Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές. ( ηλαδή µπορεί να µας βάλει ένα πρόβληµα που έχει πολλές κυριαρχούµενες στρατηγικές, τις απαλείφουµε και µας µένει ένας πίνακας 2 2 ή 3 3). Στο παίγνιο αυτό υπάρχουν 3 επιλογές: Α, Κ, (ΙΙ) Α Κ Α 4, 5 0, 0 5,4 (Ι) Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5 Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (Ι) (ΙΙ) Α Κ Α 4, 5 0, 0 5,4 Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5 Οπότε δεν υπάρχει κανένα σηµείο ισορροπίας σε αµιγείς στρατηγικές. Πρέπει να υπάρχει κάποια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. Για να βρούµε αυτή την ισορροπία, πρέπει να υποθέσουµε ότι κάθε παίχτης επιλέγει µε κάποια πιθανότητα τις 3 στρατηγικές. 121
εδοµένου ότι δεν υπάρχει καµιά αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική σε αυτό το παιγνίδι. 5 > 0 < 4 4 < 5 > 0 0 < 4 < 5 4 0 5 5 4 0 0 5 4 Σηµείωση: Στις µεικτές στρατηγικές όταν έχουµε ασθενώς κυριαρχούµενες στρατηγικές δεν τις απαλείφουµε. ΜΟΝΟ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΑΥΣΤΗΡΑ ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΕΣ ΤΙΣ ΑΠΑΛΕΙΦΟΥΜΕ. Ποια είναι η επιλογή που έχει κάθε παίχτης; Είναι βασικά 2 πιθανότητες: έχει τρεις αµιγείς στρατηγικές άρα µε 3 πιθανότητες µπορούµε να προσδιορίσουµε όλη την κατανοµή. Άρα εδώ πέρα θα έχουµε: (ΙΙ) Α(q 1 ) Κ(q 2 ) (q 3 = 1-q 1 q 2 ) Α(p 1 ) 4, 5 0, 0 5,4 (Ι) Κ(p 2 ) 5, 4 4, 5 0, 0 (p 3 = 1- p 1 - p 2 ) 0,0 5, 4 4, 5 Εδώ δεν είναι εύκολο να φτιάξουµε επίπεδα αντίδρασης. ηλαδή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την κλασσική µέθοδο και να φτιάξουµε την καµπύλη αντίδρασης αλλά δεν µπορούµε να την ζωγραφίσουµε διότι είναι σε τρισδιάστατο χώρο. Οπότε, θα χρησιµοποιήσουµε την εναλλακτική µέθοδο που προέρχεται από την αρχή της εξίσωσης των κερδών. Τι σηµαίνει η αρχή της εξίσωσης των κερδών; 122
Σηµαίνει ότι δεδοµένης της στρατηγικής ισορροπίας του παίχτη ΙΙ, ο παίχτης Ι θα είναι αδιάφορος µεταξύ του να χρησιµοποιήσει οποιαδήποτε από τις τρεις στρατηγικές. ηλαδή: Π Ι ( )=Π Ι (Α)=Π Ι (Κ) Αυτή η τριπλή ισότητα µας δίνει βασικά δύο εξισώσεις µε δύο αγνώστους (το q 1 και q 2 ). Και αυτό που θα βρούµε είναι η κατανοµή πιθανότητας του παίχτη ΙΙ. Με την εξίσωση των κερδών του παίχτη Ι βρίσκουµε τις πιθανότητες που χρησιµοποιεί ο παίχτης ΙΙ στις στρατηγικές του. Π Ι (Α)=Π Ι (Κ)=Π Ι ( ) Π Ι (Α)=4q 1 +0 q 2 +5(1 q 1 q 2 )=5 q 1 5q 2 (1) Π Ι (K)=5q 1 +4q 2 +0(1 q 1 q 2 )=5q 1 +4q 2 (2) Π Ι ( )=0 q 1 +5q 2 +4(1 q 1 q 2 )=4 4q 1 +q 2 (3) Συνδυάζοντας για παράδειγµα το (1) και (2). 5 q 1 5q 2 =5q 1 +4q 2 6q 1 +q 2 =5 (4) Συνδυάζοντας το (2) και (3). 4 4q 1 +q 2 =5q 1 +4q 2 q 1 +3q 2 =4 (5) Λύνοντας τις (4) και (5) έχουµε: 5 4 3 15 36 q 1 = = = 1/ 3 18 81 6 3 6 5 4 24 45 q 2 = = = 1/ 3 18 81 6 3 Στο γραπτό αν µας πει υπολογίστε τις µεικτές στρατηγικές πρέπει να κάνουµε πράξεις. Αν όµως µας πει να βρούµε τις µεικτές στρατηγικές µπορούµε να γράψουµε απευθείας ότι: [(Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3), (Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3)] διότι υπάρχει συµµετρία στο παίγνιο αυτό. Άρα βρήκαµε ότι η στρατηγική ισορροπίας του παίχτη ΙΙ είναι: (Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3) Μας µένει να βρούµε την στρατηγική του παίχτη Ι: δεδοµένου ότι είναι συµµετρικό, θα βρούµε ακριβώς τις ίδιες εξισώσεις 123
Π ΙΙ ( )=Π ΙΙ (Κ)=Π ΙΙ (Α) Π ΙΙ ( )= 4P 1 +0 P 2 +5(1 P 1 P 2 )=5 P 1 5P 2 (1) Π ΙI (K)=0 P 1 +5P 2 +4(1 P 1 P 2 )=4 4P 1 +P 2 (2) Π ΙΙ (Α)=5P 1 +4P 2 +0(1 P 1 P 2 )=5P 1 +4P 2 (3) Από (1) & (2) 5 P 1 5P 2 =4 4P 1 +P 2 3P 1 +6P 2 =1 (4) (2) & (3) 4 4P 1 +P 2 =5P 1 +4P 2 P 1 +3P 2 =4 (5) 1 6 P 1 = 4 3 3 24 21 = = = 1/ 3 54 63 3 6 3 3 1 12 P 2 = 4 = = 1/ 3 54 3 6 3 P 1 = P 2 = P 3 =1/3 Άρα: [(Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3), (Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3)] Αν θέλει κάποιος να µαντέψει ποια είναι η ισορροπία τι θα κάνει; Για παράδειγµα µαντεύουµε ότι P 1 = P 2 = P 3 =1/3. οκιµάζουµε τα κέρδη Π ΙΙ ( )= Π ΙΙ (Κ)= Π ΙΙ (Α) για P 1 = P 2 = P 3 =1/3. Αν δεν υπάρχει απόκλιση τότε είναι ισορροπία. Άρα δεν είναι δύσκολο να µαντέψει κανείς. ηλαδή µαντεύει κάποιος ότι η ισορροπία είναι 1/3, 1/3, 1/3. Είναι αυτή η ισορροπία; Αν εξισώνοντας τα κέρδη του ΙΙ, δεδοµένου ότι P 1 = P 2 = P 3 =1/3, τότε προφανώς είναι η ισορροπία. Άρα, µπορούµε να µαντεύουµε κάποια ισορροπία και µετά να ελέγξουµε αν είναι πράγµατι ισορροπία. Αυτή η µέθοδος που έχουµε πει είναι γενική, αλλά φυσικά τα παιγνίδια δεν είναι πάντοτε συµµετρικά. Έχουµε τελειώσει µε τις ισορροπίες στις µεικτές στρατηγικές (*αν στο διαγώνισµα βρούµε µια µήτρα µεγάλη, το πρώτο που πρέπει να κάνουµε είναι να απαλείψουµε όλες τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές). ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ Έχουµε εξηγήσει όλη την διαίσθηση πίσω από τα δυναµικά παίγνια, στα οποία εφαρµόζουµε το backwards induction. Θα δούµε λίγες περισσότερες λεπτοµέρειες και κάποιους ορισµούς. Οπότε τώρα αφήνουµε τα παίγνια που είναι σε µορφή µήτρας, 124
και µπαίνουµε µόνο σε παίγνιο που περιγράφονται σε µορφή δέντρου, όπου ο χρόνος είναι καθορισµένος. Θα κάνουµε µια µικρή επανάληψη, έτσι ώστε να µπορέσουµε να ορίσουµε την τέλεια ισορροπία κατά Nash υπό-παιγνίων, στη γενική µορφή και όχι όταν το παίγνιο είναι τέλειας πληροφόρησης. Μέχρι τώρα αυτό που κάναµε ήταν ότι: όταν το παίγνιο ήταν τέλειας πληροφόρησης, δηλαδή δεν υπάρχουν σύνολα πληροφόρησης, τότε η λύση που βγαίνει από το backwards induction είναι η τέλεια ισορροπία κατά Nash υπό παιγνίων. Τώρα θέλουµε να την ορίσουµε και στην πιο γενική περίπτωση, όπου δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Η οπισθογενής επαγωγή πάντοτε θα µας δώσει τέλειες ισορροπίες κατά Nash. Όµως δεν έχουµε µάθει πως να χρησιµοποιούµε την οπισθογενή επαγωγή στην πιο γενική περίπτωση όταν δεν υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Την έχουµε δει µόνο σε παίγνιο τέλειας πληροφόρησης. Αν δεν υπάρχει τέλεια πληροφόρηση τι θα συµβεί; Το πρώτο πράγµα που χρειαζόµαστε είναι να ορίσουµε το σύνολο πληροφόρησης. Ορισµός: Σύνολα πληροφόρησης (Information sets) Ένα σύνολο κόµβων όπου: (i) αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριµένο παίχτη (αυτός ο συγκεκριµένος παίχτης πρέπει να πάρει την απόφαση του σε ένα από τους κόµβους). (ii) ο παίχτης δεν διακρίνει σε ποιο κόµβο έχει φθάσει το παίγνιο. οι επιλογές του παίχτη είναι οι ίδιες σε όλους τους κόµβους που ανήκουν σε ένα σύνολο πληροφόρησης. ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ (i) Ένα σύνολο πληροφόρησης ανήκει σε έναν παίχτη. εν µπορεί να ανήκει σε δύο παίχτες το ίδιο σύνολο πληροφόρησης. (ii) Και αυτός ο παίχτης, στον οποίο ανήκει το σύνολο πληροφόρησης, δεν µπορεί να διακρίνει / δεν ξέρει σε ποιο κόµβο βρίσκεται. Θα δούµε διάφορα παραδείγµατα, για να καταλάβουµε καλύτερα τον ορισµό. 125
Παράδειγµα 1: Είναι δυνατόν αυτό να είναι ένα σύνολο πληροφόρησης; ΟΧΙ. εν µπορεί στον κόµβο α ο παίκτης να έχει δύο επιλογές, στον κόµβο b 3 επιλογές και 2 στον κόµβο c. Αν ο παίχτης Α έχει τρεις επιλογές µπροστά του, τότε αυτό του δίνει πληροφόρηση. Άρα, αν ο παίχτης Α έχει στο b τρεις επιλογές ενώ στο α, c έχει 2 επιλογές τότε µπορεί να ξεχωρίσει αν βρίσκεται στο b ή στο α και c. Ο παίχτης Α, αν είναι στο b ξέρει ότι βρίσκεται στο b διότι θα έχει µπροστά του τρεις επιλογές. Άρα δεν µπορούν και οι τρεις κόµβοι να είναι στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης. Εµείς είπαµε ότι ο παίχτης δεν διακρίνει σε ποιο κόµβο έχει φθάσει το παιγνίδι, όταν µιλούµε για το σύνολο πληροφόρησης. Με το (1) δεν είναι δυνατόν να µην ξέρει που έχει φθάσει, αν το παιγνίδι έχει φθάσει στο b; ΟΧΙ, ξέρει διότι έχει τρεις επιλογές µπροστά του. Άρα, πρέπει σε κάθε κόµβο να έχουµε όχι µόνο τον ίδιο αριθµό στρατηγικών, αλλά και τις ίδιες στρατηγικές. Για παράδειγµα: δεν είναι σύνολο πληροφόρησης. Άρα σε όλους τους κόµβους που ανήκουν σε ένα σύνολο πληροφόρησης, ο παίχτης έχει τις ίδιες επιλογές σε όλους τους κόµβους. Αφού έχει τις ίδιες επιλογές, θα κάνει µια από τις επιλογές του, είτε θα πάει αριστερά 126
και στους τρεις κόµβους, είτε δεξιά και στους τρεις διότι δεν ξέρει που βρίσκεται και παίρνει µια απόφαση. Άρα, το άτοµο δεν διακρίνει σε ποιο κόµβο βρίσκεται σηµαίνει ότι δεν έχει κανένα τρόπο να διακρίνει. εν µπορεί να κάνει κάποια περίπλοκη σκέψη και να βρει που βρίσκεται. εν µπορεί να διακρίνει. Θα δούµε τώρα τι σηµαίνει υπό-παίγνιο. Και χρειαζόµαστε τον ορισµό, για να ορίσουµε την τέλεια ισορροπία κατά Nash υπό-παιγνίων. Ορισµός Υποπαιγνίου Είναι µια συνέχιση του παιγνίου από ένα χρονικό σηµείο µέχρι το τέλος. Αλλά χρειαζόµαστε κάποιες συγκεκριµένες συνθήκες: (1) Ξεκινά από ένα κόµβο, b, που ανήκει σε ένα σύνολο πληροφόρησης µε ένα µοναδικό στοιχείο, το b [και το b δεν είναι ο αρχικός κόµβος]. Άρα δεν µπορεί να ξεκινήσει από κάποιο σύνολο πληροφόρησης µε πολλούς κόµβους µέσα. Μπορούµε αν θέλουµε, να βάλουµε την επιπλέον συνθήκη ότι το b δεν είναι αρχικός κόµβος. Αυτό το βάζουµε σε παρένθεση διότι είναι µια συµφωνία. ηλαδή το αρχικό παίγνιο δεν είναι υποπαίγνιο. (2) Περιλαµβάνει όλους τους κόµβους αποφάσεων (κόµβοι που παίρνει κάποια απόφαση) και τελικούς κόµβους (κόµβους που βρίσκονται τα αποτελέσµατα), που ακολουθούν τον κόµβο b. (3) εν τέµνει κανένα σύνολο πληροφόρησης. ηλαδή το υποπαίγνιο είναι κάτι που το αποµονώνουµε και το αναλύουµε. Άρα δεν πρέπει να τέµνει κανένα σύνολο πληροφόρησης. 127
Άρα οι συνθήκες (1)-(3) είναι απαραίτητες για να µπορούµε να ορίσουµε ένα υποπαίγνιο. Θα δούµε τώρα παραδείγµατα που θα µας βοηθήσουν να καταλάβουµε τις τρεις συνθήκες. Θα δούµε πόσα υποπαίγνια υπάρχουν. Πόσα υποπαίγνια έχει αυτό το παίγνιο; Έχει 6 υποπαίγνια. 128
Γιατί το σχήµα είναι υποπαίγνιο; ιότι ξεκινά από ένα κόµβο b που ανήκει σε ένα σύνολο πληροφόρησης που έχει µοναδικό στοιχείο. Το σύνολο πληροφόρησης είναι βασικά το σύνολο που περιλαµβάνει τον συγκεκριµένο κόµβο. Περιλαµβάνει όλους τους κόµβους αποφάσεων και τελικούς. Εδώ περιλαµβάνει µόνο τελικούς κόµβους µετά τον κόµβο b. εν τέµνει κανένα σύνολο πληροφόρησης. Παράδειγµα: 12
ηλαδή όταν ο παίχτης Ι παίρνει την τελική του απόφαση δεν γνωρίζει τι έχει κάνει ο παίχτης ΙΙ. Ο παίχτης ΙΙ γνωρίζει την πρώτη κίνηση του Ι, αλλά όταν ο παίχτης Ι παίρνει την απόφασή του δεν ξέρει την απόφαση του ΙΙ. Πόσα υποπαίγνια έχουµε εδώ; Έχουµε δύο υποπαίγνια. Ξεκινά από ένα κόµβο b που ανήκει σε ένα σύνολο πληροφόρησης µε µόνο ένα στοιχείο. Κανένα υποπαίγνιο δεν µπορεί να ξεκινήσει από το Α ή Β διότι το σύνολο πληροφόρησης έχει 2 στοιχεία. Παράδειγµα: Ας πούµε ότι Ι δεν θυµάται τι έκανε ξέχασε. Παίρνει την απόφαση του στο παρελθόν, ο ΙΙ την παρατηρεί, αλλά µετά όταν θα αποφασίσει δεν θυµάται τι αποφάσισε στο παρελθόν. 130
Εδώ δεν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο, γιατί δεν ικανοποιείται η συνθήκη (3). Για παράδειγµα το πιο κάτω ξεκινά από ένα κόµβο µε ένα µοναδικό στοιχείο, δηλαδή ικανοποιεί την συνθήκη (1), αλλά τέµνει το σύνολο πληροφόρησης. Άρα το παίγνιο αυτό δεν έχει κανένα υποπαίγνιο. Όταν ένα παίγνιο δεν έχει κανένα υποπαίγνιο µια ισορροπία κατά Nash είναι και τέλεια ισορροπία υποπαιγνίου. 131
Αν υπάρχουν υποπαίγνια πρέπει συνήθως να µειώσουµε τον αριθµό των ισορροπιών κατά Nash, διότι γενικά ο αριθµός τελείων ισορροπιών υπό παιγνίων είναι µικρότερος ή το πολύ ίσος µε τον αριθµό των ισορροπιών κατά Nash. Ουσιαστικά, η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων ξεκίνησε από το γεγονός ότι σε πολλά παίγνια εµφανίζονταν ένας πολύ µεγάλος αριθµός ισορροπιών κατά Nash. Και λέγανε υπάρχει κανένας τρόπος να επιλέξουµε µεταξύ των ισορροπιών κατά Nash; Υπάρχει κάποιο κριτήριο; Το κριτήριο που βρέθηκε ήταν η διαχρονική συνέπεια. ηλαδή ότι οι επιλογές που κάνουνε τα άτοµα είναι λογικές στο χρόνο, µε την έννοια ότι λαµβάνουν υπόψη όλη την πληροφόρηση που έχουν στα χέρια τους, δεν χρησιµοποιούνε απειλές που δεν είναι αξιόπιστες κλπ. Γιατί ορίζουµε τα υποπαίγνια; Θέλουµε να τα αναλύσουµε ξεχωριστά, να βρούµε τις ισορροπίες κατά Nash σε αυτά τα υποπαίγνια. 132