Λήψη Αποφάσεων σε Συνθήκες Αβεβαιότητας. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Transcript

1 Λήψη Αποφάσεων σε Συνθήκες Αβεβαιότητας

2 Περιβάλλον Λήψης Αποφάσεων Χαρακτηρίζεται από: Βεβαιότητα (certainty) Αβεβαιότητα (uncertainty) Κίνδυνο (risk) Σύγκρουση (conflict)

3 Περιβάλλον Λήψης Αποφάσεων Χαρακτηρίζεται από: Βεβαιότητα (certainty) Αβεβαιότητα (uncertainty) Κίνδυνο (risk) Σύγκρουση (conflict) Θεωρία Αποφάσεων Θεωρία Παιγνίων

4 Περιβάλλον Λήψης Αποφάσεων Χαρακτηρίζεται από: Βεβαιότητα (certainty) Αβεβαιότητα (uncertainty) Κίνδυνο (risk) Σύγκρουση (conflict) Θεωρία Αποφάσεων Θεωρία Παιγνίων

5 Συνθήκες Βεβαιότητας Είναι γνωστές και διαθέσιμες, τη στιγμή που λαμβάνεται η απόφαση, όλες οι σχετικές πληροφορίες που απαιτούνται για τη λήψη της. Αξιολογούμε κάθε εναλλακτική και επιλέγουμε εκείνη που οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Υποδείγματα επιχειρησιακής έρευνας, ποσοτικές μέθοδοι, κ.α.

6 Συνθήκες Αβεβαιότητας Γνωρίζουμε τα αποτελέσματα για τις διάφορες καταστάσεις που πρόκειται να συμβούν, όμως δε γνωρίζουμε, ούτε μπορούμε να εκτιμήσουμε, πιθανότητες. Είναι πιθανό να λάβουμε, με σχετικά μεγάλη πιθανότητα, μια απόφαση όχι τόσο καλή. Αριθμός κριτηρίων. Στόχος και προδιάθεση απέναντι στην αβεβαιότητα.

7 Συνθήκες Κινδύνου Ενδιάμεση περίπτωση. Γνωρίζουμε, ή μπορούμε να εκτιμήσουμε, πιθανότητες μελλοντικών καταστάσεων. Υποκειμενικές εκτιμήσεις. Εκτιμήσεις προερχόμενες από προηγούμενη εμπειρία για ίδια ή παραπλήσια προβλήματα. Οι πιθανότητες λαμβάνονται υπόψη για τον καθορισμό της άριστης απόφασης.

8 Δομή Προβλήματος d i : εναλλακτικές αποφάσεις (i = 1,, n) (decision alternatives) Οι διάφορες δυνατές στρατηγικές που υιοθετεί ο λήπτης απόφασης (decision maker). s j : μελλοντικές καταστάσεις (j = 1,, m) (states) Γεγονότα που μπορούν να συμβούν στο μέλλον. Δεν υπόκεινται στον έλεγχο του λήπτη της απόφασης. V d i, s j : συνάρτηση αξιολόγησης/απόδοσης της απόφασης Ο λήπτης αξιολογεί κάθε απόφαση σε συνδυασμό με τη μελλοντική κατάσταση, χρησιμοποιώντας κατάλληλο πίνακα αποτελεσμάτων (payoff matrix).

9 Πλήρης Αβεβαιότητα - Κριτήρια Κριτήριο maximax Κριτήριο maximin (Wald, 1945, Annals of Mathematics) Κριτήριο Laplace Κριτήριο Hurwicz (1951, Econometrica) Κριτήριο minimax regret (Savage, 1951, Journal of the American Statistical Association)

10 Κριτήριο maximax Aισιόδοξη προσέγγιση. Ο λήπτης επιλέγει την απόφαση που δίνει το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Μέγιστο δυνατό κέρδος. Ελάχιστο δυνατό κόστος (minimin version). Μειονέκτημα: μεγάλο μέρος της διαθέσιμης πληροφόρησης αγνοείται.

11 Κριτήριο maximax Προσδιορίζουμε το μέγιστο δυνατό κέρδος για κάθε εναλλακτική απόφαση: V + i = max V(d i, s j ), i = 1,, n j Επιλέγουμε την απόφαση που δίνει τη μεγαλύτερη τιμή: max V + i = max max V(d i, s j ) i i j Ανάλογα, σε προβλήματα κόστους: V i = min j V(d i, s j ), i = 1,, n Επιλέγουμε min i V i = min i min j V(d i, s j )

12 Εφαρμογή Επενδύσεις σε υποδομές μεταφοράς (transmission expansion capacity investments)

13 Εφαρμογή Απόφαση για το μέγεθος της επένδυσης: d 1 : μικρή επένδυση d 2 : μεσαία επένδυση d 3 : μεγάλη επένδυση Η επιλογή της άριστης απόφασης εξαρτάται από το επίπεδο της μελλοντικής συνεργασίας (cooperation) μεταξύ των γειτονικών χωρών: s 1 : χαμηλή συνεργασία s 2 : μέτρια συνεργασία s 3 : υψηλή συνεργασία

14 Decarbonization Ο ευρωπαϊκός οδικός χάρτης EU Energy Roadmap 2050 (Ευρωπαϊκή Επιτροπή, 2011) για την ενεργειακή μετάβαση με στόχο: Τη μείωση των ρύπων για το 2050, μέχρι και 80-95% σε σχέση με τα 1990-επίπεδα. Την αύξηση της ανταγωνιστικότητας. Την ενίσχυση της ενεργειακής ασφάλειας (energy security). Κύριοι δρόμοι για την απανθρακοποίηση του ενεργειακού συστήματος: I. Ενεργειακή αποδοτικότητα (energy efficiency) II. ΑΠΕ (RES) III. Πυρηνικά IV. Δέσμευση και Αποθήκευση Άνθρακα (CCS)

15 Decarbonization Η συνεργασία των χωρών αποτελεί ακρογωνιαίο λίθο για την ενεργειακή μετάβαση. Πρόσφατες μελέτες αναλύουν τον βαθμό επίτευξης της συνεργασίας σε επίπεδο ΕΕ. Μακροπρόθεσμα σενάρια για το 2050: Τεχνολογική εξέλιξη Περιβαλλοντικές δεσμεύσεις Ενεργειακή ασφάλεια Διεθνείς συμφωνίες Η συνεργασία στοχεύει στην περαιτέρω χρήση ΑΠΕ στο ενεργειακό μείγμα εντός της ΕΕ.

16 Decarbonization Μη αποδοτική συνεργασία Μη ολοκλήρωση των ευρωπαϊκών ηλεκτρικών αγορών. Μη βιωσιμότητα έργων υποδομών κοινού ενφιαφέροντος. Μη οριοθέτηση κοινών στόχων (Paris Agreement, 1.5 C). Μη υιοθέτηση από κοινού πολιτικών.

17 Εφαρμογή Καθαρή Παρούσα Αξία (ΚΠΑ) V = N t=1 Ταμειακές Εισροές (1 + r) t Αρχική Επένδυση Θετική ΚΠΑ σημαίνει ότι η επένδυση είναι κερφοφόρα, ενώ αρνητική ΚΠΑ συνεπάγεται ζημία.

18 Εφαρμογή Πίνακας Απόδοσης Εναλλακτικές Αποφάσεις Κατάσταση Μελλοντικής Συνεργασίας s 1 s 2 s 3 d d d (Σε million EUR)

19 Κριτήριο maximax Πίνακας Απόδοσης Εναλλακτικές Αποφάσεις Κατάσταση Μελλοντικής Συνεργασίας s 1 s 2 s 3 max d d d d = d 3

20 Κριτήριο maximin Συντηρητική προσέγγιση. Ο λήπτης έχει αρνητική προδιάθεση (αποστροφή) έναντι της αβεβαιότητας. Εστιάζει στο χειρότερο δυνατό αποτέλεσμα. Επιλέγεται το καλύτερο από τα χειρότερα δυνατά αποτελέσματα.

21 Κριτήριο maximin Αξιολογούμε κάθε απόφαση σε σχέση με το χειρότερο δυνατό αποτέλεσμα: V i = min V d i, s j, i = 1,, n j Επιλέγουμε την απόφαση που δίνει το καλύτερο από τα χειρότερα δυνατά αποτελέσματα: max V i = max min V d i, s j i i j Ανάλογα, σε προβλήματα κόστους (minimax version): V i =max V d i, s j, i = 1,, n j Επιλέγουμε: min i V i = min i max j V d i, s j

22 Εφαρμογή Με το κριτήριο maximin: Μελλοντική Κατάσταση Αποφάσεις s 1 s 2 s 3 V i d d d d = d 1 Βασικό μειονέκτημα: Ενώ προστατεύει από υπερβολικά μεγάλες ζημιές, δεν παρέχει τη δυνατότητα για υπερβολικά μεγάλα οφέλη.

23 Κριτήριο Laplace Ισοπίθανες μελλοντικές καταστάσεις: p 1 = = p m = 1 m Αναμενόμενη απόδοση κάθε απόφασης: E i = 1 m j=1 m V(d i, s j ), i = 1,, n Επιλέγουμε την απόφαση που μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοση: max i E i = max i 1 m j=1 m V(d i, s j ) Κατ ανάλογο τρόπο εφαρμόζεται σε προβλήματα ελαχιστοποίησης.

24 Εφαρμογή Απόφαση με το κριτήριο Laplace: Αποφάσεις Μελλοντική Κατάσταση s1 s 2 s 3 Προσδοκώμενη αξία E i d d d (1/3)( )= (1/3)( )=96.67 (1/3)( )=90 d = d 1

25 Κριτήριο Hurwicz Χρησιμοποιείται όταν ο λήπτης της απόφασης επιθυμεί να εκφράσει με μεγαλύτερη ακρίβεια την αισιοδοξία ή την απαισιοδοξία του αναφορικά με τις εξελίξεις στις συνθήκες περιβάλλοντος. Η αισιοδοξία εκφράζεται με τον συντελεστή αισιοδοξίας 0 α 1 α = 0 α = 1 : ο λήπτης απόφασης αντιμετωπίζει τις εξελίξεις με πλήρη απαισιοδοξία (αισιοδοξία).

26 Κριτήριο Hurwicz Για κάθε εναλλακτική d i, προσδιορίζουμε: V + i = max V(d i, s j ) j V i = min V(d i, s j ) j Καθορίζουμε την τιμή του συντελεστή αισιοδοξίας α. Πρόβλημα μεγιστοποίησης: αξιολογούμε κάθε εναλλακτική, με βάση τη σχέση: V i = αv + i + (1 α)v i Απόφαση: αυτή που μεγιστοποιεί την V i. Ανάλογα, σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης, επιλέγουμε την d που ελαχιστοποιεί την V i = αv + i + (1 α)v i

27 Εφαρμογή Απόφαση με το κριτήριο Hurwicz για α=0.8 Κατάσταση Απόφαση s 1 s 2 s 3 + V i V i V i = αv i + + (1 α)v i d (0.8)(150)+(0.2)(60)=132 d (0.8)(200)+(0.2)(-30)=154 d (0.8)(280)+(0.2)(-80)=208 d = d 3

28 Κριτήριο Hurwicz Είναι δυνατόν να συμβάλλει στον αποκλεισμό εναλλακτικών. Γράφουμε V i = V i + α(v i + V i ) Τότε: V 1 = α V 2 = α V 3 = α Υπάρχει κρίσιμη τιμή α cr = 0.51 που διαφοροποιεί την άριστη απόφαση. Γραφική μέθοδος: αποκλείεται η d 2.

29 Κριτήριο minimax regret Αποφεύγουμε την πλήρη αισιοδοξία ή την πλήρη απαισιοδοξία. Ο λήπτης της απόφασης ενδιαφέρεται να ελαχιστοποιήσει τον βαθμό μετάνοιας (regret) από τη μη υλοποίηση των ευνοϊκότερων δυνατών συνθηκών για συγκεκριμένη απόφαση.

30 Κριτήριο minimax regret Έστω ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης. Υπολογίζουμε τον βαθμό μετάνοιας: R ij = max V d i, s j V d i, s j i Μέγιστος βαθμός μετάνοιας: R + i =max R ij j Απόφαση: αυτή που δίνει τον ελάχιστο από τους μέγιστους βαθμούς μετάνοιας: min i R i + = min i max j R ij

31 Κριτήριο minimax regret Πίνακας Απόδοσης Κατάσταση Απόφαση s 1 s m d 1 V(d 1, s 1 ) V(d 1, s m ) d n V(d n, s 1 ) V(d n, s m )

32 Κριτήριο minimax regret Πίνακας Απόδοσης Κατάσταση Απόφαση s 1 s m d 1 V(d 1, s 1 ) V(d 1, s m ) d n V(d n, s 1 ) V(d n, s m ) Maximization V (s 1 ) V (s m ) Optimal states

33 Κριτήριο minimax regret Πίνακας Μετάνοιας Απόφαση Κατάσταση s 1 s m d 1 V d 1, s 1 V s 1 (= R 11 ) V d 1, s m V (s m )(= R 1m ) d n V d n, s 1 V (s 1 )(= R n1 ) V d n, s m V (s m )(= R nm ) Regret/state

34 Κριτήριο minimax regret Πίνακας Μετάνοιας Απόφαση Κατάσταση s 1 s m R i + d 1 R 11 R 1m max j d n R n1 R nm max j min R 1j R nj Minimax regret decision d

35 Εφαρμογή Πίνακας Απόδοσης Απόφαση Κατάσταση s 1 s 2 s 3 d d d Optimality :

36 Εφαρμογή Πίνακας Μετάνοιας Απόφαση Κατάσταση s 1 s 2 s 3 R i + d d d Minimax regret: 90 Minimax regret decision: d = d 2

37 Πρόβλημα Ελαχιστοποίησης Εντελώς ανάλογα, σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης: R ij = V d i, s j min V(d i, s j ) i και πάλι, η άριστη απόφαση: min i R i + = min i max j R ij Εφαρμογή του κρ. Wald (minimax εκδοχή) πάνω στον πίνακα μετάνοιας (regret matrix).

38 Συγκριτική Ανάλυση Απόφαση Κριτήριο Maximax Maximin Laplace Hurwicz Savage d 1 d d d 2 d d 3 d d

39 Κριτική Η διαφορετικότητα των κριτηρίων εκφράζει τις διαφορές στη φιλοσοφία του λήπτη της απόφασης. Το επιλεγόμενο κριτήριο πρέπει να εκφράζει με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια την υποκειμενική κρίση και προτίμηση του λήπτη μιας απόφασης, αναφορικά με τις συνθήκες του περιβάλλοντος και την ανάληψη κινδύνου. Δεν λαμβάνουν υπόψη πληροφορίες σχετικές με τις πιθανότητες των μελλοντικών εξελίξεων.

40 k 2 στόχοι Μείωση εκπομπών CO 2 (αθροιστικά μέχρι το 2050) (σε GtCO 2 ) Απόφαση Κατάσταση s 1 s 2 s 3 d d d Minimax regret απόφαση: d 3 d 2

41 k 2 στόχοι Απόφαση Κατάσταση s 1 s 2 s 3 d 1 (60,20) (100,10) (150,36) d 2 (-30,35) (120,15) (200,20) d 3 (-80,28) (70,32) (280,30) 2 στόχοι σε (million EUR, GtCO 2 )

42 k 2 στόχοι (150,36) (280,30) (60,35) (120,32) (280,36) Joint optimality/scenario (V 1 j, V 2 j )

43 k 2 στόχοι Από Κοινού Σχετικές Αποδόσεις Απόφαση Κατάσταση s 1 s 2 s 3 d 1 (1,0.6) (0.8,0.3) (0.5,1) d 2 (-0.5,1) (1,0.5) (0.7,0.5) d 3 (-1.3,0.8) (0.6,1) (1,0.8) (1,1) Regret: R ij = dist V 1 ij, V 2 ij, 1,1

44 k 2 στόχοι Πίνακας μετάνοιας για 2 στόχους Απόφαση Κατάσταση s 1 s 2 s 3 R i + d d d Από κοινού απόφαση: d 1 d 2, d 3

45 «Εύρωστη» Προσέγγιση Ο λήπτης της απόφασης δεν «πείθεται» από τα συμπεράσματα, όταν οι παράμετροι λαμβάνουν μόνο συγκεκριμένες τιμές (uncertainty consideration). Ενδιαφέρεται για αποφάσεις που είναι «ανθεκτικές» απέναντι στην αβεβαιότητα. Τα κριτήρια minimax και minimax regret παρέχουν εύρωστες (robust) λύσεις.

46 Πρόβλημα LP Θεωρούμε N max x X V c, x = i=1 c i x i όπου X = {x = (x 1,.., x N ) R N : Ax b}, οι μεταβλητές απόφασης (decision variables) c = (c 1,, c N ) R N, οι παράμετροι εισόδου (input parameters)

47 Πρόβλημα LIP υπό Αβεβαιότητα Θεωρούμε: N max x X i=1 c i s x i όπου c s i Z + οι παράμετροι εισόδου x = (x 1,, x N ) X {0,1} N οι μεταβλητές απόφασης Αβεβαιότητα Διακριτή: s S = {s 1,, s m } (scenario set) Συνεχής: c i [c i, c i ] (interval case).

48 Πρόβλημα LIP υπό Αβεβαιότητα Κεφάλαιο b Πρόβλημα Τοποθέτησης Κεφαλαίου Ν επενδυτικές ευκαιρίες (energy technology options) Αβεβαιότητα στα προσδοκώμενα κέρδη Υποθέσεις Επενδύοντας w i αναμένουμε κέρδη c i s. Παράγοντες αβεβαιότητας (εξέλιξη αγοράς, τεχνολογική εξέλιξη, γεωπολιτικές εξελίξεις, κλπ)

49 Πρόβλημα LIP υπό Αβεβαιότητα Απόφαση: βέλτιστο χαρτοφυλάκιο I 1,, N Μέγιστο συνολικό κέρδος: Λόγω του περιορισμού: c i i I i I w i b Εφαρμογή minimax και minimax regret.

50 Παράδειγμα i w i c 1 i c 2 i c 3 i N=6 b=12 Αβεβαιότητα: 3 σενάρια (million EUR)

51 Παράδειγμα Απόδοση ανά σενάριο Κριτήριο Βέλτιστη λύση (x 1,, x 6 ) s 1 s 2 s 3 Maximin (0, 1, 0, 1, 0, 1) Minimax regret (0, 1, 1, 0, 1, 0)

52 Παράδειγμα Κριτήριο Βέλτιστη λύση (x 1,, x 6 ) Απόδοση ανά σενάριο s 1 s 2 s 3 Maximin (0, 1, 0, 1, 0, 1) Minimax regret (0, 1, 1, 0, 1, 0) s 1 (1, 1, 1, 0, 0, 0) s 2 (0, 0, 1, 0, 1, 1) s 3 (0, 1, 1, 1, 0, 0) Οι βέλτιστες λύσεις των σεναρίων δεν είναι ικανοποιητικές. Δίνουν χαμηλά κέρδη σε ορισμένα σενάρια. Μια αποδεκτή λύση πρέπει να «ανταποκρίνεται καλά» σε κάθε μεταβολή. Maximin και minimax regret πιο ευσταθείς λύσεις (robustness).

53 Κριτήριο minimax Κατάλληλο σε περιβάλλοντα μη επαναληπτικών αποφάσεων (κατασκευή γραμμής υψηλής τάσης, αυτοκινητοδρόμων, κλπ). Ή σε περιβάλλοντα λήψης προληπτικών μέτρων (πυρηνικά ατυχήματα, δημόσια υγεία, κλπ). Συντηρητικό κριτήριο (conservative). Σε αυτές τις περιπτώσεις, κλασικές προσεγγίσεις όπως ντετερμινιστική/στοχαστική βελτιστοποίηση δεν ενδείκνυνται. Περιβάλλοντα ανταγωνισμού. Περιπτώσεις προκαθορισμένων στόχων (πωλήσεις κλπ).

54 Κριτήριο minimax regret Ο λήπτης της απόφασης αισθάνεται «δυσαρέσκεια» για μια λανθασμένη απόφαση. Λιγότερο συντηρητικό από το minimax. Λαμβάνεται υπόψη το κόστος ευκαιρίας (opportunity cost). Αποτελεί έναν δείκτη βελτίωσης της απόδοσης μιας απόφασης, αν μπορούσαν να εξαλειφθούν όλες οι μορφές αβεβαιότητας. Ex-post αξιολόγηση του λήπτη απόφασης. Λειτουργούν ως κριτήρια αναφοράς (reference criteria) στην ανάλυση ευρωστίας.

55 Βιβλιογραφία Αγιάκογλου Χ.Ν., Οικονόμου Γ.Σ. (2004), Μέθοδοι Προβλέψεων και Ανάλυσης Αποφάσεων, Εκδόσεις Μπένου, Αθήνα (Β έκδοση). Aissi H., Bazgan C., Vanderpooten D. (2009), Min-max and min-max regret versions of combinatorial optimization problems: a survey, European Journal of Operational Research 197, Kouvelis P., Yu G. (1997), Robust discrete optimization and its applications, Kluwer Academic Publishers, Boston.