ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ λέγεται κάθε αριθµός ο οποίος έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή α+βi όπου α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί και i η φανταστική µονάδα για την οποία ισχύει i =- To σύνολο C των µιγαδικών αριθµών είναι το σύνολο του οποίου στοιχεία είναι αριθµοί της µορφής α+βi και είναι εφοδιασµένο µε τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού όπως και στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών, έχει το 0 ως ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο του έχει τη µορφή α+βi Η µορφή =α+βi είναι µοναδική για κάθε µιγαδικό αριθµό Το α είναι το πραγµατικό του µέρος: Re()=α, Το β είναι το φανταστικό του µέρος: Im()=β ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ α+ β i= γ + δ i α=γ και β=δ, (α,β,γ,δ R) α+βi=0 α=0 και β=0 α+βi 0 α 0και β=0 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ (α+βi)(α-βi)=α +β (α+βi) =α -β +αβi (α-βi) =α -β -αβi ΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ : ν = ( ν παράγοντες), =, 0 =, -ν = ν ΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ i :,αν,υ=0 ι,αν,υ= Ισχύει ότι: i ν =i 4ρ+υ = -,αν,υ= -ι,αν,υ= ΣΥΖΥΓΗΣ του µιγαδικού αριθµού =α+βi λέγεται ο µιγαδικός Γι αυτόν ισχύουν οι εξής ιδιότητες: = a βi + +=α α=re()= - -=β i β=im()= i =α +β R Αν = R Αν =- φανταστικός ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΣΥΖΥΓΟΥΣ Για κάθε, C, ισχύουν : Α) + = + AΠΟ ΕΙΞΗ Αν =α+βi και =γ+δi τότε: + =(α+βi)+(γ+δi)=(α+γ)+(β+δ)i= (α+γ)-(β+δ)i=(α-βi)+(γ-δi)= + Β) - = - ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αν =α+βi και =γ+δi τότε: - =(α+βi)-(γ+δi)=(α-γ)+(β-δ)i= (α-γ)-(β-δ)i=(α-βi)-(γ-δi)= - Γ) = = ) ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο είναι το επίπεδο του οποίου τα σηµεία είναι εικόνες µιγαδικών αριθµών Πχ η εικόνα του =α+βi είναι το σηµείο Μ(α,β) Στο σχήµα φαίνεται και η εικόνα του = α β iπου είναι συµµετρική αυτής του µε άξονα συµµετρίας τον χ χ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Για να προσθέσουµε η να αφαιρέσουµε µιγαδικούς, προσθέτουµε η αφαιρούµε τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη χωριστά: (α+βi)± (γ+δi)=(α ±γ)+(β±δ)i ψ Μ( + ) Μ( ) M ( ) M( ) M ( ) x Ο M( - ) Πρόσθεση: ΟΜ =ΟΜ + ΟΜ Αφαίρεση: Μ Μ =ΟΜ ΟΜ Για να πολλαπλασιάσουµε δύο µιγαδικούς εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα λαµβάνοντας υπόψη ότι i =- Για να διαιρέσουµε δύο µιγαδικούς, πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε τον συζυγή του παρονοµαστή ΜΕΤΡΟ ενός µιγαδικού αριθµού = α+ βi είναι η απόσταση της εικόνας του Μ από την αρχή των αξόνων Ο ηλ αν =α+βi τότε Οι ιδιότητες του µέτρου είναι: = = - = α =α = = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έχουµε: ( ) =(ΟΜ)= α +β = = ( )( )= = που ισχύει, άρα θα ισχύει και η αρχική ισότητα ν ν = = ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [4] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ) ( ) = = = = που ισχύει, άρα θα ισχύει και η αρχική ισότητα - ± + () Εδικά αν οι εικόνες Μ και Ν των και και η αρχή Ο είναι σηµεία συνευθειακά τότε στην () ισχύει: Tο = δεξιά, αν τα διανύσµατα ΟΜ, ΟΝ είναι οµόρροπα Το = αριστερά, αν τα διανύσµατα αυτά είναι αντίρροπα Αν, δύο µιγαδικοί µε εικόνες Μ και Μ αντίστοιχα τότε (Μ Μ )= - Αν ο =α ο +β ο i και ρ ένας θετικός αριθµός τότε η εξίσωση = ρ παριστάνει κύκλο µε κέντρο Μ(x ο,ψ ο ) και ακτίνα ρ(σχήµα) 0 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΤΈΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΣΤΟ C Έστω η εξίσωση α +β+γ=0, α,β,γ Rκαι α 0 Αν >0,η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες, τις, = -β± α Aν = 0, η εξίσωση έχει µία ρίζα πραγµατική διπλή: 0 =- β α Αν <0,η εξίσωση έχει δύο ρίζες µιγαδικές συζυγείς:, = -β±i α ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [5] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ Για να βρω την τετραγωνική ρίζα ενός µιγαδικού αριθµού α+βi θεωρώ χ+ψi µια από αυτές και θέτω: (x+ψi) =α+βi απ όπου παίρνω: (x -ψ x -ψ =α )+xψi=α+βi Aπό το σύστηµα βρίσκω τα x και ψ xψ=β Παρατηρώ ότι κάθε µιγαδικός διάφορος του µηδενός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες Όταν η τιµή µίας παράστασης εξαρτάται από την δύναµη i ν, τότε θέτω ν=4κ+υ όπου υ=0,,, και εξετάζω τις περιπτώσεις ν=4κν=4κ+, ν=4κ+, ν=4κ+ Όταν θέλω να δείξω ότι ένας αριθµός είναι πραγµατικός τότε: φέρνω τον στη µορφή α+βi και δείχνω ότι το φανταστικό µέρος είναι 0 ή δείχνω ότι = ή = Όταν θέλω να δείξω ότι ένας µιγαδικός είναι φανταστικός τότε: είχνω ότι το πραγµατικό µέρος είναι 0 ή είχνω ότι =- ή =- Oταν σε ένα θέµα µιγαδικών υπάρχουν ένας η δύο µιγαδικοί τότε θέτω =α+βi και =γ+δi και παίρνω µια σχέση απλούστερη Ειδικά µια σχέση της µορφής f(, )= 0 λύνεται αν αντικαταστήσω =x+ψi Για να βρω το µέτρο του µιγαδικού =α+βi παίρνω = α +β Στα θέµατα που έχουν χρησιµοποιώ τη σχέση, αφού πρώτα υψώσω στο τετράγωνο Όταν ζητείται ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας ενός µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο ( η µε άλλα λόγια η γραµµή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του) τότε θέτω το µιγαδικό αυτό x+ψi και ή τον αντικαθιστώ από την αρχή µε x+ψi ή αν η δοσµένη σχέση περιέχει µέτρα, υψώνω πρώτα στο τετράγωνο λαµβάνοντας υπόψιν ότι = και αντικαθιστώ µε x+ψi στην απλούστερη σχέση που προκύπτει Οι γεωµετρικοί τόποι που προκύπτουν συνήθως είναι: Ευθεία της µορφής Αx+Βψ+Γ=0 η ψ=λx+β η ψ=α η x=α Κύκλος της µορφής x +ψ =ρ ( µε κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ) Κύκλος της µορφής (x-α) +(ψ-β) =ρ (µε κέντρο το Κ(α,β) και ακτίνα ρ ) Κύκλος της µορφής x +ψ +Αx+Βψ+Γ=0 µε Α +Β -4Γ 0 (οπότε έχει Α Β A +B -4Γ κέντρο το Κ(, ) και ακτίνα ρ= ) Παραβολή µε εξίσωση ψ =ρx ή x =ρψ x ψ Έλλειψη µε εξίσωση + = α β ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [6] ΚΕΦΑΛΑΙΟ x ψ Υπερβολή µε εξίσωση - = (Αν α=β η υπερβολή λέγεται α β ισοσκελής και έχει εξίσωση x -ψ =α ή ψ -x =α ) Αν έχουµε να υπολογίσουµε δυνάµεις µιγαδικών που οι βάσεις τους είναι: i) συζυγείς, τότε χρησιµοποιούµε την ταυτότητα: (α+βi)(α-βi)=α +β ii) αντισυζυγείς, δηλ α-βi και β+αi, τότε γράφουµε τον β+αi=i(α-βi) Για να βρω την µέγιστη ή την ελάχιστη τιµή του µέτρου ενός µιγαδικού µε εικόνα Ρ() στο µιγαδικό επίπεδο, τότε: α) Αν το Ρ κινείται σε ευθεία ε, τότε: min = d( O, ε) β) Αν το Ρ κινείται σε κύκλο (Κ,ρ), τότε: min = (OK)-ρ, max =(ΟΚ)+ρ γ) Αν το Ρ κινείται σε έλλειψη x ψ α β + =, β =α -γ, τότε: min = ( ΟΒ ) = ( ΟΒ ) = β, max = ( ΟΑ ) = ( ΟΑ ) = α, όπου Β, Β και Α, Α είναι οι κορυφές του µικρού και του µεγάλου άξονα αντίστοιχα δ) Αν το Ρ κινείται σε υπερβολή x ψ - =, β =γ -α, τότε: min =(ΟΑ )=(ΟΑ)=α, όπου Α και Α οι α β κορυφές της υπερβολής Για να βρω την µέγιστη ή την ελάχιστη τιµή του µέτρου της διαφοράς δύο µιγαδικών µε εικόνες Ρ και Ρ στο µιγαδικό επίπεδο, τότε: α) Αν τα Ρ και Ρ κινούνται σε δύο ευθείες παράλληλες ε και ε, τότε: min - =d(ε,ε ) β) Αν τα Ρ και Ρ κινούνται σε έναν κύκλο (Κ,ρ), τότε: min - =0 και max - =ρ γ) Αν τα Ρ και Ρ κινούνται, το ένα σε ευθεία ε και το άλλο σε κύκλο (Κ,ρ), τότε: min - = d( K,ε) -ρ δ) Αν τα Ρ και Ρ κινούνται σε κύκλους (Κ, ρ) και (Λ,r) αντίστοιχα, τότε: min - = ΚΛ -ρ-r, max - = ΚΛ +ρ+r ( ) ( ) ε) Αν τα Ρ και Ρ κινούνται σε µια έλλειψη x ψ α β + =, β =α -γ, τότε: min - =β, max - =α, όταν τα Ρ και Ρ είναι αντιδιαµετρικά σηµεία ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [7] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να γραφούν στη µορφή α+βi οι παραστάσεις: α ) (4-i)-(-7i+) β) (-i) -(+i) -i 4 γ) + + i (+ι) 5 δ) ε) 7+i 7-i + 7-i 7+i 4-4 + i - - i Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί x και ψ για τους οποίους ισχύει η ισότητα: (x-ψi) = xi Να βρεθούν τα α και β για τα οποία ισχύει: α) (α+βi)(+i)=-i β) (+i)α-(-4i)β=+i γ) α+βi=-i 4Να βρεθεί ο x Rγια τον οποίο ισχύει +xi =- (- i) -xi 5Nα βρείτε τα x και ψ Rώστε να ισχύει: (x+ψi)(-i)=x(x-4i)+iψ 6Να βρείτε τους ακέραιους x και ψ, ώστε ο αριθµός =(x +ψ -5)+(9-x -ψ )i είναι ο µηδενικός µιγαδικός 7Nα βρείτε τα x και ψ Rώστε να ισχύει: xi ψi 5 6i -7 i+ 8+i + = i - 8 είξτε ότι δεν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ και µ τέτοιοι, ώστε να ισχύει: 5i+7 λi(-i)=µ(+i)= i 9Αν α,β R, να αποδείξετε ότι: 0 0 (α+βi) +(β-αi) =0 0 Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των µιγαδικών,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα - Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και µόνον αν - R ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [8] ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν (-i) =, +i + + να υπολογίσετε: α) το Re, β) το Ιm Θεωρούµε τον µιγαδικό =x+ψi και έστω ότι για κάθε x, ψ, α R ισχύει: (x-ψ)+(4x-ψ )i=α+(α+7)i Nα αποδείξετε ότι για κάθε α R, το σύνολο των σηµείων Μ(), είναι κύκλος του οποίου να βρεθεί η εξίσωση Θεωρούµε τον µιγαδικό =x+ψi, x,ψ R 8i i) Να γράψετε τον w= στη µορφή α+βi, α,β R 6 ii) Αν το πραγµατικό µέρος του w είναι µηδέν, να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είναι κύκλος του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα 4 Να βρεθεί το σύνολο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου, για τα οποία ισχύει: i) Re( )=0, ii) Im( )=0 5 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί =x+ψi και w=, 0, x, ψ R Nα βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του όταν ο w είναι φανταστικός 6 είξτε ότι αν ο (8-i)i w= +6 είναι φανταστικός, τότε οι εικόνες του µιγαδικού =x+ψi στο µιγαδικό επίπεδο, ανήκουν σε κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 7 Αν α,β,γ Rκαι ισχύει η σχέση α+β-γi=5γ+(α-β) i, να αποδειχθεί ότι β+γ=α 8 Αν = (+i) -i - να βρεθούν τα Re(w) και Im(w), όπου w= + **************** 9 Να βρείτε τις τιµές της παράστασης Α= i τιµές του ν + i για τις διάφορες θετικές ακέραιες ν ν 4 ν 0 Να υπολογίσετε το άθροισµα: S=+ i+i +i +i +i,ν N ν ν ν Να βρείτε τις τιµές της παράστασης Α=( +i ) (+i ) (+i ),ν Ν Nα υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 0 + 05 + 64 - i i i i 56 Να αποδείξετε ότι αν ο w=(+i) v +(-i) v +i v είναι πραγµατικός αριθµός, τότε ο φυσικός αριθµός ν είναι άρτιος **************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [9] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Nα λυθεί η εξίσωση i-(- i) (+)=(-i) 5 Να λύσετε στο σύνολο C των µιγαδικών τις εξισώσεις: α) =, β) -i+7=i-, γ) i-= +i -i 6 Nα λύσετε στο C την εξίσωση: i+λ =-λi (λ R) 7 Nα λύσετε την εξίσωση -6- + 5= 0 8 Nα λύσετε στο C τις εξισώσεις: α) = 8 4i, β) + = 0 9 Nα λύσετε τις εξισώσεις: α) x +x+=0, β) x +x+=0, γ) x +5=0, x -x+=0 0 Να βρεθούν τα α και β ώστε η εξίσωση x +αx+β=0 να έχει ρίζα τον αριθµό -i ****************** Να υπολογίσετε τα µέτρα των µιγαδικών: i i) +i, ii) - i, iii) +, iv) συνθ+ηµθi, v) -iεφθ, vi) Nα υπολογίσετε τα µέτρα των µιγαδικών: 8 v (+i) (+i) i) =, ii) =, iii) v, iv) (-i) (-i) Aν + =, να αποδείξετε ότι Re( ) = + α i α + α 4 Nα παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο τους µιγαδικούς για τους οποίους είναι: α) =, β) + 4i = 4, γ) i, δ) + i 5 Aν είναι =, να αποδείξετε ότι = και να βρείτε το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών 9 6 Αν είναι =,( ), να αποδείξετε ότι η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο γράφει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα 7 Nα βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού στο επίπεδο όταν οι εικόνες των παρακάτω µιγαδικών είναι συνευθειακά σηµεία: i) i,, i ii), +i, i+ 8 Αν η εικόνα του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία ε: ψ=x- 005 να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του µιγαδικού w=i-(-i) i ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [0] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Να λύσετε την εξίσωση: συν π π θ -συνθ +(5-4συν θ)=0, αν, - <θ< π π Έπειτα να αποδείξετε ότι καθώς το θ µεταβάλλεται στο διάστηµα -,, οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης κινούνται σε µία υπερβολή 40 Έστω ο µιγαδικός =λ-+(λ-)i, λ R α) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού w= i γ) Να βρείτε το µιγαδικό που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή των αξόνων 4 α) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο C των εικόνων του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει ( i ) = β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού w για τον οποίο ισχύει w+i = w-+4i γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή του w 4 Αν = = =α>0 και + + =0, να αποδείξετε ότι: - = - = - Αν οι µιγαδικοί αυτοί είναι ανά δύο διαφορετικοί, δείξτε ότι ανήκουν στον ίδιο γεωµετρικό τόπο και βρείτε τη σχετική θέση των εικόνων τους πάνω σε αυτόν 4 Nα δείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει () -(+) =0, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα 44 Για τους µιγαδικούς ισχύει: = Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών w=- 45 Αν η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Κ(0,) και ακτίνας ρ= να βρείτε που ανήκει η εικόνα του µιγαδικού w= i + 4i 46 Για τα σηµεία Μ(x,ψ) του µιγαδικού επιπέδου ισχύει: =(x-)+(ψ+)i και 6 4i = 6 Να βρείτε την εξίσωση της γραµµής πάνω στην οποία κινούνται τα σηµεία αυτά 47 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών για τους οποίους ισχύει: α) β) + -4(+)=, +Im()=Re() 48 Να βρείτε που βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών για τους οποίους ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ α) (+i) ν = -i +i β) ( ) 5 -i 7 (-i)- = +i 49 Αν w=α+βi, να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει: -w-w+ww-=0 50 Έστω ο µιγαδικός =χ+ψi και οι µιγαδικοί = x ( ψ + ) i και λ * * = x + λ ( ψ ) i, λ R Να δείξετε ότι αν το λ R και ισχύει = i, τότε η εικόνα Ρ του στο µιγαδικό επίπεδο κινείται σε µία υπερβολή 5 ίνονται οι µιγαδικοί =α+βi, όπου α,β Rκαι w= i+ 4, όπου ο συζυγής του α) Να αποδείξετε ότι Re(w)=α-β+4, Im(w)=β-α β) Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση ψ=x-, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση ψ=x- γ) Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση ψ=x- έχει το ελάχιστο µέτρο ( ο θέµα πανελληνίων εξετάσεων του 00) 6-5i 6+5i 5 Αν =, =, +5i -5i είναι φανταστικός ***************** να δείξετε ότι ο + είναι πραγµατικός, ενώ, ο - 5 α) Αν = (7+ i 5) (7 i 5), δείξτε ότι I ν ν β) Αν w= ( 4i) + (+ 4i), ν N, δείξτε ότι w R 54 Αν, διαφορετικοί µιγαδικοί και ο αριθµός να αποδείξετε ότι = και αντιστρόφως i( + ) w= είναι πραγµατικός - 55 Να αποδείξετε ότι το άθροισµα και η διαφορά δύο µη µηδενικών µιγαδικών έχουν το ίδιο µέτρο, αν και µόνον αν, το πηλίκο τους είναι φανταστικός αριθµός 56 Έστω ο µιγαδικός αριθµός και ο πραγµατικός αριθµός α 0, µε ai Για τον + ai αριθµό w=, να αποδείξετε ότι: i+ a i) ο w είναι φανταστικός, αν και µόνον αν, ο είναι φανταστικός ii) είναι w =, αν και µόνον αν, ο είναι πραγµατικός 57 α) Αν Cκαι - w=, + να δείξετε ότι: w I ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ i β) Αν Cκαι w=, να δείξετε ότι: w R i + γ) Αν, C µε = = k να δείξετε ότι ο µιγαδικός w= I 58 Έστω ο µιγαδικός 0 Nα αποδείξετε ότι ο w = + είναι πραγµατικός * 59 Έστω C α) Aν w = +, να αποδείξετε ότι: w R R, η, = β) Αν w=, να αποδείξετε ότι: w I I, η, = ****************** 60 Αν x+ψi=(-5i) ν *, χ,ψ Rκαι ν N, να αποδείξετε ότι: x +ψ =9 ν 6 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) (-i) 5 5, β) (-i ) 6 4 4 ( x i), γ) ( i ) (+ i), δ), x R 6 (+ xi) ν * 6 Έστω C και f ( ) =, ν N α) γιά ν=4 να υπολογίσετε την παράσταση f ( + i) + f ( i) β) να βρείτε το ν ώστε: f ( + i) + f ( i) = 0 α+ βi 6 Έστω =, α,β,γ,δ R γ + δi α) Να βρείτε το Re() και το Im() β) Αν Μ,Μ οι εικόνες των µιγαδικών α+βi και γ+δi στο µιγαδικό επίπεδο αντιστοίχως, να δείξετε ότι: τα σηµεία Ο, Μ, Μ είναι συνευθειακά, αν και µόνον αν, ο είναι πραγµατικός * λ+ i i λ 64 Αν λ Rκαι ν N, να δείξετε ότι: + = λi + λi 65 Aν µιγαδικός και ν f ( ν ) = i, ν N * τότε: * α) να δείξετε ότι: f (4λ) + f (4λ+ ) + f (4λ+ ) + f (4λ+ ) = 0, λ Ν β) αν =+i, να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τις εικόνες των µιγαδικών 0,, f ( 4λ+ ) 66 Έστω C και f()= ++ α) να βρείτε τους x,ψ Rώστε f(x-ψi)= β) να λύσετε την εξίσωση f()=0 γ) να βρείτε τους α,β Rώστε η εξίσωση f()=α+β να έχει ρίζα τον -i 4ν 4ν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ δ) αν η ρίζα της εξίσωσης f()=+ µε Im( ) 0, να υπολογίσετε την 5 παράσταση Α= + 74 67 Έστω C και f()= + i α) να δείξετε ότι: Re(f())=Re()[-Im()] β) αν οι εικόνες του f() κινούνται στον άξονα ψ ψ να βρείτε που κινούνται οι εικόνες του * ν ν γ) αν ν N και f( i ) = i( ), να βρείτε την ελάχιστη τιµή του ν ( i)( + i) 68 Έστω η συνάρτηση f ( ) =, Cκαι Re() 0 + α) να δείξετε ότι: f = f ( ) β) να δείξετε ότι f R i γ) να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει: i Re f = Im f + Re( ) + i 69 Έστω C και w=, i i+ α) να βρείτε το γεωµετρικό τόπο C των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει: w = β) να βρείτε το γεωµετρικό τόπο C των εικόνων του w στο µιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει: += γ) αν η εικόνα του κινείται στο C και η εικόνα του κινείται στο C να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του ******************* 70 Για κάθε, C να αποδείξετε ότι: + = + 7 Για κάθε, C να αποδείξετε ότι: α) ± = + ± Re( ) β) + + = ( + ) 7 Αν C να δείξετε ότι: α) Αν = και w=-4i, τότε: + w 7 β) Αν = 4και w=9-i, τότε: w 9 γ) Αν i =, τότε: 4 + 4+ i 6 δ) Αν + i =, τότε: 4+ 6i 8 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [4] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Για κάθε, C, να αποδείξετε ότι: + ( + ) ( + ) 74 Αν,, C, να δείξετε ότι: + + = + +, 75 Αν για τους µιγαδικούς,w ισχύει: + w = = w, να δειχθεί ότι: w = w 76 Αν, w Cκαι ισχύει: =, να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους w και w έχει µέτρο ίσο µε 77 Να βρείτε το ν σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) (+i) ν =6, β) ( i) ν ν ν = 8i, γ) 8i(+ i) = ( i) 78 Aν µιγαδικός µε Re =, τότε: 4 α) Αν Im()=, να βρείτε το Re() β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο γ) Αν και µιγαδικοί µε Re =Re =, να βρείτε την µέγιστη και την 4 ελάχιστη τιµή του 79 α) Να λύσετε την εξίσωση -(συνθ)+=0, θ [ π) 0, β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης βρίσκονται στον µοναδιαίο κύκλο γ) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε το θ [ 0,π) ώστε το µέτρο να παίρνει την µέγιστη τιµή 80 Για τους µιγαδικούς αριθµούς και w ισχύουν οι σχέσεις: --6i = -4 () και w+i = w-i +7 () α) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των Μ() β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των Ν(w) γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή του w 8 Έστω οι µιγαδικοί και µε = = α) Να αποδείξετε ότι: = β) Να αποδείξετε ότι: + + - = + - + γ) Να αποδείξετε ότι: + + -=0 + +- +=0 δ) Αν + + = να βρείτε τους και ****************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [5] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5 α) +5i, β) -6i, γ) + i, δ), ε) 0 0 Αν x==0 τότε ψ=0 και αν ψ=- 4 τότε x= ± 6 α) α= και β=-, β) α=/ και β=/8 γ) α=0 και β=- 4 x= 5 (x,ψ)=(0,0) ή (-,) ή (,-) ή (5,5) 6 (x,ψ)=(,) ή (,) 7 x=0, ψ=- λ µ = 5 8 7 λ µ = αδύνατο 9 Ισχύει ότι β-αi=i(α+βi) 0 ΑΒ // ΑΓ ΑΒ= λαγ (O σηµείο αναφοράς) α=-, β=- (x-) +ψ =6 ii) Re(w)=0 x +ψ -6x-8ψ=0 Κ(,4) και ρ=5 4 i) ψ=± x, ii) x=0 και ψ=0 5 Ο άξονας ψ ψ εκτός από το σηµείο Ο(0,0) και ο κύκλος x +ψ = 6 C: (x+) +(ψ+4) =5 7 Iσότητα µιγαδικών Βρίσκω πρώτα: α=γ, β=γ άρα β+γ= =4γ=α 8 Re(w)=, 5 Im(w)= 4 5, αν ν= 4κ -+ i, αν ν= 4κ+ 9 A= 0, aν ν= 4κ+ --i, αν ν= κ+, αν ν = 4κ i, αν ν = 4κ + 0 S= i, αν ν= 4κ+ 0, αν ν= 4κ+ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [6] ΚΕΦΑΛΑΙΟ A= 8, αν ν = 4 κ 0, αλλού -i =(-) ν ν άρτιος 4 7 9 = i 7 7 5 α) =0 ή = β) = i 5 5 γ) = i λ 6 Θέτω =x+ψi Άρα: x= -, λ + 4 λ λ 4 + ψ= - + 7 =+4i, =-4i 8 α) =-+4i β) =0, =i, =-i ± i 9 α) x=, β) x= ± i ± i 7 γ) x= ± 5i, δ) x= 0 α=-6, β= i) 5, ii), iii), iv), v), συνθ vi) i) 8, ii), iii) 8, iv) 8 Υψώνω στο τετράγωνο και τελικά βρίσκω: + = 4 α) Κύκλος κέντρου 0(0, 0), ρ= β) Κύκλος κέντρου Κ(/,-) ρ= γ) Κυκλικός δίσκος κέντρου Κ(0, ), ρ= δ) κυκλικός δακτύλιος κέντρου Κ(-) ρ =, ρ = 5 θέτω =x+ψi και καταλήγω στη σχέση (x-) +ψ = = Άρα κύκλος κέντρου Κ(,0), ρ= 6 Κύκλος κέντρου Ο(00), ρ= 7 i) Οι εικόνες των µιγαδικών είναι τα σηµεία Α(0,), Β(x,ψ), Γ(-ψ,x) ψ ΑΒ = ( x,ψ-),αγ = ( ψ, x ) Άρα x + = 0 x +ψ -x-ψ=0 Κύκλος κέντρου ψ x- Κ(, ), ρ= 8 Eυθεία : ψ=-4x- ii) Κύκλος κέντρου Κ(, ), ρ= ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [7] ΚΕΦΑΛΑΙΟ συνθ 9 i) Οι λύσεις της εξίσωσης είναι: = ± ( εφθ) ψ ii) x = 4 40 α) ψ=x- β) x= γ) = i 4 α) Κύκλος κέντρου Κ(,), ρ= β) Ευθεία: x-ψ-4=0 γ) min w = 4 Αντικαθιστώ =- - και ανά δύο δείχνω ότι αληθεύουν Βρίσκονται στον κύκλο Ο(0,0), ρ=α και σχηµατίζουν ισόπλευρο τρίγωνο 4 Κύκλος κέντρου Κ(/,0), ρ=/ 44 Κύκλος κέντρου Κ(,0), ρ=6 45 Κύκλος κέντρου Κ(,0), ρ= 46 Κύκλος κέντρου Κ(,-/), ρ= 5 47 α) Παραβολή ψ =- x β) Κύκλος κέντρου Κ,, ρ = 48 α) Κύκλος κέντρου Κ(0,), ρ= β) Κύκλος κέντρου Κ(, ), ρ= 49 Κύκλος κέντρου Κ(α, β), ρ= 50 Υπερβολή ψ -x = 5 Στις απαντήσεις των θεµάτων: «Πανελλήνιες 00» 5 είχνω ότι: + = + και ( ) = 5 α) είχνω ότι: = β) είχνω ότι: w= w 54 R w= w w = = = I aντικατάσταση w= = w w= w 55 + = 56 ι) w w = = ιι) w = = 57 α) είξτε ότι: w w γ) είξτε ότι: w= w = β) είξτε ότι: w= w i ή θέτω 58 Έστω κ = κ = και δείχνω ότι: w= w ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [8] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 59 α) w R w= w = ή = β) w I w= w = ή = v 60 x+ ψi = 5 i x + ψ = 9 v x 6 α) 8(+i) β) 64 γ) 65 δ) i x + 4 x + 4 6 α) 8 β) ν=4κ+ κ N αγ+ βδ βγ-αδ 6 Re( ) =, Ι m( ) = Μ (α,β), Μ (γ,δ), Ο(0,0) συνευθειακά αδ -βγ = 0 γ + δ γ + δ 64 aγ+ βδ Άρα = R γ + δ 4v 4v i( λi) 4v = = i = λ+ i -λi -λi Όµοια η άλλη παράσταση =, άρα 65 α) Αντικατάσταση και πράξεις β) Ο(0,0), Α(, ), B (,) (ΟΑΒ)= det(οα, ΟΒ ) = = τ µ 66 α) x=-, ψ=0 β) - ± i γ) α=4, β=- δ) Α=-i 67 α)θέτω =α+βi και αντικαθιστώ β) Οι εικόνες του κινούνται στις ευθείες x=0 και ψ=/ γ) ν= 68 α) Αντικαθιστώ όπου το x + και ψ= - χ + ψ= β) είχνω ότι: f = f i i γ) 69 α) Κύκλος κέντρου Κ, ρ = 4 4 γ) Μέγιστη τιµή 9+ 4 70 + = + =, ελάχιστη τιµή 9 4 β) Κύκλος κέντρου Λ(-,), ρ= 7 α) Ιδιότητα w = ww w+ w και Re( w) = β) Ιδιότητα w = ww 7 α) Στηριζόµαστε στην ιδιότητα w ± w + w β) Όµοια γ) Γράφουµε: + 4+ i = ( i) + (4+ i) και εφαρµόζουµε την προηγούµενη ιδιότητα δ) Γράφουµε: 4+ 6 i = ( + i) + ( + i) και εφαρµόζουµε την προηγούµενη ιδιότητα 7 Παίρνω και τα δύο µέλη και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα w = ww καταλήγω σε 74 προφανή ανισότητα κ = κ = κ = Όµοια = λ και = µ Άρα: + + = + + = 75 Με ύψωση στο τετράγωνο της δοθείσας σχέσης βρίσκω: w+ w= ww= Εποµένως: ( )( ) w = w w = = 76 Υψώνω στο τετράγωνο και µε ισοδυναµίες τελικά καταλήγω: ( )( ww ) = 0 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [9] ΚΕΦΑΛΑΙΟ v v 77 α) + i = 6 = 6 ν=8 β) ν= γ) ν=6 ********* ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 405 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 6970667