Διπλωματική Εργασία KΟΚΚΑΛΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑΣ. Επιβλέποντες: Καθηγητής Γ. Γκαζέτας Δρ.I. Αναστασόπουλος. Diploma Thesis by KOKKALI PANAGIOTA.

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Γεωτεχνικής National Technical University School of Civil Engineering Geotechnical Division Διπλωματική Εργασία KΟΚΚΑΛΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑΣ Επιβλέποντες: Καθηγητής Γ. Γκαζέτας Δρ.I. Αναστασόπουλος ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗ ΜΕΤΑΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ : ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ METAPLASTIC ROCKING RESPONSE OF -DOF SYSTEMS : DIMENSIONAL ANALYSIS Diploma Thesis by KOKKALI PANAGIOTA Supervized dby Professor G. Gazetas Dr. I. Anastasopoulos Οκτώβριος 2

Ευχαριστίες Φτάνοντας στο τέλος αυτής της εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω τους ανθρώπους που στάθηκαν δίπλα μου και συνέβαλαν στην ολοκλήρωση αυτού του στόχου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον καθηγητή μου κ. Γ. Γκαζέτα, όχι μόνο γιατί μου έδωσε τη δυνατότητα να εκπονήσω τη διπλωματική μου εργασία υπό την καθοδήγησή του, αλλά και γιατί από τα πρώτα χρόνια των σπουδών μου παρείχε έμπνευση για με έκανε να αγαπήσω τόσο πολύ το αντικείμενο του μηχανικού. Ευχαριστώ θερμά το διδάκτορα Ι. Αναστασόπουλο που στάθηκε στο πλάι μου καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας και μου παρείχε πολύτιμη καθοδήγηση και αμέριστη υποστήριξη. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω το διδάκτορα Ρ. Κουρκουλή και την υποψήφια διδάκτωρ Φ. Γελαγώτη για την πολύτιμη συνεισφορά τους στην ολοκλήρωση αυτής της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογενειά μου που με υποστηρίζει και μου συμπαραστέκεται σε κάθε μου βήμα.

Λικνιστική Μεταπλαστική Συμπεριφορά Μονοβάθμιων Συστημάτων : Διαστατική Ανάλυση Εκτενής περίληψη Τις τελευταίες δεκαετίες έχει αρχίσει να επικρατεί η άποψη ότι οι αυξημένοι συντελεστές ασφαλείας όσον αφορά στον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών δεν οδηγούν απαραίτητα σε υψηλότερα επίπεδα ασφαλείας. Εφόσον η ανελαστική απόκριση των κατασκευών στην περίπτωση του ισχυρότερου πιθανού σεισμού είναι αναπόφευκτη, οι ισχύοντες αντισεισμικοί κανονισμοί στοχεύουν στον περιορισμό και έλεγχο των βλαβών. Στο πλαίσιο αυτής της μεθοδολογίας σχεδιασμού είναι απαραίτητο να διασφαλιστούν: (α) η αποφυγή της κατάρρευσης της κατασκευής λόγω υπέρβασης των σεισμικών φορτίων σχεδιασμού (πλάστιμος σχεδιασμός), και (β) η αποφυγή ψαθυρών μορφών αστοχίας (ικανοτικός σχεδιασμός). Όσον αφορά στον ικανοτικό σχεδιασμό της θεμελίωσης, οι ισχύοντες κανονισμοί επιδιώκουν τη διασφάλιση οιονεί ελαστικής συμπεριφοράς της θεμελίωσης, καθοδηγώντας την πλαστική άρθρωση στην ανωδομή. Εν ολίγοις, η κινητοποίηση της φέρουσας ικανότητας, καθώς και το ανασήκωμα ή/και η ολίσθηση απαγορεύονται. Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή συντελεστών υπεραντοχής, ώστε η αντοχή της θεμελίωσης να ξεπερνά την αντοχή της ανωδομής, οδηγώντας σε αυξημένες απαιτήσεις πλαστιμότητας στα μέλη της ανωδομής. Ωστόσο, η κινητοποίηση μηχανισμών φέρουσας ικανότητας της θεμελίωσης δεν οδηγεί απαραίτητα σε αστοχία λόγω του ανακυκλικού και κινηματικού χαρακτήρα της σεισμικής φόρτισης. Για την περίπτωση επιφανειακών θεμελιώσεων, η ολίσθηση και ο λικνισμός, οδηγούν σε σημαντική απόσβεση ενέργειας και δύνανται να αλλάξουν τις δυναμικές ιδιότητες του συστήματος. Μια νέα φιλοσοφία σχεδιασμού, η οποία επιτρέπει τη δημιουργία πλαστικής άρθρωσης στη θεμελίωση, έχει κεντρίσει το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών τα τελευταία χρόνια. Μάλιστα, σε πολλές περιπτώσεις έχει αποδειχθεί ότι η υπέρβαση της αντοχής της θεμελίωσης μπορεί να είναι ιδιαίτερα ευεργετική για τη συνολική συμπεριφορά του δομικού συστήματος. i

Κατά την διάρκεια ενός σεισμικού γεγονότος, υψίκορμες κατασκευές (όπως τα βάθρα γεφυρών) υποβάλλονται σε συνδυασμένη φόρτιση (κατακόρυφο, οριζόντιο φορτίο και ροπή). Η ροπή είναι το κρίσιμο φορτίο στη δυναμική απόκριση τέτοιων κατασκευών. Η λικνιστική απόκριση της κατασκευής διαφοροποιείται σημαντικά όταν συμβαίνει αποκόλλησή της από το έδαφος. Στην παρούσα εργασία διερευνάται η λικνιστική απόκριση μονοβάθμιων συστημάτων επί επιφανειακών θεμελίων εδραζόμενων σε ανελαστικό εδαφικό σχηματισμό. Το μονοβάθμιο σύστημα είναι μια ικανοποιητική προσέγγιση του μεμονωμένου βάθρου μιας γέφυρας. Ο βασικός στόχος της παρούσης εργασίας είναι η περιγραφή της πλήρους ανελαστικής συμπεριφοράς υψίκορμων κατασκευών σε αδιάστατη μορφή για στατική, ανακυκλική, και δυναμική φόρτιση. Επιχειρείται στατική διαστατική ανάλυση με στόχο τον προσδιορισμό της αντοχής σε ροπή και της κρίσιμης γωνίας ανατροπής μονοβάθμιων συστημάτων εδραζόμενων σε ενδόσιμο εδαφικό σχηματισμό. Η διαστατική ανάλυση επεκτείνεται καί για δυναμική φόρτιση με στόχο τη μελέτη δυναμικώς ισοδύναμων συστημάτων. Η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς και της ανατροπής ολοκληρώνεται με την εξαγωγή διαγραμμάτων ανατροπής για χαρακτηριστικές περιπτώσεις δομικών συστημάτων. Για τη διερεύνηση της λικνιστικής συμπεριφοράς μονοβάθμιων συστημάτων έγιναν διδιάστατες μη γραμμικές αναλύσεις με τον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων Abaqus. Το σύστημα θεμελίωσης βάθρου γέφυρας προσομοιώνεται ως εξής : το βάθρο αποτελείται από γραμμικά στοιχεία δοκού κυκλικής διατομής, το κατάστρωμα αντιπροσωπεύεται από ένα στοιχείο μάζας, η δε θεμελίωση προσομοιώνεται με ελαστικά τετραεδρικά στοιχεία συνεχούς μέσου. Η ελαστική συμπεριφορά του βάθρου και της θεμελίωσης περιγράφονται από το μέτρο ελαστικότητας Ε. Το έδαφος, αποτελούμενο από κορεσμένη άργιλο υπό αστράγγιστες συνθήκες, προσομοιώνεται με τετραεδρικά στοιχεία συνεχούς μέσου. Η ανελαστική συμπεριφορά του περιγράφεται με το κριτήριο αστοχίας Von Mises με έναν μη γραμμικό κινηματικό νόμο κράτυνσης. Ειδικά στοιχεία διεπιφάνειας χρησιμοποιούνται για να προσομοιώσουν την επαφή θεμελίωσης εδάφους. Τα στοιχεία αυτά δίνουν τη δυνατότητα ρεαλιστικής προσομοίωσης της δυνατής αποκόλλησης του θεμελίου από το έδαφος. Ο συντελεστής τριβής θεωρείται αρκετά μεγάλος ώστε να μην επιτρέπεται ολίσθηση του θεμελίου. Σε κάθε περίπτωση η μη γραμμικότητα που προκύπτει από την ανελαστική συμπεριφορά του εδάφους ή από γεωμετρική μη γραμμικότητα (φαινόμενα P δ και ανασήκωμα του θεμελίου) λαμβάνεται υπόψη. ii

Τα εξεταζόμενα συστήματα εδάφους θεμελίωσης βάθρου υποβάλλονται σε στατική φόρτιση με ελεγχόμενη μετακίνηση (push over analysis) η οποία εφαρμόζεται στο επίπεδο του καταστρώματος. Η φόρτιση αυτή εφαρμόζεται αρχικώς κατακόρυφα, προκειμένου να προσδιοριστεί η φέρουσα ικανότητα του θεμελίου. Στη συνέχεια εφαρμόζεται οριζόντια μονοτονική και ανακυκλική φόρτιση. Η δυναμική ανάλυση γίνεται χρησιμοποιώντας ως σεισμική διέγερση εξιδανικευμένους παλμούς (Ricker και Tsang ΙΧΑ ) αλλά και πραγματικές σεισμικές καταγραφές καλύπτοντας μια πληθώρα σεισμικών διεγέρσεων. Στατική Διαστατική Ανάλυση Με στόχο τον προσδιορισμό της αντοχής σε ροπή και της κρίσιμης γωνίας ανατροπής μονοβάθμιων συστημάτων εδραζόμενων σε ανελαστικό έδαφος, πραγματοποιείται διαστατική ανάλυση για τα συστήματα του Σχήματος. Τα στατικώς ισοδύναμα συστήματα εδράζονται σε αργιλικό στρώμα διαφορετικού μέτρου αστράγγιστης διατμητικής αντοχής S u. Οι ταλαντωτές έχουν την ίδια γεωμετρία (πλάτος θεμελίωσης, ύψος και διάμετρος βάθρου). Το βάθρο και η θεμελίωση της γέφυρας θεωρούνται αβαρή, η δε μάζα του καταστρώματος επιλέγεται έτσι ώστε να επιτυγχάνεται ισοδυναμία σε επίπεδο συντελεστών ασφαλείας σε κατακόρυφο φορτίο. Τα στατικώς ισοδύναμα συστήματα περιγράφονται από το συντελεστή x, ο οποίος προκύπτει ως το αντίστροφο του συντελεστή ασφαλείας σε κατακόρυφο φορτίο. Εξετάζονται τρεις διαφορετικοί λόγοι διαστάσεων 2h/B (ύψος αντίστοιχου άκαμπτου σώματος προς πλάτος θεμελίωσης) για δύο περιπτώσεις πλάτους θεμελίου (Β = 3.5 m και B =.75 m). Η διερεύνηση της στατικής ισοδυναμίας έγινε αρχικά για δύο περιπτώσεις κατασκευών υπό μονοτονική και ανακυκλική φόρτιση. Στο Σχήμα 2 απεικονίζονται τα αποτελέσματα της σύγκρισης για μονοτονική και ανακυκλική φόρτιση για μια ελαφρά (FS v = 5) και μια βαριά (FS v = 2) φορτισμένη θεμελίωση. Μετά την επιβεβαίωση της ισοδυναμίας, συστήματα θεμελίωσης άκαμπτου βάθρου, με συντελεστές ασφαλείας σε κατακόρυφη φόρτιση από εώς 2, υποβλήθηκαν σε οριζόντια φόρτιση μέσω σταδιακώς αυξανόμενης μετατόπισης στο κέντρο μάζας της κατασκευής, ώστε να προσδιοριστεί η αντοχή τους σε ροπή και στροφή. Οι εν λόγω αναλύσεις έγιναν λαμβάνοντας υπόψη τα φαινόμενα δευτέρας τάξεως (P δ), αλλά και αγνοώντας τα προκειμένου να καταδειχθούν οι διαφορές στη συμπεριφορά. Η αντοχή σε ροπή συγκρίθηκε με την αναλυτική καμπύλη αλληλεπίδρασης για συνδυασμένη φόρτιση (κατακόρυφο, οριζόντιο φορτίο και ροπή) σύμφωνα με την Gourvenec [27]. Εξετάσθηκε η επίδραση του λόγου ροπής τέμνουσας M/Q, ο οποίος συμπίπτει στην iii

περίπτωση αυτή με το ύψος της κατασκευής h, και η επίδραση της ευκαμψίας της ανωδομής για περιπτώσεις εύκαμπτων συστημάτων με ιδιοπερίοδο T =.5 s και T = s. Τα αποτελέσματα για όλες τις περιπτώσεις συστημάτων που μελετήθηκαν απεικονίζονται στα Σχήματα 3 και 4. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τη στατική διαστατική ανάλυση είναι τα ακόλουθα : Επιβεβαιώνεται η στατική ισοδυναμία σε επίπεδο αντοχής σε ροπή και κρίσιμης γωνίας ανατροπής για συστήματα με τον ίδιο λόγο διαστάσεων 2h/B, ίδιο συντελεστή ασφαλείας σε κατακόρυφη φόρτιση FS v, ανεξαρτήτως λόγου ροπής προς τέμνουσα M/Q και ευκαμψίας ταλαντωτή. Ο λόγος ροπής τέμνουσας M/Q ενσωματώνεται στη διαστατική ανάλυση καθώς ο αδιάστατος λόγος ροπής τέμνουσας M/Q DIM αντιστοιχεί στο λόγο διαστάσεων του ταλαντωτή h/b. Συνεπώς οι κρίσιμες παράμετροι του προβλήματος είναι ο συντελεστής x και ο λόγος διαστάσεων 2h/B. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τις διδιάστατες αναλύσεις πεπερασμένων στοιχείων, όσον αφορά στην αντοχή σε ροπή, συγκρίνονται ικανοποιητικά με την αναλυτική καμπύλη αλληλεπίδρασης της Gourvenec [27] για την περίπτωση που τα φαινόμενα P δ δε λαμβάνονται υπόψη. Όταν τα φαινόμενα P δ λαμβάνονται υπόψη, η καμπύλη αλληλεπίδρασης τροποποιείται σύμφωνα με το λόγο διαστάσεων της κατασκευής : όσο πιο υψίκορμη είναι η κατασκευή τόσο περισσότερο τροποποιείται η καμπύλη αλληλεπίδρασης και η κορυφή της μετακινείται προς μικρότερο συντελεστή ασφαλείας από 2. Όσον αφορά στην κρίσιμη γωνία ανατροπής, η κανονικοποιημένη γωνία ανατροπής σχετίζεται με το κανονικοποιημένο κατακόρυφο φορτίο μέσω μιας μοναδικής καμπύλης για κάθε λόγο διαστάσεων ανεξαρτήτως λόγου ροπής τέμνουσας και ευκαμψίας του ταλαντωτή. Μελετώντας μια συγκεκριμένη περίπτωση συστήματος θεμελίωσης βάθρου γέφυρας σε ανελαστικό εδαφικό σχηματισμό, μπορεί να προσδιοριστεί η αντοχή σε ροπή και η κρίσιμη γωνία ανατροπής όχι μόνο για τη συγκεκριμένη περίπτωση αλλά και για ένα σύνολο συστημάτων με τον ίδιο λόγο διαστάσεων και συντελεστή ασφαλείας σε κατακόρυφο φορτίο. iv

Δυναμική Διαστατική Ανάλυση Η διαστατική ανάλυση επεκτάθηκε και για δυναμική φόρτιση. Τα δυναμικώς ισοδύναμα συστήματα απεικονίζονται στο Σχήμα 5. Πρόκειται για εύκαμπτα μονοβάθμια συστήματα με τον ίδιο συντελεστή ασφαλείας σε κατακόρυφο φορτίο, ίδιο λόγο διαστάσεων (h/b) αλλά διαφορετική γεωμετρία. Τα συγκρινόμενα συστήματα είναι ισοδύναμα σε όρους αντοχής σε κατακόρυφο φορτίο, ροπή και αντοχή σε στροφή. Επιλέγοντας κατάλληλα την ιδιοπερίοδο των εδαφικών σχηματισμών και των ταλαντωτών, και επιβάλλοντας κατάλληλη διέγερση σε κάθε σύστημα μπορεί να επιτευχθεί δυναμική ισοδυναμία. Συγκεκριμένα, ο λόγος των ιδιοπεριόδων των ανωδομών πρέπει να είναι ίσος με 2. Όσον αφορά στον εδαφικό σχηματισμό, το πάχος της εδαφικής στρώσης και η αστράγγιστη διατμητική αντοχή διαφέρουν, ωστόσο και σε αυτή την περίπτωση ο λόγος των ιδιοπεριόδων των σχηματισμών διατηρείται ίσος με 2. Για να επιτευχθεί δυναμική ισοδυναμία εφαρμόζεται ο ίδιος τύπος διέγερσης αλλά με διαφορετικές δεσπόζουσες περιόδους. Για το πιο υψίσυχνο σύστημα επιλέγεται πιο υψίσυχνη διέγερση κρατώντας το λόγο των δεσποζουσών περιόδων των διεγέρσων ίσο με 2. Κατά αυτό τον τρόπο μπορεί να επιτευχθεί ισοδυναμία, τόσο σε όρους εδαφικής απόκρισης όσο και σε όρους απόκρισης του ταλαντωτή. Οι δυναμικές αναλύσεις που επιβλήθηκαν περιλαμβάνουν εξιδανικευμένους παλμούς (Ricker και Tsang ixa ) και πραγματικές σεισμικές καταγραφές. Οι διεγέρσες που χρησιμοποιήθηκαν στη δυναμική ανάλυση παρουσιάζονται στον Πίνακα. Στα Σχήματα 6 απεικονίζεται η σύγκριση των δυναμικώς ισοδύναμων συστημάτων για μια περίπτωση πραγματικής διέγερσης (επιταχυνσιογράφημα Takatori_ από το σεισμό του Kobe, 995). Τα αποτελέσματα όλων των δυναμικών αναλύσεων συνοψίζονται στα Σχήματα 6. Απεικονίζονται οι μέγιστες και πραμένουσες στροφές, οι μέγιστες και παραμένουσες οριζόντιες μετακινήσεις και οι δυναμικές καθιζήσεις, σε συνάρτηση με την επιβαλλόμενη επιτάχυνση για την περίπτωση των εξιδανικευμένων παλμών, και σε συνάρτηση με τη μέγιστη ταχύτητα για την περίπτωση των πραγματικών καταγραφών. Η ισοδυναμία των εξεταζόμενων συστημάτων επαληθεύεται καθώς τα σημεία που τα απεικονίζουν συμπίπτουν σε κάθε περίπτωση. v

Πίνακας. Παλμικές διεγέρσεις και πραγματικές σεισμικές καταγραφές που χρησιμοποιήθηκαν στη δυναμική ανάλυση. Pulse T E (s) acceleration (g) Real accelograms Kalamata 986 Pyrgos 993 Ricker 2.3. Aegio 995 Ricker.6.2 Monastiraki, Athens 999 Tsang 2.5.4 Lefkada 23 Ricker 2.8.2.6 Rinaldi_228, Northridge 994 Ricker.4.42.8 JMA_, Kobe 995 Tsang 2.8.35 Takatori_, Kobe 995 Διαγράμματα Ανατροπής Μονοβάθμιων Συστημάτων επί Ανελαστικού Εδάφους Εξετάσθηκε το δυναμικό ανατροπής τυπικών μονοβάθμιων συστημάτων επί τετραγωνικών θεμελίων για δύο περιπτώσεις κατακόρυφης φόρτισης : ένα ελαφρώς φορτισμένο σύστημα με συντελεστή ασφαλείας σε κατακόρυφο φορτίο FS v = 2, που προσεγγίζει την περίπτωση λικνισμού σε άκαμπτη βάση, και ένα σύστημα τυπικώς φορτισμένο με FS v = 4. Πρόκειται για άκαμπτα συστήματα με πλάτος θεμελίου B = 3.5m και ύψος ταλαντωτή h = 7m. Το βάθρο και η θεμελίωση θεωρούνται αβαρή και η μάζα είναι συγκεντρωμένη στο κατάστρωμα. Ο εδαφικός σχηματισμός αποτελείται από άργιλο με αστράγγιστη διατμητική αντοχή S u = 75 kpa. Το πρόβλημα που μελετήθηκε σε αυτή την εργασία διαφέρει από προγενέστερες μελέτες καθώς ο λικνισμός λαμβάνει χώρα σε ενδόσιμο μη γραμμικό έδαφος. Όταν ο λικνισμός γίνεται σε άκαμπτη βάση, μια μικρή ποσότητα ενέργειας αποσβένεται κατά την κρούση. Αντιθέτως, η κατάσταση είναι τελείως διαφορετική στην περίπτωση που το μέσο έδρασης είναι το έδαφος λόγω του διπλού του ρόλου : (α) εισάγεται μη γραμμικότητα στο πρόβλημα λόγω της δυνατότητας κινητοποίησης του μηχανισμού φέρουσας ικανότητας του εδάφους στη γειτονία της θεμελίωσης, και (β) η εδαφική απόκριση τροποποιεί την επιβαλλόμενη διέγερση ενισχύοντας ή αποδυναμώνοντας το σεισμικό κραδασμό και μεταβάλλοντας το συχνοτικό του περιεχόμενο. Για να διερευνηθεί πλήρως ο ρόλος του εδάφους στο δυναμικό ανατροπής χρησιμοποιήθηκαν δύο διαφορετικά προσομοιώματα, τα οποία παρουσιάζονται στα Σχήματα 7 και 8. Στην πρώτη περίπτωση vi

(πλήρες προσομοίωμα), χρησιμοποιούνται επαρκώς απομακρυσμένα σύνορα ελευθέρου πεδίου, τα οποία επιτρέπουν ρεαλιστική προσομοίωση της κινηματικής απόκρισης του εδάφους, λαμβάνοντας υπόψη την μη γραμμικότητα που αναπτύσσεται γύρω από την θεμελίωση. Στη δεύτερη περίπτωση (απλοποιημένο προσομοίωμα), εστιάζουμε στην εγγύς του θεμελίου περιοχή αγνοώντας την κινηματική απόκριση του εδάφους. Η δυνατότητα ανατροπής των ανωτέρω συστημάτων μελετήθηκε για διέγερση με παλμούς Ricker διαφόρων συχνοτήτων και εύρους επιταχύνσεων. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα Σχήματα 9 και 2 για τους δύο συντελεστές ασφαλείας που μελετήθηκαν, για το πλήρες και το απλοποιημένο προσομοίωμα. Επιπλέον, στα Σχήματα 2, 22 γίνεται σύγκριση μεταξύ των συντελεστών ασφαλείας. Προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα : Τα διαγράμματα ανατροπής που προκύπτουν έχουν παρόμοια μορφή με δημοσιευμένα αντίστοιχα διαγράμματα για στερεό σώμα επί ανένδοτης βάσης, διακρίνονται δε ασφαλείς και μη ασφαλείς περιοχές καθώς και νησίδες ασφαλείας. Διακρίνονται διαφορές μεταξύ των δυο εξεταζόμενων προσομοιωμάτων για κάθε συντελεστή ασφαλείας ως προς τη μορφή του διαγράμματος, καθώς αντιπροσωπεύουν διαφορετικά προβλήματα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η κρίσιμη επιτάχυνση ανατροπής είναι μεγαλύτερη όταν λαμβάνεται υπόψη η κινηματική απόκριση του εδάφους (πλήρες προσομοίωμα). Αν οι νησίδες ασφαλείας δεν ληφθούν υπόψη, μπορεί να εξαχθεί ένα κατώτατο όριο που διαχωρίζει την ασφαλή περιοχή από την περιοχή ανατροπής, αντιπροσωπευτικό καί για τις δύο περιπτώσεις προβλημάτων που μελετήθηκαν. Η σύγκριση των διαφορετικά φορτισμένων κατασκευών επιβεβαιώνει τον χαοτικό χαρακτήρα της απόκρισης συστημάτων σε ανατροπή. Η ύπαρξη των νησίδων ασφαλείας δυσχεραίνει την εξαγωγή ενός σαφούς συμπεράσματος για τις μικρές και μέτριες συχνότητες διέγερσης, και μόνο για τις υψηλές συχνότητες είναι σαφές ότι η βαρύτερη κατασκευή ανατρέπεται σε μικρότερα επίπεδα επιτάχυνσης. vii

m deck 2m deck h d FS v h d FS v B Stiff clay stratum S u B Stiff clay stratum 2S u D r =.6Mgr/m 3 D r =.6Mgr/m 3 Σχήμα. Στατικώς ισοδύναμα συστήματα. ix

x =.2 x =.5 2h/B = 4 θ (rad rad).6 S u =75kPa S u =5 KPa θ(rad rad).3.5 M/S u B 3 -.3 -.2 -...2.3 -.3 -.2 -...2.3 -.3 -.5 -.6 - θ (rad rad). θ (rad rad) -. -.5.5..5 w/b -. -.5.5. -.2 -.5 -. -.4.6 M/S u B 3.3 -. -.5.5. -.3.5 -.4 -.2 -.5 -.6 - w/b (c) w/b Σχήμα 2. Καμπύλες ροπής - στροφής καθίζησης - στροφής(c) ροπής - καθίζησης για συστήματα θεμελίωσης-βάθρουγέφυραςμεπλάτοςθεμελίουb=3.5mκαιλόγοδιαστάσεων2h/b=4.οιμπλεκαι πράσινες καμπύλες αντιστοιχούν στην ανακυκλική φόρτιση και οι πορτοκαλί και κόκκινες στη μονοτονική φόρτιση. x

.8 no P-δ.6 x.4.2 M = M ult /S u B 3 M u = max (M ult /S u B 3 ) x.8.6.4.2.2.4.6.8 M/M u P-δ.2.4.6.8 M/M u B = 3.5m Rigid Rigid Rigid Rigid Rigid 2h/B=2 T=.5s 2h/B=4 T=.5s 2h/B=8 T=.5s B =.75m 2h/B=2 T=.5s 2h/B=4 T=.5s 2h/B=8 T=s T=s T=s T=s T=s Rigid T=.5s T=s Gourvenec Σχήμα 3. Διαγράμματα αλληλεπίδρασης για συνδυασμένη φόρτιση (κατακόρυφο,οριζόντιο φορτίο και ροπή) για τετραγωνικά θεμέλια (B = 3.5m & B =.75m) και λόγους διαστάσεων 2, 4, 8 για άκαμπτες και εύκαμπτες ανωδομές P-δ αγνοούνται P-δ λαμβάνονται υπόψη..8 θ ult / θ block.6.4.2.2.4.6.8 x Σχήμα 4. Κανονικοποιημένη γωνία ανατροπής σε συνάρτηση με το κανονικοποιημένο κατακόρυφο φορτίο για τετραγωνικά θεμέλια (B = 3.5m & B =.75m) και λόγους διαστάσεων 2, 4, 8 για άκαμπτες και εύκαμπτες ανωδομές. xi

FS v = 2.5 m =2 Mgr FS v = 2.5 4 m 2T str 7 m T str m =5 Mgr 7 m S u = 5 kpa 25 m 3.5 m S u = 75 kpa D r =.6 Mgr/m 3 2.5 m D r =.6 Mgr/m 3 α E 2f E α E f E Σχήμα 5. Δυναμικώς ισοδύναμα συστήματα. xii

Takatori_ Kobe 995 α m.5 a (g) θ w dyn B α ff -.5 α E - 5 5 2 t (sec) B=7m B=3.5m.5 Ελεύθερο πεδίο.5 Κατάστρωμα a (g) -.5 -.5-5 5 2-5 5 2 Σχήμα 6. Takatori_, Kobe 995. Χρονοϊστορίες επιτάχυνσης για B=7m και B=3.5m ελεύθερο πεδίο κατάστρωμα..4 θ (rad rad) w/b -.25 -.4 5 5 2 -.5 5 5 2 Σχήμα 7. Takatori_, Kobe 995. Χρονοϊστορίες στροφής καθίζησης για B=7m και B=3.5m. xiii

u tot u r u b.8.4 u tot /B -.4 -.8 5 5 2 B=7m B=3.5m.8.8 (c).4.4 u r /B u b /B -.4 -.4 -.8 5 5 2 -.8 5 5 2 Σχήμα 8. Takatori_, Kobe 995. Χρονοϊστορίες οριζόντιων μετακινήσεων στο κατάστρωμα για B=7m και B=3.5m συνολική μετακίνηση στροφική μετακίνηση(c) καμπτική μετακίνηση. 2β/B.5 5 5 2 Σχήμα 9. Takatori_, Kobe 995. Χρονοϊστορίες ενεργού πλάτους θεμελίου για B=7m και B=3.5m. xiv

θ (rad rad) B=7m B=3.5m M/S u B 3 - -.4.4 θ (rad rad) w/b -.25 -.5 -.4.4 w/b (c) M/S u B 3 - -.5 -.25 Σχήμα. Takatori_, Kobe 995. Καμπύλες ροπής- στροφής καθίζησης- στροφής(c) ροπήςκαθίζησης για B=7m και B=3.5m. xv

.2.2 θ max. θ res..2.4.6.8 PGA (g).2.4.6.8 PGA (g) Σχήμα. Μέγιστη και παραμένουσα στροφή του θεμελίου για δυναμική φόρτιση με εξιδανικευμένους παλμούς σε συνάρτηση με τη μέγιστη επιβαλλόμενη επιτάχυνση..4.4 u max /B.2 u res /B.2.2.4.6.8 PGA (g).2.4.6.8 PGA(g) Σχήμα 2. Μέγιστη και παραμένουσα συνολική οριζόντια μετακίνηση στο κατάστρωμα για δυναμική φόρτιση με εξιδανικευμένους παλμούς σε συνάρτηση με τη μέγιστη επιβαλλόμενη επιτάχυνση. Ricker 2 & Ricker 2.8 -.2 B=3.5 m B=7 m w dyn /B -.4 -.6 Ricker & Ricker.4 B=3.5 m B=7m -.8.2.4.6.8 PGA (g) Σχήμα 3. Καθίζηση του θεμελίου για δυναμική φόρτιση με εξιδανικευμένους παλμούς σε συνάρτηση με τη μέγιστη επιβαλλόμενη επιτάχυνση. xvi Tsang IXA 2 & Tsang IXA 2.8 B=3.5 m B=7 m

.4.4 θ max.2 θ res.2.5.5 2 PGV (m/s).5.5 2 PGV (m/s) Σχήμα 4. Μέγιστη και παραμένουσα στροφή του θεμελίου για δυναμική φόρτιση με πραγματικές σεισμικές καταγραφές σε συνάρτηση με τη μέγιστη ταχύτητα..8.8 u max /B.4 res /B /B u res.4.5.5 2 PGV (m/s).5.5 2 PGV (m/s) Σχήμα 5. Μέγιστη και παραμένουσα συνολική οριζόντια μετακίνηση στο κατάστρωμα για δυναμική φόρτιση με πραγματικές σεισμικές καταγραφές σε συνάρτηση με τη μέγιστη ταχύτητα. Kalamata Pyrgos B=3.5m B=3.5m B=7m B=7m w dyn /B -.2 Aegio B=3.5m Monastiraki B=3.5m B=7m B=7m -.4.5.5 2 PGV (m/s) Lefkada B=3.5m B=7m Rinaldi_228 B=3.5m B=7m Σχήμα 6. Καθίζηση του θεμελίου για δυναμική φόρτιση με πραγματικές σεισμικές καταγραφές σε συνάρτηση με τη μέγιστη ταχύτητα. JMA_ B=3.5m B=7m Takatori_ B=3.5m B=7m xvii

m deck 7 m 3.5m 2.5 m S u = 75 kpa 6 m α E Σχήμα 7. Σχηματική απεικόνιση του πλήρους εδαφικού προσομοιώματος που χρησιμοποιήθηκε λαμβάνοντας απόψη την κινηματική και αδρανειακή απόκριση. m deck 7 m 3.5m S u = 75 kpa 5 m 5 m α E Σχήμα 8. Σχηματική απεικόνιση του απλοποιημένου εδαφικού προσομοιώματος που χρησιμοποιήθηκε αγνοώντας την εδαφική κινηματική απόκριση. xviii

8 Overturning area 6 α / a c Safe area 4 2 2 4 6 8 ω / p FS v = 2 Σχήμα 9. Διαγράμματα ανατροπής για την ελαφρά φορτισμένη κατασκευή (FS v = 2). Το ροζ διάγραμμα αντιστοιχεί στο πλήρες εδαφικό προσομοίωμα, το μπλε στο απλοποιημένο και η μαύρη διακεκομμένη γραμμή στο κατώτερο όριο. 8 Overturning area α / a c 6 4 Safe area 2 2 4 6 8 ω / p FS v = 4 Σχήμα 2.. Διαγράμματα ανατροπής για την τυπικώς φορτισμένη κατασκευή (FS v = 4). Το ροζ διάγραμμα αντιστοιχεί στο πλήρες εδαφικό προσομοίωμα, το μπλε στο απλοποιημένο και η μαύρη διακεκομμένη γραμμή στο κατώτερο όριο. xix

8 6 α / a c 4 2 FS v = 2 FS v = 4 2 4 6 8 ω / p Σχήμα 2. Διαγράμματα ανατροπής για την ελαφρώςφορτισμένη κατασκευή (FS v = 2) και την τυπικώς φορτισμένηκατασκευή(fs v =4). 8 6 α / a c 4 2 FS v = 2 FS v = 4 2 4 6 8 ω / p Σχήμα 22. Διαγράμματα ανατροπής για την ελαφρώςφορτισμένη κατασκευή (FS v = 2) και την τυπικώς φορτισμένηκατασκευή(fs v =4)αγνοώνταςτηνκινηματικήεδαφικήαπόκριση. xx

Table of Contents CHAPTER : Introduction. Motivation of the study... 3.2 Literature review... 5.2. Rocking on a rigid base... 5.2.2 Rocking on a compliant soil... 8.2.3 Overturning spectra of rectangular blocks....2.4 Rocking of a flexible dof oscillator....2.5 Mobilization of bearing capacity failure mechanisms... 2 Figures of Chapter... 5 CHAPTER 2 : Modelling Procedure 2. Problem statement... 27 2.2 Analysis methology... 28 2.2. Finite element modelling... 28 2.2.2 Soil behavior... 28 2.2.3 Pier and footing behavior... 3 2.2.4 Static, cyclic and dynamic loading... 3 Figures of Chapter 2... 33 CHAPTER 3 : Static Dimensional Analysis 3. Definition of the problem... 39 3.2 Performance of statically equivalent systems... 42 3.2. Monotonic and cyclic loading of lightly and heavily loaded foundations... 42 3.2.2 Ultimate moment and rotation of statically equivalent systems... 43 3.3 The effect of moment to shear ratio M/Q... 46 3.4 The effect of structural flexibility of the bridge pier... 48 Figures of Chapter 3... 5

CHAPTER 4 : Dynamic Dimensional Analysis 4. Definition of the problem... 85 4.2 Statically and dynamically equivalent systems... 85 4.3 Discussion of results... 9 4.3. Static push over analysis... 9 4.3.2 Dynamic analysis... 9 Figures of Chapter 4... 97 CHAPTER 5 : Overturning Spectra of - dof Systems on Inelastic Soil 5. Definition of the problem... 85 5.2 Method of analysis... 86 5.2. Models used in the dynamic analysis... 86 5.2.2 Excitations used in the dynamic analysis... 88 5.3 Discussion of results... 9 Figures of Chapter 5... 93 CHAPTER 6 : Conclusions... 23 References... 27

Introduction

Chapter : Introduction. Motivation of the study Over the last decades the earthquake engineering community has realized that increasing the strength of a structural system does not necessarily provide higher levels of safety. Since highly inelastic response cannot be avoided in the case of the strongesossible earthquake, seismic design principles aim to control seismic damage rather than prevent it. Current design principles ensure that structural members can sustain dynamic loads exceeding their capacity without collapsing (ductility design), that failure is guided to less important members of the structure, and that failure is in the form of non brittle mechanisms (capacity design). Regarding the capacity design of the foundation, seismic codes attempt to avoid mobilization of the bearing capacity of the foundation soil system. In other words, plastic hinging is guided to the superstructure while the foundation behavior remains elastic. Hence, bearing capacity failure mechanisms such as foundation uplifting or sliding are forbidden. However, mobilization of foundation bearing capacity under an earthquake does not necessarily imply failure due to the cyclic and kinematic nature of the excitation. Sliding, rocking, and mobilization of the bearing capacity of the system result in significant energy dissipation and can change the dynamic properties of the system. Researchers have been investigating the concept of plastic yielding in the foundation and in many cases it has been proven that it may be beneficial for the overall behavior of the system [Paolucci, 997; Pecker, 998, 23; FEMA 356, 2; Martin & Lam, 2; Makris & Roussos, 2; Faccioli et al., 2; Kutter et al., 23; Gazetas et al., 23; Gazetas & Apostolou, 25; Gajan et al., 25; Harden et al., 26; Paolucci et al., 28; Kawashima et al., 27; Gajan & Kutter, 28; Chatzigogos et al., 29; Gerolymos et al., 29; Anastasopoulos et al. 2]. A new seismic design philosophy, where soil failure is used for the protection of the superstructure, has been introduced by Anastasopoulos et al. [2]. While in the conventional design the footings have to be 3

Metaplastic Rocking Response of -dof Systems : Dimensional Analysis large enough so that their capacity exceeds the capacity of the columns, in the case of the new concept of rocking isolation, footings are under designed to uplift so that failure is guided to the foundation rather than the columns. Using an dof bridge structure (Figure.), it was shown that the new concept can provide larger margins of safety in terms of ductility demand and avoid collapse at the cost of increased foundation settlement and residual rotation. Furthermore, the concept of rocking isolation in the form of foundation yielding and uplifting has been investigated by Gelagoti et al. [2] for a simplified 2 storey bay frame subjected to 24 strong motion records (Figure.2). In this case, the rocking isolated alternative proved advantageous surviving all seismic excitations when the conventionally designed structure collapsed in three cases. The question arising from this new approach is the following : based on what criteria is the footing going to be under designed? The footing width has to be small enough, so that the moment capacity is lower than the capacity of the column, but large enough so that toppling is avoided. Hence, the footing width is bounded between a lower and an upper bound. Therefore, the complete inelastic response of the foundation soil system should be determined. With respect to the upper bound, the bearing capacity of a foundation should be determined. Many researchers have studied this problem for shallow foundations under combined loading [Butterfield & Ticof, 979; Butterfield & Gottardi, 994; Bransby & Randolph, 998; Ukritchon et al., 998; Martin & Houlsby, 2; Taiebat & Carter, 22; Gourvenec & Randolph, 23; Gourvenec 24; 27]. Moreover, in order to define the minimum footing width, the rotational capacity of the footing should be determined, or in other words the critical angle at which moment becomes zero and toppling occurs. Makris & Konstantinidis [23] introduced the Rotation Response Spectrum or Rocking Spectrum which demonstrates the amplitude of rotation of rigid structures as a function of the period parameter T = 2π/p for a certain value of the slenderness ratio h/b. This study investigates the rocking response of a single degree of freedom system (representative of a bridge pier) founded through a shallow foundation on inelastic soil. Material (soil) and geometric (uplifting and P δ effects) nonlinearities are accounted. Firstly, the moment and rotational capacity of the system is analyzed. Secondly, the dynamic response till overturning is investigated. A dimensional analysis is performed, to generalize the derived results and conclusions. 4

Chapter : Introduction.2 Literature review.2. Rocking on a rigid base Since the pioneering work of Milne & Perry in 88, the uplifting and overturning response of rigid bodies has attracted the interest of numerous researchers. Housner [963] presented a study on the dynamic response of a rigid block supported on a base undergoing horizontal motion using an energy approach and uncovered a scale effect explaining how the size of the block influences toppling. Ishiyama [982] studied the slide rocking motion of a rigid body on a rigid base and established criteria for overturning. Spanos & Koh [986] investigated the rocking response of blocks subjected to harmonic steady state loading, identifying safe and unsafe regions. Makris and his co workers [2, 2] have thoroughly studied the transient rocking response of rigid blocks subjected to trigonometric pulses deriving the minimum acceleration for overturning and examining in detail the parameters that control the overturning response: pulse acceleration, frequency of excitation and sequence of pulses, block size and slenderness of the block. Problem definition and equations of motion Consider two different systems, a rectangular block with aspect ratio b/h (half width/half height ratio) and a simple dof oscillator, lying on a rigid base as shown in Figure.3. When subjected to horizontal shaking, the two systems can pivot about their centers of rotation O and O respectively. Depending on the value of the ground acceleration and the coefficient of friction μ, each structure may translate with the ground, slide, rock or slide rock. In our case, the coefficient of friction is assumed large enough so that sliding is prevented. As long as the overturning moment of the inertia force about the base edge ma g h (where a g is the base acceleration) does not exceed the restoring moment mgb about the base edge, the block remains attached to the base. As soon as the restoring moment is exceeded, the structure uplifts and enters the rocking motion. Under quasi static conditions, once uplifting initiates the body will unavoidably overturn. Hence, the critical acceleration needed to overturn the body statically coincides with the minimum acceleration required to uplift from its base. a over, stat b = ac = h (.) 5

Metaplastic Rocking Response of -dof Systems : Dimensional Analysis However, under dynamic excitation exceeding a c simply initiates rocking and whether the structure will overturn depends on various parameters. The equation that governs the rocking motion can be expressed as : { sin[ θ sgnθ( t) θ ( t) ] + a ( t)cos[ θ sgnθ ( t) θ ( t) ]} 2 θ ( t) = p (.2) c g c where : θ () t represents the angle of rotation about the pivooints O and O respectively, θ c = arctan( b/ h) is the angle pictured in Figure.3, p = mgr / I is a characteristic frequency parameter and R is half the diagonal of the block 2 2 R= b + h. The frequency parameter p (rad/s) is not the eigenfrequency of the system, but is a measure of the dynamic characteristics of the system and plays an important role in its rocking response and overturning potential [Spanos & Koh, 986; Makris & Roussos, 2; Apostolou et al., 23]. The frequency parameter p is a decreasing function of the block size, hence the larger the block the smaller the value of p, and vice versa. For rectangular blocks, pblock = 3 g/4r, whereas for a rigid dof oscillator p dof = g/ R. The dof oscillator in Figure.3 corresponds to a rigid rectangular block if R dof = 4/3Rblock [Apostolou et al., 26]. When a rigid body is rocking back and forth about its pivooint loses a part of its kinetic energy when impacts the rigid base even under purely elastic impact conditions. So, the angular velocity after the impact is a fraction to its velocity prior to impact. This fraction is known in the literature as the coefficient of restitution and its upper bound neglecting energy loss during impact is : 3 r = ( sin θ c ) 2 2 2 (.3) Actually, some additional energy is lost depending on the nature of the materials and the impact surface. The moment rotation relationship for a rigid body is presented in Figure.4. The ultimate moment that can be applied to the foundation is M u = mgb = ma g h, thus the maximum acceleration that can be developed at the mass of the structure is a c = tanθ c. This peak value is applied instantaneously, and as soon as the rigid body uplifts, a nonlinear behavior is revealed even for elastic impact conditions. Once rocking commences the moment rotation relationship enters a softening behavior due to P δ effects and the system s stiffness 6

Chapter : Introduction decreases until θ = θ c. Thus, the oscillation period of the system during the rocking motion is not constant and depends on the angle of rotation. Overview of problem parameters Under static conditions the slenderness of the rigid structure controls the overturning response. However, the non linear dynamic response of a rigid structure is controlled by a number of parameters regarding the geometry of the structure and the excitation as well. According to Makris & Roussos [2], under horizontal excitation three parameters control overturning : the slenderness a, the normalized pulse acceleration to the slenderness a p /ag, and the frequency ratio ω p /p, where ω p is the excitation frequency and p the frequency parameter already discussed. The sensitivity of the response to key response parameters is discussed in the following section. Slenderness of the structure The minimum acceleration required for uplift initiation depends on the slenderness of the structure. Thus, less slender blocks experience smaller rotation than more slender ones. Moreover, the coefficient of restitution depends strongly on slenderness. In other words, the decay of vibration for structures with small aspect ratio b/h is faster than for less slender ones. Block size and excitation frequency The required acceleration for overturning is a sensitive function of both the block size and the excitation frequency. Kirkpatrick [927], assuming small rotation and large slenderness ratio, was the first to quantify the effects of the aforementioned parameters in the following expression for sinusoidal excitation: a over b ωe = g + ( ) h p 2 (.4) Housner [963] re derived the previous equation for half sine pulses and Makris & Roussos [998] revised his study proving that it was based on an incorrect overturning criterion. Researchers have recognized that increasing the size of a block or the excitation frequency can be favorable for the overall response of the system [Kirpatrick, 927; Housner, 963; Makris and co workers, 2, 2; 7

Metaplastic Rocking Response of -dof Systems : Dimensional Analysis Apostolou et al., 23; Gerolymos et al., 25]. Note that the rocking response of a rigid block with a given slenderness remains invariable when the ratio of the excitation frequency to the parameter p is constant. Evidently, the existence of long duration excitation pulses plays an important role in its overturning potential. Assymetry and detailed sequence of pulses It is not only the dominant frequency but also the nature and the asymmetry of a base excitation that have a strong effect on the overturning potential. Makris & Zhang [2] studied the differences in the rocking response to different trigonometric pulses, and Gerolymos et al. [25] demonstrated the effect of the excitation asymmetry using Ricker type excitations..2.2 Rocking on a compliant soil When soil deformability is considered additional degrees of freedom are taken into account. Uplift initiation can occur for excitation amplitudes smaller than the critical acceleration and the rocking body can oscillate without losing contact with the supporting soil. The rocking mode is now described by uplifting at one side of the footing and soil yielding at the other side. Several researchers have studied the rocking behavior on a compliant soil. Psycharis & Jennings [983] introduced the compliance of the supporting soil with a visco elastic Winkler foundation and extracted the linearized equation of rocking motion on an elastic soil. Koh et al. [986] extended Psycharis work introducing the flexibility of the superstructure. Apostolou et al. [23; 27] used finite element analysis to treat the soil as an elastic continuum and capture the concentration of contacressures in the vicinity of corner points which cannot be captured by the linear distribution of the Winkler model. Allotey & El Naggar [23; 28] have studied the rocking behavior on inelastic soil using a non linear Winkler model, and derived a solution for the uplift yield foundation condition that enables definition of the static moment rotation response (ignoring P δ). The developed model was also validated by experimental evidence. The results obtained from their study unveiled the significant effect of the inverse of the factor of safety not only to determine whether uplift or yield occurs but also to define the condition of the maximum moment rotation response of the footing. Raychowdhury & Hutchinson [29] proposed a nonlinear Winkler based framework which was evaluated by a number of centrifuge model tests 8

Chapter : Introduction considering square and strip footings with various aspect ratios and factors of safety under static and dynamic loading. The same researchers [Raychowdhury & Hutchinson, 2] extended their study to evaluate the performance of shear wall buildings resting on shallow spread footings. Furthermore, significant experimental work has been done regarding rocking of shallow foundations. Gajan et al. [25] conducted tests on model foundations attached to a rigid shear wall subjected to vertical, lateral, slow cyclic and dynamic loading at 2 g centrifugal acceleration. Concerning macroelement modelling of shallow foundations Nova & Montrasio [99] introduced a global elastoplastic model with isotropic hardening for the entire soil foundation system. This model was modified by Paolucci [997] for application to real dynamic loading and later improved [Paolucci, 27] by introducing a degradation rule for the foundation stiffness parameters to consider the reduction of soil footing contact area, due to successive cycles of rotation. Cremer et al. [2; 22] presented an advanced macroelement model accounting for two separate mechanisms in coupling : the one referring to material non linearities and the second describing the uplift of the footing. Apostolou & Gazetas [27] studied thoroughly the rocking response of shallow foundations supported on compliant soil by developing a macroscopic model of the soil foundation system capable of representing the large displacement domain of the response. They derived analytical equations for the monotonic load displacement relationship, incorporating both geometric and material non linearities and taking into account P δ effects which are typically neglected in conventional Winkler approaches. Elastic soil In cases of lightly loaded foundations on relatively stiff soils, the assumption of elastic soil response can be a reasonable approximation, allowing for a tractable analytical calculation of the overturning response [Apostolou & Gazetas, 27]. The non linearity of the rocking response on an elastic medium emerges when uplifting of the footing from the supporting soil initiates and is amplified by P δ effects, especially in slender structures. Moreover, the impact during rocking for the case of deformable soil is more absorbing than for the case of the rigid base, thus the motion attenuates faster. Due to soil compliance, the system can rotate without necessarily uplifting from its base as long as rotational amplitudes remain below the value of the critical angle, or uplift when this value is exceeded. Thus, two phases can be detected : the linear full contachase and the non linear uplifting phase (Figure.5). Apostolou & Gazetas [27] has shown that for very stiff soils the uplifting motion dominates the response, 9

Metaplastic Rocking Response of -dof Systems : Dimensional Analysis while for more deformable soils the footing remains mostly in full contact with the supporting soil, reducing in this way the uplift component of the rotation. The moment for which uplifting initiates is a fraction of the moment for which uplifting initiates for the case of a rigid base M ult = Nb, where N is the vertical load and b the half width of the footing (Figure.6). According to the Winkler approach, the moment at uplift initiation yields M ult = Nb/3 whereas Apostolou & Gazetas [27] have estimated that M ult = Nb/2 using an elastic continuum for representing the soil and for the case of plane strain conditions. As it can be seen in Figure.6, once uplifting initiates the foundation stiffness enters a softening mode which bounds the ultimate moment. This upper limit corresponds to the moment capacity of the foundation. Inelastic soil Yielding underneath the foundation s edges is unavoidable in most cases, due to vertical stress distribution, and introduces non linearity even for the full contachase. As in the elastic approach, two phases can be detected in the rocking response. For low levels of moment, full contact of the footing with the supporting soil is maintained. Contrary to the elastic case, the pole of rotation is not fixed at the footing midpoint, but alternates between the edges of the footing, shifting towards the unloading edge. The larger the structure, the faster the pole moves towards the unloading edge. Moreover, the vertical displacemenrior to uplifting is not zero as in the elastic approach. Uplifting initiates for the same critical angle as for the elastic case [Apostolou & Gazetas, 27]. The magnitude of uplifting is limited as the structural weight increases. Hence, the dominating parameter for the rocking response is the ratio of the vertical load to the ultimate vertical load x = N/N ult. Soil yielding and footing uplifting result in permanent rotation and settlement. The permanent deformation depends on the aforementioned parameter x, but also relates to the dynamic excitation (acceleration amplitude, frequency, sequence and asymmetry of the pulses)..2.3 Overturning spectra of rectangular blocks As already mentioned, uplifting overturning behavior of rigid blocks is sensitive to the amplitude and frequency characteristics of the excitation and the presence of long duration pulses in the excitation.

Chapter : Introduction Makris & Roussos [2] studied the rocking response of rigid blocks on rigid base under near source ground motions, idealized as trigonometric pulses, and derived spectrums of the minimum acceleration and velocity amplitudes needed to overturn a free standing block. Zhang & Makris [2] examined the transient rocking response of free standing rigid blocks subjected to trigonometric pulses, and derived an analytical solution for the overturning response (Figure.7). In their study, it is analyzed how a free standing rigid block can overturn with two distinct modes : by exhibiting one or two impacts or by no impact at all. The existence of the second mode results to a safe region as it can be noticed in Figure.7. This complicates further the estimation of an overturning spectrum, as the peak acceleration is not indicative of whether a block will overturn or not. Furthermore, Gerolymos et al. [25] performed a neural network analysis to derive the overturning acceleration spectra for free standing rigid blocks of three different sizes, subjected to acceleration pulses of frequency f (one cycle sinus, one cycle cosine, Ricker pulse, T Ricker pulse, and rectangular pulse). Typical results of this analysis are shown in Figure.8..2.4 Rocking of a flexible dof oscillator In the foregoing, the flexibility of the oscillator had not been accounted for. However, the approximation of a tall slender structure (such as a bridge) as a rigid oscillator is inefficient. The response of the flexible dof oscillator is now described by the angle of rotation θ and the horizontal relative displacement of the mass center u as shown in Figure.9. The dynamic response of a flexible dof oscillator on a rigid base can be distinguished in the full contact phase and the uplifting phase. In the first one, uplifting does not occur and only flexural deformation of the structure is observed, whereas in the second phase both uplifting and flexural deformation compose the rocking behavior of the oscillator. Regarding rocking on compliant soil, only the second phase can be detected. Due to soil deformability, even for very low excitation amplitudes the response of the system consists of coupled flexural and rocking oscillations (Figure.). Significant contribution to the analysis of the rocking response of flexible systems has been provided by Psycharis [983; 99] who studied the dynamic behavior of a simplified model of a multi storey building as a n degree of freedom oscillator, supported on elastic foundation allowed to uplift. The same researcher revealed the problem sensitivity to the frequency content of the excitation. Apostolou & Gazetas [25] also

Metaplastic Rocking Response of -dof Systems : Dimensional Analysis studied the interplay of structural and soil flexibility and concluded that for slender but quite flexible structures the inertia loading results to flexural vibration of the superstructure with marginal rocking motion..2.5 Mobilization of bearing capacity failure mechanisms When a shallow foundation is subjected to rocking moments and horizontal loads under severe earthquake loading, inelastic action under the footing takes the form of mobilization of failure mechanisms. Bearing capacity failure of shallow foundations occurs when soil fails in shear, either as a general failure mechanism or as a punching shear failure. Extensive analytical and experimental research has been done in order to determine the ultimate capacity of shallow foundations. Prandl [92] calculated the static bearing capacity of shallow strip foundations on homogeneous and cohesive soil under central vertical loading : P u = ( π + 2) S u (.5) Terzaghi [943], Meyerhof [953] and Vesic [975] also derived expressions for the ultimate capacity, introducing several loading inclination and eccentricity factors. Paolucci & Pecker [997] investigated the seismic bearing capacity of shallow strip foundations on dry Mohr Coulomb soil. Using a kinematic mechanism accounting for uplifting under strong load eccentricities, they studied the detrimental effects of the bearing capacity due to seismic actions transmitted by the superstructure and soil inertia. The kinematic failure mechanism according to Paolucci & Pecker is presented in Figure.. Many researchers have attempted to derive a failure envelope of the bearing capacity of shallow foundations containing all possible loading paths leading to failure. Butterfield & Gottardi [994] used experimental results and derived an analytical expression of a three dimensional surface that locates all the loading combinations leading to failure replacing all the loading inclination and eccentricity factors. The aforementioned failure envelope is depicted in Figure.2. 2

Chapter : Introduction As already mentioned, Allotey & El Naggar [23] derived analytical expressions for the moment rotation relationship for both the uplifting (x <.5) and soil yielding (x >.5) prevailing states of shallow foundations on a non linear Winkler model. The different states of the M θ curve under monotonic loading are shown in Figure.3. With respect to the conventional Winkler approach, Apostolou & Gazetas [27] derived the analytical solution of the failure curve in the M N plane : M N = Nb( ) N u (.6) or in nondimensional form : n m= ( n ) 2 (.7) where, n = N / Nu = x and m = M / NuB (B is the total foundation width) are the dimensionless vertical load and moment, respectively. The interaction curves in dimensionless plane are shown in Figure.4. The failure envelope is partitioned in regions of linear and non linear response, where soil yielding and foundation uplifting are accounted for. A perfectly symmetric response is achieved about the vertical axis at x =.5, confirming the significant effect of x that Allotey & El Naggar [23] have noticed. More recently, Gourvenec [27] investigated shape effects on the capacity of rectangular footings under general loading. Considering rectangular footings of varying breadth to length aspect ratios (B/L), ultimate limit states under vertical V, moment M, and horizontal H loading were studied. Finite element and analytical predictions were reported and results were presented as failure envelopes in VH, VM and VMH load space. Footing soil interfaces unable to sustain tension and with unlimited tensile resistance were considered whereas P δ effects are not accounted for. For the case of VHM loading plane, the envelopes can be described in terms of normalized loads by the following expression: h m h* m* 2 2 ( ) + ( ) = (.8) where :.25 ( v.5) h* =.25 2 (.9) 3

Metaplastic Rocking Response of -dof Systems : Dimensional Analysis m v v 2 * = 4( ) (.) v = V / Vult is the inverse of the factor of safety, also referred to as x, and m M / Mult =, where M ult is the ultimate moment achieved for a certain value of v. Figure.5 illustrates the three dimensional failure envelope for VMH loading for a zero tension interface. Failure envelopes in planes of HM at v =.25, v =.5, and v =.75 for footings unable to sustain tension with varying aspect ratios are shown in Figure.6. In normalized load space, the envelopes fall in a reasonably tight band and can be approximated as an eclipse symmetrical about H =, proving that their shape is independent of the footing aspect ratio. 4

Figures of Chapter

Conventional Capacity Design New Design Philosophy Plastic hinging at the superstructure Avoidance of foundation failure Avoidance of structural failure Plastic hinging at the foundation Figure.. Conventional Capacity Design compared with New Design Philosophy introduced in Anastasopoulos et al. [2]. Conventional Capacity Design Rocking Isolation Design Plastic hinging at beams Under strong seismic shaking plastic hinging of beams is unavoidable Plastic hinging at column base No foundation uplift allowed : e < B/3 Rocking isolation prevents column failure : plastic hinging is guided to the foundation B B b < B b < B Figure.2. Conventional Capacity Design compared with Rocking Isolation Design introduced in Gelagoti et al. [2]. 7