"Είναι δυνατόν να παράγουµε µαθηµατικά µέσα στην τάξη;"

"Είναι δυνατόν να παράγουµε µαθηµατικά µέσα στην τάξη;" Φραγκίσκος Καλαβάσης, Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Πανεπιστήµιο Αιγαίου A. Η σηµασία της επιµόρφωσης των δασκάλων για τη βελτίωση της µαθηµατικής εκπαίδευσης Α1. Με την επιµόρφωση οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να θεωρητικοποιούν τις πρακτικές εµπειρίες τους ώστε να µπορούν να σχεδιάσουν βελτιώσεις. Α2. Οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να έχουν γνώση των παραγόντων της µάθησης και της διδασκαλίας των µαθηµατικών (Αναλυτικά Προγράµµατα, Σχολικά Βιβλία, διδάσκοντες, µαθητές, γονείς, µαθηµατικές θεωρίες, µεθοδολογία και εφαρµογές, κοινωνική χρήση των µαθηµατικών, σχέσεις-συνδέσεις µεταξύ όλων αυτών) και την ικανότητα να µπορούν να ανακαλύψουν την εµφάνιση και το ρόλο των παραγόντων αυτών στη συγκεκριµένη διδακτική πρακτική. Α3. Έτσι ο εκπαιδευτικός θα µπορεί να γίνει λειτουργικός αναγνώστης ερευνητικών αποτελεσµάτων και να δρα βελτιωτικά στη δική του τάξη. Α4. Με την επιµόρφωση οι εκπαιδευτικοί ανανεώνουν τις διδακτικές τους µεθόδους, τις γνώσεις τους και τα πιστεύω τους σχετικά µε το ρόλο τους ως εκπαιδευτικών, αλλά και µε το διδακτικό τους αντικείµενο. Σχόλιο: Μέχρι πριν λίγα χρόνια η εκπαίδευση των δασκάλων στα µαθηµατικά δεν ήταν πρόβληµα ιδιαίτερης σηµασίας και η αντιµετώπισή του αφηνόταν στο πέρασµα του χρόνου. Οποιαδήποτε µεταβολή στη διδασκαλία και τη µάθηση των µαθηµατικών περιοριζόταν στην αλλαγή του προγράµµατος σπουδών. Ωστόσο, όπως αναφέρει ο Freudenthal: «η ανάπτυξη νέων προγραµµάτων σπουδών των µαθηµατικών ως µια στρατηγική αλλαγής, είναι µια λάθος αντίληψη». Κατά την άποψή του η σωστή στρατηγική πρέπει να στηρίζεται στην εκπαίδευση των εκπαιδευτικών (Καφούση, 1994). Σήµερα µεγάλος αριθµός ερευνητών υποστηρίζει ότι η επιµόρφωση µπορεί να αποτελέσει την κατεξοχήν κινητήρια δύναµη για την επιτυχία οποιασδήποτε µεταρρύθµισης. Παρ όλο που η επιµόρφωση των εκπαιδευτικών θεωρείται ως στρατηγική αλλαγής αφενός και ως κινητήρια δύναµη από την άλλη, έχει παρατηρηθεί ότι µπορεί να αποτύχει η υλοποίηση της από την υπερφόρτωση του έργου των εκπαιδευτικών µε απανωτές καινοτοµίες, από τον κατακερµατισµό των καινοτοµιών κατά την εφαρµογή τους, καθώς και από ελλιπή, ασυντόνιστη και συγκυριακή επιµόρφωση των εκπαιδευτικών (Μπαρκάτσας, 2003). Β. Ορισµένα ιστορικά στοιχεία που δείχνουν την πορεία και το εύρος των αναζητήσεων για τη βελτίωση της µαθηµατικής εκπαίδευσης και µετρούν την εγκυρότητα ορισµένων σηµερινών προσεγγίσεων. Θα παρουσιάσουµε συνοπτικά ορισµένους βασικούς προβληµατισµούς που έχουν τεθεί σχετικά µε το περιεχόµενο και τους στόχους της διδασκαλίας των µαθηµατικών για να διαπιστώσουµε ότι οι προβληµατισµοί και οι διαµάχες που εµφανίζονται σήµερα γύρω

από την κατάρτιση των δασκάλων και την επιµόρφωση οφείλονται τις περισσότερες φορές σε έλλειψη ιστορικής γνώσης παρά σε πραγµατιστική µελέτη των φαινοµένων της µάθησης. Β1. Το πρόβληµα της εκµάθησης των µαθηµατικών έχει τεθεί εδώ και πολλά χρόνια. Από τη δεκαετία του 1920 πολλοί µαθηµατικοί τοποθετήθηκαν εναντίον της λεγόµενης λογιστικής προσέγγισης ως βασικής διδακτικής πρακτικής γιατί οδηγούσε τα παιδιά να θεωρούν τα µαθηµατικά µάλλον ως ένα σύνολο δεδοµένων και διαδικασιών που δε σχετίζονταν µεταξύ τους. Β2. Τα σχολικά Μαθηµατικά της περιόδου 1950 1975 ήταν πολύ θεωρητικά και διδάσκονταν αποκοµµένα από τις εφαρµογές και τα προβλήµατα της καθηµερινής ζωής, µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται η εντύπωση ότι είναι άχρηστα και απωθητικά κατασκευάσµατα του νου. Η επιµονή στη διδασκαλία αλγορίθµων, τύπων, αποδείξεων και διαδικασιών χωρίς να φαίνεται η χρησιµότητά τους είχε ως αποτέλεσµα το µάθηµα των µαθηµατικών να γίνει το φόβητρο µικρών και µεγάλων. Εκείνη την εποχή το κίνηµα των µεταρρυθµίσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών είχε ως στόχο να εισάγει όσο το δυνατό νωρίτερα τις βασικές αρχές της επιστήµης, δηλαδή: Α. τις ιδιότητες του συστήµατος αρίθµησης, Β. τις απλές γεωµετρικές κατασκευές Γ. τη θεωρίας συνόλων. µε τη σκέψη ότι αν αφιερωνόταν επαρκής χρόνος και σκέψη στη διδασκαλία των µαθηµατικών, τότε οι υπολογιστικές δεξιότητες θα αποκτούνταν ευκολότερα. Προτάθηκε λοιπόν από τους επιστήµονες ότι η µάθηση µε νόηµα θα ήταν αποτελεσµατικότερη αν τα παιδιά διδάσκονταν το µαθηµατικό υπόβαθρο, δηλαδή τη δοµή της λογικοµαθηµατικής σκέψης. εν περίµεναν, βέβαια, να µπορούν τα µικρά παιδιά να κατανοούν τις τυπικές αποδείξεις, αλλά να µπορούν διαισθητικά να εκτιµούν έννοιες και σχέσεις που θεµελιώνουν τις µαθηµατικές διαδικασίες Τα νέα προγράµµατα αντικατέστησαν την έντονη ασκησιολογία µε πράξεις και αποµνηµόνευση µε ένα άλλο είδος µάθησης, που δίνει έµφαση στην κατανόηση. Επινοήθηκαν µέθοδοι που να βοηθούν τα παιδιά να ανακαλύπτουν µόνα τους ορισµένες αρχές και να οδηγούνται σε γενικεύσεις (Νικολάου- Νέλλας, 1992). Β3. Μέσα στη δεκαετία του 50 παρατηρείται µια έντονη δραστηριότητα για τα Μοντέρνα ή Νέα Μαθηµατικά όπως ονοµάστηκαν. Στην Ευρώπη και στις Η.Π.Α. συγκροτούνται επιτροπές µελέτης, γίνονται συνέδρια σε εθνικό και διεθνές επίπεδο, ανατίθενται ερευνητικά και πειραµατικά προγράµµατα και υποβάλλεται πλήθος προτάσεων και εισηγήσεων. Οι διάφοροι τίτλοι που τότε χρησιµοποιήθηκαν, όπως «Νέα Μαθηµατικά», «Σύγχρονα Μαθηµατικά» και «Μοντέρνα Μαθηµατικά» αποδίδουν, συγκριτικά, λίγο µόνο το περιεχόµενο των νέων προγραµµάτων και περισσότερο το πνεύµα προσέγγισης και προσφοράς. Ένα από τα πρώτα αιτήµατα που τα νέα προγράµµατα σκόπευαν να ικανοποιήσουν ήταν αυτό της µάθησης µε κατανόηση (meaningful learning). Σε αντίθεση µε την αποµνηµόνευση, η αντίληψη αυτή υποστηρίζει ότι η µάθηση είναι πραγµατική, διαρκεί περισσότερο, µεταφέρεται και εφαρµόζεται ευρύτερα όταν συνοδεύεται µε κατανόηση του αντικειµένου της σε βάθος και πλάτος. Για την κατανόηση της δοµής ενός θέµατος η διαδικασία αρχίζει από την

εποπτεία π.χ. µε τη χρησιµοποίηση υλικών, έτσι ώστε να ενεργοποιηθούν οι βασικοί µηχανισµοί µάθησης και προχωρεί φυσιολογικά στην επεξεργασία εικόνων για να φθάσει στο συµβολισµό και την πλήρη αφαίρεση. Β4. Ο όρος «Νέα Μαθηµατικά» αναφέρεται σε µια ποιοτική ανανέωση του µαθηµατικού περιεχοµένου της σχολικής ύλης. Έτσι γίνεται µια σαφής διάκριση από τα Μαθηµατικά που διδάσκονταν τότε στο σχολείο µε τον όρο «παραδοσιακά». Το βασικό υλικό των παραδοσιακών Μαθηµατικών και των Νέων δε διαφέρει. Και στις δύο περιπτώσεις αναφερόµαστε σε ακεραίους, δεκαδικούς, κλάσµατα, εξισώσεις κ.λ.π. Αναφερόµαστε στην πρόσθεση, στην αφαίρεση, στον πολλαπλασιασµό και στη διαίρεση. Η ειδοποιός διαφορά είναι ότι τα Νέα Μαθηµατικά, προσεγγίζουν διδακτικά την παραπάνω ύλη µε διαφορετικό τρόπο. Συγκεκριµένα το πνεύµα τους ήταν να δοθεί έµφαση στους ακριβείς ορισµούς, την αξιωµατική θεµελίωση της ύλης και την αναδιοργάνωση των µαθηµατικών µε βάση τα θεµελιώδη δοµικά χαρακτηριστικά τους, δηλαδή: - τον εµπλουτισµό των σχολικών µαθηµατικών µε στοιχεία συνολοθεωρίας, µε έννοιες µαθηµατικής λογικής, µε θέµατα από τη µοντέρνα άλγεβρα, µε στοιχεία µοντέρνας γεωµετρίας καθώς και µε στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων και στατιστικής - τον περιορισµό του παραδοσιακού περιεχοµένου της Άλγεβρας, της Ευκλείδειας Γεωµετρίας και της Τριγωνοµετρίας. Η νέα αυτή προσέγγιση πραγµατοποιείται µέσα από τη µεθοδολογία και το περιεχόµενο των Νέων Μαθηµατικών όπου δίνεται βαρύτητα στην ελεύθερη και ενεργό συµµετοχή του µαθητή στη διαδικασία της µάθησης των µαθηµατικών γνώσεων. Αποφεύγεται η στείρα και βερµπαλιστική µετάδοση στείρων γνώσεων, η µηχανική εκµάθηση εκτέλεσης των αριθµητικών πράξεων και η παροχή τυποποιηµένων προβληµάτων, που τα περισσότερα στην πραγµατικότητα δε λύνονται από τα ίδια τα παιδιά, αλλά στο σπίτι από τους γονείς τους. Β.5. Η εισαγωγή των Νέων Μαθηµατικών προωθεί την έρευνα και την ανακάλυψη στη διαδικασία της µάθησης. Ο µαθητής καθοδηγείται µόνος του να ερευνήσει να προβληµατιστεί, να ανατρέξει σε πηγές και τέλος µόνος του να ανακαλύψει τη νέα γνώση. υστυχώς, η µεταρρύθµιση των Μ.Μ δεν πέτυχε τους αναµενόµενους στόχους. ε σύνδεσε και πάλι τη διδασκαλία των Μαθηµατικών µε εφαρµογές και προβλήµατα της καθηµερινής ζωής ώστε να γίνεται αντιληπτή η χρησιµότητά τους και έτσι αποδεκτή η διδασκαλία τους. Β.6. Έτσι στη δεκαετία του 70 η κριτική για τα Μ.Μ. πυροδότησε µια έντονη κίνηση για επάνοδο προς τα παραδοσιακά Μαθηµατικά, που ίσχυαν πριν από τη µεταρρύθµιση. Βέβαια αυτό δεν υλοποιήθηκε, αλλά επιχειρήθηκε µια σύνθεση των παραδοσιακών και των Μ.Μ. Έτσι εµφανίζονται συγκεκριµένες απόψεις για το τι πρέπει να γίνει στα σχολικά µαθηµατικά. Αυτές είναι: - Να απαλλαγούν τα σχολικά Μαθηµατικά από τον κυρίαρχο ρόλο της συνολοθεωρίας, της αυστηρής θεµελίωσης και της αυστηρής απόδειξης.

- Να δοθεί έµφαση στις διαδικασίες επίλυσης προβληµάτων και κυρίως ανοιχτών προβληµάτων και καταστάσεων προβληµατισµού που συµβάλλουν στην ανάπτυξη της αυτενέργειας και της πρωτοβουλίας των µαθητών καθώς και στον εθισµό τους στην έρευνα. - Να συνδεθούν τα Μαθηµατικά µε τη ζωή και µε τις άλλες επιστήµες, ώστε να γίνεται σε όλους φανερή η αναγκαιότητα της διδασκαλίας τους. Β.7. Οι µεγάλες προσπάθειες που έγιναν στα πλαίσια της µεταρρύθµισης των Μ.Μ. µπορεί να µην άλλαξαν ή και να µη µείωσαν το ποσοστό αποτυχίας των µαθητών στα Μαθηµατικά, ανέδειξαν όµως καινούρια στοιχεία της «µαθηµατικής εκπαίδευσης στη σχολική πραγµατικότητα», τα οποία συντέλεσαν στη διαµόρφωση αντιλήψεων και ρευµάτων. Το κοινό χαρακτηριστικό αυτών των αντιλήψεων και ρευµάτων είναι η πεποίθηση πως για τη διαµόρφωση της µαθηµατικής παιδείας των πολιτών συµβάλλουν από κοινού όλες οι εκπαιδευτικές βαθµίδες: Νηπιαγωγείο, ηµοτικό, Γυµνάσιο, Λύκειο και Πανεπιστήµιο. Στο τέλος της δεκαετίας του 80 όλοι ασπάζονται τις προτάσεις του National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) για το Α.Π. των Μαθηµατικών, που λένε ότι κάθε απόφοιτος της υποχρεωτικής εκπαίδευσης πρέπει να έχει αποκτήσει: - κατανόηση των βασικών µαθηµατικών εννοιών - ευχέρεια στη λογική σκέψη - δυνατότητα επικοινωνίας στη µαθηµατική γλώσσα - ευκολία στην αναγνώριση των εφαρµογών των µαθηµατικών στο γύρω κόσµο - δυνατότητα προσέγγισης των µαθηµατικών προβληµάτων µε αυτοπεποίθηση - ικανότητα εφαρµογής των µαθηµατικών γνώσεων σε πραγµατικά προβλήµατα. Β.8. Σήµερα στη µαθηµατική εκπαίδευση έχουν τεθεί διεθνώς νέα ζητήµατα που µόνο µε την επιµόρφωση των εκπαιδευτικών µπορούν να αντιµετωπιστούν. Είναι κυρίως προβλήµατα εξωγενή αλλά σε µεγάλη αλληλεπίδραση µε τη µαθηµατική εκπαίδευση. Συνοπτικά θα τα ορίζαµε ως: - ζητήµατα που αναφέρονται στις µη-µαθηµατικές προϋποθέσεις της µάθησης (γλωσσική, πολιτισµική, κοινωνική προέλευση και στάσεις των µαθητών, διαχείριση µεικτών τάξεων, επίδραση του οικογενειακού περιβάλλοντος) και - ζητήµατα που αναφέρονται στη σχέση µαθηµατικής γλώσσας µε τη γλώσσα και τις αναπαραστάσεις της διδασκαλίας στο περιβάλλον των νέων τεχνολογιών Β.9. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, κυρίαρχο σηµείο εκκίνησης οποιασδήποτε µελέτης ή επιµόρφωσης είναι η παραγωγή µαθηµατικών από τον ίδιο το µαθητή. Αυτό στην πραγµατικότητα αντιστοιχεί στην παραγωγή του λάθους από το µαθητή. Το λάθος πλέον παύει να θεωρείται ενοχοποιητικό στοιχείο για το µαθητή, κάτι που τραυµάτιζε τη σχέση του (και του ενήλικα) µε τα µαθηµατικά. και γίνεται πια αντιληπτό ως «ενδιάµεση γνώση» που θα πρέπει να εκφραστεί επίσηµα και νόµιµα στην τάξη για να γίνει στοιχείο διδακτικής διαπραγµάτευσης. Το λάθος είναι αναγκαίο συστατικό κάθε µαθηµατικής δραστηριότητας γιατί η διαχείρισή του µπορεί να παίξει σηµαντικό ρόλο στη µάθηση και στη διδασκαλία των µαθηµατικών.

Γ. Πρόταση: «Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων» Γ.1. Κατά τη διδασκαλία των µαθηµατικών δεν αρκεί η µεταφορά στο µαθητή της µηχανιστικής µόνο διεκπεραίωσής τους. Αν θέλουµε να ελπίζουµε και σε παροχή στοιχείων παιδείας, είναι απαραίτητο να φέρουµε σε επαφή τους µαθητές µε απαντήσεις που έχουν δοθεί κατά την ιστορική εξέλιξη της εµπλεκόµενης έννοιας και ταυτόχρονα να τους συµφιλιώσουµε µε εναλλακτικές απαντήσεις που έχουν δοθεί από συµµαθητές τους. Στη συνέχεια θα πρέπει να αναζητήσουµε τους παράγοντες στους οποίους οφείλεται η καθεµία από τις δοσµένες απαντήσεις. Έτσι έχουµε συγχρόνως έγερση της αµφισβήτησης και ερευνητική προσέγγιση, που προκαλούν ανάλυση και σύνθεση της ερώτησης µε σκοπό τη δηµιουργία πειστικής και τεκµηριωµένης απάντησης. Και τα δύο µαζί διεισδύουν στην «εσωτερική δοµή» του προς διδασκαλία αντικειµένου. Γ.2. Για να µπορέσουµε να παρέµβουµε διδακτικά στη διαχείριση του παραγόµενου από το µαθητή λάθους στα µαθηµατικά και να βελτιώσουµε τη διαδικασία της αξιολόγησής του ώστε η ερµηνεία και επαναδιαπραγµάτευση του λάθους να µη συγχέεται µε την τελειωτική βαθµολόγηση της επίδοσης του µαθητή, το Εργαστήριο Μαθησιακής Τεχνολογίας και ιδακτικής Μηχανικής του Πανεπιστηµίου Αιγαίου επεξεργάστηκε και χρησιµοποιεί ένα «Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων». Το ερευνητικό αυτό εργαλείο µπορεί να βοηθήσει στο: - να ερµηνεύσει ορισµένες εγγενείς χαρακτηριστικές αντιφάσεις και αδιέξοδα που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στην προσέγγιση των σχολικών µαθηµατικών και της διδασκαλίας τους - να εφοδιάσει τους διδάσκοντες και την µεταξύ τους επικοινωνία µε τα θεωρητικά και πρακτικά εργαλεία (τεχνικές διάγνωσης, διδακτική µηχανική) ώστε να µπορούν να σχεδιάζουν διδακτικές καταστάσεις στις οποίες η λήψη διδακτικών αποφάσεων να ευνοεί την λειτουργική µάθηση των µαθηµατικών Περισσότερα για το θεωρητικό πλαίσιο και το περιεχόµενο αυτού του εργαλείου µπορείτε να βρείτε στο άρθρο των Φ.Καλαβάση, Χ Μιτσούλη, Σ.Ορφανού, Χ.Σκουµπουρδή, Γ. Τζωρτζακάκη «Το λάθος και το στίγµα: αξιολόγηση λαθών στα µαθηµατικά και πρόληψη σχολικής αποτυχίας» στο τετράτοµο έργο Ν.Πολεµικός, Μ.Καίλα, Φ.Καλαβάσης «Εκπαιδευτική, οικογενειακή και πολιτική ψυχοπαθολογία» Τόµος Γ, «Αποκλίσεις στο χώρο της Εκπαίδευσης», Εκδόσεις Ατραπός 2002. Το εργαλείο αυτό, έχει τη µορφή ενός συνηθισµένου ερευνητικού ερωτηµατολογίου και χρησιµοποιείται αρχικά σε σεµινάρια επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών µε πολύ ενθαρρυντικά αποτελέσµατα. Η δοµή και η χρήση του είναι απλή και περιγράφεται στα παρακάτω έξι στάδια: I. Παρουσιάζονται ορισµένες εναλλακτικές απαντήσεις µαθητών σε ειδικά επιλεγµένο θέµα-πρόβληµα. Οι απαντήσεις αυτές είναι είτε όλες λανθασµένες, είτε όλες σωστές και έχουν συστηµατικά παρατηρηθεί από διαφορετικούς µαθητές σε συγκρίσιµες συνθήκες διδασκαλίας και µάθησης. II. Καλούνται οι εκπαιδευτικοί ατοµικά να βαθµολογήσουν την κάθε απάντηση

III. Καλούνται ατοµικά να ερµηνεύσουν την κάθε απάντηση IV. Καλούνται ατοµικά να περιγράψουν την διδακτική τους παρέµβαση σε κάθε περίπτωση, δηλαδή τον τρόπο µε τον οποίο θα επιχειρούσαν να οδηγήσουν τον µαθητή να κατανοήσει, έτσι ώστε να µην επαναλάβει το ίδιο λάθος. V. Συζητούν ανά µικρές οµάδες των τριών ή τεσσάρων τις βαθµολογίες, ερµηνείες, παρεµβάσεις τους για το ίδιο θέµα-πρόβληµα, ανταλλάσσοντας απόψεις. Επιλέγουν έναν-µια εκπρόσωπο της οµάδας για να παρουσιάσει το αποτέλεσµα της εργασίας (ατοµικής και συλλογικής), µε όλες τις εναλλακτικές προσεγγίσεις, στο σύνολο της επιµορφούµενης οµάδας. Το στάδιο αυτό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό διότι δεν υπάρχει προηγούµενη εξοικείωση µε τη συλλογική εργασία και την παρουσίαση όλων των απόψεων µε ταυτόχρονο σχολιασµό. VI. Παρουσιάζονται από τους-τις εκπροσώπους των οµάδων οι επιµέρους απαντήσεις στο σύνολο των επιµορφούµενων και γίνεται αναλυτική συζήτηση και αντιπαραθέσεις για το κάθε θέµα-πρόβληµα (λάθοςβαθµολογία- ερµηνεία- διόρθωση), καθώς και για τις ενδεχόµενες συνέπειες που θα µπορούσε να είχε η κάθε συγκεκριµένη διδακτική απόφαση του διδάσκοντα (βαθµός, παρατήρηση, αντιµετώπιση) στη µαθησιακή και σχολική πορεία του µαθητή. VII. Στο τέλος της συζήτησης για κάθε θέµα-πρόβληµα παρουσιάζονται από τον επιµορφωτή ερµηνείες των εναλλακτικών απαντήσεων των µαθητών που έχουν γίνει από ειδικούς επιστήµονες της ιδακτικής των Μαθηµατικών. Ολοκληρώνεται η επιµορφωτική διαδικασία µε την τελική διατύπωση και καταγραφή υποθέσεων και συµπερασµάτων από την οµάδα των επιµορφούµενων. Με τον τρόπο αυτό εξωτερικεύεται και συνειδητοποιείται η εσωτερική-αυτόµατη διαδικασία αξιολόγησης που εφαρµόζει ο κάθε εκπαιδευτικός, αναπτύσσεται µια λειτουργική γνωστική επικοινωνία µε το «µαθητή που µαθαίνει» και προλαµβάνονται διδακτικές αποφάσεις και αξιολογικές κρίσεις που ενδεχοµένως θα καθόριζαν αρνητικά τη σχολική του πορεία.. Εντυπωσιακή είναι, από τη µέχρι τώρα εµπειρία, η απόκλιση που παρουσιάζουν οι εκπαιδευτικοί-επιµορφούµενοι στην βαθµολόγηση και στην ερµηνεία των λαθών, σε σχέση µε τη σύγκλιση στο ζήτηµα της διδακτικής παρέµβασης. Γ.3. Ο στόχος είναι το µοντέλο αυτό να εµπλουτίζεται µε ενδεικτικά-συστηµατικά λάθη από τους συλλόγους δασκάλων και εκπαιδευτικών που διδάσκουν µαθηµατικά και σε συνεργασία µε το Εργαστήριο το ανανεούµενο υλικό να ξαναγυρίζει επεξεργασµένο στους εκπαιδευτικούς συλλόγους. Όσοι και όσες ενδιαφέρονται µπορούν να επικοινωνήσουν µε το site του Εργαστηρίου στη διεύθυνση http://www.rhodes.aegean.gr/ltee. Γ.4. Παράδειγµα χρήσης του εργαλείου όπως έχει ήδη εφαρµοστεί περιγράφεται παρακάτω. Όσοι και όσες επιθυµούν να το χρησιµοποιήσουν δεν έχουν παρά να εργαστούν συλλογικά και να µη διαβάσουν τα σχόλια του σταδίου Ζ που παραθέτουµε, παρά µόνο στο τέλος της διαδικασίας ατοµικών απαντήσεων και µεταξύ τους διαλόγου.

Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων Θέµα-Πρόβληµα 1ο Από µαθητές Α τάξης Γυµνασίου δόθηκαν οι παρακάτω εσφαλµένες απαντήσεις: 1. 2,4 3,2 = 6,8 2. 2,3² = 4,9 3. 0,3 0,3 = 0,9 Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; Απάντηση 1 2 3 Βαθµός Σε ποιους παράγοντες νοµίζετε ότι οφείλεται κάθε µια από τις εσφαλµένες απαντήσεις; 1. 2. 3. Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε τους µαθητές; 1. 2. 3.

Στάδιο Ζ -σχόλια Μπορούµε να εξηγήσουµε αυτές τις απαντήσεις παρατηρώντας ότι ο µαθητής θεωρεί ένα δεκαδικό σα να αποτελείται από δύο ανεξάρτητους ακεραίους χωρισµένους από µια υποδιαστολή και στους οποίους πρέπει να ενεργήσει χωριστά, αρχίζοντας από εκείνον που είναι αριστερά. Ξεκινώντας µ' αυτήν την αντίληψη, ο µαθητής δηµιουργεί κανόνες δράσης (λογικά υπονοούµενους), «θεωρήµατα εν δράσει», που είναι συµβατά µε την αντίληψη, για παράδειγµα: "για να πολλαπλασιάσουµε δύο δεκαδικούς, πολλαπλασιάζουµε χωριστά τα ακέραια µέρη και τα δεκαδικά". Αυτοί οι κανόνες έχουν γενικά ένα χώρο αποτελεσµατικότητας και επιτυχίας που ενισχύει την αντίληψη του µαθητή. Έτσι ο παραπάνω κανόνας δίνει σωστό αποτέλεσµα π.χ. για το 0,4*0,4. Αυτή η αντίληψη των δεκαδικών ως ζεύγη ακεραίων µπορεί να συνδεθεί µε τις εξής δύο αιτίες: - Από την µια µεριά, φθάνοντας οι µαθητές στην πέµπτη δηµοτικού έχουν εξοικειωθεί µε έναν τύπο αριθµών (τους φυσικούς που είναι οι µόνοι χρησιµοποιούµενοι µέχρι τότε) και γνωρίζουν κανόνες που έχουν την τάση να τους επεκτείνουν σε όλους τους αριθµούς. Για παράδειγµα: κάθε αριθµός έχει έναν επόµενο ή µεταξύ δύο συνεχόµενων αριθµών δεν µπορεί να παρεµβληθεί κανείς άλλος, που µπορούν να ερµηνεύσουν ένα λάθος όπως το " µεταξύ του 2,5 και του 2,7 υπάρχει µόνο ο 2,6." - Από την άλλη µεριά, οι τρόποι που συνήθως χρησιµοποιούνται για την "εισαγωγή" των δεκαδικών αριθµών δεν έχουν σκοπό να προκαλέσουν ρήξη µε αυτήν την αντίληψη, αλλά µάλλον έχουν την ιδιότητα να την ενισχύουν στο µέτρο που επιµένουν στις "επεκτάσεις" µεταξύ φυσικών και δεκαδικών αριθµών: παρουσίαση του δεκαδικού σε σχέση µε το µετρικό σύστηµα (το 7,16 είναι µια άλλη γραφή του 716 όταν επιλέγουµε σαν µονάδα µέτρησης το µέτρο στη θέση του εκατοστού ή ακόµη µια γραφή που υποκαθίσταται µε την σύνθετη γραφή 7µ16εκ.). Βιβλιογραφία: Καλαβάσης Φ. (1984). Νέα Μαθηµατικά: Αυτό το Σκοτεινό Αντικείµενο του Πόθου και της Καταστροφής. Περιοδικό Μαθηµατική Επιθεώρηση Τεύχος 27 Αθήνα Καλαβάσης, Φ. & Μ. Μεϊµάρης (επιµ.) (1992) Θέµατα ιδακτικής Μαθηµατικών Πρατάσεις Αθήνα Καραγεώργος,. (1997). Τα Μαθηµατικά στη Γενική Εκπαίδευση την Τελευταία Εικοσαετία. Περιοδικό Νέα Παιδεία, Τεύχος 81. Καφούση, Σ. (1994). Τα λάθη των µαθητών στα Μαθηµατικά και ο ρόλος τους στην εκπαίδευση των δασκάλων του ηµοτικού Σχολείου ιδακτορική ιατριβή Φ.Καλαβάση, Χ Μιτσούλη, Σ.Ορφανού, Χ.Σκουµπουρδή, Γ. Τζωρτζακάκη «Το λάθος και το στίγµα: αξιολόγηση λαθών στα µαθηµατικά και πρόληψη σχολικής αποτυχίας» στο τετράτοµο έργο Ν.Πολεµικός, Μ.Καίλα, Φ.Καλαβάσης «Εκπαιδευτική, οικογενειακή και πολιτική ψυχοπαθολογία» Τόµος Γ, «Αποκλίσεις στο χώρο της Εκπαίδευσης», Εκδόσεις Ατραπός 2002.