α/α Ονοματεπώνυμο Διακριτές Συνεχείς

Τάξη 2014-15 α/α Ονοματεπώνυμο Διακριτές Συνεχείς 1 ΒΕΛΛΙΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Δ.7 Σ.5 2 ΓΙΑΓΚΟΥ ΑΦΡΟΔΙΤΗ Δ.5 Σ.13 3 ΓΡΗΓΟΡΙΟΥ ΡΑΦΑΗΛΑ Δ.3 Σ.14 4 ΔΑΜΑΣΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Δ.13 Σ.6 5 ΚΑΡΑΜΑΡΓΙΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ Δ.14 Σ.7 6 ΚΟΥΡΟΥΤΖΙΟΥΔΗ ΔΕΣΠΟΙΝΑ Δ.11 Σ.9 7 ΛΑΜΠΟΥΔΗ ΣΤΥΛΙΑΝΗ Δ.6 Σ.1 8 ΜΗΚΑ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ Δ.10 Σ.4 9 ΝΑΣΤΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ Δ.15 Σ.10 10 ΠΑΝΩΡΙΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Δ.12 Σ.2 11 ΠΑΠΑ ΚΛΕΙΩ Δ.2 Σ.12 12 ΠΑΠΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΣΟΦΙΑ Δ.8 Σ.8 13 ΠΑΣΧΑΛΙΔΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ Δ.9 Σ.15 14 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΕΛΙΣΑΒΕΤ Δ.1 Σ.3

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ Α.1. Θεωρείστε ότι ρίχνετε ένα νόμισμα κανονικό n ( 10000 φορές). Υπολογίστε και καταγράψτε το πλήθος των εμφανίσεων κεφαλής και του ποσοστού εμφάνισης κεφαλής κάθε 100 ρίψεις. Συγκεντρώστε τα προηγούμενα και παρουσιάστε τα με κατάλληλα γραφήματα. Βρέστε σε πόσες περιπτώσεις από τις 100 κάθε φορά, το ποσοστό που υπολογίσατε διαφέρει από το ½ κατά ε (πάρτε διάφορες τιμές του ε, π.χ. ε=0.01, 0.05, ). Το τελευταίο που βρήκατε αλλάζει και πώς όταν το n αυξάνει; Επαναλάβετε το πρόβλημα θεωρώντας ότι το νόμισμα έχει πιθανότητα p.55,.75 εμφάνισης κεφαλής και συγκρίνετε τα αποτελέσματα. Α.2. Θεωρείστε ότι ρίχνετε ένα νόμισμα κανονικό n ( 10000 φορές). Υπολογίστε και καταγράψτε την απόλυτη διαφορά και το μέγιστο των εμφανίσεων κεφαλής από τις εμφανίσεις γραμμάτων κάθε 100 ρίψεις. Συγκεντρώστε τα προηγούμενα και παρουσιάστε τα με κατάλληλα γραφήματα. Βρέστε σε πόσες περιπτώσεις από τις 100 κάθε φορά, η απόλυτη διαφορά που υπολογίσατε διαφέρει από το ½ κατά ε (πάρτε διάφορες τιμές του ε, π.χ. ε=0.01, 0.05, ). Το τελευταίο που βρήκατε αλλάζει και πώς όταν το n αυξάνει; Επαναλάβετε το πρόβλημα θεωρώντας ότι το νόμισμα έχει πιθανότητα p.55,.75 εμφάνισης κεφαλής και συγκρίνετε τα αποτελέσματα. Α.3. Θεωρείστε ότι ρίχνετε ένα νόμισμα κανονικό n ( 10, 50, κλπ φορές). Υπολογίστε και καταγράψτε ως επιτυχία τις περιπτώσεις που η αναλογία εμφάνισης κεφαλής είναι μεταξύ 0.4 και 0.6. Επαναλάβετε το πείραμα 100 φορές. Πόσο πρέπει να είναι το n ώστε η πιθανότητα επιτυχίας να είναι περίπου 95%, περίπου 99%. Παρουσιάστε τα συμπεράσματά σας με κατάλληλα γραφήματα. Επαναλάβετε το πρόβλημα θεωρώντας ότι το νόμισμα έχει πιθανότητα p.55,.75 εμφάνισης κεφαλής και συγκρίνετε τα αποτελέσματα. Α.4. Ρίξτε τρία ζάρια 10000 φορές και μετρήστε κάθε φορά το άθροισμα των ενδείξεων. Κάντε μια γραφική παράσταση της κατανομής των αθροισμάτων. Μπορείτε από αυτό να ισχυριστείτε ότι το άθροισμα 11 έχει μεγαλύτερη πιθανότητα από το 12; Ή ότι το 10 έρχεται περισσότερο συχνά από το 9; Γιατί υπήρχε η εντύπωση στους παίκτες του 17 ου αιώνα ότι το 11 και το 12 έρχονται το ίδιο συχνά και επίσης το 10 και το 9; Βρέστε και τη θεωρητική πιθανότητα. Κατόπιν θεωρείστε στη ρίψη τριών ζαριών ως επιτυχία την εμφάνιση αθροίσματος 11 και ως αποτυχία την εμφάνιση αθροίσματος 12. Εκτελέστε το πείραμα 100 φορές και βρέστε την αναλογία επιτυχίας έναντι αποτυχίας. Κάντε το τελευταίο αρκετές φορές και βγάλτε κάποιο συμπέρασμα. Επαναλάβετε το πείραμα για τα 9 και 10. Α.5. Έστω ότι έχουμε 100 χαρτιά αριθμημένα από το 1 έως το 100 τα οποία τοποθετούμε σε τυχαία σειρά (δηλ. «ανακατεύονται»). Στη συνέχεια, εξετάζουμε αυτά τα 100 χαρτιά και σημειώνουμε μία «επιτυχία» όταν το χαρτί με αριθμό i βρίσκεται στην i-θέση. Εκτιμήστε χρησιμοποιώντας προσομοίωση τη μέση τιμή και τη διασπορά του πλήθους των «επιτυχιών» που θα καταγράψουμε. Ξανακάνουμε το ίδιο πείραμα αριθμώντας από την αρχή 1, 2, i, μέχρι να πετύχουμε μία επιτυχία. Τότε σταματάμε. Ποια είναι η ίδια πιθανότητα; Πόσες δοκιμές κάνουμε μέχρι την πρώτη επιτυχία; Παραστήστε με κατάλληλα γραφήματα.

Α.6. Η αμερικάνικη ρουλέτα έχει 38 εγκοπές αριθμημένες με τους αριθμούς 0, 00, 1,2,..., 36 που αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς όπου ποντάρουν οι παίκτες. Τα νούμερα 0 και 00 έχουν χρώμα πράσινο, ενώ από τα 36 υπόλοιπα νούμερα τα μισά είναι κόκκινα και τα άλλα μισά είναι μαύρα. Ο κρουπιέρης πετά μία μπίλια στην κατάλληλη κυκλική διαδρομή και αυτή μετά από κάποιες περιστροφές σταματά σε κάποια εγκοπή. Αν στοιχηματίσουμε 1 ότι η μπίλια θα σταματήσει στο κόκκινο, τότε αν σταματήσει σε εγκοπή που αντιστοιχεί σε κόκκινο κερδίζει 1 ενώ αν σταματήσει σε μαύρο χάνει 1. Να προσομοιώσετε 1000 φορές τη ρίψη της μπίλιας και να βρεθεί σε πόσες από αυτές πετυχαίνει ο παίκτης την πρόβλεψή του, θεωρώντας ότι ποντάρει συνέχεια στο κόκκινο και ότι δεν υπάρχει περιορισμός στην οικονομική δυνατότητα του παίκτη. Κάντε το ίδιο 100 φορές και παραστήστε τα αποτελέσματα γραφικά. Επαναλάβετε το ίδιο στην περίπτωση που ο παίκτης έχει αποφασίσει να μη χάσει περισσότερα από α=10, ενώ αν κερδίσει β=100 ή περισσότερα παίρνει τα χρήματά του και φεύγει. Κάντε κάποια διερεύνηση για καλές επιλογές των α,β. Α.7. Πάλι με την αμερικάνικη ρουλέτα Α6. Αν στοιχηματίσουμε 1 ότι η μπίλια θα σταματήσει σε ένα συγκεκριμένο νούμερο π.χ. το 12, τότε αν σταματήσει στο 12 ο παίκτης θα κερδίσει 35, ενώ αν σταματήσει οπουδήποτε αλλού χάνει 1. Να προσομοιώσετε 1000 φορές τη ρίψη της μπίλιας και να βρεθεί σε πόσες από αυτές πετυχαίνει ο παίκτης την πρόβλεψή του, θεωρώντας ότι ποντάρει συνέχεια στο κόκκινο και ότι δεν υπάρχει περιορισμός στην οικονομική δυνατότητα του παίκτη. Κάντε το ίδιο 100 φορές και παραστήστε τα αποτελέσματα γραφικά. Επαναλάβετε το ίδιο στην περίπτωση που ο παίκτης έχει αποφασίσει να μη χάσει περισσότερα από α=10, ενώ αν κερδίσει β=100 ή περισσότερα παίρνει τα χρήματά του και φεύγει. Κάντε κάποια διερεύνηση για καλές επιλογές των α,β. Α.8. Πάλι με την αμερικάνικη ρουλέτα Α6. Αποφασίζουμε να παίξουμε ως εξής: Στοιχηματίζουμε αρχικά 1 ότι η μπίλια θα σταματήσει στο κόκκινο. Αν κερδίσουμε συνεχίζουμε ποντάροντας 1. Αν όχι συνεχίζουμε διπλασιάζοντας το προηγούμενο στοίχημα. Ποια η πιθανότητα να χάσουμε περισσότερα από 1000 (καταστροφή). Πόσα παιχνίδια παίζουμε πριν την καταστροφή; Επαναλαμβάνουμε το ίδιο παιχνίδι ποντάροντας όμως στους αριθμούς 3, 6,, 36 (τα πολλαπλάσια του 3). Αποφασίζουμε να μη χάσουμε περισσότερα από α=5 ενώ αν χρειαστεί να στοιχηματίσουμε περισσότερα από 100 σταματούμε. Πόσες φορές παίζουμε μέχρι να σταματήσουμε; Διερευνήστε καλές περιπτώσεις με διαφορετικά α,β. Α.9. Πάλι με την αμερικάνικη ρουλέτα Α6. Παίζουμε το σύστημα Labouchere που είναι το εξής: Γράψτε μια λίστα αριθμών, π.χ. 1, 2, 3, 4. Στοιχηματίστε το άθροισμα του πρώτου και τελευταίου στη λίστα, εδώ στο 5 (αφού 1+4=5) στο κόκκινο. Αν κερδίσετε διαγράφετε τον πρώτο και τελευταίο από τη λίστα και συνεχίζετε με την υπόλοιπη λίστα. Αν χάσετε προσθέτετε το ποσό του τελευταίου στοιχήματος στο τέλος της λίστας και συνεχίζετε με τη νέα λίστα. Αν μείνει μόνο ένας αριθμός στη λίστα στοιχηματίζετε αυτό τον αριθμό. Συνεχίστε μέχρι να αδειάσει η λίστα. Δείξτε ότι αν αυτό συμβεί θα έχετε κερδίσει το άθροισμα 1 + 2 + 3 + 4 = 10 της αρχικής λίστας. Κάντε προσομοίωση και ελέγξτε αν το παιχνίδι σταματάει πάντα. Όταν σταματάει πόσα παιχνίδια έχουν παιχτεί (γραφική παράσταση), πόσα χρήματα έχουμε στοιχηματίσει κατά μέγιστο, πόσο χρόνο είμαστε κερδισμένοι; Θα το προτείνατε ως καλό σύστημα παιξίματος σε φίλους σας;

Α.10. Στοιχηματίζουμε ότι ρίχνοντας 3 ζάρια θα υπάρξει μία φορά τουλάχιστον που και τα τρία θα φέρουν 6 σε n ρίψεις των τριών ζαριών. Εκτελέστε ένα μεγάλο αριθμό φορών το πρόβλημα και υπολογίστε την πιθανότητα, να έρθει τουλάχιστον μία φορά 6,6,6 σε n ρίψεις. Κάντε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. Εκτιμήστε το n για το οποίο το στοίχημα γίνεται ευνοϊκό για τον παίκτη (δηλ. πιθαν. >0.5). (8 p13) An astute student noticed that, in our simulation of the game of heads or tails (see Example 1.4), the proportion of times the player is always in the lead is very close to the proportion of times that the player's total winnings end up 0. Work out these probabilities by enumeration of all cases for two tosses and for four tosses, and see if you think that these probabilities are, in fact, the same. Α.11. Παίζουμε το ακόλουθο παιχνίδι. Ρίχνουμε ένα κανονικό νόμισμα πληρώνοντας για κάθε ρίψη 5. Αν έρθει Κεφαλή την πρώτη φορά κερδίζουμε 1. Αν έρθει Γράμματα συνεχίζουμε πληρώνοντας πάλι 5, κ.ο.κ. Αν έρθει Κεφαλή την ν-στή φορά κερδίζουμε 2 ν. Συνεχίζουμε μέχρι να κερδίσουμε ή μέχρι να χάσουμε 50. Προσομοιώστε το πρόβλημα και βρέστε ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε. Ποια η πιθανότητα να παίξουμε ν παιχνίδια μέχρι να σταματήσουμε; Ας θεωρήσουμε Αποτυχία το να χάσουμε μια συγκεκριμένη παρτίδα, π.χ. αν κερδίσουμε με τη 2η ρίψη τότε κερδίζουμε μεν 2 2 αλλά πληρώσαμε 5 σε κείνη τη ρίψη, δηλαδή έχουμε Αποτυχία, ή στη 10 η ρίψη αν δεν κερδίσουμε Κεφαλή τότε έχουμε αποτυχία. Βρέστε το πλήθος αποτυχιών. Α.12. Υποθέστε ότι εκδόθηκαν 10000 κάρτες με τις φάτσες 10 ηθοποιών σε ίσο πλήθος. Οι κάρτες μπήκαν σε σοκολάτες του 1 και ως διαφήμιση προσφέρονταν μία μπάλα μπάσκετ αξίας 20 σε όποιον φέρει και τις 10 ανόμοιες κάρτες. Βρέστε με προσομοίωση πόσες κάρτες πρέπει να αγοράσει κάποιος ώστε να κερδίσει τη μπάλα. Μπορούμε να εκτιμήσουμε αν συμφέρει στην εταιρεία αυτή η διαφήμιση; Α.13. Ένα βακτήριο κάθε 20 λεπτά είτε διχοτομείται (με πιθανότητα ¾) είτε πεθαίνει (με πιθανότητα ¼). Το ίδιο ισχύει και για τα βακτήρια κάθε νέας γενιάς. Να προσομοιώσετε το φαινόμενο και να δώσετε μια εκτίμηση της πιθανότητας επιβίωσης της αποικίας όταν αυτή ξεκινήσει με (α) 1, (β) 2 και (γ) 10 βακτήρια. Να γίνει προσπάθεια για μια θεωρητική λύση του προβλήματος. Α.14. Σε μία αλυσίδα ελέγχου προϊόντων ένα κουβαδάκι περνά μπροστά από 10 ελεγκτές (που είναι άνθρωποι ή μηχανήματα). Αν το προϊόν είναι κανονικό (πιθανότητα 0.9) το πετούν στο κουβαδάκι που το πετυχαίνουν με πιθανότητα.85. Αλλιώς το τοποθετούν σε άλλη αλυσίδα για καταστροφή. Οι 10 ελεγκτές πετούν ταυτόχρονα τα προϊόντα στο κουβαδάκι έτσι αν πετύχουν ταυτόχρονα 2 ελεγκτές το στόχο τα προϊόντα συγκρούονται και πέφτουν έξω. Ποια η πιθανότητα (με προσομοίωση) τα κανονικά προϊόντα να φθάσουν στην κατάλληλη θέση για συσκευασία; Α.15. Ρίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να έρθουν 2 συνεχόμενες κορώνες, οπότε σταματάμε. Να βρεθεί η πιθανότητα το προηγούμενο να συμβεί στην n-στη ρίψη. Πόσες ρίψεις απαιτούνται για να συμβεί αυτό με πιθανότητα 0.99; Να επαναληφθεί το πείραμα μέχρι να έρθουν 10 συνεχόμενες κορώνες, οπότε σταματάμε. Να παραστήσετε τα αποτελέσματά σας με κατάλληλα γραφήματα.

ΣΥΝΕΧΕΙΣ Β.1. Στο παιχνίδι ρίψης βελών σε κυκλικό στόχο, που είναι χωρισμένος σε 10 ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες 1/10, 2/10,..1, μας ενδιαφέρει αν η βολή πέσει στον κυκλικό τομέα που ορίζεται από δύο διαδοχικούς κύκλους, οπότε και παίρνει την τιμή 1, 2,, 10 ξεκινώντας από το κέντρο. Κάντε προσομοίωση με n=400 ή 2000 τυχαία σημεία στο μοναδιαίο κύκλο (που περιέχεται στο μοναδιαίο τετράγωνο). Παραστήστε γραφικά το αποτέλεσμα. Θεωρήστε ότι ο παίκτης κερδίζει 1 αν το βελάκι πάρει την τιμή 10. 2 αν πάρει την τιμή 9, 2 2 αν πάρει την τιμή 8 και τελικά 2 10 αν χτυπήσει κέντρο τιμή 1. Ποια η αναμενόμενη τιμή κέρδους; Β.2. Στο παιχνίδι ρίψης βελών σε τετράγωνο στόχο, που είναι χωρισμένος σε 10 ομόκεντρα τετράγωνα, με παράλληλες πλευρές και με ακτίνες 1/10, 2/10,..1, μας ενδιαφέρει αν η βολή πέσει στον τετραγωνικό τομέα που ορίζεται από δύο διαδοχικά τετράγωνα, οπότε και παίρνει την τιμή 1, 2,, 10 ξεκινώντας από το κέντρο. Κάντε προσομοίωση με n=400 ή 2000 τυχαία σημεία στο μοναδιαίο τετράγωνο. Παραστήστε γραφικά το αποτέλεσμα. Θεωρήστε ότι ο παίκτης κερδίζει 1 αν το βελάκι πάρει την τιμή 10. 2 αν πάρει την τιμή 9, 2 2 αν πάρει την τιμή 8 και τελικά 2 10 αν χτυπήσει κέντρο τιμή 1. Ποια η αναμενόμενη τιμή κέρδους; Β.3. Εκτιμήστε με τη μέθοδο Monte Carlo το εμβαδόν της συνάρτησης 1/ 1 που βρίσκεται στο μοναδιαίο τετράγωνο. Εξηγήστε γιατί μπορούμε από αυτό να εκτιμήσουμε την τιμή του 2. Πόσο καλή είναι η εκτίμηση; Κάντε κατάλληλα γραφήματα που να φανερώνουν την καλή προσέγγιση της εκτίμησης Β.4. Χρησιμοποιείστε τη μέθοδο απόρριψης για την κατανομή Β(3,5) για να προσεγγίσετε την κατανομή με τυχαίο δείγμα Β.5. Στις σημειώσεις πήραμε τυχαίους αριθμούς από την ομοιόμορφη κατανομή και τους παραστήσαμε σε γράφημα, όπου άρτιας τάξης τυχαίος αριθμός, και περιττής τάξης τυχαίος αριθμός. Κάντε το ίδιο χρησιμοποιώντας δική σας γεννήτρια της μορφής με συντελεστές 32, 0 ή 1, 1111 (σκεφτείτε ότι π.χ. 43 1315 και για να βρούμε το 13 (γνωρίζοντας το 43) αρκεί να βρούμε το ακέραιο μέρος p της διαίρεσης 43/15 (χρησιμοποιείστε την εντολή floor) και αφαιρέστε από το 43 το p*m). Στη συνέχεια κάντε το ίδιο με άλλους τυχαίους αριθμούς π.χ. από την κανονική κατανομή, από την εκθετική κατανομή ή από μία βήτα κατανομή. Σχολιάστε τα διαγράμματα διασποράς που σχηματίζονται Β.6. Το ταχυδρομείο έρχεται στο ΑΠΘ σε τυχαίο χρόνο μεταξύ 8:00 και 9:00. Τα γράμματα του Πρύτανη διαλέγονται αμέσως και πηγαίνουν στο γραφείο του σε τυχαίο χρόνο από τη στιγμή που έφθασε το ταχυδρομείο και μέχρι τις 9:00. α. Ποια η κατανομή της τ.μ. Χ που παριστάνει το χρόνο άφιξης του ταχυδρομείου στον Πρύτανη (θεωρητικά). β. Βρείτε την προηγούμενη κατανομή με προσομοίωση και παραστήστε γραφικά και την προσομοίωση και τη θεωρητική κατανομή γ. Θεωρείστε ότι αν τα γράμματα του Πρύτανη φτάσουν στο γραφείο του, ανάμεσα από τις 8:30 και τις 8:45 τότε έχουμε Επιτυχία. Υπολογήστε με προσομοίωση την πιθανότητα επιτυχίας Β.7. Υπολογίστε με προσομοίωση τα και

Β.8. Εκτιμήστε με τη μέθοδο Monte Carlo το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου στο μοναδιαίο τετράγωνο. Συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την πραγματική τιμή του εμβαδού.. Εξηγήστε γιατί μπορούμε από αυτό να εκτιμήσουμε την τιμή του. Πόσο καλή είναι η εκτίμηση; Κάντε κατάλληλα γραφήματα που να φανερώνουν την καλή προσέγγιση της εκτίμησης. Β.9. Εκτιμήστε με προσομοίωση το ολοκλήρωμα Β.10. Υπολογίστε με προσομοίωση τα και Β.11. Γράψε ένα πρόγραμμα που να εκτιμά την κατανομή του αθροίσματος, όταν οι, έχουν την ομοιόμορφη κατανομή. Γενίκευσε για n=10 μεταβλητές. Β.12. Γράψε ένα πρόγραμμα που να εκτιμά την κατανομή του αθροίσματος, όταν οι, έχουν την εκθετική κατανομή. Γενίκευσε για n=10 μεταβλητές. Β.13. Γράψε ένα πρόγραμμα που να εκτιμά την κατανομή του αθροίσματος όταν οι, έχουν την κανονική κατανομή. Γενίκευσε για n=10 μεταβλητές. Β.14. Γράψε ένα πρόγραμμα που να εκτιμά την κατανομή του αθροίσματος όταν οι, έχουν την κανονική κατανομή. Γενίκευσε για n μεταβλητές. Β.15. Δύο φίλοι έχουν δώσει μόνιμο ραντεβού για φαγητό στη φοιτητική λέσχη τις μέρες μαθημάτων της εβδομάδας (5 μέρες την εβδομάδα). Συμφώνησαν ότι όποιος φτάνει νωρίτερα δεν θα φεύγει πριν περάσουν 20 λεπτά της ώρας και ότι θα έρχονται στη λέσχη σε τυχαίο χρόνο μεταξύ 1:00 και 3:00. Να βρεθεί η πιθανότητα να συναντηθούν με προσομοίωση και να γίνει και γράφημα της προσομοίωσης. Θεωρούν επιτυχία αν βρεθούν τουλάχιστον για 10 λεπτά μαζί. Εκτιμήστε την πιθανότητα επιτυχίας.