Ένα Πρόγραμμα για την Ανάλυση Αποφάσεων σε Λογιστικό Φύλλο

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 35 Ένα Πρόγραμμα για την Ανάλυση Αποφάσεων σε Λογιστικό Φύλλο Κ. Π. ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ Λ. Κώτσικας Επίκουρος Καθηγητής Δ.Π.Θ. Πολιτικός Μηχανικός Δ.Π.Θ. Περίληψη Στην εργασία παρουσιάζεται ένα πρόγραμμα για την ανάλυση αποφάσεων, το οποίο λειτουργεί ως πρόσθετο στο Microsoft Excel. Το πρόσθετο σχεδιάζει σε φύλλο εργασίας ένα δένδρο απόφασης, επισυνάπτει πληροφορίες στους κλάδους του, επιτρέπει την αντιγραφή δεδομένων από κελιά, καθώς και τη μετακίνηση, διαγραφή και αντιγραφή ενός υποδένδρου. Επιλύει το πρόβλημα απόφασης χρησιμοποιώντας τόσο το κριτήριο της προσδοκώμενης χρηματικής τιμής όσο και το κριτήριο της προσδοκώμενης χρησιμότητας και πραγματοποιεί αναλύσεις ευαισθησίας. Το πρόσθετο επιλύει επίσης προβλήματα αποφάσεων υπό αβεβαιότητα. Είναι φιλικό και συνοδεύεται από εκτενή βοήθεια σε μορφή υπερκειμένου. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παραδοσιακά, οι αποφάσεις σε στοχαστικές καταστάσεις χωρίζονται σε αποφάσεις υπό διακινδύνευση, όταν για κάθε δυνατό επακόλουθο μιας απόφασης η πιθανότητα πραγματοποίησής του είναι γνωστή και σε αποφάσεις υπό αβεβαιότητα, όταν η πιθανότητα αυτή είναι άγνωστη. Η ανάλυση των αποφάσεων έχει μελετηθεί σε βάθος και έχουν αναπτυχθεί μάλιστα τεχνικές που υποστηρίζουν τη διαδικασία μοντελοποίησης ενός προβλήματος και λήψης μιας απόφασης. Η ανάλυση των αποφάσεων αποτελεί πλέον μέρος των προπτυχιακών σπουδών σε Τμήματα Διοίκησης Επιχειρήσεων και σε Πολυτεχνεία [3, 4, 5] και ειδικότερα σε Τμήματα Πολιτικών Μηχανικών [1, 2]. Αρκετά προγράμματα διατίθενται στο εμπόριο για την ανάλυση στοχαστικών αποφάσεων. Παραδείγματα τέτοιων προγραμμάτων είναι το Data της TreeAge Software, το DecisionPro της Vanguard Software και το Precision Tree της Palisade. Αντίθετα με τα δύο πρώτα προγράμματα που λειτουργούν αυτόνομα, το Precision Tree λειτουργεί ως πρόσθετο στο Microsoft Excel. Διαθέτει μεγάλο αριθμό εργαλείων, μεταξύ των οποίων ανάλυση των αποφάσεων, ανάλυση ευαισθησίας και δυνατότητα προσομοίωσης Monte Carlo στο δέντρο απόφασης. Στην εργασία παρουσιάζεται το Dtree, ένα νέο πρόγραμμα για την ανάλυση αποφάσεων. Το Dtree λειτουργεί ως πρόσθετο στο Microsoft Excel και αναπτύχθηκε με τη Visual Basic for Applications, μια αντικειμενοστραφή γλώσσα προγραμματισμού για το περιβάλλον του Microsoft Office. Το πρόσθετο σχεδιάζει και υπολογίζει δένδρα απόφασης σε φύλλο εργασίας, πραγματοποιεί ανάλυση ευαισθησίας, αναλύει αποφάσεις υπό αβεβαιότητα και είναι φιλικό. Ως προς τα προγράμματα Data και DecisionPro, το κύριο πλεονέκτημα του Dtree είναι το ότι λειτουργεί ως πρόσθετο στο Excel. Λόγω της ευρύτατης διάδοσης του Excel, αφενός Εικόνα 1: Μενού εντολών, γραμμές εργαλείων, μενού συντόμευσης και το αρχικό δένδρο. Picture 1: Command menu, toolbars, shortcut menu and the starting decision tree. Υποβλήθηκε: 19.12.2000 Έγινε δεκτή: 7.9.2001

36 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 ελαχιστοποιείται ο απαιτούμενος χρόνος εκμάθησης του προγράμματος και, αφετέρου, αξιοποιούνται άμεσα δεδομένα που ο χρήστης έχει αναπτύξει σε άλλες εφαρμογές. Ως προς το Precision Tree, περιέχει περισσότερες συναρτήσεις χρησιμότητας, ανάλυση αποφάσεων υπό αβεβαιότητα, πληρέστερη βοήθεια και είναι σχετικά απλούστερο στη χρήση. Το Dtree είναι μέρος ευρύτερου έργου του εργαστηρίου μας για την ανάπτυξη κλασικών εργαλείων της Επιχειρησιακής Έρευνας ως πρόσθετων στο Excel για εκπαιδευτικούς και επαγγελματικούς σκοπούς. Μια περιορισμένη έκδοση του Dtree σύντομα θα διατίθεται στους ενδιαφερόμενους από την ιστοσελίδα του πρώτου από τους συγγραφείς. 2.2. Κατασκευή του δένδρου απόφασης Το Dtree εγκαθίσταται στα πρόσθετα του Microsoft Excel και όταν ενεργοποιηθεί, δημιουργούνται στο περιβάλλον εργασίας το σχετικό μενού εντολών, οι εργαλειοθήκες, το μενού συντόμευσης και οι συνδυασμοί πλήκτρων των εντολών του προγράμματος (εικόνα 1). 2. ΔΕΝΔΡΑ ΑΠΟΦΑΣΗΣ Τα δένδρα απόφασης μοντελοποιούν προβλήματα διακινδύνευσης στα οποία εμπλέκεται μια ακολουθία αποφάσεων. Τα δένδρα απόφασης είναι δικτυωτά μοντέλα που αποτελούνται από κόμβους απόφασης, κόμβους τύχης, τερματικούς κόμβους και κλάδους που συνδέουν τους κόμβους μεταξύ τους. Η βέλτιστη ακολουθία αποφάσεων σε ένα δένδρο απόφασης εντοπίζεται με δύο κριτήρια. Το κριτήριο της προσδοκώμενης χρηματικής τιμής και το κριτήριο της προσδοκώμενης χρησιμότητας. Το πρώτο κριτήριο χρησιμοποιεί τις χρηματικές τιμές (έσοδα ή δαπάνες), ενώ το δεύτερο είναι γενικότερο και βασίζεται στη χρησιμότητα που ο λήπτης της απόφασης αντιστοιχεί σε κάθε χρηματικό ποσό. 2.1. Παράδειγμα Στο επόμενο παράδειγμα από το [1] αναφέρονται οι σχετικές εικόνες που παρατίθενται στην εργασία. Ένας οργανισμός υπεύθυνος για ανεύρεση κοιτασμάτων πετρελαίου πρέπει να αποφασίσει αν θα κάνει ή όχι γεώτρηση σε μια περιοχή. Δεν είναι όμως σίγουροι για την ποσότητα πετρελαίου που υπάρχει και σκέπτονται να εκτελέσουν μερικές πειραματικές δοκιμές για να αποκτήσουν περισσότερες πληροφορίες. Οι πειραματικές (σεισμικές) δοκιμές θα κοστίσουν 240.000 δρχ., ενώ η κανονική γεώτρηση κοστίζει 2.400.000 δρχ. Αν βρεθεί πετρέλαιο, τα έσοδα θα είναι 40.000.000 δρχ. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι ισχύουν οι εξής πιθανότητες: A priori πιθανότητα πετρελαίου (πριν από δοκιμές) = 0,7 Πιθανότητα θετικών δοκιμών = 0,4 Πιθανότητα αρνητικών δοκιμών = 0,6 P(Πετρέλαιο/θετική δοκιμή) = 0,8 P(Πετρέλαιο/αρνητική δοκιμή) = 0,5 Το ερώτημα είναι: Αξίζει να γίνουν οι δοκιμές ή όχι; Επίσης, αν γίνουν, πώς θα επηρεαστεί η απόφαση για γεώτρηση από τα αποτελέσματα των δοκιμών; Εικόνα 2: Το πλαίσιο διαλόγου «Κόμβοι». Picture 2: The dialogue box Nodes. Για να δημιουργηθεί ένα νέο δένδρο απόφασης, ενεργοποιείται η εντολή «Νέο δένδρο». Στο φύλλο εργασίας σχεδιάζεται ένα δένδρο με τρεις κόμβους, από τους οποίους ο πρώτος είναι κόμβος απόφασης (συμβολιζόμενος με τετράγωνο) και οι άλλοι δύο τερματικοί (εικόνα 1). Οι κόμβοι τύχης συμβολίζονται με κύκλο. Μέσα σε κάθε κόμβο αναγράφεται ο αύξων αριθμός του. Η προσθήκη νέων κόμβων στο δένδρο γίνεται σε επιλεγμένο τερματικό κόμβο από το πλαίσιο διαλόγου «Κόμβοι», στο οποίο καθορίζονται (εικόνα 2): 1. Το αν ο κόμβος, στον οποίο θα γίνει η προσθήκη, θα μετατραπεί σε κόμβο απόφασης ή τύχης. 2. Το πλήθος των νέων κόμβων που θα προστεθούν. 3. Τα δεδομένα των νέων κόμβων: το όνομα, η χρηματική τιμή, καθώς και η πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων, αν ο γονικός τους είναι κόμβος τύχης. Είναι δυνατή η προσθήκη κόμβων και σε μη τερματικούς κόμβους. Από το πλαίσιο διαλόγου «Κόμβοι» μπορεί επίσης να τροποποιηθούν δεδομένα που έχουν επισυναφθεί σε κόμβο. Όταν αλλάζουν τα δεδομένα του δένδρου, γίνεται αυτόματα επανασχεδιασμός του δένδρου και επαναρίθμηση των κόμβων. Στην εικόνα 3 απεικονίζεται το δένδρο απόφασης του παραδείγματος στην τελική του μορφή μετά τους υπολογισμούς. Η διαγραφή κόμβων απαιτεί την προεπιλογή κόμβου. Προϋπόθεση για να διαγραφεί ο κόμβος είναι από τον γονικό του κόμβο να ξεκινούν περισσότεροι από δύο κλάδοι. Αν ο κόμβος που θα διαγραφεί είναι καταληκτικός ενός ενδεχομένου, το πρόγραμμα θα ζητήσει να γίνει νέα κατανομή των πιθανοτήτων στους εναπομείναντες καταληκτικούς κόμβους.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 37 Εικόνα 3: Το δένδρο απόφασης του παραδείγματος (προσδοκώμενες χρηματικές τιμές). Picture 3: The decision tree for the example (expected monetary values). 2.3. Μετακίνηση και αντιγραφή κόμβων Στο πρόγραμμα περιλαμβάνονται οι λειτουργίες της αντιγραφής και της μετακίνησης κόμβων. Είναι δυνατή η αντιγραφή ή η αποκοπή όλων των θυγατρικών κόμβων ενός γονικού κόμβου και η επικόλλησή τους πάνω σε άλλο τερματικό κόμβο. Επιλέγεται αρχικά ένας μη τερματικός κόμβος (γονικός κόμβος). Με την αποκοπή μετακινούνται οι θυγατρικοί κόμβοι του γονικού κόμβου, σε άλλο τερματικό κόμβο. Ο τερματικός κόμβος θα αποκτήσει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του γονικού κόμβου, ενώ ο γονικός κόμβος θα μετατραπεί σε τερματικό. Αντιστοίχως, στην περίπτωση της αντιγραφής και της επικόλλησης δημιουργείται ένα πλήρες αντίγραφο των θυγατρικών κόμβων του γονικού κόμβου. 2.4. Υπολογισμός της βέλτιστης απόφασης Το πρόγραμμα υπολογίζει αυτόματα την τελική τιμή και την προσδοκώμενη χρηματική τιμή κάθε κόμβου. Όταν ολοκληρωθεί ο υπολογισμός, προβάλλονται στο σχεδιασμένο δένδρο η τελική τιμή και η προσδοκώμενη χρηματική τιμή κάθε κόμβου (εικόνα 3). Η τελική χρηματική τιμή εμφανίζεται δίπλα σε κάθε κόμβο, ενώ η προσδοκώμενη χρηματική τιμή εμφανίζεται ακριβώς πάνω από τον κόμβο. Με μπλε χρώμα απεικονίζονται οι κόμβοι και οι κλάδοι που ανήκουν στην σειρά των βέλτιστων αποφάσεων σύμφωνα με το κριτήριο της προσδοκώμενης χρηματικής τιμής. Είναι δυνατή η επιλεκτική προβολή ενός εκ των δύο αποτελεσμάτων. Στο παράδειγμα (εικόνα 3) η βέλτιστη απόφαση είναι να πραγματοποιηθεί γεώτρηση χωρίς δοκιμές (κόμβοι 1 και 2). 2.5. Αποθήκευση και ανακατασκευή του δένδρου απόφασης 2.5.1. Αποθήκευση των δεδομένων σε φύλλο εργασίας Κατά τη διάρκεια της κατασκευής του δένδρου είναι δυνατή η εγγραφή των δεδομένων του σε φύλλο εργασίας, και ο σχεδιασμός του μετέπειτα από τα καταχωρισμένα δεδομένα στο φύλλο. 2.5.2. Αποθήκευση των δεδομένων σε αρχείο Τα δεδομένα, που εγγράφονται στο φύλλο εργασίας. μπορούν να αποθηκευτούν σε αρχεία κειμένου. Η αποθήκευση των δεδομένων θα γίνει είτε σε υπάρχον είτε σε νέο αρχείο κειμένου. Αντιστρόφως, ανοίγοντας ένα από τα υπάρχοντα

38 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 αρχεία κειμένου, η κατασκευή του δένδρου θα γίνει από τα ήδη αποθηκευμένα δεδομένα. Αφού ανοιχθεί το αρχείο, τα δεδομένα του δένδρου καταγράφονται σε φύλλο εργασίας του Excel, απ όπου ανακατασκευάζεται το δένδρο. Η όλη διαδικασία γίνεται από ένα πλαίσιο διαλόγου. 2.6. Ανάλυση ευαισθησίας Τα δεδομένα, που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο ενός προβλήματος απόφασης, βασίζονται σε εκτιμήσεις και, επομένως, οι τιμές τους είναι προσεγγιστικές. Είναι σκόπιμο να εξεταστεί πόσο ευαίσθητη είναι η τελική απόφαση που προκύπτει από τα αρχικά δεδομένα, αν ορισμένα από αυτά αλλάξουν. Το Dtree μπορεί να πραγματοποιήσει αυτή την ανάλυση είτε ως προς την τιμή (κόστος ή όφελος) μιας απόφασης είτε ως προς την πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου, αλλά όχι και ως προς τις δύο παραμέτρους ταυτόχρονα. 2.6.1. Ανάλυση ευαισθησίας ως προς την τιμή ενός κόμβου Στο πλαίσιο διαλόγου «Ανάλυση Ευαισθησίας» επιλέγεται ο κόμβος που θα χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση της ευαισθησίας. Επίσης ορίζεται το άνω και το κάτω όριο του διαστήματος του κόστους, καθώς και το βήμα με το οποίο θα γίνει η ανάλυση. Δημιουργείται ο πίνακας των αποτελεσμάτων που αποτελείται από τρεις στήλες και τα αποτελέσματα αναπαρίστανται επίσης γραφικά. Στην πρώτη στήλη δίνεται το όφελος της απόφασης, στη δεύτερη στήλη το μέγιστο όφελος και στην τρίτη η προσδοκώμενη χρηματική τιμή του πρώτου κόμβου. Στην εικόνα 4 φαίνονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας ως προς το όφελος (αρνητική τιμή ισοδυναμεί με κόστος) του κόμβου 2 του δένδρου απόφασης του παραδείγματος, για εύρος τιμών από -3,4 έως -1,4 με βήμα 0,1. 2.6.2. Ανάλυση ευαισθησίας ως προς την πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου Για να γίνει η ανάλυση της ευαισθησίας χρησιμοποιούνται δύο από τους κόμβους, οι οποίοι έχουν κοινό γονικό κόμβο. Αν η πιθανότητα πραγματοποίησης των δύο ενδεχομένων είναι P1 και Ρ2 με S = Ρ1+Ρ2 1, το πρόγραμμα Εικόνα 4: Ανάλυση ευαισθησίας. Picture 4: Sensitivity analysis.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 39 αυξάνει με βήμα 5% την πιθανότητα Ρ1 του πρώτου κόμβου ξεκινώντας από το 0%, η δε πιθανότητα Ρ2 ορίζεται από τη διαφορά S - Ρ1. Σε κάθε επανάληψη υπολογίζεται εκ νέου το δένδρο απόφασης με τις νέες πιθανότητες P1 και Ρ2. 2.7. Συναρτήσεις χρησιμότητας Το Dtree παρέχει τη δυνατότητα να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο της προσδοκώμενης χρησιμότητας για τη βέλτιστη λύση. Το Dtree παρέχει τη δυνατότητα να χρησιμοποιηθεί μία από τις ακόλουθες συνηθέστερες στην πράξη συναρτήσεις χρησιμότητας [2]: Εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας x R U ( x) a be R 0 Λογαριθμική συνάρτηση χρησιμότητας U ( x) aln( x R) b x R 0 Τετραγωνική συνάρτηση χρησιμότητας 1 1 2 U ( x) a x x b x R 2 1 R Εικόνα 5: Το πλαίσιο διαλόγου «Συνάρτηση Χρησιμότητας». Figure 5: The dialogue box Utility function. Όταν ζητηθεί ο υπολογισμός του δένδρου, το Dtree, παράλληλα με τον υπολογισμό με βάση τις χρηματικές τιμές, υπολογίζει επίσης το δένδρο με βάση το κριτήριο της προσδοκώμενης χρησιμότητας. Ο υπολογισμός γίνεται με την προκαθορισμένη συνάρτηση χρησιμότητας που είναι η εκθετική για R ίσο με 100. Τα a και b υπολογίζονται από το πρόγραμμα επιλύοντας το σύστημα που προκύπτει αν τεθούν ως δεδομένα: α/ Η καθορισθείσα τιμή του R. β/ Η μέγιστη και η ελάχιστη χρηματική τιμή των τερματικών κόμβων ως τιμές του x (37,60 και -2,64 στο παράδειγμα της εικόνας 3). γ/ Χρησιμότητα ίση με το 0 αντιστοιχίζεται στην ελάχιστη τιμή και χρησιμότητα 100 στη μέγιστη τιμή. Αν ο χρήστης επιθυμεί άλλη συνάρτηση χρησιμότητας, θα την ορίσει πριν από τον υπολογισμό από το πλαίσιο διαλόγου «Συνάρτηση Χρησιμότητας» (εικόνα 5). Εν συνεχεία, ο χρήστης θα καθορίσει από το μενού των εντολών το αντίστοιχο δένδρο που θα απεικονιστεί (χρηματικές τιμές ή χρησιμότητες). Στην εικόνα 6 απεικονίζεται το δένδρο απόφασης του παραδείγματος με τις χρησιμότητες υπολογισμένες με βάση τις προκαθορισμένες ρυθμίσεις. 3. ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Τα προβλήματα επιλογής αποφάσεων υπό αβεβαιότητα είναι προβλήματα, στα οποία η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου είναι άγνωστη. Ενδεικτικά λύνεται ένα πρόβλημα τεσσάρων αποφάσεων που η κάθε μια έχει τρία δυνατά ενδεχόμενα [4, κεφ. 17]. Τα δεδομένα, τα αποτελέσματα καθώς και το διάγραμμα της ανάλυσης ευαισθησίας ως συνάρτηση του βαθμού αισιοδοξίας για το κριτήριο του Hurwicz απεικονίζονται στην εικόνα 7. Σημειώνεται ότι το Dtree δημιουργεί νέο φύλλο εργασίας και νέο φύλλο γραφήματος για να απεικονίσει αντιστοίχως τα αποτελέσματα και την ανάλυση ευαισθησίας (στην εικόνα 7 αντιγράφηκαν από τα αντίστοιχα φύλλα). 3.1. Παράδειγμα Μια μελετητική και κατασκευαστική εταιρεία έχει την ευκαιρία να συνάψει δύο συμβάσεις. Στην πρώτη Ε1 θα της ανατεθούν η μελέτη και η κατασκευή μιας μονάδας. Στη δεύτερη Ε2 θα της ανατεθούν η μελέτη και κατασκευή ενός συστήματος διανομής. Η εταιρεία μπορεί επίσης να αναλάβει τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο έργο (Ε3). Επομένως, υπάρχουν τρία ενδεχόμενα ή «καταστάσεις της φύσης» (states of nature). Η εταιρεία εξετάζει τις ακόλουθες εναλλακτικές αποφάσεις: Α1: Αναλαμβάνει την κατασκευή, αλλά αναθέτει σε υπεργολαβία τη μελέτη. Α2: Αναλαμβάνει τη μελέτη, αλλά αναθέτει την κατασκευή σε υπεργολαβία. Α3: Αναλαμβάνει και τη μελέτη και την κατασκευή. Α4: Συνεργάζεται με άλλη εταιρεία, η οποία έχει την τεχνογνωσία για ένα τέτοιο έργο. Η εταιρεία υπολογίζει την παρούσα αξία κάθε δυνατής περίπτωσης και διατάσσει τα αποτελέσματα σε μια μήτρα εκκαθάρισης Ε (payoff matrix), στην οποία Εij είναι το κέρδος ή η ζημία, αν επιλεγεί η i απόφαση και πραγματοποιηθεί το j ενδεχόμενο (εικόνα 7). Για παράδειγμα, αν επιλεγεί η απόφαση Α1 και πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Ε1, το κέρδος θα είναι 1.000 δρχ, ενώ, αν είχε επιλεγεί η Α2, θα υπήρχαν ζημίες 2.000 δρχ. Το ζητούμενο είναι ποια είναι η καλύτερη απόφαση για την εταιρεία. 3.2. Ανάλυση αποφάσεων από το Dtree Δεδομένης της μήτρας εκκαθάρισης Ε, το πρόγραμμα χρησιμοποιεί τα ακόλουθα πέντε κριτήρια για την ανάλυση αποφάσεων υπό αβεβαιότητα: 1. Το κριτήριο του Laplace. Όλα τα ενδεχόμενα μιας απόφασης θεωρούνται ίσης πιθανότητας, υπολογίζεται ο αριθμητικός τους μέσος και επιλέγεται η απόφαση με τον μεγαλύτερο αριθμητικό μέσο. 2. Το κριτήριο maximin. Πρόκειται για απαισιόδοξη άποψη όσον αφορά το ενδεχόμενο που θα πραγματοποιηθεί.

40 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 Εικόνα 6: Το δένδρο απόφασης του παραδείγματος (προσδοκώμενη χρησιμότητα). Figure 6: The decision tree for the example (expected utility). Εικόνα 7: Δεδομένα, αποτελέσματα και ανάλυση ευαισθησίας για το παράδειγμα απόφασης υπό αβεβαιότητα. Figure 7: Data, results and sensitivity analysis for the example of a decision under uncertainty.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 41 Αν Ε ij η τιμή της μήτρας για την i απόφαση και το j ενδεχόμενο, τότε επιλέγεται η απόφαση υπολογίζοντας το max min Eij i j 3. Το κριτήριο maximax. Επιλέγεται η απόφαση υπολογίζοντας το max max Eij i j 4. Το κριτήριο του Hurwicz. Το κριτήριο απαιτεί να οριστεί ο βαθμός αισιοδοξίας α (0(α(1) του λήπτη της απόφασης. Η βέλτιστη απόφαση είναι εκείνη για την οποία max a max E i j ij (1 a) min E j ij 5. Το κριτήριο του minimax Regret. Για μια στήλη υπολογίζεται η μέγιστη τιμή. Εν συνεχεία κάθε τιμή μιας στηλης του πίνακα Ε αφαιρείται από την αντίστοιχη μέγιστη τιμή και σχηματίζεται ένας νέος πίνακας (regret matrix), στον οποίο εφαρμόζεται το κριτήριο minmax. Από το πλαίσιο διαλόγου «Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα» (εικόνα 7) γίνεται η επιλογή των κριτηρίων με τα οποία θα γίνει η ανάλυση των αποφάσεων. Ειδικά για το κριτήριο του Hurwicz που χρησιμοποιεί το βαθμό αισιοδοξίας α θα πρέπει να οριστεί μια τιμή για τον α μέσα στο διάστημα [0, 1]. Το πρόγραμμα μπορεί να πραγματοποιήσει ανάλυση ευαισθησίας των τιμών του κριτηρίου βάσει του βαθμού αισιοδοξίας. Για το παράδειγμα, η βέλτιστη απόφαση καθορίζεται ως εξής για τις αντίστοιχες μεταβολές του α (η απόφαση Α4 δεν είναι ποτέ βέλτιστη, πλην της περίπτωσης α = 0, οπότε είναι ισοδύναμη με την Α1): A1 A3 A2 a 1 2 1 a 2 2 3 2 a 1 3 4. ΒΟΗΘΕΙΑ Το πρόγραμμα συνοδεύεται από εκτενή Βοήθεια σε μορφή υπερκειμένου, στην οποία περιέχονται τα εξής (εικόνα 8): Συνοπτική θεωρία τόσο για τις αποφάσεις υπό διακινδύνευση όσο και για τις αποφάσεις υπό αβεβαιότητα. Αναλυτικές επεξηγήσεις για το πώς λειτουργεί το πρόγραμμα και οι συγκεκριμένες εντολές του, καθώς και για τα παραγόμενα αποτελέσματα. Σημειώνεται ότι προς το παρόν, η Βοήθεια λειτουργεί ανεξάρτητα από το Dtree, αλλά προβλέπεται σύντομα η ενσωμάτωσή της στο πρόγραμμα απ όπου θα ενεργοποιείται με σχετική εντολή. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία παρουσιάστηκε το Dtree, ένα πρόγραμμα που λειτουργεί ως πρόσθετο στο Microsoft Excel και με το οποίο πραγματοποιείται ανάλυση αποφάσεων σε φύλλα εργασίας. Το πρόσθετο σχεδιάζει σε φύλλο εργασίας ένα Εικόνα 8: Τυπική οθόνη της Βοήθειας. Picture 8: A typical Help screen.

42 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 δένδρο απόφασης και επιλύει το αντίστοιχο πρόβλημα απόφασης υπό διακινδύνευση, χρησιμοποιώντας τόσο το κριτήριο της προσδοκώμενης χρηματικής τιμής όσο και το κριτήριο της προσδοκώμενης χρησιμότητας. Το πρόσθετο επιλύει, επίσης, προβλήματα αποφάσεων υπό αβεβαιότητα. Σε αμφότερες τις περιπτώσεις το Dtree επιτρέπει την ανάλυση ευαισθησίας της βέλτιστης λύσης, όταν αλλάζουν οι τιμές παραμέτρων του προβλήματος. Το πρόσθετο είναι φιλικό, απλό στη χρήση του, συνοδεύεται από εκτενή βοήθεια σε μορφή υπερκειμένου και τα παρεχόμενα αποτελέσματα είναι πλήρη. Ως εκ τούτου το πρόσθετο μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για εκπαιδευτικούς σκοπούς όσο και σε επαγγελματικές εφαρμογές. 6. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Παναγιωτακόπουλος Δ. Χ., Οργάνωση, Εκμηχάνιση και Προγραμματισμός Τεχνικών Έργων, τόμος ΙΙ: Προγραμματισμός των Κατασκευών Τεχνικών Έργων, Δ.Π.Θ., Ξάνθη, 1996. 2. Ang A. H-S, Tang W. H., Probability Concepts in Engineering Planning and Design, volume II: Decision, Risk and Reliability, J. Wiley, 1984. 3. Hillier F. S., Lieberman G. J., Introduction to Operations Research, Sixth Edition, McGraw-Hill International Editions, 1992. 4. Thuesen H. G., Fabrycky W. J., Thuesen G. J., Engineering Economy, Prentice-Hall International, 1977. 5. Shtub A., Bard J. F., Globerson S., Project Management: Engineering, Technology and Implementation, Prentice Hall Inc., International Editions, 1994. K.Π. Αναγνωστόπουλος Οικονομολόγος-Μηχανικός, Επίκουρος Καθηγητής, Εργαστήριο Οργάνωσης και Προγραμματισμού, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Δ.Π.Θ., 671 00 Ξάνθη. Λ. Κώτσικας Πολιτικός Μηχανικός Δ.Π.Θ., Μεσολογγίου 45, 671 00 Ξάνθη.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 43 Extended summary A Software Application Program for Decision Analysis on Spreadsheets Κ. P. ANAGNOSTOPOULOS L. Kotsikas Assistant Professor DUTH Civil Engineer DUTH Abstract In this paper a software application program for decision analysis is presented which works as a Microsoft Excel add-in. The add-in draws on a sheet a decision tree, attaches information on its nodes, it permits the copying of data from cells, and also the moving, copying and deletion of a subtree. It solves the decision problem using both the expected monetary value and the expected utility criteria and carries out sensitivity analyses. The add-in also solves decision-making problems under uncertainty. It is user-friendly and it is accompanied by extensive help in hypertext form. 1. In this paper a new software application program named Dtree is presented, which permits the analysis of decisionmaking problems under risk and uncertainty. Dtree, developed entirely in Visual Basic for Applications, works as a Microsoft Excel add-in. The program is user-friendly and it can be used both as a support for educational purposes and as a management tool for real life projects. 2. The add-in creates in Microsoft Excel a command menu, the toolbars and the shortcut menu. When a new decision tree is created, Dtree draws on the current sheet a tree with three nodes -a decision and two terminal nodes (picture 1). 3. New nodes are added to a selected node via the dialogue box Nodes in which are determined (picture 2): a/ Whether the selected node will be converted to a decision or chance node. b/ The number of new nodes that will be added. c/ The data of each new node: its name, its monetary value, and the probability of occurrence of events if their parent node is a chance one. 4. It is also possible to add nodes on non-terminal nodes. Data assigned to a node may be modified from the dialogue box Nodes. A condition to delete a node is that two or more branches must start from its parent node. It is possible to copy or to move all the child nodes of a parent node. 5. If the decision tree s data are changed, the add-in redraws the tree and renumbers the nodes. 6. The program calculates the final value and the expected monetary value for each node and draws them on the sheet (picture 3). The nodes and branches that belong to the optimum decision are represented in blue. 7. During the decision tree s construction, it is possible to record the data on a sheet and to restore the tree later from these data. The data recorded on a sheet can also be stored either to an existent or to a new text file from which the tree can be reconstructed. 8. Dtree can realize sensitivity analyses either according to the value (cost or benefit) of a decision (picture 4) or to the probability of occurrence of an event. 9. Instead of using the expected monetary value criterion, the expected utility criterion may be used to determine the best decision (picture 6). Dtree offers the possibility to use three common utility functions [2]: Exponential, Logarithmic, Quadratic (picture 5). The program calculates at the same time the decision tree s values using both the expected monetary value and the expected utility criteria. After that, the user determines from the command menu the tree that will be represented. 10. Dtree can also solve decision-making problems under uncertainty. Given the payoff matrix, the program uses five criteria for the decision analysis under uncertainty: The Laplace criterion, the maximin criterion, the maximax criterion, the Hurwicz criterion and the minimax regret criterion. Especially for the Hurwicz criterion that uses the index of optimism α, a value for α in the interval [0, 1] must to be determined. The program can also realize sensitivity analyses of the Hurwicz criterion according to the values of the index of optimism (picture 7). 11. The add-in contains comprehensive Help in hypertext form in which a short statement of decision theory and detailed explanations on how the add-in works are included (picture 8). K. P. Anagnostopoulos Engineer-Economist, Assistant Professor, Project Management Laboratory, Department of Civil Engineering, School of Engineering, Democritus University of Thrace, 671 00 Xanthi. L. Kotsikas Civil Engineer, Democritus University of Thrace, Mesologiou 45, 671 00 Xanthi. Submitted: Dec. 19. 2000 Accepted: Sep. 7. 2001