Οµογενής σφαίρα µάζας Μ και ακτίνας R, ηρε µεί σε οριζόντιο επίπεδο, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τρι βής ολίσθησης n. Μικρό βλήµα µάζας m, κινούµενο οριζοντίως µε ταχύτητα v διαπερνά ακαριαία τη σφαίρα διερχόµενο άνωθεν του κέντρου της σε απόσταση h=r/5 από αυτό, µε ταχύτητα v /. i) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας και την γωνιακή της ταχύτητα αµέσως µετά την κρούση της µε το βλήµα. ii) Nα δείξετε ότι η σφαίρα στην τελική της κατάσταση θα κυλίεται ισοταχώς επί του οριζόντιου επιπέδου και να υπολογίσετε τον χρό νο στον οποίο θα συµβεί αυτό. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που διαρκεί το πέρασµα του βλήµατος µέσα από τη σφαίρα, η ορµή του συστήµατος βλήµα-σφαίρα δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: m v = m v / + M V m v / = M V V = m v /M V = mv /M (1) όπου V η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας αµέσως µετά την έξοδο του βλήµατος από αυτήν. Όµως κατά τον χρόνο Δt ισχύει για το σύστηµα και η αρχή διατήρησης της στροφορµής περί το κέντρο, οπότε θα έχουµε τη σχέση: mv h = I + mv h/ mv h / = 5MR / mv R 1 = MR 5 = mv 4MR όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας αµέσως µετά την έξοδο του βλήµατος. ii) Από τις σχέσεις (1) και () παρατηρούµε ότι ισχύει ω R<V που σηµαίνει ()
ότι το σηµείο επαφής Α της σφαίρας µε το έδαφος την στιγµή που εξέρχεται το βλήµα έχει ταχύτητα οµόρροπη της V µε µέτρο: V A = V - R = mv M - mv 4M = mv 4M Έτσι η τριβή T που δέχεται η σφαίρα από το έδαφος θα είναι τριβή ολίσθη σης µε φορά αντίθετη της V, η οποία τριβή θα επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση της σφαίρας, ενώ θα επιταχύνει την περιστροφή της περί το κέντρο, διότι η ροπή της ως προς το είναι οµόρροπη της. Εφαφµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της σφαίρας τον δεύτερο νόµο του Νέυτωνα και για την περιστροφή της περι το τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: T = Ma " TR = I ' $ nmg = Ma " nmgr = MR '/5 $ a = ng " '= 5ng/R $ όπου a η επιβράδυνση του κέντρου µάζας και ' η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής της σφαίρας περί το. Από τις σχέσεις (4) παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα a και ' είναι σταθερά, που σηµαίνει ότι η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη και η περιστροφή της οµαλά επιταχύνόµενη. Εάν λοιπόν V είναι η ταχύτητα του κεντρου ύστερα από χρόνο t µετά την έναρξη της κίνησης της σφαίρας και η αντίστοιχη γωνιακή της ταχύτητα, θα ισχύουν οι σχέσεις: (4) V = V - a t = + 't " $ (4) V = V - ngt " = + 5ngt/R$ (5) Από τις σχέσεις (5) διαπυστώνουµε ότι υπάρχει χρονική στιγµή t * για την οποιά ισχύει: ωr = V (6) Τη στιγµή αυτή το σηµείο επαφής Α της σφαίρας µε το έδαφος αποκτά µηδε νική ταχύτητα, δηλαδή τη στιγµή αυτή παύει η ολισθησή της και η σφαίρα αρχίζει να κυλίεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Όµως κατά την κίνηση αυτή η τριβή T είναι µηδενική, διότι στην έναρξη της κύλισης η σφαίρα δεν τείνει να ολισθήσει επί του εδάφους. Όλα τα παραπάνω εγγυώνται ότι η σφαίρα θα κυλίεται ισοταχώς επί του εδάφους. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε:
V - ngt * = R( + 5ngt * /R) V - ngt * = R + 5ngt * / (5ng/ + ng)t * = V - R t * = (V - R ) 7ng t * = mv 4M7ng = mv 14Mng P.M. fysikos Σφαίρα µάζας m και ακτίνας R, ολισθαίνει σε απολύτως λείο οριζόντιο έδαφος µε ταχύτητα v. Τη χρονική στιγµή t= η σφαίρα φθάνει σε σηµείο µετά από το οποίο το έδαφος γίνεται τραχύ µε συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Τι ποσοστό της µηχανικής ενέρ γειας της σφαίρας θα µετατραπεί σε θερµότητα κατά την κίνησή της στο τραχύ µέρος του οριζοντίου εδάφους; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Όταν η σφαίρα βρεθεί στο τραχύ έδαφος δέχεται από αυτό δύνα µη που αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T και στην κάθετη αντίδραση N. Επειδή η τριβή παρουσιάζει ως προς το κέντρο της σφαίρας ροπή, η σφαίρα αποκτά περιστροφική κίνηση περί το κέντρο της µε αυξανόµενη γωνιακή ταχύτητα. Όµως η τριβή επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση της σφαίρας µε αποτέλεσµα η ταχύτητα του κέντρου της να µειώνεται. Εφαφµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της σφαίρας τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή της περι το τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: T = ma " TR = I ' $ nn = ma " nnr = mr '/5 $ nmg = ma " nmgr = mr '/5 $ a = ng " '= 5ng/R $ όπου a, ' η γραµµική και η γωνιακή επιτάχυνση αντιστοίχως της σφαί ρας. Από τις σχέσεις (1) παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα a και ' είναι σταθερά, που σηµαίνει ότι η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά (1)
επιβραδυνόµενη και η περιστροφή της οµαλά επιταχυνόµενη. Έτσι αν v, είναι η γραµµική και η γωνιακή ταχύτητα αντιστοίχως της σφαίρας µετά από χρόνο t αφότου βρέθηκε στο τραχύ έδαφος, θα έχουµε τις σχέσεις: v = v - a t" = 't $ (1) v = v - ng " = 5ngt/R$ () Παρατηρούµε από τις σχέσεις () ότι υπάρχει χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει ωr=v, Τη στιγµή αυτή µηδενίζεται η ταχύτητα του σηµείου επαφής Α της σφαίρας µε το έδαφος, οπότε αυτή παύει να ολισθαίνει και συνεχίζει την κίνησή της κυλιοµένη ισοταχώς πάνω σ αυτό, αφού η τριβή T την στιγµή t * µηδενίζεται. Έτσι θα έχουµε: v - ngt * = 5ngt * / v = 7ngt * / t * = v /7ng Άρα τελικώς τα µέτρα των διανυσµάτων v και είναι: v * = 5v 7 και * = 5ng R " v 7ng = 5v 7R ii) H θερµότητα Q που παράγεται κατά τον χρόνο t * λόγω της τριβής ολίσ θησης είναι: Q = mv - mv * - I * Q = mv - mv * - m R * 5 Q = mv - mv * - m v * 5 = m v - v $ * " 5 & % Q = m v - 5 5v " % $ 49 & ' = mv " 1-1 % $ ' = K 39 49& 49 Q K = 39 49 όπου Κ η κινητική ενέργεια της σφαίρας τη στιγµή που συναντά το τραχύ έδαφος. P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος µήκους L και µάζας M, στρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο περί νοητό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της, µε σταθερή γωνια κή ταχύτητα. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το άκρο Α της ράβδου συγκρούεται µε µικρό σφαιρίδιο Σ µάζας m<m/4, που βρίσκεται σε ηρεµία πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. i) Εάν η κρούση της ράβδου µε το σφαιρίδιο είναι τελείως ελαστι κή, να µελετηθεί η κίνηση της ράβδου µετά την κρούση της µε το
σφαιρίδιο. ii) Nα βρείτε σε συνάρτηση µε το χρόνο την απόσταση του σφαιριδί ου από το κέντρο µάζας της ράβδου. iii) Nα βρείτε ένα τρόπο υπολογισµού του χρόνου που απαιτείται µεχρις ότου η ράβδος µετά την κρούση γίνει συνευθειακή µε την διεύθυνση σφαιριδίου-κέντρου µάζας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =ML /1 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το µέσο της και είναι κάθετος στη ράβδο. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρούση της ράβδου µε το σφαιρίδιο η ορµη του συστήµατος ράβδος-σφαιριδιο δεν µεταβάλλεται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: + = m v + M v m v = -M v v = Mv /m (1) Σχήµα 1 όπου v, v οι ταχύτητες του κέντρου µάζας της ράβδου και του σφαιρι δίου αντιστοίχως αµέσως µετά την κρούση. Eπίσης κατά τον χρόνο Δt ισχύει η αρχή διατηρήσεως της στροφορµής του συστήµατος περί το κεντρο µάζας της ράβδου, οπότε µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: + I = mv L/ + I ML 1 = mv L + ML 1 ML( - ) = 6mv - = 6mv / ML () όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου λίγο πριν την κρούση και η γω νιακή της ταχύτητα αµέσως µετά την κρούση. Εξάλλου επειδή η κρούση του σφαιριδίου µε την σφαίρα είναι τελείως ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος δεν µεταβάλλεται κατά τον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση:
+ I =mv " +I +Mv ML 1 =mv " + ML 1 +Mv ML ( - ) = 1mv " + 1Mv - = 1m ML v " + 1 (1) L v - = 1M ml v + 1 L v - = 1 L " M $ m + 1 % ' v & Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων (1), (), βρίσκουµε: v = ml M + 4m, v = ML" M + 4m, = (M - m) M + 4m (4) Σχήµα Eπειδή τα δεδοµένα της άσκησης εγγυώνται ότι Μ>m, από την τρίτη εκ των εξισώσεων (4) προκύπτει ω> και ω<ω, που σηµαίνει ότι η ράβδος µετά την κρούση θα περιστρέφεται κατά τη φορά της και επειδή οι ροπές των δυνάµεων που δέχεται περί το κέντρο µάζας της είναι µηδενικές, η γωνιακή της ταχύτητα θα είναι σταθερή και ίση µε. Εξάλλου η ράβδος θα εκτελεί και µεταφορική κίνηση µε σταθερή ταχύτητα v, η οποία κατευθύνεται αντίρροπα προς την ταχύτητα v A του άκρου της Α κατά τη χρονική στιγµή t=. Τέλος το σφαιρίδιο µετά την κρούση του θα κινείται ευθύγραµµα και οµαλά πάνω στον φορέα της v A, µε ταχύτητα v. ii) Ύστερα από χρόνο t µετά την κρούση, το κέντρο µάζας της ράβδου θα έχει µετατοπιστεί κατά το διάνυσµα v t, η δε αντίστοιχη µετατόπιση του σφαιριδίου θα είναι v t (σχήµα ). Η απόσταση x του σφαιριδίου από το κέν τρο µάζας τη στιγµή t είναι: (4) x = t t = ( t M) + ( t M) x = (v t + v t) + (L/) x = " L % $ ' M + 4m& ( M + m) t + L 4 (5)
iii) Τη στιγµή t που η ράβδος θα γίνει για πρώτη φορά µετά την κρούση συνευθειακή µε την t Σ t, η ράβδος θα έχει στραφεί από την αρχική της θέση ΑΒ κατά γωνία φ=ωt και θα ισχύει η σχέση: "(t) = tm $ t M = v t L/ = v t L "(t) = m M + 4m t (6) Σχήµα 3 H (6) είναι µια εξίσωση που δεν λύνεται µε αλγεβρικό τρόπο, αλλά µόνο µε γραφική µέθοδο. Συγκεκριµένα θεωρούµε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f 1 (t)=εφ(ωt) και f (t)=mω t/(m+m), όπως φαίνεται στο σχήµα. Η τετµηµένη του σηµείου τοµής M * των δύο αυτών γραφικών παρα στάσεων δίνει τον ζητούµενο χρόνο t *. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι µπορούµε να υπολογίσουµε τον χρόνο t * µε όση ακρίβεια επιθυµούµε, αν χρησιµοποιή σουµε ηλεκτρονικό υπολογιστή που διαθέτει κατάλληλο µαθηµατικό πρόγ ραµµα. P.M. fysikos Δύο ακριβώς όµοιοι κύλινδροι στρέφονται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα περί τους γεωµετρικούς τους άξονες, οι οποίοι είναι σταθεροί και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο σε ορισµένη απόσταση µεταξύ τους. Ένα ξύλινο δοκάρι σταθερής δια τοµής σε όλο το µήκος του, τοποθετείται πάνω στους κυλίνδρους κάθετα στους άξονες περιστροφής τους, ώστε το κέντρο του να ισα πέχει απο τις ευθείες επαφής του µε τις επιφάνειες των κυλίν δρων. Εάν το δοκάρι µεταφέρεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στους κυλίνδρους να δείξετε ότι η κινητική ενέργεια που αποκτά το δοκάρι αµέσως µετά την επαφή του µε τους κυλίνδρους δεν µπορεί να υπερβαίνει το 1/8 της αρχικής κινητικής ενέργειας των δύο κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας κυλίνδρου µάζας m και ακτίνας R, ως προς τον γεωµετρικό του άξονα, είναι ίση µε mr /. ΛYΣH Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η τοποθέτηση του δοκα ριού πάνω στους δύο περιστρεφόµενους κυλίνδρους το σύστηµα δέχεται ως
εξωτερικές δυνάµεις τα βάρη w των δύο κυλίνδρων, το βάρος W του δοκα ριού και τις αντιδράσεις των αξόνων περιστροφής των κυλίνδρων. Οι οποίες αναλύονται στις οριζόντιες συνιστώσες f 1, f, και στις κατακόρυφες συνιστώ σες A 1, A. Οι ροπές των δυνάµεων αυτών περι το µέσο Κ της ευθείας που συνδέει τα κέντρα µάζας των δύο κυλίνδρων έχουν µηδενική συνισταµένη, που σηµαίνει ότι η στροφορµή του συστήµατος περί το Κ δεν µεταβάλλεται στη διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: (K) L "$ %&"' = L (K) (µ)*+, µ)-( (K) L "$ %&"' (K) = L (µ)*+, µ)-( mr + = mr + Mv " R mr = mr + Mv " (1) όπου m, M η µάζα κάθε κυλίνδρου και του δοκαριού αντιστοίχως, v η ταχύτητα του δοκαριού αµέσως µετά την τοποθέτησή του πάνω στους δύο κυλίνδρους και, οι γωνιακές ταχύτητες των κυλίνδρων στην αρχή και στο τέλος του χρόνου Δt. Eπειδή το δοκάρι δεν ολισθαίνει ισχύει η σχέ ση v Δ =ωr, οπότε η (1) γράφεται: mr = mv " + Mv " mr = (m + M)v " v = mr" m + M () H κινητική ενέργεια Κ Δ του δοκαριού αµέσως µετά την τοποθέτησή του δίνεται από τη σχέση: K = Mv () K = M mr" & % ( $ m + M' H κινητική ενέργεια Κ αρχ των δύο περιστρεφόµενων κυλίνδρων πριν την το ποθέτησή του δοκαριού είναι: K " = mr $ = mr $ (4) Eάν x είναι το κλάσµα Κ Δ /Κ αρχ θα έχουµε: x = K,(4) K "$ x = M(mR ) / (M + m) mr = Mm (M + m)
(M + m) x =Mm xm + xm + 4xmM = mm xm + (4x - 1)mM + xm = (5) H (5) αποτελεί µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς Μ και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσά της να είναι µη αρνητική, που σηµαίνει αποδοχή της σχέσεως: (4x - 1) m - 16x m 16x - 8x + 1-16x x 1/ 8 K / K "$ % 1/ 8 K " K $% / 8 P.M. fysikos H ράβδος ΑΒ του σχήµατος είναι οµογενής και στηρίζεται µε το άκρο της Β επί λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ=π/4 ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Α ακουµπάει σε τραχύ κεκλιµένο επίπεδο της ίδιας κλίσεως φ=π/4 ως προς τον ορίζοντα, µε το οποίο παρουιάζει συντελεστή οριακής τριβής n. Να βρείτε για ποιές τιµές της γωνίας θ είναι δυνατή η ισορροπία της ράβδου. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε ότι η ράβδος ισορροπεί για µια επιτρεπόµενη τιµή της γωνίας θ και ότι το άκρο της Α τείνει να ολισθήσει προς τα κάτω. Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της w, η αντίδραση F του κεκλιµένου επιπέδου στο άκρο της Β, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο κεκλιµένο επίπεδο και αντίδραση R στο άκρο της Α, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων των δυνάµεων F και w, αναλύεται δε στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Λόγω της ισορροπίας της ράβ δου ισχύουν οι σχέσεις: F(x) = -w x + N = N = w"$ = w / (1) F(y) = T - w y + F = T= wµ" - F=w / -F ()
" (A ) = w L µ " + wµ " + ( ) - FLµ ' $ - ( ) = F$%& F = wµ ( " + ) % & $%& ( * = ) όπου w x, w y οι συνιστώσες του βάρους w της ράβδου κατα τους άξονες x και y αντιστοίχως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και παίρνουµε: T = w wµ ("/4 + ) - $%& ( ) ' = w µ "/4 + * ) -, () $%& +, Όµως η τριβή T είναι στατική τριβή, δηλαδή το µέτρο της ακολουθεί τη σχέ ση: (1),(4) T < nn µ ("/4 + ) - $%& ( ) ' w µ "/4 + * ) -, () $%& +, < n < nw (4) ( 1 - n )"$ < "$ + %µ$ ( 1 - n)"$ < "$ + %µ$ ( 1 - n) < 1 + " " > 1 - n H περίπτωση που εξετάσθηκε πιό πάνω αντιστοιχεί όταν το άκρο Α της ράβδου τείνει να ολισθήσει πρός τα κάτω. Με τον ίδιο τρόπο εξετάζεται η περίπτωση που το άκρο Α τείνει να ολισθήσει πρός τα πάνω, οπότε η τριβή T έχει αντίθετη φορά από εκείνη που φαίνεται στο σχήµα. Ο υπολογισµός δίνει τελικά ότι: εφθ < 1 + n Άρα οι επιτρεπτές τιµές της γωνίας θ για τις οποίες η ράβδος ισορροπεί, αντι στοιχούν στις σχέσεις: 1 - n < " < 1 + n P.M. fysikos Οµογενής λεπτή ράβδος µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέ φεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο Ο. Η ράβδος κρατείται σε οριζόντια θέση και
κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη. Όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία φ<π/ ενεργεί στο ελεύθερο άκρο της Α δύναµη κρού σεως βραχείας διάρκειας, η οποία ακινητοποιεί το άκρο αυτό, ενώ την ίδια στιγµή αφαιρείται ο άξονας περιστροφής της ράβδου. Εάν g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας να βρεθούν: i) η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου αµέσως µετά την κρούση και ii) η ώθηση της δύναµης κρούσεως. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που ενεργεί η δύναµη κρούσεως στο άκρο Α της ράβδου, η στροφορµή της περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στη ράβδο διατηρείται σταθερή (η ώθη ση της ροπής του βάρους w της ράβδου ως προς τον άξονα αυτόν είναι ασή µαντη, διότι ισχύει wlσυνφδt/ ). Έτσι θα έχουµε τη σχέση: A L "$ %&"' = L A (µ)*+, µ)-( L + L "$ %&"' = I A ( (1) όπου L η στροφορµή του κέντρου µάζας της ράβδου λίγο πρίν την κρόυση, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου και Ι Α η ροπή αδράνειας αυτής ως προς άξονα παράλληλο στον αρχικό και διερχόµενο από το άκρο Α. Η σχέση (1) γράφεται: - mv L - 4 k + k + I = I A - m L 1 = L k + ml 1 = ml 3 3-3 k + = 4 () όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής της ράβδου, του οποίου η φορά ελήφθη συµβατικά ίδια µε τη φορά της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου λίγο πριν την κρούση. Όµως ισχύει k =, οπό τε η () γράφεται: -3 + = 4 = - /
= m 4 3gL"µ P.M. fysikos Εξάλλου εφαρµόζοντας για τη ράβδο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου στο χρονικό διάστηµα που περιστρέφεται κατά γωνία φ από την αρχική της θέση, παίρνουµε: K " - K $%& = W w I O / - = mg(l/)"µ = 3(g/L)"µ = 3(g/L)"µ (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις και (4) παίρνουµε: = - 3(g/L)"µ ( k /) (5) ii) Εφαρµόζοντας κατά τον χρόνο Δt το θεώρηµα ώθησης-ορµής για το κέν τρο µάζας της ράβδου, στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη όλη τη µάζα της και αγνοώντας την ώθηση του βάρους w, ως ασήµαντης, παίρνουµε τη σχέση: m v ' - m v = = m( v ' - v ) (6) όπου v ' η ταχύτητα του κέντρου µάζας αµέσως µετά την κρούση. Όµως για το µέτρο της v ' ισχύει η σχέση: v' = L/ v' = L/4 = v /4 δηλαδή v ' = v / οπότε η (6) γράφεται: = m( v / - v ) = -m v / δηλαδή η ζητούµενη ώθηση έχει φορέα κάθετο στη ράβδο, φορά αυτή που φαίνεται στο σχήµα (δηλαδή αντίθετη της v ) και µέτρο που δίνεται από τη σχέση: