Αρχές μεταφοράς ρύπων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Αρχές μεταφοράς ρύπων 4.1 Διεργασίες μεταφοράς ρύπων Η γενικότερη έννοια της μεταφοράς περιλαμβάνει κάθε διεργασία που συντελεί στη μετακίνηση μάζας ή ενέργειας. Στα προβλήματα ρύπανσης του υπεδάφους, ενδιαφέρει το φαινόμενο της μεταφοράς της μάζας των ρύπων. Τα φαινόμενα τα οποία συμβάλλουν στη μεταφορά των ρύπων (contaminant transport) μπορούν να διαχωριστούν ως προς τη φύση τους σε μηχανικά (μεταγωγή και διασπορά) και μοριακά (διάχυση). Η μεταγωγή (adection) είναι η μεταφορά του ρύπου που οφείλεται στην κίνηση του υπόγειου νερού με ταχύτητα /n (ταχύτητα arc/πορώδες), δηλαδή με τη μέση γραμμική ταχύτητα που συναντήσαμε στο Κεφάλαιο, στην οποία μπορούμε να αναφερόμαστε για μεγαλύτερη ακρίβεια με το συνώνυμο όρο ταχύτητα μεταγωγής. Το χαρακτηριστικό της μεταφοράς λόγω μεταγωγής μόνον είναι ότι, αν παρακολουθήσουμε την κίνηση ενός στοιχειώδους όγκου ρευστού, η μάζα (και άρα και η συγκέντρωση) του ρύπου σ αυτόν τον όγκο δεν μεταβάλλεται, καθώς η μεταφορά του ρύπου λόγω μεταγωγής παρακολουθεί τη ροή. Επειδή όμως υπάρχουν αποκλίσεις γύρω από τη μέση ταχύτητα κίνησης του υπόγειου νερού, και στο μέγεθος και στην κατεύθυνση, αυτές οι διαφορές έχουν σαν αποτέλεσμα τη διασπορά της μάζας του ρύπου. Η μηχανική διασπορά (mechanical dispersion) είναι ένα φαινόμενο μεταγωγής σε μικροκλίμακα (στην κλίμακα του εδαφικού πόρου) που συντελεί στην ανάμιξη του ρύπου στη μακροκλίμακα (στην κλίμακα του πεδίου ροήςμεταφοράς). Αναφορά στα αποτελέσματα της μεταφοράς λόγω μηχανικής διασποράς μόνον δεν έχει νόημα να γίνει, καθώς δεν μπορεί να υπάρξει μηχανική διασπορά χωρίς μεταγωγή. Τέλος η διάχυση (diffusion) είναι ένα μοριακό φαινόμενο που έχει ως αποτέλεσμα τη μετακίνηση του ρύπου από περιοχές υψηλής συγκέντρωσης (πχ από την πηγή του ρύπου) προς περιοχές χαμηλής συγκέντρωσης, συντελώντας περαιτέρω στην ανάμιξη των μορίων του ρύπου με τα μόρια του νερού. Ο μηχανισμός της διάχυσης είναι ανεξάρτητος από την κίνηση του νερού: η διάχυση θα λάβει χώρα και αν το νερό δεν κινείται. Αν όμως τα φαινόμενα διαχωριστούν ως προς τα αποτελέσματά τους, τότε μελετάμε ξεχωριστά τη μεταγωγή, η οποία δεν συντελεί στην περαιτέρω ανάμιξη του ρύπου με το υπόγειο νερό. Ο υπολογισμός του χρόνου άφιξης ρύπου του Κεφαλαίου είναι ένα παράδειγμα μεταφοράς ρύπου λόγω μεταγωγής και μόνον, μια απλοποίηση που θα δούμε στη συνέχεια κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί να δίνει ικανοποιητικής ακρίβειας αποτελέσματα. Παράλληλα, για αναλυτική ευκολία, υπολογίζουμε από κοινού τα αποτέλεσματα της διάχυσης και της μηχανικής διασποράς, στις οποίες αναφερόμαστε με τον κοινό όρο υδροδυναμική διασπορά (hdrodnamic dispersion). Τα αποτελέσματα των πιο πάνω φαινομένων θα περιγραφούν μαθηματικά στις Ενότητες 4. έως 4.4 και με λυμένα παραδείγματα στην Ενότητα 4.5. 4-1

4.1.1 Διεργασίες σχετικές με τη μεταφορά Για την πλήρη περιγραφή της εξέλιξης της ρύπανσης, εκτός από τις πιο πάνω διεργασίες μεταφοράς, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και την αλληλεπίδραση της υδατικής φάσης με τη στερεά φάση μέσω του μηχανισμού της ρόφησης (ή εκρόφησης σε προβλήματα αποκατάστασης) καθώς και τη δυνατότητα διάσπασης του ρύπου με χημικές ή βιολογικές διεργασίες, δηλαδή το μηχανισμό της αποδόμησης. Η ρόφηση θα επιφέρει μοίρασμα της μάζας του ρύπου ανάμεσα στο νερό των πόρων και τα εδαφικά στερεά (εδαφικοί κόκκοι και οργανικό εδαφικό κλάσμα). Όταν παρατηρούμε τα αποτελέσματα του φαινομένου της ρόφησης στην κατεύθυνση της κίνησης του υπόγειου νερού, καθώς ένα ποσοστό της μεταφερόμενης μάζας του ρύπου συγκρατείται από τα εδαφικά στερεά, βλέπουμε μικρότερη μάζα (και άρα μικρότερη συγκέντρωση) να φτάνει στο ίδιο σημείο στον ίδιο χρόνο, σε σύγκριση με την περίπτωση μηδενικής ρόφησης. Με άλλα λόγια, η μεταφορά του ρύπου καθυστερεί σε σχέση με την περίπτωση μηδενικής ρόφησης. Έντονα φαινόμενα ρόφησης αντιστοιχούν σε σημαντική υστέρηση. Σε αυτές τις περιπτώσεις που η ταχύτητα εξάπλωσης του ρύπου είναι χαμηλή, λέμε ότι ο ρύπος χαρακτηρίζεται από μικρή κινητικότητα. Προσοχή όμως! Ο ροφημένος ρύπος δεν αποθηκεύεται κάπου μόνιμα, αφού, όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 3, με την εξαίρεση της χημικής προσρόφησης, το φαινόμενο της ρόφησης είναι αντιστρεπτό. Έτσι σε μια εφαρμογή άντλησης σε ρυπασμένο χώρο, δεν θα αντλήσουμε μόνο τη μάζα τού διαλυμένου ρύπου, αλλά σταδιακά και τη μάζα τού αρχικώς ροφημένου ρύπου που, κατά τη διεργασία της εκρόφησης, σταδιακά θα περάσει από τα εδαφικά στερεά στο νερό. Αντίθετα με τη ρόφηση, η αποδόμηση επιτυγχάνει μόνιμη μείωση της μάζας του ρύπου. Όταν παρατηρούμε τα αποτελέσματα της αποδόμησης στην κατεύθυνση της κίνησης του υπόγειου νερού, πάλι βλέπουμε μικρότερη μάζα (και άρα μικρότερη συγκέντρωση) να φτάνει στο ίδιο σημείο στον ίδιο χρόνο σε σύγκριση με την περίπτωση μηδενικής αποδόμησης. Ένας ρύπος με χαμηλό ρυθμό αποδόμησης ή, ισοδύναμα, μεγάλο χρόνο ημιζωής (βλέπε Κεφάλαιο 3) χαρακτηρίζεται ως επίμονος. 4. Μεταφορά λόγω μεταγωγής Το βασικό μέγεθος της ταχύτητας στα προβλήματα ροής μπορεί να διατυπωθεί και ως ροή όγκου ρευστού, δηλαδή ως ο λόγος του όγκου ρευστού προς το γινόμενο του χρόνου επί την επιφάνεια διαμέσου της οποίας διέρχεται το ρευστό [ή, με σύμβολα: V/(t A)Q/A]. Αντίστοιχα, για τα προβλήματα μεταφοράς θα ορίσουμε τη ροή μάζας ρύπου, J, ως: J Μάζα / (χρόνος επιφάνεια) (όγκος συγκέντρωση) / (χρόνος επιφάνεια) (παροχή συγκέντρωση) / (επιφάνεια) J (Q ) / A (4.1) όπου είναι η φαινόμενη ταχύτητα ή ταχύτητα arc ( ki). Θεωρώντας έναν κυβικό όγκο αναφοράς μήκους d και επιφάνειας ds, βοηθάει να απεικονίσουμε τη ροή μάζας αναφορικά με ένα σκαρίφημα: 4-

ds J ροή μάζας J διερχόμενη από επιφάνεια ds για στοιχειώδη όγκο αναφοράς d ds d Αξίζει να σημειωθεί ότι στα παραπάνω δεν έγινε διάκριση μεταξύ ροής σε αγωγό ή πορώδες μέσο, επειδή η έκφραση για τη ροή μάζας είναι η ίδια. Όμως στο έδαφος, συχνά χρησιμεύει να ανάγουμε τη μάζα διαλυμένης ουσίας σε μοναδιαίο όγκο εδαφικού δείγματος (όχι δηλαδή στον όγκο νερού/πόρων στον οποίο ανάγεται η συγκέντρωση). Έτσι αν γράψουμε την εξίσωση (4.1) ως: J n Aw n Aw (4.) n και αντικαταστήσουμε το πορώδες και τη συγκέντρωση ρύπου Α στην υδατική φάση, Aw, με τον ορισμό τους: n Aw Vw M A M A, V V V w V d ds βλέπουμε ότι το γινόμενο (πορώδες συγκέντρωση) δίνει αυτό που ψάχναμε, δηλαδή τη μάζα διαλυμένης ουσίας στο μοναδιαίο όγκο δείγματος. Για τη ροή μάζας σε εδαφικό δείγμα, προκύπτει η σχέση: M A J (4.3) d ds η οποία επιβεβαιώνει ότι η ταχύτητα λόγω μεταγωγής ρύπου Α είναι η μέση γραμμική ταχύτητα, άρα ο χρόνος άφιξης ρύπου Τ που υπολογίσαμε στο Κεφάλαιο με τη L σχέση T (εξίσωση.1) αντιστοιχεί στη μεταφορά ρύπου λόγω μεταγωγής μόνο. Για το υπόλοιπο αυτού του κεφαλαίου θα χρησιμοποιούμε για τη μέση γραμμική ταχύτητα,, τον όρο ταχύτητα μεταγωγής. 4.3 Μεταφορά λόγω διάχυσης Ορίσαμε στην προηγούμενη ενότητα το μέγεθος της ροής μάζας. Η ροή μάζας λόγω διάχυσης σε διάλυμα δίνεται από την πιο κάτω εμπειρική σχέση, που είναι γνωστή ως 1 ος νόμος του Fick (Fetter, 1999): J (4.4) όπου J είναι η ροή μάζας για μοναδιαία επιφάνεια και μοναδιαίο χρόνο [M/L Τ], είναι η συγκέντρωση της διαλυμένης ουσίας (δηλ. του ρύπου), με μονάδες μάζα ρύπου ανά όγκο διαλύματος [M/L 3 ], και είναι ο συντελεστής διάχυσης σε διάλυμα 4-3

[L /T]. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.4) και θεωρώντας ισοζύγιο της μάζας του ρύπου σε μία διάσταση, προκύπτει ο ος νόμος του Fick ως ακολούθως: ds J J J + d Διαφορά μάζας στον όγκο αναφοράς dds σε χρόνο t d Εισερχόμενη ροή μάζας μέσω επιφάνειας ds - Εξερχόμενη ροή μάζας μέσω ds t [ d ds] J ds J + d ds J (4.5) t Η εξίσωση (4.5), που αναφέρεται ακόμα και σε μαθηματικά εγχειρίδια ως εξίσωση διάχυσης, έχει προκύψει θεωρώντας ισοζύγιο μάζας για διαλύματα και άρα ισχύει για διαλύματα. Για να περιγράψουμε μαθηματικά το φαινόμενο της διάχυσης στο πορώδες εδαφικό μέσο, χρειάζεται να αναγάγουμε τη μάζα του ρύπου στον όγκο εδαφικού δείγματος. Γι αυτόν το λόγο, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τη συγκέντρωση με το πορώδες. Eπί πλέον, πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι ο διαθέσιμος προς διάχυση όγκος δεν είναι ο συνολικός, αλλά μόνο το δίκτυο των εδαφικών πόρων. Διαισθητικά καταλαβαίνουμε ότι η διάχυση γίνεται πιο δύσκολη και άρα στο έδαφος περιμένουμε μικρότερο, σε σχέση με το διάλυμα, συντελεστή διάχυσης. Σαν συνέπεια των παραπάνω, ο 1 ος νόμος του Fick γράφεται ως: J en (4.6) όπου e είναι ο συντελεστής διάχυσης για κορεσμένο έδαφος, που είναι ίσος με το γινόμενο του συντελεστή διάχυσης σε διάλυμα και ενός απομειωτικού εμπειρικού συντελεστή ω, e ω. Οι Freee και herr (1979) δίνουν τιμές για το συντελεστή ω μεταξύ 0.01 και 0.5, ενώ ο Fetter (1999) αναφέρει μετρήσεις σε άμμους που έδωσαν ω 0.7. Θεωρώντας ισοζύγιο της μάζας του ρύπου στον όγκο διαλύματος, ndds, που αντιστοιχεί στον όγκο αναφοράς γράφουμε: t J [ n d ds] J ds J + d ds (4.7) και χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.6), προκύπτει ο ος νόμος του Fick για εδαφικό στοιχείο: 4-4

t e (4.8) Αν τώρα λάβουμε υπόψη μας και το φαινόμενο της ρόφησης, θα πρέπει να αλλάξουμε το ισοζύγιο μάζας της εξίσωσης (4.7) ως ακολούθως: Διαφορά διαλυμένης μάζας στον όγκο διαλύματος (του όγκου αναφοράς) ndds σε χρόνο t + διαφορά ροφημένης μάζας στη μάζα εδάφους (του όγκου αναφοράς) ddsρ d σε χρόνο t (Εισερχόμενη Εξερχόμενη) ροή μέσω επιφάνειας ds t w t J ρ d (4.9) s [ n d ds] + [ d ds ] d ds Στη συνέχεια θα συνδέσουμε τη συγκέντρωση της ροφημένης μάζας, s, με τη συγκέντρωση της διαλυμένης μάζας, w, χρησιμοποιώντας το συντελεστή διαχωρισμού, K d (εξίσωση 3.4), κι έτσι ο όρος που εκφράζει τη διαφορά ροφημένης μάζας γίνεται: t s d ds ρ d t w K d d ds ρ d (4.10) Ο συνδυασμός των (4.6), (4.9) και (4.10) δίνει (στα επόμενα η συγκέντρωση της διαλυμένης μάζας συμβολίζεται με, χωρίς το δείκτη w, αφού δεν υπάρχει ανάγκη διάκρισης με τη ροφημένη μάζα): n d ds + K t t d d ds ρ d ne d ds (4.11) Τέλος, με ομαδοποίηση όρων, απλοποίηση του όγκου αναφοράς και διαίρεση με το πορώδες, προκύπτει ο ος νόμος του Fick για εδαφικό στοιχείο με ρόφηση: 1 + t Kd ρ d n e (4.1) Ο συντελεστής που πολλαπλασιάζει τη μερική παράγωγο ως προς το χρόνο εκφράζει το αποτέλεσμα της ρόφησης: καθώς είναι πάντα μεγαλύτερος της μονάδας, η μεταφορά λόγω των συνδυασμένων φαινομένων διάχυσης-ρόφησης είναι πιο αργή σε σχέση με την περίπτωση μηδενικής ρόφησης. Γι αυτόν το λόγο ονομάζεται συντελεστής υστέρησης (retardation factor), R: Kd ρ d R 1 + (4.13) n Με τη βοήθεια του συντελεστή υστέρησης, R, μπορούμε να γράψουμε την πιο γενική σχέση για τη μεταφορά ρύπου λόγω διάχυσης σε μία διάσταση στο υπόγειο νερό: 4-5

t e, e (4.14) R e Είναι φανερό, ότι στην περίπτωση μηδενικής ρόφησης (R 1), η εξίσωση (4.14) δίνει την εξίσωση (4.8). Η λύση της εξίσωσης μονοδιάστατης διάχυσης για αρχικά καθαρό πεδίο (δηλ. 0 για > 0, t 0) και πηγή σταθερής συγκέντρωσης o που επιβάλλεται στο χρόνο t 0 δίνεται ως (Fetter, 1999): (, t) o erfc (4.15) t όπου ο συντελεστής είναι ίσος με e ή e, ανάλογα με την περίπτωση, και erfc είναι η συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος, τιμές της οποίας δίνονται σε πίνακα στο τέλος του κεφαλαίου. 4.4 Μεταφορά λόγω μεταγωγής και διάχυσης-διασποράς 4.4.1 Μονοδιάστατη μεταφορά Για να λάβουμε υπόψη τις διεργασίες μεταφοράς ρύπων της Ενότητας 4.1, πρέπει να εκφράσουμε τη ροή μάζας ως: J n (4.16) όπου τώρα είναι ο συντελεστής υδροδυναμικής διασποράς, δηλαδή ο συντελεστής που εκφράζει τα αποτελέσματα της διάχυσης και της μηχανικής διασποράς. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4.9) για το ισοζύγιο μάζας σε μία διάσταση με ρόφηση, την εξίσωση (4.10) και την εξίσωση (4.16), προκύπτει: R t n + (4.17) Τέλος, η διαίρεση με το συντελεστή υστέρησης δίνει την εξίσωση μεταφοράς ρύπου λόγω μεταγωγής, διάχυσης και διασποράς: t (4.18) όπου R και R. Η λύση της εξίσωσης μεταφοράς ρύπου λόγω μεταγωγής διάχυσης/διασποράς για τις πιο κάτω συνοριακές και αρχικές συνθήκες: (1) o, 0, t 0: πηγή σταθερής συγκέντρωσης o στην αρχή του άξονα () 0, t 0, > 0: μηδενική συγκέντρωση τη χρονική στιγμή μηδέν παντού εκτός από την πηγή (3) 0, t 0, : σε άπειρη απόσταση από την πηγή, η συγκέντρωση παραμένει πάντα μηδέν 4-6

δίνεται ως:, t) 1 erfc o ( t + e t + erfc t t (4.19) Είναι πρακτικά χρήσιμο να αναφερθεί ότι όταν ο λόγος είναι μεγαλύτερος από 100 (ή, οριακά, μεγαλύτερος από 10) ο δεύτερος όρος της εξίσωσης (4.19) μπορεί να αγνοηθεί (Fetter, 1999). Η συμβολή των διεργασιών μεταφοράς μπορούν να περιγραφούν πιο παραστατικά με γραφήματα της συγκέντρωσης όπως αυτά προκύπτουν από την εξίσωση (4.19). Το διάγραμμα του Σχήματος 4.1 απεικονίζει τη συγκέντρωση σε κάποιο σημείο που απέχει απόσταση από την πηγή σαν συνάρτηση του χρόνου. Για κάποιο χρονικό διάστημα, η συγκέντρωση θα παραμείνει μηδέν. Αν λαμβάναμε υπόψη μόνο μεταγωγή, τη χρονική στιγμή t R (δηλ. στο χρόνο άφιξης ρύπου της εξίσωσης.1, με τη διαφορά ότι εδώ έχει συνυπολογιστεί και η υστέρηση λόγω ρόφησης) θα φτάσει το μέτωπο του ρύπου στο υπόψη σημείο και από κει και πέρα η συγκέντρωση θα παραμείνει σταθερή, ίση με τη συγκέντρωση της πηγής, o. Aν λάβουμε υπόψη και διάχυση, κάποιες μικρές συγκεντρώσεις ρύπου θα προηγηθούν του χρόνου άφιξης ρύπου λόγω μεταγωγής, ενώ αν λάβουμε υπόψη μας και τη διασπορά, η χρονική διαφορά θα είναι ακόμα μεγαλύτερη. Το Σχήμα 4.1 επίσης βοηθάει στην κατανόηση του ρόλου της ρόφησης: όσο μεγαλώνει ο συντελεστής υστέρησης, τόσο το διάγραμμα μετατοπίζεται σε μεγαλύτερους χρόνους, δηλαδή η εξάπλωση του ρύπου καθυστερεί. β α γ t Σχήμα 4.1: Η καμπύλη της συγκέντρωσης ως συνάρτησης του χρόνου t σε σημείο που απέχει απόσταση από πηγή σταθερή συγκέντρωσης o : λόγω μεταγωγής (α) ή σύμφωνα με την εξίσωση (4.19) λαμβάνοντας υπόψη διάχυση (β) ή διάχυση και διασπορά (γ). 4.4. Υδροδυναμική διασπορά Αναφερθήκαμε στο ότι η υδροδυναμική διασπορά και άρα και ο αντίστοιχος συντελεστής υδροδυναμικής διασποράς εκφράζει το συνδυασμένο αποτέλεσμα της διάχυσης και της μηχανικής διασποράς. Είδαμε ότι η μηχανική διασπορά οφείλεται στις διαφορές της ταχύτητας του υπόγειου νερού, κι άρα είναι λογικό να αναμένουμε να έχει κάποια σχέση αναλογίας με την ταχύτητα. Επί πλέον, επεξεργασία αποτελεσμάτων από πειράματα μεταφοράς στο εργαστήριο και στο πεδίο έχει δείξει ότι η μηχανική διασπορά μεγαλώνει με την κλίμακα του προβλήματος, αυτή μάλιστα 4-7

η αύξηση μπορεί να προσεγγιστεί γραμμικά, τουλάχιστον για εργαστηριακά πειράματα και μικρές κλίμακες πεδίου (omenico and Schwart, 1990). Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις προκύπτει ότι: e α + (4.0) όπου ο παράγοντας α εκφράζει την εξάρτηση της μηχανικής διασποράς από την κλίμακα του προβλήματος: για γραμμική συσχέτιση, συχνά χρησιμοποιείται η σχέση 0.1 α (πχ, USEPA, 005) όπου είναι ένα μέτρο της κλίμακας του πεδίου ροήςμεταφοράς. Ο συντελεστής διάχυσης στο έδαφος, e, έχει ήδη συζητηθεί πιο πάνω. Ανάλογα με τον τύπο του υπό εξέταση προβλήματος, μπορεί να αγνοηθεί η διάχυση, αν η ταχύτητα μεταγωγής είναι σημαντική (πιθανό σε ένα χονδρόκκοκο έδαφος), ή, αντίστροφα, για πολύ μικρή ταχύτητα (αναμενόμενο σε αργιλικά εδάφη) μπορεί να αγνοηθεί η συμβολή της μηχανικής διασποράς. 4.4.3 Μεταφορά με υποβάθμιση Η εξίσωση (4.18) περιγράφει τη μεταφορά ρύπου στο υπόγειο νερό για την ιδανική περίπτωση όπου η μάζα του ρύπου δεν υφίσταται καμιά αλλαγή στο υπόγειο περιβάλλον. Σημειώσαμε όμως στο Κεφάλαιο 3 ότι είναι αναμενόμενο ο ρύπος να αποδομηθεί με κάποια βιολογική ή χημική διεργασία, με σταθερό, υποθέσαμε, ρυθμό αντίδρασης λ: η μεγάλη διαφορά μεταξύ των ρύπων είναι η τιμή της σταθεράς λ, η οποία εξαρτάται και από τα βιογεωχημικά χαρακτηριστικά του υπεδάφους. Σε περίπτωση υποβάθμισης, το ισοζύγιο της εξίσωσης (4.9) διαφοροποιείται ως προς το αριστερό σκέλος όπου πρέπει να προστεθεί η μείωση της μάζας του ρύπου στον όγκο αναφοράς λόγω της αποδόμησης του ρύπου, οπότε προκύπτει η εξίσωση: R R t, λ (4.1) Η λύση της εξίσωσης (4.1) για αρχικά καθαρό έδαφος, για σταθερής έντασης πηγή, για καθαρό έδαφος σε άπειρη απόσταση είναι: + + + + t t erfc e t t erfc e o λ λ β β 4 4 ep (4.) όπου 4 1 λ β +. Είναι σχετικά απλό να διαπιστωθεί ότι από την εξίσωση (4.) για λ0 προκύπτει η εξίσωση (4.19). 4.4.4 Τριδιάστατη ροή και μεταφορά Έως τώρα θεωρήσαμε μονοδιάστατη ροή και μεταφορά. Στη γενική τριδιάστατη περίπτωση, η έκφραση του ισοζύγιου μάζας και στις τρεις διαστάσεις δίνει: t R + + (4.3) 4-8

Η εξίσωση (4.3) λύνεται αριθμητικά, αφού έχει προηγουμένως λυθεί το πρόβλημα ροής ώστε να είναι γνωστές οι συνιστώσες της ταχύτητας μεταγωγής. Στη βιβλιογραφία δίνονται αναλυτικές λύσεις της εξίσωσης (4.3), για απλή γεωμετρία του πεδίου ροής και συγκεκριμένες αρχικές και συνοριακές συνθήκες, σε μερικές από τις οποίες θα αναφερθούμε πιο κάτω. 4.4.5 Μονοδιάστατη ροή, διδιάστατη μεταφορά Αρκετά προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν με ικανοποιητική προσέγγιση θεωρώντας ροή σε μία διάσταση κα μεταφορά σε δύο διαστάσεις: + R t (4.4) όπου και είναι οι συντελεστές υδροδυναμικής διασποράς στις κατευθύνσεις και, αντίστοιχα. Η διαφορά τους έγκειται στη συμβολή της μηχανικής διασποράς, η οποία είναι πιο σημαντική στην κατεύθυνση της κίνησης του υπόγειου νερού (δηλ. στον άξονα ). Έτσι λοιπόν γράφουμε: α +, α + (4.5) L e T e διακρίνουμε δηλαδή μεταξύ του παράγοντα διαμήκους μηχανικής διασποράς, α L, και του παράγοντα εγκάρσιας μηχανικής διασποράς, α T. Εργαστηριακά πειράματα σε άμμους έχουν δείξει ότι η μηχανική διασπορά στην εγκάρσια κατεύθυνση είναι 5 έως 1 1 0 φορές μικρότερη σε σχέση με τη διαμήκη, α T εως α L (Freee and 0 5 herr, 1979), ενώ όπως προαναφέρθηκε, ο παράγοντας διαμήκους μηχανικής διασποράς εξαρτάται από την κλίμακα του προβλήματος ( α L 0.1). Ο Fetter (1999) δίνει μια αναλυτική λύση της (4.4) για συνθήκες μόνιμης μεταφοράς (δηλ. για πολύ μεγάλο χρόνο μετά την εμφάνιση της ρύπανσης), για σημειακή πηγή καθ όλο το βάθος του υδροφορέα, στην οποία εισπιέζεται νερό σταθερής παροχής Q και σταθερής συγκέντρωσης o (σελ. 67). 4.4.6 Μονοδιάστατη ροή, τριδιάστατη μεταφορά Η γενίκευση της (4.4) ως προς τη μεταφορά δίνει: + + t (4.6) Για την εξίσωση (4.6) επίσης βρίσκονται αναλυτικές λύσεις στη βιβλιογραφία για διαφορετικές συνοριακές συνθήκες. Μια συχνή περίπτωση είναι ένα ατύχημα όπου μια σημειακή πηγή ( 0) εκλύει τη χρονική στιγμή t0 μάζα ρύπου Μ V o o (Freee and herr, 1979): (,,, t) 8( πt) 3 M X ep 4t Y 4 Z t 4 t (4.7) 4-9

όπου X t, Y, Z. Επίσης, για πηγή πεπερασμένων διαστάσεων, Ζ π και Υ π, σταθερής συγκέντρωσης o (για 0) δίνεται η αναλυτική λύση (omenico and Schwart, 1990): (,,, t) 8 o Y + π t erfc erf t Y π erf + Z erf π Z erf (4.8) π Στις εξισώσεις (4.7) και (4.8) υπενθυμίζεται ότι α L + e, ενώ α +. 4.5 Προβλήματα T e Παράδειγμα 4.1: Επιπτώσεις παραδοχών - παραμέτρων Κάποιες από τις παρατηρήσεις των προηγούμενων ενοτήτων μπορούν να διευκρινιστούν καλύτερα με ένα παράδειγμα μεταφοράς ρύπου σε ένα πρόβλημα απλής γεωμετρίας. Ας υποθέσουμε ότι μετά από ένα ατύχημα, ρύπος (τριχλωροαιθένιο διαλυμένο στο νερό) διαρρέει στον ταμιευτήρα του Σχήματος 4.. υπάρχει ανησυχία για το πόσο γρήγορα θα επηρεαστεί το κανάλι στα κατάντη αν δεν ληφθούν μέτρα. 15m ταμιευτήρας 5m L 90m ιλύς-άμμος Κ 0.864 m/ημέρα Βράχος χαμηλής διαπερατότητας κανάλι 0m Σχήμα 4.: Διαρροή ρύπου σε ταμιευτήρα δημιουργεί ανησυχίες σε κατάντη κανάλι. Θεωρούμε τη γεωμετρία και τα δεδομένα που δίνονται στο Σχήμα 4.. Υποθέτουμε ότι η διαρροή του ρύπου έχει μόλις αρχίσει από τον ταμιευτήρα. Υποθέτουμε περαιτέρω σταθερό ρυθμό διαρροής που δίνει σταθερή συγκέντρωση στον ταμιευτήρα ίση με o, πορώδες του εδαφικού στρώματος 0.3, συντελεστή διάχυσης (σε διάλυμα) 10-9 m /s, και παράγοντα διαμήκους μηχανικής διασποράς α L 1m. Ζητούνται τα εξής: (α) Ποιoς είναι ο χρόνος άφιξης στο κανάλι συγκέντρωσης ίσης με 0.5 o ; (β) Πότε θα είναι η συγκέντρωση ίση με 0.01 o στο ίδιο σημείο που θεωρήσαμε στο ερώτημα (α); (γ) Πώς αλλάζει η απάντηση στο ερώτημα (β) αν α L 0.1m; (δ) Σχόλια για τη σημασία των αποτελεσμάτων. Παραδοχές Υποθέτουμε μονοδιάστατη ροή μεταξύ ταμιευτήρα-καναλιού (ροή μόνο στον οριζόντιο, άξονα), αγνοώντας την κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας. Θεωρούμε ροή κυρίως στο εδαφικό υλικό, δηλ. όχι στο βράχο (λογικό). Για να προσδιορίσουμε το μήκος ροής, θεωρούμε τη μικρότερη απόσταση μεταξύ ταμιευτήρακαναλιού (παραδοχή υπέρ της ασφάλειας), L 90m Αγνοούμε τη ρόφηση, δηλαδή K d 0 και R 1 (παραδοχή υπέρ της ασφάλειας) 4-10

- Θα χρησιμοποιήσουμε τη λύση της εξίσωσης μεταγωγής-υδροδυναμικής διασποράς, για συνοριακές συνθήκες (1) o, 0, t 0, () 0, t 0, > 0, (3) 0, t 0,, όπου o είναι η συγκέντρωση στον ταμιευτήρα, δηλαδή την εξίσωση (4.19). - Δύο είναι οι βασικές παράμετροι που πρέπει να υπολογίσουμε, η μέση γραμμική ταχύτητα κίνησης του υπόγειου νερού ή ταχύτητα μεταγωγής και ο συντελεστής υδροδυναμικής διασποράς. Αρχίζουμε από το πρόβλημα ροής Καθορίζουμε το πεδίο ροής (τραπέζιο που καταδεικνύεται με διακεκομμένη γραμμή στο Σχήμα 4.) i ΔH / ΔL 5m 0m / 90m 0.055 K i 0.864 m / ημέρα 0.055 0.048 m / ημέρα /n 0.048 m / ημέρα / 0.3 0.16 m / ημέρα Επίλυση προβλήματος μεταφοράς Υπολογισμός συντελεστή υδροδυναμικής διασποράς e ω 0.7 10-9 m /s 1.1 10-4 m / ημέρα α L + e 1m 0.16 m / ημέρα + 1.1 10-4 m / ημέρα 0.16 m / ημέρα Σημείωση: Εκ των υστέρων (δηλ. αφού κάνουμε τις πράξεις), βλέπουμε ότι θα μπορούσαμε να είχαμε αγνοήσει τη διάχυση στο συγκεκριμένο πρόβλημα: για το σχετικά περατό έδαφος του παραδείγματος και τη δεδομένη υδραυλική κλίση, η ταχύτητα μεταγωγής και κατά συνέπεια η συμβολή της μηχανικής διασποράς είναι πολύ πιο σημαντική σε σχέση με τη συμβολή της διάχυσης. 0.16 90 Ελέγχουμε 90 > 10 100 0.16 Άρα μπορούμε να αγνοήσουμε το δεύτερο όρο της εξίσωσης (4.19). (α) Επειδή 90 > 10 100 ο χρόνος άφιξης της /o 0.5 είναι περίπου ίσος με το χρόνο άφιξης ρύπου λόγω μεταγωγής. Αυτό συμβαίνει γιατί όταν η συμβολή του δεύτερου όρου της (4.19) είναι μικρή, η καμπύλη της συγκέντρωσης είναι, σε καλή προσέγγιση, συμμετρική ως προς το μέτωπο της μεταγωγής (βλέπε Σχήμα 4.1). Άρα, t L / 90 m / 0.16 m / ημέρα 563 ημέρες 1.5 χρόνια 90 0.16t (β) /o 0.01 ½ erfc 0.16t 90 0.16t Για erfc 0.0 1.65 t 398 ημέρες 1.1 χρόνια 0.16t Προσοχή! Έχουμε λύσει τη δευτεροβάθμια εξίσωση για τη μεταβλητή T t (γ) α L + e 0.1m 0.16 m / ημέρα + 1.1 10-4 m / ημέρα 0.016 m / ημέρα /o 0.01 ½ erfc 90 0.16t 0.016t 4-11

Για erfc 0.0 90 0.16t 0.016t 1.65 t 504 ημέρες 1.4 χρόνια (δ) Σύγκριση (α) (β): για σημαντική ταχύτητα ροής, δεν είναι υπέρ της ασφάλειας να αγνοούμε τη διασπορά. Σύγκριση (β) (γ): μικρότερες τιμές α L (ή, ισοδύναμα, μικρότερη μηχανική διασπορά) δίνουν πιο στενές κατανομές συγκεντρώσεων ρύπου, δηλαδή οι χρόνοι άφιξης μικρών τιμών συγκεντρώσεων είναι πιο κοντά στο χρόνο άφιξης της συγκέντρωσης 0.5 o ή, ισοδύναμα, στο χρόνο άφιξης ρύπου λόγω μεταγωγής [σύγκριση (α) (γ)]. Παράδειγμα 4.: πηγή μεταβλητής έντασης Σε υδατικό δείγμα από ένα δειγματοληπτικό φρέαρ βρίσκεται το 1995 ρύπος σε συγκέντρωση 3500 μg/l. Σε απόσταση 1830m ανάντη του φρέατος βρίσκεται εργοστάσιο το οποίο πιθανολογείται ότι ευθύνεται για τη ρύπανση. Με δεδομένα ότι (α) το εργοστάσιο λειτουργεί μεν συνέχεια από το 1935, αλλά από το 1970 και μετά ελήφθησαν μέτρα ασφαλείας που καθιστούν ελάχιστα πιθανή τη διαρροή του ρύπου στο υπέδαφος και ότι (β) κατά το χρονικό διάστημα 1935-1970 είναι δυνατό να υποθέσουμε μια σταθερή, μέση συγκέντρωση ρύπου στο υπόγειο νερό στη θέση της πηγής (του εργοστάσιου δηλαδή) ίση με 0 5000 μg/l, θέλουμε να αξιολογήσουμε αν η συγκέντρωση στο φρέαρ μπορεί πράγματι να είναι αποτέλεσμα διαρροής στο εργοστάσιο. m m m m Δίδονται: 0.1 78 και 7 543 R ημ ετος R ημ ετος 1830 m ΠΡ Νο? Εργοστάσιο: Πιθανός Ρυπαίνων Νο 1 1935-1970 ΠΡ Νο 3? Φρέαρ: Ανίχνευση 1995 ροή Σχήμα 4.3: Κάποια περιστατικά ανίχνευσης ρύπανσης είναι δυνατό να οφείλονται σε περισσότερους του ενός πιθανούς ρυπαίνοντες (ΠΡ). Τι έχουμε να προσέξουμε σ αυτήν την άσκηση; Επειδή ο υπολογισμός της συγκέντρωσης αναφέρεται σε χρόνο μεταγενέστερο της παύσης λειτουργίας της πηγής, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κατ ευθείαν τη γνωστή λύση της εξίσωσης μεταφοράς του ρύπου (4.19), γιατί αυτή ισχύει μόνο για συγκεκριμένες συνοριακές συνθήκες, οι οποίες περιλαμβάνουν και τη συνθήκη της σταθερής συγκέντρωσης στην πηγή. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την αρχή της επαλληλίας για δύο πηγές, επειδή η εξίσωση (4.18) είναι γραμμική: (Ι) μία πηγή που είναι ενεργή το χρονικό διάστημα 1935-1995 με συγκέντρωση 0 5000 μg/l και (ΙΙ) μία δεύτερη που είναι ενεργή το 1970-1995 με αρνητική συγκέντρωση 0-5000 μg/l (προφανώς πρόκειται για κάποια μαθηματική μανούβρα, η οποία δεν έχει φυσικό ανάλογο, αλλά μας δίνει τη σωστή λύση). Πρώτα θα ελέγξουμε αν μπορούμε να αγνοήσουμε το δεύτερο όρο της εξίσωσης (4.19) 0.1 1830 55 όλα καλά! 7 4-1

Πηγή (Ι) ενεργή για 60 χρόνια (1935-1995): I (, t) 1 0 erfc 1 t erfc R t R 1 1 m 1830m 78 60ετη ετος erfc m 543 60ετη ετος ( 3.64) [ erfc( 3.64) ] 1 ( 1830,60) 5000μg / l Πηγή (ΙΙ) ενεργή για 5 χρόνια (1970-1995): I ( 1830m,5ετη) II 1 1830 78 5 erfc 5000μg / l 543 5 0.65 (1830,5) 315μg / l II 1 erfc ( 0.34) Υποθέτοντας λοιπόν ότι ευθύνεται το εργοστάσιο, υπολογίζουμε ότι η ολική συγκέντρωση στο φρέαρ είναι ίση με: (φρέαρ, 1995) I + II 5000-315 1875 μg/l Αυτή η τιμή είναι αρκετά μικρότερη αυτής που μετρήθηκε. Επί πλέον, στο πραγματικό τριδιάστατο πεδίο μεταφοράς του ρύπου, η συγκέντρωση θα είναι ακόμα μικρότερη από την τιμή που βρήκαμε για μονοδιάστατη μεταφορά. Άρα ένα πρώτο συμπέρασμα είναι ότι δεν ευθύνεται το εργοστάσιο, τουλάχιστον όχι αποκλειστικά. Βέβαια οι υπολογισμοί μας περιέχουν αρκετές αβεβαιότητες, οπότε σε μια πραγματική περίπτωση μάλλον θα χρειαστούν πρόσθετα στοιχεία, υπολογισμοί και επί τόπου μελέτες. Παράδειγμα 4.3: απορρύπανση μέσω άντλησης Το Σχήμα 4.4 δείχνει ένα υδροφορέα πάχους 10m ρυπασμένο σε μια έκταση 00m επί 0m με μέση συγκέντρωση o 1000 μg/l. Θεωρούμε μια απλουστευμένη περίπτωση όπου η ρυπασμένη περιοχή περιβάλλεται από καθαρό νερό, και ένα εκτεταμένο σύστημα φρεάτων άντλησης (η συμπεριφορά του οποίου μπορεί να προσεγγιστεί με μια συνεχή τάφρο άντλησης) και επεξεργασίας, που δημιουργεί μονοδιάστατη ροή με φαινόμενη (όπως υπολογίζεται δηλαδή από το νόμο του arc) ταχύτητα ίση με 0.70 m/ημέρα. Με αυτά τα δεδομένα ζητείται να υπολογίσουμε: (α) το χρόνο που θα χρειαστεί για να μειωθεί η συγκέντρωση σε μg/l και (β) τον όγκο νερού που θα έχει αντληθεί έως τότε. φρέατα άντλησης Q 0m 10m ΚΑΤΟΨΗ 100m 0 ΤΟΜΗ 100m Σχήμα 4.4: Άντληση από ρυπασμένη περιοχή 00m 0m μέσης αρχικής συγκέντρωσης o. 4-13

Θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής παραμέτρους: πορώδες n 0.35, πυκνότητα (ξηρού) εδάφους ρ d 1.6 g/cm 3, συντελεστής διαχωρισμού Κ d 10 l/kg (πολύ μεγάλη τιμή!) και συντελεστής διαμήκους μηχανικής διασποράς α 1m (θα αγνοήσουμε τη διάχυση). L ΛΥΣΗ: Θα χρησιμοποιήσουμε την αρχή της επαλληλίας και τη γνωστή λύση της εξίσωσης μεταγωγήςδιάχυσης/διασποράς. Το κόλπο είναι να περιγράψουμε την κίνηση του καθαρού νερού σαν μια πηγή αρνητικής συγκέντρωσης, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σκαρίφημα. +o +o Λύση I t Λύση I -o Λύση II Λύση II -o Διάγραμμα συγκέντρωσης στην πηγή (100m), για κάθε t Διάγραμμα συγκέντρωσης στον υδροφορέα, για σταθερό t Αρχή της επαλληλίας Στην πηγή, στο όριο δηλαδή της ρυπασμένης-καθαρής περιοχής (αριστερό διάγραμμα): o I + o II 0, όπου o I 1000 μg/lt, o II - 1000 μg/lt Στον υδροφορέα (δεξιό διάγραμμα): I + IΙ, όπου I o I 1000 μg/lt και IΙ (o II /) erfc t t Υπολογισμός παραμέτρων: Συντελεστής υστέρησης, R 1 + (ρ d K d )/n 1 + (1.6 g/cm 3 10 cm 3 /g)/0.35 46.7 Μέση γραμμική ταχύτητα, /n 0.70 m/ημέρα / 0.35 m/ημέρα Συντελεστής διασποράς, α L 1m m /ημέρα m /ημέρα /R m/ημέρα / 46.7 0.04 m/ημέρα /R m /ημέρα / 46.7 0.04 m /ημέρα 100 Έχουμε ελέγξει ότι 100 (α) I + IΙ μg/lt 1000 μg/lt 1000 μg/lt / erfc Αν β t t erfc β 1.996 β -.05 κι έτσι κρατάμε μόνο τον πρώτο όρο της εξίσωσης (4.19) t t 4-14

Σημείωση: erfc (-.05) erfc (.05) 0.004 1.996 100 0.04t -.05 t 3750 ημέρες 10 έτη 0.04t (β) όγκος αντλούμενου νερού V αντλ Q t A t 0.70 m/ημέρα (0m 10m) 3750 ημέρες 1 050 000m 3 Σημείωση: Στον υπολογισμό του V αντλ πολλαπλασιάζουμε με για να λάβουμε υπόψη τα δύο τμήματα του υδροφορέα, αριστερά και δεξιά από τα φρέατα άντλησης. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να προσέξουμε ότι ενώ στον υπολογισμό της ποσότητας νερού που κινείται στο υπέδαφος χρησιμοποιούμε την ταχύτητα arc (ταχύτητα ανηγμένη στην συνολική επιφάνεια μιας διατομής), στον υπολογισμό της μεταφοράς του ρύπου λόγω μεταγωγής χρησιμοποιούμε τη μέση γραμμική ταχύτητα (ταχύτητα ανηγμένη στην επιφάνεια των εδαφικών πόρων μιας διατομής). Χρησιμεύει πρακτικά να συγκρίνουμε τον όγκο του αντλούμενου νερού με τον όγκο νερού πόρων, για να ξέρουμε πόσες φορές πρέπει να αδειάσουμε τον υδροφορέα για να πετύχουμε τη ζητούμενη αποκατάσταση. V w V n 00m 0m 10m 0.35 14000 m 3 Βρίσκουμε ότι χρειάζεται να αντλήσουμε όγκο ίσο με 75 φορές το περιεχόμενο του υδροφορέα, V w, για να μειωθεί η συγκέντρωση από 1000 μg/lt σε μg/lt. Αυτό το μεγάλο πολλαπλάσιο είναι μη ρεαλιστικό, παρ όλο που ο χρόνος απορρύπανσης που υπολογίσαμε είναι ικανοποιητικός. 4.6 Κύρια σημεία του κεφαλαίου Αναφερθήκαμε στις διεργασίες που πρέπει να ληφθούν υπόψη στον υπολογισμό της ροής μάζας και τις περιγράψαμε μαθηματικά: διακρίναμε μεταξύ μεταφοράς ρύπου λόγω κλίσης υδραυλικού φορτίου (δηλαδή μεταγωγής) και λόγω κλίσης συγκέντρωσης (δηλαδή διάχυσης). Είδαμε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο της μεταφοράς ρύπων στη γενική περίπτωση, καθώς και λύσεις της εξίσωσης για επί μέρους περιπτώσεις όπου μπορούμε να απλουστεύσουμε τη γεωμετρία ή τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Αυτές οι λύσεις μάς βοηθάνε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα της εξάπλωσης της ρύπανσης και να ποσοτικοποιήσουμε τις επιπτώσεις της ή να προβλέψουμε την απόκριση του ρυπασμένου υδροφορέα σε μέτρα απορρύπανσης. 4.7 Βιβλιογραφικές αναφορές omenico, P.A. and F.W. Schwart (1990). Phsical and hemical Hdrogeolog, Wile. Fetter,.W. (1999). ontaminant Hdrogeolog, nd edition, Prentice Hall. Freee, R.A. and J.A. herr (1979). Groundwater, Prentice Hall. USEPA (005). EPA On-line Tools for Site Assessment alculation, http://www.epa.go/athens/learnmodel/part-two/onsite/longdisp.htm 4-15

Τιμές της συνάρτησης σφάλματος erf() και της συμπληρωματικής συνάρτησης σφάλματος erfc(), για θετικές τιμές erf() erfc() erf() erfc() 0 0 1.0 1.1 0.88005 0.119795 0.05 0.05637 0.94368 1. 0.910314 0.089686 0.1 0.11463 0.887537 1.3 0.934008 0.06599 0.15 0.167996 0.83004 1.4 0.9585 0.047715 0. 0.703 0.77797 1.5 0.966105 0.033895 0.5 0.7636 0.73674 1.6 0.976348 0.0365 0.3 0.3867 0.671373 1.7 0.983790 0.01610 0.35 0.37938 0.60618 1.8 0.989091 0.010909 0.4 0.4839 0.571608 1.9 0.99790 0.00710 0.45 0.47548 0.54518.0 0.9953 0.004678 0.5 0.50500 0.479500.1 0.99701 0.00979 0.55 0.56333 0.436677. 0.998137 0.001863 0.6 0.603856 0.396144.3 0.998857 0.001143 0.65 0.6409 0.357971.4 0.999311 0.000689 0.7 0.677801 0.3199.5 0.999593 0.000407 0.75 0.711156 0.88844.6 0.999764 0.00036 0.8 0.74101 0.57899.7 0.999866 0.000134 0.85 0.770668 0.933.8 0.99995 0.000075 0.9 0.796908 0.0309.9 0.999959 0.000041 0.95 0.80891 0.179109 3.0 0.999978 0.0000 1.0 0.84701 0.15799 erf ( ) ε e dε π 0 erfc( ) 1 erf ( ) erf ( ) erf ( ) erfc( ) 1 erf ( ) 1+ erf ( ) 1+ 1 erfc( ) erfc( ) 4-16