ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία, σελ 53, σχολικού βιβλίου Α Θεωρία, σελ 9, σχολικού βιβλίου Α3 Θεωρία, σελ 58, σχολικού βιβλίου Α4 α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β α τρόπος: Αν z yi,, y R, η σχέση () γράφεται ( ) yi ( ) yi 4 ( ) y ( ) y 4 y Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ β τρόπος: Η σχέση () γράφεται: ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) 4 ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) 4 z z z z z z z z 4 z z z z z z Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ Β Έστω z z, 0 Τότε Β3 z z z z z z z z ( z z )( z z ) zz z z z z zz z z zz zz (α) z z z z z z z z ( z z ) z z z z z z z z z z (β) z z z z z z z z Προσθέτοντας τις (α), (β) κατά µέλη έχουµε: ( ) Όµως z, z οπότε προκύπτει 4, αφού 0 5 5 ( w 5 w) ( w 5 w) 44 w w w w 5 5 5 44 ww w w ww w 5( w w ) 5w 44 6w 5( w w ) 44 (3) Έστω w yi,, y R τότε η σχέση (3) γίνεται:
6( y ) 5 ( yi) ( yi) 44 6( y ) 5( y yi y yi) 44 6 6y 5( y ) 44 6 6y 0 0y 44 6 36y 44 y y 4 9y 36 9 4 3 Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η παραπάνω έλλειψη µε µήκος µεγάλου ηµιάξονα a 3 και µήκος µικρού ηµιάξοναβ Αν Α, Α, Β, Β οι κορυφές της έλλειψης, τότε: Α ( 3,0), Α(3, 0), Β (0, ), Β(0, ) Είναι w ( OA) ( OA') 3 και w ( OB) ( OB ') ma min Β4 Με βάση την τριγωνική ανισότητα και επειδή z w w z έχουµε: ΘΕΜΑ Γ w z w z w z w w z w (4) Όµως λόγω του Β 3 είναι w 3, άρα: w και w 4 Τότε όµως η (4) γράφεται: w z 4 Γ Η f είναι συνεχής στο (0, ) ως αποτέλεσµα πράξεων µεταξύ συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιµη µε f ' ln ln, (0 ) Όταν (0, ) είναι < και επειδή η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα έχουµε ln < ln ln < 0 Επίσης < 0 και > 0 άρα < 0 Έτσι ln < 0 για κάθε (0, ), άρα η f είναι γν φθίνουσα στο (0, ] Όταν (, ) είναι > και επειδή ln γνησίως αύξουσα είναι ln > ln ln > 0 Επίσης είναι > 0 για κάθε (, ), οπότε ln > 0 για κάθε (, ) ηλαδή f () > 0 για κάθε (0, ) Έτσι όµως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) Από τα προηγούµενα προκύπτει ο επόµενος πίνακας µεταβλητών για την f: 0 f min (-)
Επειδή f γνησίως φθίνουσα στο (0, ] είναι f( (0,]) f, lim f ) 0 Όµως lim f lim [( ) ln ] 0 0 f (0,] [, ) () Άρα Επίσης επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) είναι f [, f (), lim f ) Όµως lim f lim [( ) ln ] Άρα f [, ) [, ) () Από (), () προκύπτει ότι το σύνολο τιµών της f είναι το [, ) Γ Η εξίσωση 03 (επειδή η συνάρτηση y ln είναι γνησίως αύξουσα και άρα ) γράφεται ισοδύναµα: 03 ln( ) ln( ) ( ) ln 03 ( ) ln 0 f 0 0 Από το Γ ερώτηµα είναι: f (0,] [, ) άρα υπάρχει (0, ] ώστε f( ) 0 και επειδή η f α) είναι γνησίως φθίνουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα (0,] f [, ] [, ), άρα υπάρχει [, ) ώστε f ( ) 0 και β) επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα [, ) Από α) και β) προκύπτει ότι η δοσµένη εξίσωση έχει ακριβώς θετικές ρίζες Γ3 Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f () 0 µε (0, ) Η h είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών συναρτήσεων Η h είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε ( ) h f f 0 h f 0 0 0 0 h f 0 0 0 0 Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Roll για την h στο [, ], οπότε υπάρχει 0 (, ), ώστε h ( 0 ) 0 0 0 0 ( f 0 f 0 ) f 0 f 0 0 0 0 0 Γ4 Είναι: g f ln ( ) ln > 0 για κάθε (0, ) Άρα: Ε( Ω ) ( )ln d ln d ln d ln d ln d 3
ΘΕΜΑ ln d [ ln ] d d [ ] 3 3 τµ 4 4 4 4 4 4 Θεωρούµε τη συνάρτηση G f ( t) dt, (0, ) Η G είναι παραγωγίσιµη µε G f ( ) ( ), για κάθε (0, ) Η δοσµένη σχέση f( t) dt επειδή G() 0 γράφεται ισοδύναµα: f ( t) dt 0 G G(), για κάθε (0, ) Αυτό όµως σηµαίνει ότι η G έχει ελάχιστο στη θέση την τιµή G()0 Από το θεώρηµα Frmat προκύπτει τότε ότι G () 0 f () Επειδή η f συνεχής στο (0, ) και f 0 για κάθε (0, ), η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο (0, ) και επειδή f () < 0, είναι f ( ) < 0, (0, ) Έτσι f f και από τη δοσµένη σχέση προκύπτει ln t t ln ln t t ln dt ( f ), οπότε dt f ( t) f f ( t) Οι συναρτήσεις και στα δύο µέλη είναι παραγωγίσιµες οπότε: ln ln t t ln ln dt, f άρα f ( t) f f ln Αν θέσουµε g έχουµε g g για κάθε (0, ), οπότε f σύµφωνα µε την εφαρµογή της σελίδας 5 του σχολικού βιβλίου είναι: g c, δηλαδή ln c f Για προκύπτει c c c f () Άρα τελικά f () ln (ln ), (0, ) 4
Είναι: Άρα, lim ln, lim ( ) 0 0 lim 0 0 0 lim (ln ) 0 Τότε όµως lim 0 0 f Αν θέσουµε u f ( ) έχουµε u < 0 και 0 0 ηµ u u συν u lim f ηµ f lim ηµ u lim lim 0 f u 0 u u u 0 u u 0 u συν u lim 0 0 u 0 u 3 Η F είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο (0, ) µε F f και F f (ln ) ( ) ( ln ) Επειδή ln 0 και > 0, για κάθε >0 είναι 0 F >, για κάθε >0 Άρα η F είναι κυρτή στο (0, ) Η σχέση τώρα F F(3 ) > F, >0 γράφεται: F(3 ) F F F F(3 ) F > F F, >0 >, >0 3 Από ΘΜΤ για την F στα διαστήµατα [, ] και [, 3] αντίστοιχα υπάρχουν F F F(3 ) F ξ (, ) και ξ (, 3) ώστε F ( ξ) και F ( ξ), 3 οπότε αρκεί να δειχθεί ότι F ( ξ) > F ( ξ) µε < ξ < < ξ < 3 Η τελευταία είναι αληθής διότι η F είναι κυρτή και άρα η F γνησίως αύξουσα στο (0, ) 4 Θεωρούµε τη συνάρτηση h() F() F(β) F(3β), [β, β] Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο (0, ) άρα και η h h(β) F(β) F(3β) h(β) F(β) F(β) F(3β) Επειδή F () f() < 0 για κάθε (0, ) η F είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ) Έτσι από β < 3β έπεται: F(β) > F(3β) F(β) F(3β) > 0 h(β) > 0 Λόγω τώρα του 3 είναι h(β) F( β) F( β) F(3 β) < 0 Άρα h( β) h( β) < 0, οπότε λόγω του θεωρ Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ξ ( β, β) ώστε h( ξ ) 0 F( β) F(3 β) F( ξ ) Η τιµή ξ είναι µοναδική διότι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα και άρα, αφού h () F () f() < 0, για κάθε (0, ) 5