Γεωµετρικές Έννοιες και Τεχνολογία στις Μικρές Ηλικίες: Σχεδιασµός έργων και αξιολόγηση στην πράξη ενός περιβάλλοντος δυναµικής γεωµετρίας Άννα Χρονάκη ΠΤΠΕ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας H παρούσα εργασία συζητάει παράλληλα το ζήτηµα της διδασκαλίας της γεωµετρίας στις µικρές ηλικίες, και της ενσωµάτωσης της τεχνολογίας ως διδακτικού πλαισίου για την αντιµετώπιση των αναγκών που ορίζει το αναλυτικό πρόγραµµα Η εστίαση αφορά στη διερεύνηση του δυναµικού της διδασκαλίας γεωµετρικών εννοιών σε περιβάλλον δυναµικής γεωµετρίας και συγκεκριµένα του λογισµικού Cabri. Η έµφαση δίδεται στo σχεδιασµό και στην αξιολόγηση στην πράξη σειράς έργων της µορφής 'µικροκόσµων' οι οποίοι στοχεύουν στην ενεργή ενασχόληση των παιδιών µε την γεωµετρική έννοια του τριγώνου. Μια σειρά 'µικρόκοσµων αναλύονται ως τµήµα ενός διδακτικού πειράµατος µε παιδιά ηλικίας 5-8. Γεωµετρία και τεχνολογία στις µικρές ηλικίες Η µελέτη της γεωµετρίας αφορά το χώρο που µας περιβάλλει, τις υλικές και νοητικές οντότητες που τον απαρτίζουν καθώς και τις µεταξύ τους σχέσεις (Freudenthal, 1973). Έτσι, η γεωµετρία αναπτύσσεται ως 'επιστήµη του χώρου' εστιάζοντας στη µελέτη και εφαρµογή άτυπων ή τυπικών µαθηµατικών εννοιών και αλγορίθµων σε θέµατα καθηµερινής ζωής και εργασίας (π.χ. κίνηση, παιχνίδι, κατασκευές, γεωργία, αρχιτεκτονική, οικοδοµική, κ.α.). Ταυτόχρονα, εξελίσσεται και ως 'λογική δοµή' δίνοντας έµφαση στο χειρισµό αφηρηµένων µαθηµατικών δοµών µέσα από τη µελέτη χωρικών οντοτήτων (π.χ. σηµείο, γραµµή, επίπεδο), καθώς και των συσχετίσεων και των µετασχηµατισµών που τις διέπουν (Hershkovits, 1990). Παρότι πρόκειται για δύο διαφορετικές προσεγγίσεις -η πρώτη δίδει έµφαση στη διαισθητική προσέγγιση των απτών γεωµετρικών χαρακτηριστικών της καθηµερινής εµπειρίας ενώ η δεύτερη στη δυνατότητα γενίκευσης και αφαιρετικής σκέψης- δρουν αλληλεπιδραστικά και συµπληρωµατικά. Όπως, χαρακτηριστικά, αναφέρει ο Fischbein (1993) το ανθρώπινο µυαλό δηµιουργεί 'χωρικές' έννοιες τόσο ως έννοιες (δηλ. αφηρηµένα νοητικά σχήµατα) όσο και ως εικόνες (δηλ. απτές καθηµερινές εµπειρίες γεωµετρικής φύσης) και υποστηρίζει ότι '..η υλική πραγµατοποίηση και η νοητική αναπαράσταση αποτελούν µέρη της ίδιας απάντησης' (σελ. 139). Η δυνατότητα, λοιπόν, µελέτης της γεωµετρίας 1
µέσα από 'καθηµερινές εµπειρίες' οι οποίες αποτελούν µέρος του περιβάλλοντος και των βιωµάτων των παιδιών, κάνει τη διδασκαλία γεωµετρικών εννοιών προσβάσιµη και εφικτή στις µικρές ηλικίες. Παρόλα αυτά, ενώ οι 'καθηµερινές εµπειρίες' των παιδιών αποτελούν αναµφισβήτητα σηµαντική βάση για την εξάσκηση των παιδιών τόσο στην παρατήρηση, όσο και στο σχεδιασµό, στην ονοµασία και στο συµβολισµό γεωµετρικών εννοιών, ταυτόχρονα µπορεί να δράσουν περιοριστικά για το παιδί αναφορικά µε τη διαδικασία γενίκευσης και αφαίρεσης. Στο επεισόδιο 1 βλέπουµε ότι η µικρή Μαρία βασισµένη στις προσωπικές της εµπειρίες µε τρίγωνα 'καθηµερινής ζωής' (π.χ. σχήµατα στο άµεσο περιβάλλον ή στο εποπτικό υλικό) δεν µπορεί να αναγνωρίσει ως τρίγωνο µη στερεότυπες µορφές (π.χ. το αµβλυγώνιο) αλλά το θεωρεί ως 'πεσµένο' τρίγωνο, αλλιώτικο από τα κανονικά. Ερευνήτρια: Ερευνήτρια: Ερευνήτρια: Ερευνήτρια: Έγινε ένα τρίγωνο! Γιατί, πριν δεν ήταν τρίγωνο; Όχι. Ήταν άλλο σχήµα. Πόσες γωνίες έχει ένα τρίγωνο; Τρεις. Εκείνο δεν έχει τρεις; Ναι. Γιατί τότε δεν είναι τρίγωνο; Είναι λίγο αλλιώτικο, είναι πεσµένο... Eπεισόδιο 1: To 'πεσµένο' τρίγωνο, Μαρία, 6 ετών, Μάρτης 2004 Αυτό σηµαίνει ότι η δυνατότητα της Μαρίας για γενίκευση των βασικών χαρακτηριστικών του τριγώνου µπορεί να ερµηνευθεί ως περιορισµένη. Όµως, η ικανότητα των παιδιών για γενίκευση και αφαιρετική σκέψη αποτελεί βασική δεξιότητα επιστηµονικής σκέψης και συνθήκη για την αξιολόγηση των παιδιών και το διαχωρισµό τους σε καλούς και κακούς µαθητές και µαθήτριες. Έτσι, η προσέγγιση της γεωµετρίας µέσα από το πρίσµα της σύνδεσης της 'καθηµερινής εµπειρίας' µε την 'αφαιρετική σκέψη' αποτελεί πρόκληση για το σχολικό πρόγραµµα στις µικρές ηλικίες. Αυτή η πρόκληση µοιάζει να µπορεί να απαντηθεί σήµερα µέσα από περιβάλλοντα 'δυναµικής γεωµετρίας' τα οποία επιτρέπουν τον άµεσο χειρισµό της 'εικόνας' (ή της οπτικής αναπαράστασης ενός σχήµατος) στην οθόνη του υπολογιστή γεωµετρικών οντοτήτων καθώς και τον µετασχηµατισµό τους µε τέτοιο τρόπο ώστε να επιτρέπουν τη δηµιουργία µαθησιακών πλαισίων τα οποία προάγουν την αφαιρετική σκέψη µέσα από διαδικασίες παραγωγής εικασίας, πειραµατισµού, ελέγχου και ανατροφοδότησης. 2
Αναφορικά µε την ενσωµάτωση της τεχνολογίας ως µέσο' για τη γεωµετρία, θα πρέπει να τονιστεί ότι τις τελευταίες τρεις δεκαετίες έχουν γίνει προσπάθειες για την ανάπτυξη κατάλληλου λογισµικού το οποίο θα µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως βάση για τη διδασκαλία, τη µάθηση και την εξερεύνηση γεωµετρικών εννοιών (π.χ. τα περιβάλλοντα Supposer, Cabri και Geometry Sketchpad), τα οποία χαρακτηρίζονται ως περιβάλλοντα 'δυναµικής' γεωµετρίας. Ο χαρακτηρισµός 'δυναµική γεωµετρία' δηλώνει το αντίθετο του στατικού, του αµετάβλητου, και αναφέρεται στη δυνατότητα κίνησης και µεταβολής των σχηµάτων. Αυτή η προοπτική µας προδιαθέτει να δούµε το γεωµετρικό σχήµα ως µια µεταβαλλόµενη οντότητα, της οποίας κάθε φορά έχουµε και µια διαφορετική αναπαράσταση. Η Laborte (1995), µέλος της οµάδας σχεδιασµού του λογισµικού Cabri, εξηγεί ότι η 'δυναµική γεωµετρία', εισάγει ένα νέο τύπο σχεδίου και διαδικασίας σχεδιασµού γεωµετρικών σχηµάτων, η συµπεριφορά των οποίων είναι σύµφωνη µε τη γεωµετρική θεωρία. Καθώς τα παιδιά χειρίζονται δυναµικά το σχέδιο, απαιτείται να κατασκευάσουν µια ερµηνεία (ή µια εικασίαυπόθεση) αυτών που διαδραµατίζονται στην οθόνη του υπολογιστή και να εξηγήσουν τα αποτελέσµατα του χειρισµού τους µε γεωµετρικούς όρους. Έτσι µαθαίνουν να κινούνται από τις οπτικές στις νοητικές αναπαραστάσεις και να αναπτύσσουν νοητικές στρατηγικές και ερµηνείες µαζί µε δεξιότητες αφαιρετικής σκέψης και επιχειρηµατολογίας. Σχετικές µελέτες αναφέρουν ότι τα παιδιά που χρησιµοποιούν τέτοια εργαλεία έχουν καλύτερα αποτελέσµατα µάθησης και κάνουν υψηλότερου επιπέδου παρατηρήσεις και ερωτήσεις. Συγκεκριµένα, η φιλοσοφία του λογισµικού Cabri είναι να παρέχει ευελιξία αλληλεπίδρασης ανάµεσα στο παιδί και το λογισµικό. Οι περισσότερες ενέργειες πραγµατοποιούνται µε το ποντίκι (επιλέγοντας στην οθόνη), οι µετασχηµατισµοί των γεωµετρικών σχηµάτων γίνονται µε ιδιαίτερη ευκολία και οι οπτικές αναπαραστάσεις τους είναι άµεσες. Επιτρέπει στον χρήστη, να κατασκευάσει µε εργαλεία τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα της ευκλείδειας γεωµετρίας (δηλ. σηµείο, κύκλο, ευθ. τµήµα, ηµιευθεία και ευθεία), τις στοιχειώδεις κατασκευές και τους βασικούς µετασχηµατισµούς (µεταφορά, στροφή κτλ), να κατασκευάζει οποιοδήποτε γεωµετρικό σχήµα, και να το επεξεργάζεται µετρώντας τα βασικά µεγέθη του (µήκη πλευρών, περίµετρος, εµβαδόν, γωνίες). Συνοπτικά, οι βασικοί γεωµετρικοί χειρισµοί που ενθαρρύνει το Cabri αφορούν στη σχεδίαση και κατασκευή σχηµάτων, στο 3
χειρισµό γεωµετρικών οντοτήτων, στην οπτικοποίηση γεωµετρικών σχέσεων, στη µεταβολή και στο µετασχηµατισµό σχηµάτων και σχέσεων, καθώς και στη µετρική τους διαχείρηση. Προσφέρεται για διερευνητική µάθηση και πειραµατισµό σε ένα µεγάλο µέρος των µαθηµατικών σε όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης. Στα παρακάτω, θα αναφερθούµε στα αποτελέσµατα της διαδικασίας σχεδιασµού έργων για τη γεωµετρία µε το λογισµικό Cabri για παιδιά ηλικίας 5-8 ετών. Σχεδιασµός έργων µε το λογισµικό Cabri κατά την αξιολόγηση τους στην πράξη µε παιδιά µικρής ηλικίας Στόχος της παρούσας εργασίας, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, είναι η αξιολόγηση του λογισµικού Cabri ως πλαισίου διδασκαλίας και µάθησης γεωµετρικών εννοιών. Η µεθοδολογική προσέγγιση είναι αυτή του 'διδακτικού πειράµατος' - µια µέθοδος η οποία έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο µιας κονστρουκτιβιστικής θέασης της µαθηµατικής παιδείας (βλ. Chronaki, 1992 ) όπου οι ερευνητές και οι ερευνήτριες εστιάζουν στην ανάλυση και αξιολόγηση της διδακτικής διαδικασίας µε στόχο τον επανασχεδιασµό της. Έτσι, σε αυτόν τον τύπο 'πειράµατος' δεν ενδιαφέρει τόσο η µέτρηση του κοινωνιο-γνωστικού ή µαθησιακού αποτελέσµατος µε συλλογή συγκρίσιµων ποσοτικών δεδοµένων, αλλά η αποτύπωση των κριτικών σηµείων (critical incidents) της διδακτικής πορείας τα οποία βοηθούν στην αποσαφήνιση κύριων κατηγοριών του διδακτικού σχεδιασµού. Ο διδακτικός σχεδιασµός συνδέεται έτσι άρρηκτα µε την αξιολόγηση στην πράξη των παραχθέντων έργων. Μαζί αποτελούν αλληλένδετες διαδικασίες οι οποίες αλληλοσυµπληρώνονται παρέχοντας ανατροφοδότηση και αναστοχασµό. Σ' αυτή τη συνεργατική πορεία σχεδιασµού και αξιολόγησης πήραν µέρος περίπου 40 µαθητές και µαθήτριες σε διάφορα νηπιαγωγεία και δηµοτικά σχολεία της πόλης του Βόλου, καθώς επίσης φοιτήτριες, φοιτητές και εκπαιδευτικοί. Στα παρακάτω θα αναφερθούµε σε τέσσερις 'µικρόκοσµους', οι οποίοι αποτελούν έργα τα οποία είναι κατασκευασµένα στο λογισµικό Cabri και εστιάζουν στην διερεύνηση ενός γεωµετρικού σχήµατος και στην επίλυση κάποιου προβλήµατος από τα παιδιά. ιαµορφώθηκαν στα πλαίσια αυτής της κυκλικής πορείας σχεδιασµού και αξιολόγησης. Τα έργα στους 'µικρόκοσµους' αφορούν τόσο τη διερεύνηση και µελέτη γεωµετρικών σχηµάτων (π.χ. οι µικρόκοσµοι α και β που µελετούν τη συµπεριφορά τριγώνων), όσο και τον προβληµατισµό των γεωµετρικών σχέσεων που προκύπτουν µεταξύ των τριγώνων ή 4
µεταξύ τριγώνων και άλλων γεωµετρικών σχηµάτων (π.χ. οι µικρόκοσµοι γ και δ). Οι 'µικρόκοσµοι' αυτοί αναλυτικά είναι: α) 'Φτιάξε το δικό σου τρίγωνο': Στο έργο αυτό, ζητήθηκε από τα παιδιά να επιλέξουν τα κατάλληλα εργαλεία στο λογισµικό Cabri, να φτιάξουν ένα τρίγωνο και στη συνέχεια να το αλλάξουν, να το κάνουν δηλαδή είτε πολύ µεγάλο ή πολύ µικρό, να το µεταµορφώσουν σε µία γραµµή ή να το εξαφανίσουν σε ένα σηµείο. Οι στόχοι αφορούν στην ελεύθερη σχεδίαση, στην εξοικείωση των παιδιών µε τα εργαλεία του λογισµικού και µε την ιδέα του δυναµικού µετασχηµατισµού των σχηµάτων. Τα παιδιά, ακόµη κι αυτά που δεν είχαν καµία πρότερη εµπειρία µε τον υπολογιστή, δεν δυσκολεύτηκαν καθόλου να εξοικειωθούν µε τα εργαλεία και τις λειτουργίες του λογισµικού. Ιδιαίτερη εντύπωση έκανε η ιδιότητα του µετασχηµατισµού, όπου παίζοντας µπορούσαν να ανακαλύψουν ότι τα τρίγωνα αλλάζουν µορφή. Εικόνα 1: Φτιάξε το 'δικό' σου τρίγωνο β) 'Φτιάξε το δικό σου καράβι, δένδρο, σπίτι ή ότι άλλο: Τα παιδιά µπορούν να χρησιµοποιήσουν δοσµένα τρίγωνα είτε όπως είναι είτε µετασχηµατίζοντάς τα και να τα συνθέσουν δηµιουργικά φτιάχνοντας ένα καράβι. Εικόνα 2 - Φτιάξε το 'δικό' σου καράβι 5
Η εξοικείωση µε τα εργαλεία και τις δυνατότητες του λογισµικού παραµένει κεντρικός στόχος. Τα παιδιά, όπως φαίνεται από την εικόνα 2 είχαν την δυνατότητα να παράγουν δηµιουργικές συνθέσεις ενώ παράλληλα εξοικειώνονταν µε τη χρήση του λογισµικού. γ) Σχεδίασε ίδια και διαφορετικά τρίγωνα: Tι παρατηρείς; : Σε αυτό το έργο, δίδονται συγκεκριµένα τρίγωνα και ζητείται από τα παιδιά να σχεδιάσουν τρίγωνο ίδιο και διαφορετικό από το δοσµένο. Πριν ξεκινήσουν τη σχεδίαση ζητείται από τα παιδιά να µαντέψουν πόσα ίδια και πόσα διαφορετικά τρίγωνα µπορούν να φτιάξουν δικαιολογώντας το σκεπτικό τους. Μέσα από τη σχεδίαση µπορούν να επαληθεύσουν ή όχι την εικασία τους. Η διαισθητική προσέγγιση των µετρικών χαρακτηριστικών των σχηµάτων αποτελεί κεντρικό στόχο, καθώς και η διαδικασία παραγωγής εικασίας, επαλήθευσης και ερµηνείας σχετικά µε τις γεωµετρικές σχέσεις. Όπως είδαµε και στο επεισόδιο 1, τα παιδιά τείνουν να χρησιµοποιούν στερεότυπες εικόνες για την αναπαράσταση της έννοιας του τριγώνου. Η ενασχόληση των παιδιών µε τέτοια έργα δίδει τη δυνατότητα αλλαγής (ή εµπλουτισµού) των νοητικών τους αναπαραστάσεων. δ) Γέµισε ένα τετράπλευρο µε τρίγωνα : Σε αυτή τη σειρά έργων δίδεται τετράπλευρο (ορθογώνιο, τετράγωνο, ρόµβος ή ακανόνιστο) και ζητείται από τα παιδιά να το γεµίσουν µε τρίγωνα. Μπορεί επίσης να ζητηθεί από τα παιδιά να µαντέψουν ποιός µπορεί να είναι ο µικρότερος ή ο µεγαλύτερος αριθµός τριγώνων που χρειαζόµαστε για να καλύψουµε ένα τυχαίο τετράπλευρο. Εδώ οι στόχοι αφορούν πάλι τη δηµιουργία εικασίας και την επαλήθευση µέσα από συστηµατικό πειραµατισµό (π.χ. όπου τα παιδιά µπορούν να δοκιµάσουν µε ένα ορισµένο αριθµό τριγώνων την επικάλυψη ενός τετραπλεύρου και να συνεχίσουν µικραίνοντας ή µεγαλώνοντας τον αριθµό. 6
Εικόνα 3: υναµικός χειρισµός των σχηµάτων για τη κάλυψη του ορθογωνίου Μέσα από αυτή τη διαδικασία εικασίας-πειραµατισµού-επαλήθευσης-ερµηνείας τα παιδιά µπορούν να ανακαλύψουν σχέσεις µεταξύ γεωµετρικών σχηµάτων και δυνητικά να φτάσουν σε άτυπες ή τυπικές µορφές γενίκευσης. Εικόνα 4: Γέµισµα τετραγώνου µε τρία, τέσσερα και πέντε τρίγωνα Για παράδειγµα, σε µια ανοιχτή ερώτηση όπως 'Ποιος είναι ο µικρότερος αριθµός τριγώνων που εγγράφεται σε κάθε τετράπλευρο;' τα παιδιά µπορούν να πειραµατιστούν και να 'ανακαλύψουν' ότι τελικά σε κάθε περίπτωση τετραπλεύρου εγγράφονται πάντα δύο τρίγωνα. Η κατάληξη σε µια τέτοια διαπίστωση απαιτεί από τα παιδιά να εµπλακούν σε 'συστηµατικό' πειραµατισµό όπου η παρέµβαση της εκπαιδευτικού και οι 'οπτικές αναπαραστάσεις' στην οθόνη του υπολογιστή παίζουν διαµεσολαβητικό ρόλο. Αντί συµπερασµάτων 7
Βασισµένοι στην παραπάνω εµπειρία σχεδιασµού και αξιολόγησης στα πλαίσια διδακτικού πειράµατος, θα µπορούσαµε να επισηµάνουµε ότι το λογισµικό Cabri αποτελεί ένα κατάλληλο περιβάλλον για τη διδασκαλία της γεωµετρίας στις µικρές ηλικίες αλλά και για την µύηση των παιδιών στη τεχνολογία. Μέσα από τα παραδείγµατα 'µικροκόσµων' που είδαµε παραπάνω, ήταν εφικτό να επιβεβαιώσουµε τα πλεονεκτήµατα αυτού του ηλεκτρονικού περιβάλλοντος για γεωµετρικές δραστηριότητες που αφορούν παιδιά της προσχολικής και πρωτο-σχολικής εκπαίδευσης. Τα ίδια τα παιδιά µπορούν πολύ άνετα να εξοικειωθούν µε το λογισµικό διότι τα µενού εργαλείων είναι ευδιάκριτα και τα τεχνικά του χαρακτηριστικά προσιτά. Συγκεκριµένα, θα µπορούσαµε να τονίσουµε τα παρακάτω σηµεία: Πρώτον, το λογισµικό αυτό έχει βασικές διαφορές από τα ευρέως διαδοµένα 'κλειστά' πολυµεσικά λογισµικά. εν παρέχει ένα έτοιµο σενάριο για πλοήγηση, αλλά αντίθετα δίνει τη δυνατότητα για τη δηµιουργία 'µικροκόσµων' οι οποίοι αποτελούν σειρά έργων (τα έργα συνδέονται από κοινό θέµα και συναφής στόχους) στους οποίους τα παιδιά µπορούν να δραστηριοποιηθούν, να αυτενεργήσουν, να δηµιουργήσουν, να προβληµατιστούν και εν τέλη να αναπτύξουν µαθηµατικές δεξιότητες. Έτσι, το ίδιο το λογισµικό αποτελεί ένα ανοικτό περιβάλλον µάθησης όπου η έµφαση δίδεται στη διαδικασία και όχι στο αποτέλεσµα. εύτερον, οι εκπαιδευτικοί µπορούν µε σχετική ευκολία να αναπροσαρµόσουν αυτούς τους 'µικρόκοσµους' ή και να δηµιουργήσουν νέους οι οποίοι µπορούν να αναφέρονται σε άλλες οικογένειες γεωµετρικών εννοιών (π.χ. τετράγωνο, πολύγωνο, κύκλο, κλπ). Τρίτον, το περιβάλλον αυτό µας ωθεί να προσεγγίσουµε τη γεωµετρία µε εντελώς διαφορετικούς όρους (Rotman, 1993), προσαρµόζοντάς την στις εµπειρίες και στις ικανότητες των παιδιών. Η δυνατότητα 'µετασχηµατισµών' και πολλαπλών 'οπτικών αναπαραστάσεων' ενθαρρύνει τα παιδιά στη διερεύνηση, στον πειραµατισµό και στην απόδειξη χρησιµοποιώντας τη 'διαίσθηση' και τις 'αισθήσεις' τους και όχι τη φορµαλιστική λογική που συνήθως επιβάλλει µια περιορισµένη οπτική της µαθηµατικής παιδείας. Βιβλιογραφικές αναφορές Freudenthal, H. 1973. Μathematics as an Educational Task. Dordrect-Holland. D. Reitel Publishing Company 8
Fishbein, E. 1993. The Theory of Figural Concepts. Educational Studies in Mathematics. Vol. 24, pp. 139-162. Chronaki, A. 1992. Τhe Epistemology of Constructivism. School of Education. University of Bath. Hershkovits, R. 1990. Psychological Aspects of Learning Geometry. In P. Nesher and J. Kilpatrick (eds.) Mathematics and Cognition. Cambridge University Press. Laborde, C. 1995. Language and Mathematics. In P. Nesher and J. Kilpatrick (eds) International Handbook of Studies in Mathematics Education. Cambridge University Press. Papert, S. 1980. Νοητικές Θύελλες, παιδιά, ηλεκτρονικοί υπολογιστές και δυναµικές ιδέες. Οδυσσέας. Αθήνα (µετάφραση 1991). Rotman, B. 1993. Ad Infinitum: The Ghost in Turing's Machine - Taking the God out of Mathematics and Putting the Body back in. CA: Stanford University Press. Yakimanshkaya, I. S. 1991, The Development of Spatial Thinking in SchoolChildren. In Soviet Studies in Mathematics, Vol. V. NCTM, Reston Virginia, US. Σκουµπουρδή, Χ. 2003. Μορφές Εικονικής Αναπαράστασης της Έννοιας του Τριγώνου στα Μαθηµατικά του ηµοτικού Σχολείου. Στο. Χασάπης (επιµ..) Εικόνα, Σχήµα και Λόγος στη ιδασκαλία των Μαθηµατικών (σελ. 105-124). Ευχαριστίες Τα επιµέρους στοιχεία του διδακτικού πειράµατος και της σειράς έργων στους 'µικρόκοσµους' αναπτύχθηκαν στα πλαίσια πτυχιακών εργασιών και εργασιών σε προπτυχιακά µαθήµατα που αφορούν την αξιοποίηση των νέων τεχνολογιών στην εκπαίδευση. Ευχαριστίες πρέπει να αποδοθούν σε όλες τις φοιτήτριες και τους φοιτητές που παρακολούθησαν και συµµετείχαν σε αυτά τα µαθήµατα. Επίσης θερµά ευχαριστώ στις εκπαιδευτικούς, στους µαθητές και στις µαθήτριες που βοήθησαν στη διεξαγωγή των διδακτικών πειραµάτων. 9