Θέμα Α ΘΕΜΑΤΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α. Κατά την περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονα της, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς τον άξονα αυτό : α) ισούται με το γινόμενο Icmω, όπου I cm η ροπή αδράνειας της γης ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της. β) ισούται με την συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν στη γη. γ) είναι μηδέν. δ) θα ήταν διπλάσιος αν η γη στρεφόταν με διπλάσια σταθερή γωνιακή ταχύτητα. ( Μονάδες 5 ) Α. Ένα σώμα Σ μάζας m =m κινείται με ταχύτητα μέτρου υ πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή το σώμα Σ συναντά ακίνητο σώμα Σ μάζας m =m και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με αυτό. Αμέσως μετά την ελαστική κρούση, το σώμα Σ : υ α) κινείται προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου. υ β) κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου. υ γ) κινείται προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου. υ δ) κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου. ( Μονάδες 5 ) Α. Δύο σύγχρονες πηγές παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρµονικά κύµατα ίδιου πλάτους Α και ίδιας περιόδου Τ. Σε σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού τα δύο κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά 7Τ. Το πλάτος της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ μετά τη συμβολή των δυο κυμάτων ισούται με : α) 0 β) Α γ) Α δ) Α 7 ( Μονάδες 5 ) Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα
Α4. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν η δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο σώμα γίνεται ίση με F F=+, όπου F είναι η μέγιστη δύναμη επαναφοράς, το πηλίκο της 4 κινητικής ενέργειας Κ του σώματος προς την συνολική ενέργεια Ε της ταλάντωσης του είναι : α) K 4 β) K 4 γ) K 6 δ) K 5 6 ( Μονάδες 5 ) Α5. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιο σας καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν με το γράμμα Σ, αν είναι σωστή, ή με το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη. ( Μονάδες 5 ) Kg α) Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το. m β) Σε μια φθίνουσα ταλάντωση, όπου οι δυνάμεις που αντιστέκονται στην κίνηση είναι της μορφής F bυ, όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης b, ο ρυθμός μεταβολής του πλάτους της ταλάντωσης μειώνεται. γ) Αν διπλασιάσουμε την συχνότητα ενός αρμονικού κύματος, η ταχύτητα του διπλασιάζεται. δ) Όταν μια πηγή αρμονικού ήχου απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα από ακίνητο παρατηρητή, τότε ο παρατηρητής ακούει ήχο βαρύτερο από αυτόν που παράγει η πηγή. ε) Ένα ταλαντούμενο σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με συχνότητα διεγέρτη f>f 0, όπου f 0 η ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Αν αυξηθεί η συχνότητα του διεγέρτη τότε το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται. Θέμα Β Β. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου διαδίδεται στάσιμο εγκάρσιο κύμα μήκους κύματος λ. Στο σημείο Ο( xo 0) δημιουργείται κοιλία και το σημείο αυτό την χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από την θέση ισορροπίας του θετική ταχύτητα. Έστω ότι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ(x 4,5λ ) είναι υ. Η ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού λ σημείου Λ( x ) μια χρονική στιγμή που το σημείο Κ διέρχεται από την θέση ισορροπίας του 8 υ με θετική ταχύτητα είναι : α) υ β) υ γ) Ποια είναι η σωστή απάντηση ; Να την δικαιολογήσετε. ( Μονάδες 6 ) ( Μονάδες ) Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα
Β. Ο κατακόρυφος σωλήνας του σχήματος έχει εμβαδό διατομής Α Α και διαρρέεται από υγρό πυκνότητας ρ. Το υγρό ρέει στρωτά από κάτω προς τα πάνω μέσα στο κατακόρυφο σωλήνα. Στην συνέχεια ο σωλήνας αυτός γίνεται οριζόντιος και καταλήγει σε δεύτερο οριζόντιο, με εμβαδό Α διατομής Α. Έστω δύο σημεία Α,Β του κατακόρυφου σωλήνα και του στενότερου οριζόντιου αντίστοιχα, τα οποία έχουν υψομετρική διαφορά H. Στα σημεία Α,Β έχει προσαρμοστεί παράπλευρος σωλήνας ο οποίος περιέχει υγρό πυκνότητας ρ 5ρ. Το υγρό δημιουργεί υψομετρική διαφορά h. Επίσης στον παράπλευρο σωλήνα τα υγρά, δεν αναμιγνύονται και ισορροπούν. Η ταχύτητα υ του υγρού στο στενότερο οριζόντιο σωλήνα (σημείο Β) ισούται με : α) υ= gh β) υ= gh γ) υ= gh (Μονάδες ) Ποια είναι η σωστή απάντηση ; Να την δικαιολογήσετε. ( Μονάδες 6 ) Να θεωρήσετε τα υγρά,, ιδανικά ρευστά. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Β. Σώμα μάζας m 4m είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς κατακόρυφου νήματος, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε οροφή. Στη βάση του σώματος μάζας m είναι δεμένο κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο ένα άλλο σώμα μάζας m m. Αρχικά το σύστημα σώματα m, m-ελατήριο ισορροπεί και το νήμα είναι τεντωμένο. Απομακρύνουμε το σώμα μάζας m κατακόρυφα προς τα κάτω και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D=k. Η μέγιστη απομάκρυνση x που πρέπει να προκαλέσουμε στο σώμα μάζας m ώστε το νήμα να παραμένει τεντωμένο κατακόρυφα σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης του είναι : α) x mg 4mg 5mg = β) x = γ) x k k k Ποια είναι η σωστή απάντηση ; Να την δικαιολογήσετε. ( Μονάδες +7 ) Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Οι αντιστάσεις του αέρα παραλείπονται. Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα
Θέμα Γ Σε σημείο Ο(x=0) το οποίο θεωρείται ως αρχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου βρίσκεται πηγή παραγωγής αρμονικού κύματος. Το σημείο Ο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=0,4 m και την χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από την θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. Την π χρονική στιγμή t s η απομάκρυνση του σημείου Ο από την θέση ισορροπίας είναι 5 y 0, m για πρώτη φορά. Επίσης μέχρι την χρονική στιγμή που το σημείο Ο διέρχεται από την θέση ισορροπίας του για τρίτη φορά (μετά την t=0), το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση s=0,6 m πέρα από το σημείο αυτό. Γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. ( Μονάδες 6 ) Γ. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας της ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου, υλικού σημείου Κ το οποίο αποκτά μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης για τέταρτη φορά την χρονική στιγμή t 7,6π s. Να γράψετε την εξίσωση αυτή για t 0. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για 0t t. ( Μονάδες + ) Γ. Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων Κ και Λ(x,5 m) την χρονική στιγμή που το σημείο Λ διέρχεται από την θέση ισορροπίας του με αρνητική ταχύτητα. ( Μονάδες 6 ) Γ4. Να βρείτε την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας του, υλικού σημείου μάζας m=0,6 g όταν ο ρυθμός μεταβολής της δύναμης επαναφοράς του είναι Θέμα Δ Ομογενής δοκός, μάζας Μ=,6 Kg και μήκους 6 +75 0 Ν/s και y<0, υ<0 (Μον. 7) 5 m, ισορροπεί οριζόντια όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της δοκού συνδέεται με άρθρωση, ενώ στο άκρο Γ είναι δεμένο αβαρές σχοινί που σχηματίζει γωνία φ με τη δοκό. Δίνονται ημφ=0,8, συνφ=0,6. Το άλλο άκρο του σκοινιού είναι δεμένο σε οροφή. Σε σημείο Β της δοκού που απέχει από το άκρο της Α απόσταση (AB)= 5 τοποθετούμε κύλινδρο μάζας m=0,8 Kg και ακτίνας R. Ο κύλινδρος διαθέτει αβαρή κυκλική προεξοχή ακτίνας R r πάνω στην οποία έχουμε τυλίξει αβαρές σκοινί. Αρχικά ο κύλινδρος είναι ακίνητος πάνω στην δοκό. Αν στο ελεύθερο άκρο του σκοινιού που είναι τυλιγμένο στην Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 4
κυκλική προεξοχή ασκήσουμε σταθερή οριζόντια δύναμη F τότε το σκοινί θα αρχίζει να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστρά στην κυκλική προεξοχή ενώ ταυτόχρονα ο κύλινδρος θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην δοκό. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι μs 0,5. Δ. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της δύναμης ( F ) που πρέπει να ασκήσουμε στο ελεύθερο άκρο του σκοινιού, ώστε ο κύλινδρος να κυλά χωρίς να ολισθαίνει. ( Μονάδες 6 ) Την χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του σκοινιού που είναι τυλιγμένο στην κυκλική προεξοχή του κυλίνδρου οριζόντια δύναμη μέτρου F=7 N για την οποία ισχύει F<F. Δ. Αν το σκοινί που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο ξετυλίγεται, μετά την χρονική στιγμή t=0, κατά d= m, να αποδείξετε ότι το σκοινί που είναι δεμένο στην δοκό δεν σπάει την χρονική στιγμή που το σκοινί που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο έχει ξετυλιχθεί κατά d. Δίνεται ότι το όριο θραύσης του δεμένου σκοινιού στο άκρο Γ είναι Tθρ που ασκεί η άρθρωση στη δοκό την ίδια χρονική στιγμή. ( Μονάδες +4 ) 8 Ν. Στην συνέχεια να βρείτε την δύναμη Δ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου την χρονική στιγμή που το σκοινί που είναι δεμένο στη δοκό είναι έτοιμο να σπάσει. ( Μονάδες 7 ) Όταν σπάσει το σκοινί που είναι δεμένο στη δοκό αποσύρουμε ταυτόχρονα και τον κύλινδρο που κυλούσε πάνω σε αυτή. Η δοκός αφήνεται να στραφεί σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Δ4. Σε πόσες θέσεις η δοκός κατά την διάρκεια της κίνησης της, αποκτά γωνιακή επιτάχυνση μέτρου αγων αγων() ( α γων() : Μέγιστη γωνιακή επιτάχυνση της δοκού) ; Να δικαιολογήσετε 5 Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 5
την απάντηση σας. Στην συνέχεια να βρείτε την κινητική ενέργεια της δοκού όταν αποκτά γωνιακή επιτάχυνση α γων για πρώτη φορά από την στιγμή που ξεκίνησε να στρέφεται. ( Μονάδες +4 ) Δίνονται : H ροπή αδράνειας του κυλίνδρου μάζας m και ακτίνας R ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του : I Η ροπή αδράνειας της δοκού, μάζας Μ και μήκους, ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σε αυτήν : I cm mr A M. Τέλος : g=0 m/s. Δεν υπάρχουν τριβές κατά την στροφική κίνηση της δοκού. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!! Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 6
Θέμα Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. γ Α. δ Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ Θέμα Β Β. Σωστό είναι το γ. π x π t π yσυν ημ ω= λ Τ π 4,5λ π t y συν ημ συν9π ημωt=συν 8π+π ημωt= } Σημείο Κ(x Κ =+4,5λ) λ Τ y ημωt π = συνπ ημωt y ημωt Άρα το σημείο Κ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με Κ, φk ωt+π και υκ() ω υ ω () π x π t λ yσυν ημ π λ Τ 8 π } y συν ημωt=συν ημωt= ημωt λ Σημείο Λ(x =+ ) λ 4 8 y ημωt. Άρα :, φ ωt και υ ω ω υ Λ() Παρατηρούμε ότι Δφ=φ φ ωt π ωt Δφ=π rad. Άρα η ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου Λ, μια χρονική στιγμή που το σημείο Κ διέρχεται από την θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα +υ, είναι () υ Λ(). υ Β. Σωστό είναι το β. Εφαρμόζουμε την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία Α,Β Α Α, Α Α υ υ υ Αυ υ A Αυ A=Αυ υa υ A () Α Α Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 7
Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία Α και Β μιας ρευματικής γραμμής. p ρυ =p ρυ ρgh p p ρυ ρυ ρgh () υ 4ρυ p p ρυ υ ρgh p p ρυ ρgh p p ρgh () 9 9 Το υγρό ισορροπεί. Άρα για τα σημεία Γ,Δ που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο έχουμε : p =p ρgd pa ρgh+ρgd pb ρgd pa ρgh ρg H+dh pb ρgd pa ρ5ρ =ρghρghρgdρghp p p ρ ρ ghρgh p p 4ρgh ρgh () B A B A B 4ρ υ 4ρ υ υ= gh 9 9 ()=() ρgh 4ρgh ρgh 4ρgh υ 9gh Β. Σωστό είναι το γ. Έστώ Τ η τάση του νήματος. Για να παραμένει το νήμα τεντωμένο κατακόρυφα σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος μάζας m, πρέπει Τ 0. Έστω ότι το ελατήριο είναι επιμηκυμένο. Το σώμα μάζας m ισορροπεί. Άρα : ΣF=0 T Fελ w 0 T F ελ +w 0. Όσο λοιπόν κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος μάζας m το ελατήριο είναι επιμηκυμένο, το νήμα παραμένει τεντωμένο. Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 8
Έστω x>0, μια τυχαία θέση της ταλάντωσης στην οποία το ελατήριο είναι συσπειρωμένο. Αυτό σημαίνει ότι το σώμα m θα βρίσκεται πάνω από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Το σώμα μάζας m ισορροπεί. Άρα : Πρέπει : () Τ 0 w F 0 () ελ Τo σώμα m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. ΣF=0 T+F w 0 T w F () ελ ελ ΣF= kx F w kx F kx w () ελ ελ () (4) () w kx w 0 w kx+w 0 w +w kx kx w +w x m+m Για να παραμένει το νήμα τεντωμένο κατακόρυφα σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος μάζας m θα πρέπει η ανίσωση (4) να ισχύει για x=+α. x xa m+m m 4m, m m g 5mg A. Άρα : A k k 5mg k Άρα η μέγιστη απομάκρυνση που πρέπει να προκαλέσουμε στο σώμα m είναι k g 5mg x k Θέμα Γ Γ. Σημείο Ο(x=0) : y=aημωt 0,=0,4ημωt ημωt= ημωt ημ 6 y y 0, m π Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 9
π t=t s y y για η φορά 5 π π π π π 5 5 ωt κπ ή ωt κπ π ωt ω ω= rad/s ω= rad/s 6 6 6 5 6 4 π π π 8π ω Τ= s= s Τ=,6π s Τ ω 5 5 4 Tο σημείο Ο διέρχεται από την θέση ισορροπίας του για τρίτη φορά μετά την t=0 την χρονική T στιγμή: t=t+, 6π+0,8π s t=,4π s s 0,6 υ m/s t,4π υ m/s. Επίσης : 4π λ υ λ υτ,6π m Τ 4π λ 0,4 m. t x t x π t t y Aημπ 0, 4ημπ 0, 4ημ x 0, 4ημ5π x T λ,6π 0,4 40 4π 4π t y 0, 4ημ5 πx S.I. 4 Γ. Έστω t K, η χρονική στιγμή που ξεκινά την ταλάντωση του το σημείο Κ. Το σημείο Κ αποκτά μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης για τέταρτη φορά μετά από χρόνο στιγμή που ξεκινά να ταλαντώνεται. Άρα : Τ Τ+ 4 από την χρονική Τ Τ,6π t tk Τ+ tk t Τ 7,6π,6π s= 7,6π,6π,π s tk 4,8π s 4 4 4 xκ υ xκ υ tκ 4,8π m t 4π x, m. Κ Κ x=x K, m t x 5 t t t υ ωaσυνπ 0,4συν5 πx υ 0,5συν5 πx υ 0,5συν5,π T λ 4 4 4 4 0 0t<4,8π s υ { t 0,5συν5,π S.I. t 4,8π s 4 Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 0
Γ. Σημείο Κ(x, m) : t φ 5,π 4 Σημείο Λ(x,5 m) : t φ 5,5π 4 t t 5t 5t Δφ=φ φ 5, π 5,5π 6π 7,5π 4 4 4 4 φ φ =,5π s (). yλ 0 y =Αημφ ημφ 0 ημφ ημ0 φ κπ ή φ κπ π Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ φλ κπ υ =ωασυνφ ωασυνκπ ωασυν0 ωα 0 Άτοπο. Λ Λ φλ κπ+π Άρα : Λ υ =ωασυνφ ωασυν κπ π ωασυνπ ωα<0 Ισχύει. ().() y K=ΑημφK y K=Αημ κπ π,5π =Αημ,5π Αημ π+ φ κπ π rad () π y K = 0,4 m ΔxxΛxΛ0, m Η απόσταση d μεταξύ των σημείων Κ,Λ είναι :d= A Δx 0,4 0, m d=0,5 m dσf dx dσf ΣF Dx dσf d Dx dσf Ddx D mω υ dt dt dt Γ4. dσf 6 6 dt +750 +750 υ= m/s= m/s mω 5 5 5 0,60. 60 4 6 υ= 0 m/s Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης του υλικού σημείου. D=mω DA mυ Dy DA mυ Dy mω Α mυ mω y ωα υ ωy 4 5 4 4 ω 5 6 5 5 y= ωα υ 60 90 m= 60 m= 40 m y= 0, m Τελικά : y= 0, m Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα
Θέμα Δ Δ. Έστω T η δύναμη πού ασκεί το σκοινί στο χέρι μας. F=T ως δυνάμεις δράσης-αντίδρασης. Άρα : F=T () Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Άρα εκτελεί ταυτόχρονα μια μεταφορική κίνηση και μια στροφική γύρω από το κέντρο μάζας του. Μεταφορική κίνηση : ΣFx mαcm στ mαcm () Στροφική κίνηση : Tστ mrαγων () Κύλιση : αcm αγωνr (4) R r R cm cm γων στ γων στ γων Στ α r T R mr α T R mr α (4) () () () Tστ mαcm Tστ στ 46Tστ στ 9στ στ 9 F στ (5). Επίσης : Fy 0 Nwκ 0 N mg N 8 N (6) 9 Για να κυλά ο κύλινδρος χωρίς να ολισθαίνει πρέπει η τριβή να είναι στατική. (5) (6) F στ ορ στ μν s μν s F9μΝ s F90,58 N F 6 N. Άρα: F 9 Δ. Το μήκος d του σκοινιού που ξετυλίγεται είναι ίσο με το τόξο s που διαγράφει το ανώτερο σημείο της περιφέρειας της κυκλικής προεξοχή ακτίνας r. Δηλαδή : d=s (7). Το ανώτερο σημείο της περιφέρειας του κυλίνδρου διαγράφει τόξο s που είναι ίσο με την μετατόπιση του κέντρου μάζας x cm του. Δηλαδή : s xcm (8). 6 Ν Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα
(7),(8) s s s s s s s d Έχουμε : θ= = = s x r R R cm = m x cm =,5 m R R R 5 Ο κύλινδρος θα βρεθεί στο κέντρο Κ της δοκού αφού (ΑΚ)= x cm,5 m=,5 m= 5 5 Έστω Τ, Ν οι αντιδράσεις των δυνάμεων Τ στ, Ν, οι οποίες ασκούνται στο σημείο Κ της δοκού. στ (5) F 7 Τ στ = στ = Ν Τ στ = Ν και Ν 8 9 9 Έστω η τάση του σκοινιού που είναι δεμένο στο άκρο Γ της δοκού. Η δοκός ισορροπεί. Άρα : Στ(Α) 0 τ F (A) τ w (A) τ +τ +τ 0 } A δ (A) (A) στ (A) τf A (A) 0 γιατί το σημείο εφαρμογής της FA είναι το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζουμε τις ροπές τ 0 γιατί ο φορέας της στ διέρχεται από το σημείο ως προς το οποίο στ (A) υπολογίζουμε τις ροπές τ x (Α) 0 wδ N τw δ(α) τ x(α) τ (Α) +τ 0 w N(Α) δ N 0 ημφ= y y wδ N 6 8 40 80 = Ν Ν Ν ημφ 80 8 8 Εξαιτίας της ισορροπίας της δοκού ισχύουν επίσης : =5 Ν< θρ. Άρα το σκοινί δεν σπάει. ΣF =0 T F =0 F T συνφ T 560 N= 9 N F 6 Ν ΣF =0 F +T w N =0 F =w +N T ημφ= 6 8 5 8 0 Ν= 4 Ν F = Ν x x στ Ax Ax x στ στ Ax y Ay y δ Ay δ Ay F F F A Ax Ay F 6 N= 6 4 N F A A 6 5 Ν. Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα
Δ. Έστω ότι ο κύλινδρος βρίσκεται στο σημείο Ζ όταν το σκοινί που είναι δεμένο στη δοκό είναι έτοιμο να σπάσει. Τότε = θρ 8 Ν τf (Α) 0 τ 0, τ (Α) x (Α) 0 στ Ισορροπία δοκού : τ 0 τ +τ τ τ τ τ + 0 ( ) F (Α) w δ(α) N(Α) στ (Α) θρx(α) θρy (Α) θρημφ w 5 8 8 0 6 δ 54,4 8 wδ N θρ ημφ 0 m= m= N 8 8 54,4 8 56,4 = m= m= m 4 m 8 8 8 Άρα η μέγιστη μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου πάνω στην δοκό μέχρι την x (BΔ)=(AZ) (AZ)= 4 m x m. στιγμή που το σκοινί σπάει είναι : R x W W +W Τ x τ θ Τ x Τ θ Τ x Τ Rθ s xcm Τ(μεταφ.) Τ(στροφ.) T 5Τx () W W 5Fx (9) Η δύναμη w κ είναι κάθετη στην μετατόπιση του κυλίνδρου. Άρα : Ww 0 (0). κ Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 4
Η δύναμη Ν είναι κάθετη στην μετατόπιση του κυλίνδρου και ο φορέας της διέρχεται από κέντρο μάζας του. Άρα η Ν έχει μηδενικό έργο στην μεταφορική και την στροφική κίνηση του. Επομένως κατά την κύλιση του : WN 0 () Η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της γιατί κάθε στιγμή ασκείται στo διαφορετικό σημείο επαφής του κυλίνδρου με την δοκό το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα. Άρα : W 0 () Tστ 5Fx (9),(0),(),() ολ w κ N T στ ολ () W W W W W W Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για την κύλιση του κυλίνδρου από το σημείο Β στο σημείο Ζ Κ τελ Καρχ Wολ Κ Ζ Κ Wολ mυcm Icmω 0 w ολ mυcm Icmω Wολ υcm ωr mυcm mr ω Wολ mυcm mrω Wολ mυcm mυcm Wολ 5Fx () 4 mυcm 4Wολ 45Fx 0Fx Wολ υcm υcm m m 9m m 4 07 0 0 80 4 m/s= m/s= m/s υ cm 5 m/s. 5Fdx dw T =dw στ w =dw 0 (9) dk dw 5Fdx Θ.E.E: dk=dwολ dk dw T +dwt dw στ w +dw dt dt dt dt dk 5Fυ cm 57 5 J/s dk 675 J/s dt dt Δ4. Αρχικά η δοκός επιταχύνεται λόγω της ροπής του βάρους της μέχρι να γίνει κατακόρυφη (θ=90 0 ) και στην συνέχεια επιβραδύνεται. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για την δοκό από την θέση (Ι) στην θέση (ΙV) : μηχ (I) μηχ (IV) I I IV IV UI0, UIV0 KI 0 Ε Ε Κ U Κ U Κ IV =0. Άρα η δοκός εκτελεί περιοδική κίνηση μεταξύ των θέσεων Ι και ΙV έχοντας εύρος στροφικής κίνησης 80 0. Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 5
Έστω ότι η δοκός σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση (αρχική θέση Ι). Στ( ) Ιαγων τw δ (Α) Ιαγων w δ( ) Ιαγων Μg συνθ= Μ αγων gσυνθ α γων (4). Από την σχέση (4) για θ=0 (Θέση Ι) προκύπτει ότι : αγων() g (5) (5) (4) α γων α γων() συνθ α α συνθ 5 γων() γων() συνθ= 5. Θέση ΙΙ Επειδή η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση της γωνίας που σχηματίζει η δοκός με την οριζόντια διεύθυνση και η κίνηση της περιορίζεται σε δυο τεταρτημόρια, τελικά η δοκός αποκτά γωνιακή επιτάχυνση μέτρου α 5 γων() σε δύο θέσεις κατά την διάρκεια της κίνησης της, μία στο πρώτο τεταρτημόριο (θέση ΙΙ) και μια στο δεύτερο (θέση ΙΙΙ). 9 ημ θ+συν θ= ημθ= συν θ 5 4 ημθ= 5 Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για την δοκό από την θέση (Ι) στην θέση (ΙΙ) UII 0 KI 0 5 4 Εμηχ (I) Εμηχ (II) ΚI UI ΚII UII Κ II=Μgh=Μg ημφ=6 0 0 J 5 Κ II = J. Επιμέλεια : Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 6