµό στη κλάση [18, 0) είαι τρεις ) Να γίει πίακας καταοµής συχοτήτω µε στήλες για τα, Ν, f %, F % ) Αφού το εύρος της καταοµής είαι R =0 10 = 10 και το πλήθος τω κλάσεω είαι 5, το πλάτος κάθε κλάσης θα είαι 10 5 =. ) Οι κλάσεις λοιπό είαι [10,1), [1,14), [14,16), [16,18), [18,0) (α) 1 =5 (β) f 4 % = 0 f 4 = 0, και επειδή = 50, θα έχουµε 4 4 f 4 = 0, = 4 = 10 50 (γ) τόξο α 3 = 144 ο αλλά α 3 = 360 o f 3 144 ο = 360 o f 3 o 144 f 3 = = 0, 4 o 360 3 50 = 0,4 3 = 0 Αλλά 1 + + 3 + 4 + 5 = 50 και από υπόθεση = 4 5, οπότε 5 + 4 5 + 0 + 10 + 5 = 50 5 5 =15 5 = 3 και εποµέως = 4 3 = 1 ) Μετά από αυτά ο πίακας καταοµής συχοτήτω είαι Κλάσεις Συχοτ. Σχτ.συχ Αθρ.συχ Αθρ.σχ.συχ. [, ).f % Ν F % [10,1) 5 10 5 10 [1,14) 1 4 17 34 [14,16) 0 40 37 74 [16,18) 10 0 47 94 [18,0) 3 6 50 100 Σύολο 50 100

3 17. Στις εξετάσεις εός µαθήµατος πήρα µέρος 40 φοιτητές. Οι 1 από αυτούς πήρα βαθµό κάτω από 4 και οι 4 κάτω από. Το 40% τω φοιτητώ βαθµολογήθηκε µε βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 4, αλλά µικρότερο του 6. Η γωία του κυκλικού διαγράµµατος για τους φοιτητές που πήρα βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 8 είαι 36 ο Η κλίµακα της βαθµολογίας είαι από 0 έως 10 µε βάση το 5 ) Να φτιάξετε πίακα συχοτήτω και σχετικώ επί % συχοτήτω ) Να βρείτε πόσοι φοιτητές πέρασα το µάθηµα ) Α οι φοιτητές µε βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 7 πάρου υποτροφία, α βρείτε ποιο ποσοστό τω φοιτητώ θα πάρει υποτροφία. ) Είαι προφαές ότι οι βαθµοί τω φοιτητώ είαι χωρισµέοι στις κλάσεις [0, ), [, 4), [4, 6), [6, 8) και [8, 10). Αφού κάτω από 4 πήρα βαθµό 1 φοιτητές εκ τω οποίω 4 κάτω από είαι φαερό ότι η συχότητα της πρώτης κλάσης [0, ) είαι 1 = 4, εώ της δεύτερης κλάσης [, 4) είαι = 8. Στη τρίτη κλάση [4, 6) βρίσκεται το 40% τω φοιτητώ, δηλαδή η συχότητα 40 της κλάσης αυτής είαι 3 = 40 =16. 100 Επειδή η γωία του τοµέα που ατιστοιχεί στη πέµπτη κλάση [8, 10) είαι 36 ο θα έχουµε 36 ο = 360 ο 5 5 = 4 40 Αλλά 1 + + 3 + 4 + 5 = 40 4 + 8 + 16 + 4 + 4 = 40 4 = 8 ) Ο πίακας συχοτήτω είαι Κλάσεις [, ) Συχοτ. ι Σχ.συχ f% [0, ) 4 10 [, 4) 8 0 [4, 6) 16 40 [6, 8) 8 0 [8, 10) 4 10 Σύολο 40 100 ) Για α περάσει έας φοιτητής το µάθηµα, θα πρέπει α έχει βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 5. Εποµέως οι φοιτητές που πέρασα το µάθηµα είαι όσοι βρίσκοται στις δύο τελευταίες κλάσεις καθώς επίσης και οι µισοί από αυτούς που βρίσκοται στη κλάση [4,6). Από τη κλάση [4,6) παίρουµε τους µισούς φοιτητές επειδή το 5 είαι το κέτρο και σε κάθε κλάση έχουµε δεχτεί ότι οι τιµές είαι ισοκαταεµηµέες. Εποµέως πέρασα το µάθηµα 8 + 8 + 4 = 0 φοιτητές. ) Το ποσοστό τω φοιτητώ που θα πάρου υποτροφία είαι το 10% της κλάσης [8, 10) και το µισό του ποσοστού της κλάσης [6, 8), δηλαδή επίσης 10%, άρα το 0% τω φοιτητώ θα πάρει υποτροφία.

4 18. Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα (Οι κόκκιοι χαρακτήρες είαι τα δεδοµέα του προβλήµατος), x f Ν F f% F% 1 1 0,05 1 0,05 5 5 4 0,0 5 0,5 0 5 3 6 0,30 11 0,55 30 55 4 3 0,15 14 0,70 15 70 5 6 0,30 0 1 30 100 Σύολο 0 1 100 F 1 = 0,05 f 1 = 0, 05 Επειδή f 1 % = 100 f 1 f 1 % = 100 0,05 = 5 Επειδή F 1 % = 100 F 1 F 1 % =100 0,05 = 5 H αθροιστική συχότητα της µεγαλύτερης τιµής x 5 είαι Ν 5 = 0, άρα το µέγεθος του δείγµατος είαι = 0 1 f 1 = 0,05 = 1 0 1 =1 άρα και Ν 1 = 1. Προφαώς είαι Ν 5 = 0, F 5 = 1 και F 5 % =100 F 4 % = 70 100 F 4 = 70 F 4 = 0,7 Αλλά F 5 % = F 4 % + f 5 % 100 = 70 + f 5 % f 5 % = 30 άρα και f 5 = 0,3 Όµως 5 5 f 5 = 0,3 = 0 5 = 6 Ν 5 = Ν 4 + 5 0 = Ν 4 + 6 Ν 4 = 14 Ν 4 = Ν 3 + 4 14 = 11 + 4 4 = 3 4 3 f 4 = f4 = = 0,15 0 f 4 % = 15 f 3 % = 30 f 3 = 0,3 f 1 + f + f 3 + f 4 + f 5 = 1 0,05 + f + 0,3 + 0,15 + 0,3 = 1 f = 0, F = f 1 + f = 0,05 + 0,0 = 0,5 F 3 = F + f 3 = 0,5 + 0,30 = 0,55 Οπότε και F % = 5 και F 3 % = 55 3 3 f 3 = 0,3 = 3 = 6 0 f = 0, = = 4 0 Ν = 1 + = 1 + 4 = 5 άρα και f % = 0

5 19. 100 άτοµα ρωτήθηκα πόσες φορές πήρα ταξί σ έα χρόο. Τα δεδοµέα φαίοται στο πίακα. ) Να κατασκευάσετε πίακα καταοµής συχοτήτω µε όλες τις γωστές στήλες. ) Να κατασκευάσετε τα διαγράµµατα και τα ατίστοιχα πολύγωα σχετικώ και σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. ) Ποιο ποσοστό τω ατόµω πήρε το πολύ 30 φορές ταξί και ποιο τουλάχιστο 18; ) Χρησιµοποιώτας το τυπολόγιο κατασκευάζουµε το πίακα x Φορές που πήρα ταξί Αριθ. ατόµω 0 10 15 18 35 30 5 35 1 45 8 50 3 f Ν F f % F% 0 0,0 0,0 10 15 0,15 17 0,17 15 17 18 35 0,35 5 0,5 35 5 30 5 0,5 77 0,77 5 77 35 1 0,1 89 0,89 1 89 45 8 0,08 97 0,97 8 97 50 3 0,03 100 100 3 100 σύολο 100 1,00.. 100 ) f% 35 Σχόλιο 5 30 5 πολύγωο σχ συχοτήτω 0 15 διάγραµµα σχ συχοτήτω 1 10 8 5 3 0 10 18 30 35 45 50 x

6 F% πολύγωο σχ αθρ.συχοτήτω 100 80 97 89 77 60 5 40 0 17 διάγραµµα σχ αθρ.συχοτήτω 0 10 18 30 35 45 50 x ) Από τη στήλη τω f %, τo πολύ 30 φορές πήρε ταξί το + 15 + 35 + 5 = 77% Όπως επίσης τουλάχιστο 18 φορές πήρε ταξί το 35 + 5 + 1 + 8 + 3 = 83% 0. Το διπλαό διάγραµµα σχετικώ συχοτήτω ααφέρεται στους ορόφους τω κτισµάτω κάποιας πόλης. α) Να βρείτε το ποσοστό τω κτιρίω που έχου από 3 ορόφους και πάω. β) Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραµµα για το πλήθος τω ορόφω. α) f 1 % + f % + f 3 % + f 4 % + f 5 % + f 6 % =100 x + 4x + 4x + x + 6x + 3x =100 0x = 100 x = 5 Το ποσοστό τω κτηρίω από 3 ορόφους και πάω είαι 4x + x + 6x + 3x = 15x = 15 5 = 75% ) Κυκλικό διάγραµµα Σχόλιο 6 30% 15% f% 6x 5x 4x 3x x 5% 10% x 0% 0% 1 3 4 5 6 x 1οροφ οροφ 3οροφ 4οροφ 5οροφ 6οροφ

7 1. Στα σχολεία εός δήµου υπηρετού 100 εκπαιδευτικοί. Ο συολικός χρόος υπηρεσίας τους δίεται στο διπλαό πίακα. ) Πόσοι εκπαιδευτικοί έχου τουλάχιστο 15 χρόια υπηρεσίας; ) Με τη προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συταξιοδοτηθεί ότα συµπληρώσει 35 χρόια : α) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συταξιοδοτηθού µέσα στα επόµεα 1,5 χρόια; ικαιολογήστε τη απάτηση σας. β) Πόσοι συολικά εκπαιδευτικοί πρέπει α προσληφθού µέσα στα επόµεα ) 5 χρόια ώστε ο αριθµός τω εκπαιδευτικώ που υπηρετού στα σχολεία α µείει ο ίδιος ; ικαιολογήστε τη απάτηση σας. Συµπληρώουµε το παραπάω πίακα µε τη στήλη συχοτήτω. 1 = 10 100 100 = 10, = 15 100 = 15 κ.λ.π 100 Τουλάχιστο 15 χρόια υπηρεσίας έχου οι εκπαιδευτικοί που αήκου στις κλάσεις 4 η, 5 η, 6 η, 7 η δηλαδή 15 + 18 + 18 + 1 = 63 Χρόια υπηρεσίας Σχ συχ f % [0, 5) 10 [5, 10) 15 [10, 15) 1 [15, 0) 15 [0, 5) 18 [5, 30) 18 [30, 35) 1 Χρόια Σχ συχ Συχοτ. υπηρεσίας f % [0, 5) 10 10 [5, 10) 15 15 [10, 15) 1 1 [15, 0) 15 15 [0, 5) 18 18 [5, 30) 18 18 [30, 35) 1 1 ) α) Για α πάρει σύταξη έας εκπαιδευτικός µέσα στα επόµεα 1,5 χρόια, θα πρέπει σήµερα α έχει τουλάχιστο,5 χρόια υπηρεσίας. Τουλάχιστο,5 χρόια υπηρεσίας έχου : οι µισοί εκπαιδευτικοί της κλάσης [ 0, 5) λόγω της ισοκαταοµής, δηλαδή 9 οι εκπαιδευτικοί τω δύο επόµεω κλάσεω, δηλαδή 18 +1 = 30 Σύολο 39 β) Τη επόµεη πεταετία θα πάρου σύταξη όσοι εκπαιδευτικοί βρίσκοται στη τελευταία κλάση, δηλαδή 1 Εποµέως για α µη µεταβληθεί το πλήθος τω εκπαιδευτικώ θα πρέπει α προσληφθού 1.

8. To διπλαό ιστόγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω ααφέρεται στο ούµερο παπουτσιώ 150 αθρώπω. α) Σχεδιάστε το πολύγωο σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. β) Τι ποσοστό του δείγµατος φοράει παπούτσια από 36 έως και 39. γ) Α ξεχωρίσουµε από τους 150 τους 75 µε τα µεγαλύτερα ούµερα παπουτσιώ, από πόσο ούµερο και πάω θα φοράε αυτοί; F 1 % 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 α) 36 38 40 4 44 46 Νο παπουτσιώ F % Το ζητούµεο πολύγωο είαι η κόκκιη γραµµή Σχόλιο 11 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 β) Είαι F = F 1 + f F % = F 1 % + f % 30 = 10 + f % f % = 0 36 38 40 4 44 46 Νο παπουτσιώ Επειδή οι παρατηρήσεις σε κάθε κλάση είαι ισοκαταεµηµέες από το 0% τω παρατηρήσεω το 10% θα φοράει ούµερο παπουτσιώ από 38 µέχρι 39. Εποµέως από 36 έως 39 φοράει το 10 + 10 = 0% του δείγµατος γ) Επειδή τα 75 άτοµα είαι το 50% του δείγµατος όπως φαίεται από το παραπάω πολύγωο το 50% φοράει ούµερο παπουτσιώ µέχρι 41 (πράσιη γραµµή) και το υπόλοιπο από 41 και πάω. Άρα τα 75 άτοµα µε τα µεγαλύτερα ούµερα φοράε από 41 ούµερο και πάω.

9 3. Κάθε έας από τους 80 µαθητές εός σχολείου δαπαά στο κυλικείο από 0 µέχρι 10 ευρώ. Από αυτούς 16 δαπαού κάτω από ευρώ, 30 δαπαού κάτω από 4 8 δαπαού πάω από 8 και 30 δαπαού πάω από 6. ) Να κατασκευάσετε πίακα καταοµής συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω απολύτω και αθροιστικώ. ) Πόσοι δαπαού πάω από 5 ευρώ; ) Πόσοι δαπαού από 3 µέχρι 9 ευρώ; ) Να κατασκευάσετε το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. ) Επειδή δε ξέρουµε το ποσό που δαπαά ο κάθε µαθητής αλλά ξέρουµε το εύρος της δαπάης για οµάδες µαθητώ θα κάουµε οµαδοποίηση τω παρατηρήσεω. Είαι φαερό, από τα δεδοµέα ότι πρέπει α κάουµε οµαδοποίηση παίροτας σα κλάσεις τις x 1= [0, ), x = [, 4), x 3 = [4, 6), x 4 = [6, 8) και x 5 = [8, 10) 16 δαπαού κάτω από 1 = 16 30 δαπαού κάτω από 4 Ν = 30, Αλλά Ν = 1 + 30 = 16 + = 14 8 δαπαού πάω από 8 5 = 8 30 δαπαού πάω από 6 4 + 5 = 30 4 + 8 = 30 4 = Είαι 1 + + 3 + 4 + 5 = 80 16 + 14 + 3 + + 8 = 80 3 = 0 Ο πίακας καταοµής συχοτήτω είαι ο παρακάτω Κλάσεις x Συχτ Σχετ. συχ f Αθρ. συχ. Ν Σχετ. αθρ συχ F [ 0, ) 16 0,00 16 0,00 [, 4) 14 0,175 30 0,375 [4, 6) 0 0,50 50 0,65 [6, 8) 0,75 7 0,900 [ 8, 10) 8 0,100 80 1 σύολο 80 1 ) Το 5 είαι το κέτρο της κλάσης [4, 6) της οποίας η συχότητα είαι 0, επειδή οι παρατηρήσεις είαι ισοκαταεµηµέες στη κλάση, οι 10 µαθητές θα ξοδεύου από 5 µέχρι 6 ευρώ οπότε

30 πάω από 5 ευρώ ξοδεύου οι 10 + + 8 = 40 µαθητές ) Με τη ίδια σκέψη βρίσκουµε ότι από 3 µέχρι 9 ευρώ δαπαού οι 8 +14 + 0 + + 4 = 68 µαθητές ) Ιστόγραµµα και πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω N 80 70 60 50 40 30 0 10 0 4 6 8 10 x

31 4. Η βαθµολογία 50 µαθητώ σ έα µάθηµα κυµάθηκε από 10 έως 0. Χωρίζουµε τους 50 βαθµούς σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους x 1= [10, 1), x = [1, 14), x 3 = [14, 16), x 4 = [16, 18) και x 5 = [18, 0). ίεται ότι : α) Στο ιστόγραµµα συχοτήτω το εµβαδό του ορθογωίου της κλάσης [10,1) είαι 5 β) Στο ιστόγραµµα τω f % το ύψος του ορθογωίου της κλάσης [16,18) είαι 0, γ) Στο κυκλικό διάγραµµα το τόξο που ατιστοιχεί στη κλάση [14,16) είαι 144 ο. δ) Οι µαθητές που πήρα βαθµούς της κλάσης [1,14) είαι τετραπλάσιοι από τους µαθητές που οι βαθµοί τους είαι στη κλάση [18, 0) Να δείξετε ότι : ) Το πλάτος τω κλάσεω είαι ) Οι µαθητές µε βαθµό στη κλάση [18, 0) είαι τρεις ) Να γίει πίακας καταοµής συχοτήτω µε στήλη τω α ) Το πλάτος τω κλάσεω προφαώς είαι c = R = 10 = κ 5 ), ) Κλάσεις Συχ Σχετ.συχ Σχετ συχ Τόξο τοµ. f f % α σε µοίρες [10, 1) 5 0,10 10 36,0 [1, 14) 4 5 = 1 0,4 4 86,4 [14, 16) 0 0,40 40 144,0 [16, 18) 10 0,0 0 7,0 [18, 0) 5 = 3 0,06 6 1,6 Σύολο 50 1,00 100 360,0 Από τα δεδοµέα του προβλήµατος έχουµε 1 = 5, f 4 % = 0, α 3 = 144 και = 4 5 τότε : 4 = 0 50 10 100 = α 3 = 360 ο f 3 144 o = 360 o 3 144 = 360 o 3 3 = 0 50 5 + 4 5 + 0 + 10 + 5 = 50 5 =3 Από το τύπο α = βρίσκουµε τη στήλη τω α όπως φαίεται παραπάω o 360 f

3 5. Στο παρακάτω ιστόγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω παρουσιάζεται το ποσοστό τω αυτοκιήτω που παράγει µία βιοµηχαία σ έα µήα σε σχέση µε το κυβισµό του κιητήρα. Το πλήθος τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από 1700 και µικρότερο από 1900 cm 3 είαι 500. Να βρείτε : ) Το πλήθος τω αυτοκιήτω που παράγει η βιοµηχαία σ έα µήα. ) Το πλήθος τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από 1600 cm 3 ) Είαι F 4 % = F 3 % + f 4 % 90 = 50 + f 4 f 4 = 40 % Έστω το µέγεθος του δείγµατος, Τότε 40 = 500 = 650 100 ) F 5 % = F 4 % + f 5 % 100 = 90 + f 5 % f 5 % = 10 F 3 % = F % + f 3 % 50 =30 + f 3 % f 3 % = 0 Η σχετική συχότητα τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από τα 1600 f 3 κυβικά είαι % + f 4 % + f 5 % = 10 + 40 + 10 = 60 Το πλήθος τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από 1600 κυβικά είαι 60 650 100 = 3750.

33 6. Οι απουσίες στο πρώτο τετράµηο τω µαθητώ της Γ τάξης εός σχολείου έχου οµαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εµφαίζοται στο παρακάτω πίακα Απουσίες Κέτρο κλάσης f [..,..) 0,1 [.., 7) [.,..) 0,3 [.,..) 10 Σύολο ίεται επίσης ότι η σχετική συχότητα της 4 ης κλάσης είαι διπλάσια της σχετικής συχότητας της ης κλάσης ) Να αποδείξετε ότι το πλάτος τω κλάσεω είαι ίσο µε ) Να συµπληρώσετε το πίακα Σχόλιο 9-10 ) Α c είαι το πλάτος τω κλάσεω, τότε η τρίτη κλάση είαι η [7, 7+c) Το κέτρο της τέταρτης κλάσης είαι η τέταρτη κλάση είαι η [7+c, 7+c) 7+ c+ 7+ c 14+ 3c = και επειδή από τη υπόθεση αυτό είαι ίσο µε 10, θα έχουµε c = ) Το αριστερά άκρο της δεύτερης κλάσης θα είαι το 7 c = 7 = 5 Άρα η πρώτη κλάση θα είαι η [ 3, 5), η δεύτερη [5, 7) η τρίτη [7, 9) και η τέταρτη [9, 11) Ακόµα έχουµε f 4 = f και f 1 + f + f 3 + f 4 =1 0,1+ f + 0,3 + f =1 f = 0, άρα f 4 = 0,4 Ο πίακας συµπληρωµέος είαι ο παρακάτω Απουσίες Κέτρο κλάσης f [3, 5) 4 0,1 [5, 7) 6 0, [7, 9) 8 0,3 [9, 11) 10 0,4 Σύολο 1 14+ 3c = 10 14 + 3c = 0

34 7. Στη αρχή της σχολικής χροιάς 50 µαθητές εός Λυκείου ρωτήθηκα σχετικά µε το αριθµό τω βιβλίω που διάβασα το καλοκαίρι. Τα αποτελέσµατα φαίοται στο πίακα ) Να βρείτε το α ) Να συµπληρώσετε τη στήλη τω και το πίακα µε στήλη τω f% ) Να βρείτε πόσοι µαθητές διάβασα τουλάχιστο 3 βιβλία ) Να βρείτε το ποσοστό τω µαθητώ που διάβασα το πολύ βιβλία ) α + 4 + 5α + 8 + 4α + α 1+ α = 50 13α = 30 α = 3 ) Συµπληρωµέος ο πίακας γίεται ) Τουλάχιστο τρία βιβλία σηµαίει από 3 και πάω : + 6 = 8 ) Αριθµ Βιβλίω Αριθµ Μαθητώ Σχ.συχ x f % 0 7 14 1 3 46 1 4 3 4 4 6 1 Σύολο 50 100 Το πολύ δύο βιβλία σηµαίει από και κάτω. Το ζητούµεο ποσοστό είαι 4 + 46 + 14 = 84% Αριθµ Βιβλίω x Αριθµ Μαθητώ 0 α + 4 1 5α + 8 4α 3 α 1 4 α Σύολο 50

35 8. Η βαθµολογία, µε άριστα το 10, 50 φοιτητώ δίεται στο πίακα Το ποσοστό τω φοιτητώ µε βαθµό όχι µικρότερο του 6 είαι 36% Το ποσοστό µε βαθµό µικρότερο του 5 είαι 54%. Να βρείτε ) Τις συχότητες κ και λ. ) To εµβαδό της περιοχής που ορίζεται από το οριζότιο άξοα και το πολύγωο τω συχοτήτω ) Α για α πάρει βραβείο έας φοιτητής πρέπει α έχει βαθµό τουλάχιστο 7, α βρείτε ποιο είαι το ποσοστό τω φοιτητώ που πήρα βραβείο. ) Βαθµός όχι µικρότερος του 6 σηµαίει από 6 και πάω : λ κ + 100= λ+ κ 50 50 5 λ+ κ και από υπόθεση = 36 5 λ+ κ = 90 (1) Το ποσοστό τω φοιτητώ µε βαθµό µικρότερο του 5 είαι λ +κ+ 70 λ κ 100= + + 8 και από υπόθεση 50 5 5 λ κ + + 8= 54 λ + κ = 130 () 5 5 Λύοτας το σύστηµα τω (1) και () βρίσκουµε λ = 40 και κ = 50 ) Το ζητούµεο εµβαδό είαι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος, άρα ίσο µε 50 τ.µ Κλάσεις [, ) Συχότητα 0-70 - 4 κ 4-6 λ 6-8 λ 8-10 κ Σύολο 50 Σχόλιο 11 ) Τουλάχιστο 7 έχου οι µισοί φοιτητές της κλάσης [6, 8) και όσοι είαι στη κλάση [8, 10) 70 Αυτοί είαι 0 + 50 = 70 και το ποσοστό αυτώ είαι 100 8 50 = %

36 9. Οι ηλικίες τω καθηγητώ εός σχολείου δίοται στο διπλαό ιστόγραµµα σχετικώ % συχοτήτω, από το οποίο λείπει ο ιστός της κλάσης [55, 65). ) Να βρείτε το ποσοστό τω καθηγητώ που έχου ηλικία µεγαλύτερη ή ίση τω 55. ) Να βρεθεί το ποσοστό τω καθηγητώ που έχου ηλικία [30, 45) [55,65). ) Α οι καθηγητές που έχου ηλικία x µε 35 x < 55 είαι 6, α βρείτε το πλήθος τω καθηγητώ του σχολείου. f % 40 36 3 8 4 0 16 1 5 35 45 55 65 ) f 1 % + f % + f 3 % + f 4 % = 100 16 + 1 + 40 + f 4 = 100 f 4 % = 3 ) Το ζητούµεο ποσοστό είαι 8 + 1 + 3 = 5% Σχόλιο 9 ) Το ποσοστό τω καθηγητώ µε ηλικία στο [35, 55) είαι 1 + 40 = 5% 5 Α είαι το πλήθος τω καθηγητώ του σχολείου τότε =6 100 = 50 x 30. Έα δείγµα 60 µπαταριώ έχει διάρκεια ζωής σε ώρες αυτή που φαίεται στο διπλαό πίακα. ) Να βρείτε τις συχότητες που λείπου ) Να συµπληρώσετε το πίακα µε στήλη τω f % ) Να βρείτε το ποσοστό τω µπαταριώ µε διάρκεια ζωής τουλάχιστο 58 ώρες ) Να βρείτε το ποσοστό τω µπαταριώ µε διάρκεια ζωής µικρότερη από 60 ώρες ) Να βρείτε το ποσοστό τω µπαταριώ µε διάρκεια ζωής µεγαλύτερη ή ίση τω 59 ωρώ Κλάσεις Συχότητες [, ) 50-54 x 54-58 9 58-6 x 6-66 15 66-70 3x Σύολο 60 ) Να σχεδιάσετε το πολύγωο συχοτήτω και το πολύγωο τω σχετικώ % συχοτήτω ) Να βρείτε το εµβαδό της περιοχής που περικλείεται από το οριζότιο άξοα και το πολύγωο τω σχετικώ % συχοτήτω ) x + 9 + x + 15 + 3x = 60 6x = 36 x = 6 Οι συχότητες που λείπου είαι 1 = 6, 3 =. 6 = 1, 5 = 3. 6 = 18

37 ) Ο πίακας συµπληρωµέος είαι Κλάσεις Συχότητες Σχετ. συχ [, ) f % 50-54 6 10 54-58 9 15 58-6 1 0 6-66 15 5 66-70 18 30 Σύολο 60 100 ) 0 + 5 + 30 = 75% ) 10 + 15 + 10 =35% ) 3 0 + 5 + 30 = 70% 4 ) Ιστόγραµµα και πολύγωο συχοτήτω. Ιστόγραµµα και πολύγωο σχετικώ % συχοτήτω. 9 6 18 15 1 f % 30 5 0 15 10 50 54 58 6 66 70 x 50 54 58 6 66 70 x ) Το εµβαδό της ζητούµεης περιοχής είαι ίσο µε 100 τ.µ