2g z z f k k z z f k k z z V D 2g 2g 2g D 2g f L ka D

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 017 Άσκηση 1 1. Οι δεξαμενές Α και Β, του Σχήματος 1, συνδέονται με σωλήνα διαμέτρου D, μήκους L και τραχύτητας f, για τον οποίο ισχύει fl/d=100. Λαμβάνοντας υπόψη τις τοπικές απώλειες, η μέση ταχύτητα της ροής είναι ίση με: (α) 1. m/s (β) 1.5 m/s (γ) 1.7 m/s (δ).0 m/s Σχήμα 1 Αιτιολόγηση: Η εξίσωση ενέργειας μεταξύ των δεξαμενών Α και Β γράφεται 0 p p z z g g p p z z 0 hf, hm, hm, z z. Οι γραμμικές και τοπικές απώλειες στον αγωγό υπολογίζονται από την εξ. (3.3-16) (Darcy-Weisbach, βλ. βιβλίο) και την εξίσωση (3.9-1), αντίστοιχα, και η εξίσωση ενέργειας γράφεται L L g z z f k k z z f k k z z D g g g D g f L k k D m / s, όπου k =0.5 και k Β =1.0 (βλ. Σχόλια βιβλίου, σελ. 84 και 8, αντίστοιχα). Συνεπώς, η σωστή απάντηση είναι η (γ).. Σε σύστημα τριών σωλήνων σε σειρά με τα ίδια χαρακτηριστικά L, k s και f, όπου D 1 >D >D 3 : (α) Ισχύει 1 < < 3. (β) Ισχύει 1 > > 3. (γ) Ισχύει Q 1 =Q =Q 3. (δ) Ισχύει Q 1 >Q >Q 3. (ε) Ισχύουν τα (α) και (γ). Αιτιολόγηση: Σε ένα σύστημα σωλήνων σε σειρά ισχύει Q 1 =Q =Q 3 (βλ. βιβλίο, παρ. 4.4.) άρα, αφού D D1 D D3 Q, ισχύει D1 D 3 D3. Επομένως, για D 1 >D >D 3 θα ισχύει 1 < < 3. Συνεπώς, η σωστή απάντηση είναι η (ε). 3. Θεωρήστε τις ακόλουθες περιπτώσεις ροής: (1) από δεξαμενή σε σωλήνα 0.50 m, και () από σωλήνα διαμέτρου 0.50 m σε δεξαμενή. Τότε: (α) Οι τοπικές απώλειες είναι μεγαλύτερες στο (1). (β) Οι τοπικές απώλειες είναι μεγαλύτερες στο (). (γ) Οι τοπικές απώλειες είναι ίσες επειδή η σχετική μεταβολή της γεωμετρίας είναι η ίδια. (δ) O συντελεστής τοπικών απωλειών στην (1) είναι ίσος με 1.0. (ε) Ισχύουν τα (β) και (δ).

2 Αιτιολόγηση: Στην περίπτωση απότομης διαστολής της ροής οι απώλειες είναι μεγαλύτερες. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση (1), δηλ. σε απότομη συστολή, ο συντελεστής τοπικών απωλειών κυμαίνεται μεταξύ 0.04 και 0.8 (τυπική τιμή k m =0.5, βλ. βιβλίο, Σχόλια σελ. 84), ενώ στην περίπτωση () ο συντελεστής τοπικών απωλειών είναι ίσος με k m =1.0 (βλ. βιβλίο, Σχόλια σελ. 8). Συνεπώς, η σωστή απάντηση είναι η (β). 4. Σε σύστημα 3 παράλληλων σωλήνων με τα ίδια χαρακτηριστικά L, k s και f ισχύει D 1 >D >D 3. Τότε: (α) Ισχύει Q 1 =Q =Q 3. (β) Ισχύει Q 1 >Q >Q 3. (γ) Ισχύει Q 1 <Q <Q 3. (δ) Ισχύει Q 1 +Q +Q 3 =0. (ε) Ισχύουν τα (β) και (δ). Αιτιολόγηση: Για τους 3 παράλληλους σωλήνες ισχύει ΔΗ 1 = ΔΗ = ΔΗ 3 (βλ. βιβλίο, παρ ), άρα για L 1 =L =L 3 και f 1 =f =f 3 προκύπτει L 1 L L f f f D g D g D g D D D Επιπλέον D 4Q Q, άρα 4 D Q 1 >Q >Q 3. Συνεπώς, η σωστή απάντηση είναι η (β). 1 Q Q Q και για D 1 >D >D 3 θα πρέπει να ισχύει D D D 5. Στις διατομές Α και Β ενός σωλήνα σταθερής διαμέτρου D, στον οποίο ρέει νερό, μετρήθηκαν οι πιέσεις και τα υψόμετρα στο ύψος του άξονα. Προέκυψε ότι p =10700 Pa, z =1 m, p =00900 Pa, z = 18 m. Ισχύει ότι: (α) Η ροή είναι από το Α στο Β και οι απώλειες ενέργειας είναι ίσες με 5 m. (β) Η ροή είναι από το Α στο Β και οι απώλειες ενέργειας είναι ίσες με 3 m. (γ) Η ροή είναι από το στο και οι απώλειες ενέργειας είναι ίσες με 5 m. (δ) Η ροή είναι από το στο και οι απώλειες ενέργειας είναι ίσες με 3 m. Αιτιολόγηση: Έστω ότι η ροή πραγματοποιείται από το Α στο Β, δηλ. ΔΗ (Α-Β) >0. Τότε, η εξίσωση ενέργειας p p μεταξύ των Α και Β γράφεται: z z H( ) g g όπου 3 3 g 1000 kg / m 9.81m / s 9810 N / m Επίσης, αφού η διάμετρος (άρα και η διατομή) του σωλήνα είναι σταθερή, από την εξίσωση συνέχειας λαμβάνουμε Q Q. Επομένως, η εξίσωση ενέργειας γράφεται p p p p z z H H z z H 1 m 18 m m m 5.00 m Συνεπώς, η ροή τελικά πραγματοποιείται από το Β στο Α (ΔΗ<0) και οι απώλειες ενέργειας είναι ίσες με H m m 5.00 m, δηλ. η σωστή απάντηση είναι η (γ).

3 6. Παροχή Q=10 L/s νερού διέρχεται από αγωγό διαμέτρου D=50 mm και τραχύτητας f= Η ταχύτητα τριβής u * είναι ίση με: (α) 0.10 m/s (β) 0.50 m/s (γ) 0.80 m/s (δ) 1.00 m/s Αιτιολόγηση: Η ταχύτητα τριβής u * υπολογίζεται από την εξίσωση ρ είναι η πυκνότητα του νερού, τ w είναι η διατμητική τάση, η οποία υπολογίζεται από την εξίσωση είναι η ταχύτητα της ροής είναι ίση με u * w (.3-1), όπου 1 w f (3.3-14), και 8 3 m /s Q 4Q m / s. D 0.50m Επομένως, 1 f u 8 *.44 m / s 0.10 m / s και η σωστή απάντηση είναι η (α) Σε σύστημα παράλληλων σωλήνων με την ίδια τραχύτητα f ισχύουν: 1 = και D 1 =D. Τότε: (α) Ισχύει L 1 =L (β) Ισχύει L 1 <L (γ) Ισχύει L 1 = L (δ) Ισχύει L 1 =4 L Αιτιολόγηση: Για παράλληλους σωλήνες ισχύει ΔΗ 1 = ΔΗ (βλ. βιβλίο, παρ ) άρα 1 L 1 1 L L1 L L D g D g D1D D g D g 1 f f f f L L L. Συνεπώς, η σωστή απάντηση είναι η (β) Η κατανομή ταχυτήτων ροής u (σε m/s) σε σωλήνα υπολογίζεται από την εξίσωση u = 1.0 r, όπου r (cm) είναι η απόσταση από τον άξονα του σωλήνα. Τότε: (α) Η διάμετρος του σωλήνα είναι ίση με 1.0 cm. (β) Η διάμετρος του σωλήνα είναι ίση με.0 cm. (γ) Η μέση ταχύτητα της ροής είναι ίση με 1.0 m/s. (δ) Ισχύουν τα (β) και (γ). Αιτιολόγηση: Στα στερεά όρια, δηλ. για r=d/, ισχύει u=0 m/s άρα από την εξίσωση u = 1.0 r D D 4.0cm D.0cm Για r=0m έχουμε μέγιστη ταχύτητα u=u max, δηλ. u max =1.0 m/s και από την εξ. (3.5-9) (βλ. βιβλίο, σελ. 55) η μέση ταχύτητα της ροής υπολογίζεται ίση με = u max /=0.5 m/s. Συνεπώς, η σωστή απάντηση είναι η (β).

4 Άσκηση Στο υδραγωγείο του Σχήματος, η παροχή νερού Q=150 L/s μεταφέρεται με λείους σωλήνες από τη δεξαμενή Α στη δεξαμενή Β με το σύστημα των αγωγών (1-) και (-3) σε σειρά (βλ. Σχήμα ). Σχήμα. Σκαρίφημα της μηκοτομής του υδραγωγείου (α) Υπολογίστε τη στάθμη της δεξαμενής Β, λαμβάνοντας υπόψη τις τοπικές απώλειες. Θεωρήστε ότι στους κόμβους 1 και η συστολή είναι απότομη. (β) Σχεδιάστε σε σκαρίφημα τη ΓΕ και την ΠΓ. (γ) Υπολογίστε την παροχή του συστήματος, στην περίπτωση που αντικαθιστούσαμε τους αγωγούς (1-) και (-3) με έναν αγωγό (1--3) ενιαίας διαμέτρου D=300 mm και μήκους L=1450 m, αμελώντας τις τοπικές απώλειες και θεωρώντας δεδομένη τη στάθμη της δεξαμενής Β, που υπολογίσατε στο ερώτημα (α). Ερώτημα (α) Διατυπώνουμε αρχικά την εξίσωση ενέργειας μεταξύ των δύο δεξαμενών, προκειμένου να υπολογίσουμε τη στάθμη στη δεξαμενή Β, με γνωστή τη στάθμη z Α =6.00 m στη δεξαμενή Α, δηλ. p p 0 z z g g p p 0 z z z z h h f m όπου με h f συμβολίζονται οι γραμμικές και με h m οι τοπικές απώλειες, αντίστοιχα. Υπολογισμός γραμμικών απωλειών: Δίνεται η παροχή Q=150 L/s=0.150 m 3 /s του υδραγωγείου και οι διάμετροι D 1 =300 mm=0.300 m και D 3 =50 mm=0.50 m και συνεπώς μπορούμε να υπολογίσουμε τις γραμμικές απώλειες, h f1 και h f3 στους αγωγούς (1-) και (-3), αντίστοιχα. Πρόκειται δηλ. για Τυπικό Πρόβλημα Τύπου 1 (βλ. βιβλίο, παράγραφος 4.4-, σε. 93). Οι γραμμικές απώλειες υπολογίζονται από την εξίσωση Darcy-Weisbach h f L f (3.3-16) D g και ο συντελεστής τριβών υπολογίζεται από την εξίσωση Colebrook-White, με δοκιμές 1 k s / D.51.0 log f 3.7 Re f (3.6-16)

5 m /s Q 4Q Αγωγός (1-): k s /D 0,.1 m / s, D 0.300m m/s m D Re m /s m g Υποθέτουμε μια αρχική τιμή για το συντελεστή f, έστω f 0 = Με δοκιμές προκύπτει f=0.018 και οι m L 900 γραμμικές απώλειες είναι ίσες με hf,1 f m. m D g Αγωγός (-3): k s /D 0, m/s m D Re m /s m /s Q 4Q m / s, D 0.50m 0.48 m g Υποθέτουμε μια αρχική τιμή για το συντελεστή f, έστω f 0 = Με δοκιμές προκύπτει f=0.014 και οι m L 550 γραμμικές απώλειες είναι ίσες με h f,3 f m m D g Συνεπώς, οι συνολικές γραμμικές απώλειες είναι ίσες με Σh f(1-3) =1.8 m. Υπολογισμός τοπικών απωλειών: Τοπικές απώλειες έχουμε στους κόμβους 1: έξοδος από δεξαμενή - είσοδος στον αγωγό (1-) - απότομη συστολή, : απότομη συστολή διαμέτρου και 3: έξοδος από τον αγωγό (-3) - είσοδος σε δεξαμενή. Κόμβος 1: Ο συντελεστής τοπικών απωλειών είναι ίσος με k 1 =0.50 (απότομη συστολή, βλ. βιβλίο, Σχόλια σελ. 84), άρα οι τοπικές απώλειες είναι ίσες με hm,1 k m 0.11m. g Κόμβος : Είναι D /D 1 =50mm/300mm=0.83>0.76 (βλ. βιβλίο, παρ ), άρα από την εξ. (3.9-14) έχουμε D 50 D1 300 k και οι τοπικές απώλειες hm, k m 0.04m. g Κόμβος 3: Ο συντελεστής τοπικών απωλειών είναι ίσος με k 3 =1.00 (βλ. βιβλίο, Σχόλια σελ. 8) Συντελεστής τοπικών απωλειών (απότομη διαστολή) k 1 =1.00, άρα οι τοπικές απώλειες είναι ίσες με hm,3 k m 0.48m. g Συνεπώς, οι συνολικές τοπικές απώλειες είναι ίσες με Σh m(1-3) =0.64 m. Υπολογισμός της στάθμης στη δεξαμενή Β: Επομένως η στάθμη στη δεξαμενή Β είναι ίση με z z h h z 6.00m 1.8m 0.64m m f m και και Ερώτημα (β) Αρχικά υπολογίζουμε τη στάθμη της ΓΕ σε κάθε κόμβο. 1, 6.00m h 0.11m 61.89m 1, 1, m1 6.00m h 61.89m 8.83m 53.06m, 1, f,1

6 h 0.04m 53.01m,, m 53.06m h 53.01m 1.99m 40.0m 3,, f,3 3, 3, h m3 z 40.0m 0.48m 39.54m Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τη στάθμη της ΠΓ, η οποία απέχει από την ΓΕ 0.3m g και g 0.48m στα τμήματα (1-) και (-3), αντίστοιχα. Η ΓΕ και η ΠΓ παρουσιάζονται σε σκαρίφημα στο Σχήμα β. 1 Σχήμα β. Σκαρίφημα της ΓΕ και της ΠΓ Ερώτημα (γ) Με δεδομένη τη στάθμη στη δεξαμενή Β και θεωρώντας ότι οι τοπικές απώλειες είναι μηδενικές υπολογίζουμε τις γραμμικές απώλειες στο υδραγωγείο, δηλ. Σh f(1-3)= 6.00 m m=.46 m. Υπολογίζουμε την Q εφαρμόζοντας την άμεση μέθοδο που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 4..3 (βλ. βιβλίο, σελ. 95). Ακολουθούμε τα εξής βήματα: (i) Υπολογίζουμε την ποσότητα Re f από την εξίσωση (4.-) Re f g hf L D m / s.46m 1450m 0.300m m / s 8340 (ii) Υπολογίζουμε την ποσότητα 1/ f από την εξίσωση (3.6-16) 1 k s / D log f log 9.03 Re f (iii) Υπολογίζουμε την ταχύτητα από την εξίσωση (4.-3), όπου γίνεται επίλυση της εξίσωσης (3.3-16) ως προς, δηλ. 1 gdh f 9.81m / s 0.300m.46m m / s f L 1450m και, τέλος, (iv) Υπολογίζουμε την παροχή Q από την εξίσωση (3.3-1) D 0.300m Q.77 m / s m 3 /s 4 4