ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑ ΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. Εισαγωγή Ονοµάζουµε φως το αίτιο που προκαλεί την αίσθηση της όρασης. Η φύση του αιτίου αυτού είναι ένα θέµα που απασχόλησε και απασχολεί τη Φυσική και έγινε αντικείµενο αλληλοσυγκρουόµενων θεωριών τους τελευταίους τρεις αιώνες, όσο ίσως κανένα άλλο φυσικό φαινόµενο. Από την αρχαιότητα, έχουµε υποθέσεις σύµφωνα µε τις οποίες τα σώµατα εκπέµπουν οπτικές ακτίνες που διεγείρουν το µάτι, ή το αντίθετο, ότι δηλαδή το µάτι εκπέµπει ακτίνες που "ψηλαφούν" τα σώµατα. Η ευθύγραµµη διαδροµή που ακολουθεί µια ακτίνα φωτός στη διάδοσή της, όπως φαίνεται στην καθηµερινή παρατήρηση, υπέβαλε από νωρίς την ιδέα ότι το φως αποτελείται από µικρά σωµατίδια που κινούνται ευθύγραµµα µε µεγάλη ταχύτητα. Μια ολοκληρωµένη θεωρία για µια τέτοια σωµατειακή φύση του φωτός προτείνεται από τον Ι. Newto στα τέλη του 7ου αιώνα. Εξηγεί έτσι την ανάκλαση και τη διάθλαση, αποδίδοντας όµως µεγαλύτερη ταχύτητα για τη διάδοση του φωτός στο νερό από ό,τι στον αέρα. Πειράµατα θα δείξουν αργότερα το αντίθετο. Την ίδια εποχή, ο C. Hugges, στη διατριβή του πάνω στο φως, υποστηρίζει ότι η φύση του φωτός είναι κυµατική, δηλαδή ότι πρόκειται για περιοδική κίνηση της ύλης που βρίσκεται µεταξύ του "φωτεινού" σώµατος και του µατιού. Η φύση του φωτός είναι δηλαδή ανάλογη µε αυτή του ήχου, µόνο που το υλικό µέσο στο οποίο διαδίδεται το κύµα είναι, στην περίπτωση αυτή, ο "αιθέρας". Ο "αιθέρας" είναι ένα ιδανικό τέλειο ελαστικό µέσο που γεµίζει κάθε κενό χώρο. Με βάση την κυµατική θεωρία, η ταχύτητα του φωτός στο νερό προβλέπεται να είναι µικρότερη από αυτή στον αέρα. Η κυµατική θεωρία ενισχύεται πολύ περισσότερο στις αρχές του 9ου αιώνα, µε τα πειράµατα του Τ. Voug και Α. Fresel πάνω στη συµβολή του φωτός. Η κυµατική θεωρία παίρνει πάντως τη σωστή φυσική της διάσταση στα τέλη του 9ου αιώνα. Το 86, ο J.C. Maxwell προβλέπει την ύπαρξη ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στη βάση της ηλεκτροµαγνητικής του θεωρίας. Η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων υπολογίζεται θεωρητικά και βρίσκεται ότι συµπίπτει µε την ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα που µια δεκαετία πριν είχε προσδιοριστεί πειραµατικά από τον Fizeau. Το γεγονός αυτό συνέτεινε στην αποδοχή της κυµατικής φύσης του φωτός και, ειδικότερα, στην ένταξή του στα ηλεκτρoµαγνητικά κύµατα. Τα ηλεκτρoµαγνητικά κύµατα που πρόβλεψε η ηλεκτρoµαγνητική θεωρία, παράχθηκαν, για πρώτη φορά πειραµατικά, το 887 από τον Η. Hertz. Στα πειράµατά του, ο Hertz, απόδειξε ότι τα κύµατα αυτά ήταν ίδια, από κάθε άποψη, µε το φως, εκτός από το µήκος κύµατος. Τη στιγµή που φαινόταν ότι αποδείχθηκε οριστικά ότι το φως είναι ηλεκτρoµαγνητικά κύµατα (µιας περιοχής µήκους κύµατος από 390 έως 780m, περίπου), ο ίδιος ο Hertz ανακάλυψε το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο. Το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο, δηλαδή η εκποµπή ηλεκτρονίων από την επιφάνεια ενός υλικού που εκτίθεται σε φως, κάτω από ορισµένες συνθήκες, παρά το ότι ποιοτικά θα µπορούσε να συµβιβάζεται µε την ηλεκτρoµαγνητική φύση του φωτός, δεν έγινε
δυνατό να εξηγηθεί ποσοτικά από αυτή. Έτσι, ο Hertz, πεπεισµένος για την ηλεκτρoµαγνητική φύση του φωτός, µέσα από τα πειράµατά του, ανακάλυψε την πρώτη αδυναµία της θεωρίας αυτής. Η εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου έρχεται στα 905 από τον Eistei, βασισµένη στην υπόθεση των ενεργειακών κβάντα, που προτάθηκε από τον Max Plak για να εξηγήσει τη θερµική ακτινοβολία. Ο Eistei, επεκτείνοντας την ιδέα του Plak, θεώρησε ότι, γενικά, η ηλεκτρoµαγνητική ακτινοβολία (τα εκπεµπόµενα ηλεκτρoµαγνητικά κύµατα) παρουσιάζονται υπό µορφή ενεργειακών κβάντα ή φωτονίων, το καθένα από τα οποία έχει ενέργεια ίση µε hv όπου ν η συχνότητα του ηλεκτρoµαγνητικoύ κύµατος και h η σταθερά του Plak, ίση µε h4.3556*0 5 evs. Η "σωµατειακής φύσης" κβαντική θεωρία του φωτός, φαίνεται να έρχεται, καταρχήν, σε αντίθεση µε τα φαινόµενα που εξηγούνται από την κυµατική θεωρία. Το δίληµµα µεταξύ κυµατικής ή σωµατειακής φύσης, που εµφανίζει το φως, λύθηκε τελικά στη δεκαετία του 90 µε την πρόταση του de Broglie, σύµφωνα µε την οποία αντίστοιχα µε τη σωµατειακή συµπεριφορά των ηλεκτρoµαγνητικών κυµάτων υπό µορφή φωτονίων, υπάρχει και κυµατική συµπεριφορά των σωµατίων που κινούνται µε µεγάλη ταχύτητα. Αυτή η ιδέα της δυαδικότητας κύµατος-ύλης, αποτέλεσε τη βάση της κυµατοµηχανικής. Στην οπτική, µπορούµε, ανάλογα µε το φαινόµενο που µελετούµε, να θεωρήσουµε το φως: σαν φωτεινές, ευθύγραµµα διαδιδόµενες ακτίνες, χωρίς αναφορά στη φύση του (γεωµετρική οπτική), σαν ηλεκτρoµαγνητικά κύµατα (κυµατική φύση), ή σαν φωτόνια ενέργειας h.ν (κβαντικήσωµατειακή φύση) χωρίς η ανάλυση να χάνει την αξία της, υπό την προϋπόθεση ότι ο χαρακτήρας που αποδίδουµε στο φως είναι ο καθοριστικός, για το φαινόµενο που µελετούµε.. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα Ξέρουµε ότι, όταν ηλεκτρικό ρεύµα, σταθερής έντασης, διαρρέει ένα αγωγό, δηµιουργείται γύρω από αυτόν ένα στατικό µαγνητικό πεδίο. Αν ένα φορτισµένο σωµάτιο, κινείται στο µαγνητικό αυτό πεδίο, θα ασκηθεί σι' αυτό µια δύναµη που θα είναι πάντα κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας του σωµατίου. Η δύναµη αυτή, που θα αλλάζει τη διεύθυνση του ανύσµατος της ταχύτητας (δηλ. την τροχιά του σωµατίου), δεν θα επηρεάζει το µέτρο της, δηλαδή δεν έχουµε µεταφορά ενέργειας από το πεδίο στο σωµάτιο. Στην περίπτωση όµως που το ρεύµα είναι εναλλασσόµενο, το µαγνητικό πεδίο που δηµιουργείται δεν είναι πια στατικό και είναι γνωστό ότι ένα µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο (µεταβαλλόµενη µαγνητική ροή) προκαλεί την εµφάνιση ενός ηλεκτρικού πεδίου. Το ηλεκτρικό αυτό πεδίο επιδρά και µεταβάλλει το µέτρο της ταχύτητας του κινούµενου φορτισµένου σωµατίου. Έτσι, έχουµε ένα ηλεκτροµαγνητικό πεδίο, το οποίο µεταφέρει ενέργεια σε κινούµενο φορτισµένο σωµάτιο. Η βασική διάφορα µεταξύ των δύο καταστάσεων είναι ότι, ενώ και στις δύο έχουµε κίνηση φορτίων (ρεύµα διαρρέει τον αγωγό), µόνο στη δεύτερη έχουµε επιτάχυνση των κινούµενων αυτών φορτίων. Μια ηµιτονοειδής µεταβολή της τάσης στα άκρα ενός σύρµατος θα προκαλέσει ένα εναλλασσόµενο ρεύµα, µε αποτέλεσµα τη δηµιουργία ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Όπως στην περίπτωση που θέτοντας σε ταλάντωση τη µια άκρη ενός σύρµατος πακτωµένου στην άλλη άκρη, θα έχουµε τη δηµιουργία ενός εγκάρσιου µηχανικού κύµατος, έτσι και το εναλλασσόµενο ρεύµα που διαρρέει τον αγωγό δηµιουργεί µια ηµιτονοειδή µεταβολή του ηλεκτρικού (Ε) και του µαγνητικού (B) πεδίου, που διαδίδεται στο χώρο.
Σχήµα : Μεταβολή του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου συναρτήσει της απόστασης χ σε δεδοµένη χρονική στιγµή. Τη διάδοση αυτή του ηλεκτρoµαγνητικoύ κύµατος στο χώρο προέβλεψε, θεωρητικά, ο Maxwell, βρίσκοντας τις εξισώσεις που εκφράζουν πώς σχετίζονται τα πεδία Ε και Β µε τα φορτία που τα προκαλούν, και µεταξύ τους. Στους µέχρι τότε γνωστούς νόµους (α) του Coulomb: Τα φορτία προκαλούν την εµφάνιση ηλεκτρικού πεδίου, (β) του mpere: Κινούµενα φορτία (ηλεκτρικό ρεύµα) προκαλούν την εµφάνιση ενός µαγνητικού πεδίου, και (γ) του Faraday: Μεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο προκαλεί την εµφάνιση ενός ηλεκτρικού πεδίου, ο Maxwell προσθέτει ακόµα: ότι ένα µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο προκαλεί την εµφάνιση ενός µαγνητικού πεδίου. Από τις εξισώσεις που εκφράζουν τους παραπάνω νόµους, γνωστές περισσότερο σαν εξισώσεις του Maxwell, προβλέπεται η δηµιουργία διαδιδόµενων ηλεκτρoµαγνητικών κυµάτων από επιταχυνόµενα ηλεκτρικά φορτία. Τα ηλεκτρoµαγνητικά κύµατα µπορούν να θεωρηθούν επίπεδα, σε σχετικά µεγάλη απόσταση από το σηµείο παραγωγής τους, και χαρακτηρίζονται από τις παρακάτω ιδιότητες: (α) Τα ανύσµατα των εντάσεων του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου είναι κάθετα µεταξύ τους (βλέπε σχήµα ). (β) Η διεύθυνση διάδοσης του κύµατος είναι η διεύθυνση Ε*Β (δεξιόστροφος κανόνας).'έτσι, τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα (επίπεδα), είναι εγκάρσια κύµατα. (γ) Η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων είναι ίση µε: C εµ () όπου ε και µ η ηλεκτρική και η µαγνητική διαπερατότητα του µέσου διάδοσης αντίστοιχα. Η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρoµαγνητικών κυµάτων στο κενό βρίσκεται (αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες αριθµητικές τιµές της ηλεκτρικής (ε ο ) και της µαγνητικής (µ ο ) διαπερατότητας) ίση µε: 8 C / ε µ 3*0 m / s 0 0
Έτσι, στην ηλεκτροµαγνητική θεωρία, η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων, δίνεται από χαρακτηριστικές παραµέτρους των ηλεκτρικών και µαγνητικών πεδίων, που µπορούν να µετρηθούν σε συνθήκες εργαστηρίου. Το φως λοιπόν, σαν ηλεκτροµαγνητικό κύµα, θα διαδίδεται, σύµφωνα µε τα παραπάνω µε ταχύτητα 3 * 0 8 m/s. Πειραµατικές µετρήσεις προσδιορισµού της ταχύτητας διάδοσης του φωτός, έγιναν για πρώτη φορά µε επιτυχία από τον Α. Fizeau το 849 και τα αποτελέσµατά του έδιναν περίπου 5% ψηλότερη τιµή από αυτή που είναι σήµερα αποδεκτή. Η πιο ακριβής µέτρησης της ταχύτητας του φωτός µε τη βοήθεια ακτινών laser δίνει την τιµή των.9979458 * 0 8 m/s µε ακρίβεια όγδοου δεκαδικού ψηφίου. Η συµφωνία της θεωρητικά προβλεπόµενης µε την πειραµατικά προσδιοριζόµενη τιµή είναι χαρακτηριστική..3 Το ηλεκτροµαγνητικό φάσµα Οι εξισώσεις του Maxwell που εκφράζουν τη διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στο χώρο δε θέτουν όριο ως προς το µήκος κύµατος ή τη συχνότητα. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει φυσικό όριο ως προς τη συχνότητα παρά µόνο η κατάλληλη πηγή παραγωγής και διάταξη ανίχνευσης, Το µάτι είναι ευαίσθητο σε ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µιας µικρής περιοχής µηκών κύµατος από 390 έως 780m που αποτελούν το ορατό φως. Πέρα από τα όρια αυτά, η παρατήρηση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων γίνεται δυνατή µε µια σειρά οργάνων ευαίσθητων σε διαφορετικά µήκη κύµατος, Με τέτοια όργανα µπορούµε σήµερα να ανιχνεύσουµε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία που εκτείνεται από γιγαντιαία ραδιοκύµατα µε µ.κ. εκατοντάδες χιλιάδες χιλιόµετρα µέχρι ακτίνες γ µε µ.κ. εκατοµµυριοστά των διαστάσεων ενός πυρήνα. Σχήµα : Το γνωστό σήµερα ηλεκτροµαγνητικό φάσµα. Το σύνολο των γνωστών µέχρι σήµερα ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων ονοµάζουµε ηλεκτροµαγνητικό φάσµα. Το ηλεκτροµαγνητικό φάσµα καλύπτει ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µε συχνότητες από λίγα Ηz έως 0 Ηz και αντίστοιχα µήκη κύµατος από 0 8 m έως 0-4 m περίπου. Υποδιαιρείται σε αλληλοκαλυπτόµενες περιοχές µε διάφορες ονοµασίες, που έχουν επικρατήσει για ιστορικούς περισσότερο λόγους. Όπως φαίνεται και στο σχήµα, στις χαµηλές συχνότητες έχουµε τα ραδιοκύµατα, που για πρώτη φορά παρήγαγε ο Hertz, και ακολουθούν τα µικροκύµατα. Οι δύο αυτές περιοχές καλύπτουν τη χαµηλή περιοχή συχνοτήτων του φάσµατος µέχρι 0 Ηz και
περιλαµβάνουν ηλεκτροµαγνητικά κύµατα που χρησιµοποιούνται στη ραδιοφωνία, την τηλεόραση και τις επικοινωνίες. Τα κύµατα αυτά µπορούν να παραχθούν µε ηλεκτρονικές διατάξεις. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µε συχνότητες µεγαλύτερες από 0 Ηz και µέχρι 0 0 Ηz περίπου απαιτούν διεργασίες στο µοριακό ή ατοµικό επίπεδο. Στις συχνότητες αυτές, έχουµε την υπέρυθρη ακτινοβολία, το φως, την υπεριώδη και τις ακτίνες Χ. Τέλος, ακτινοβολίες µε µεγαλύτερες συχνότητες παράγονται µε διεργασίες σε επίπεδο πυρήνα (γ-ακτινοβολία). Η ονοµατολογία αυτή που έχει επικρατήσει για τις διάφορες περιοχές του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος, δεν θα πρέπει να προκαλεί σύγχυση ως προς τον ενιαίο χαρακτήρα της ακτινοβολίας. Πρόκειται, δηλαδή, για εκποµπή ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας υπό µορφή ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων µε µόνη µεταβλητή τη συχνότητα. Πίνακας _ Περιοχές του ορατού φάσµατος Το ορατό φάσµα, χωρίζεται και αυτό, σε διάφορες περιοχές, ανάλογα µε την αίσθηση του χρώµατος που προκαλεί το φως. Όπως φαίνεται και στον πίνακα, οι έξι αυτές περιοχές χωρίζονται µε µάλλον αυθαίρετο τρόπο..4 Ταχύτητα του φωτός και δείκτης διάθλασης Είδαµε ότι η ταχύτητα διάδοσης του φωτός (και γενικότερα των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων) στο κενό δίνεται από τη σχέση: C / ε µ 0 0 εξαρτάται δηλαδή µόνο από την ηλεκτρική και µαγνητική διαπερατότητα. Οι σταθερές ε ο και µ ο είναι ανεξάρτητες από τη συχνότητα, µε αποτέλεσµα η ταχύτητα του φωτός στο κενό να είναι σταθερή για οποιαδήποτε συχνότητα και ίση µε 3 * 0 8 m/s περίπου. Η ταχύτητα αυτή µας επιτρέπει, σε πολλές περιπτώσεις, να θεωρήσουµε ότι η διάδοση του φωτός γίνεται ακαριαία. Παρόλα αυτά, θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι το φως χρειάζεται 8 λεπτά περίπου για να φτάσει από τον ήλιο στη γη και 4 χρόνια από το πλησιέστερο αστέρι. Η απόσταση που διανύει το φως σε ένα χρόνο ονοµάζεται έτος φωτός. Ορισµένοι γαλαξίες απέχουν από τη γη εκατοµµύρια έτη φωτός.
Στα υλικά µέσα, το φως διαδίδεται µε µικρότερη ταχύτητα από ό,τι στο κενό. Σαν απόλυτος δείκτης διάθλασης (δδ), υλικού µέσου, ορίζεται ο λόγος της ταχύτητας διάδοσης του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα διάδοσης στο µέσο αυτό. η C 0 C εµ ε 0 µ 0 () Το λόγο δύο απόλυτων δεικτών διάθλασης και ονοµάζουµε σχετικό δείκτη διάθλασης και τον συµβολίζουµε µε: i ij (3) j Εξάλλου, όπως είναι γνωστό, η ταχύτητα διάδοσης συνδέεται µε τη συχνότητα (f) του κύµατος µε τη σχέση: c f λ (4) όπου λ το αντίστοιχο µήκος κύµατος. Όταν τώρα µια φωτεινή δέσµη αλλάζει ταχύτητα διάδοσης στην οριακή επιφάνεια που χωρίζει δύο µέσα δεδοµένου ότι η συχνότητα ν του κύµατος δεν είναι δυνατόν να αλλάξει (η επιφάνεια δεν καταστρέφει ούτε παράγει κύµατα) είναι φανερό ότι θα αλλάζει το µήκος κύµατος λ. λ λ / η (5) 0 όπου λ ο το µήκος κύµατος στο κενό. Γενικά, τα υλικά που µας ενδιαφέρουν στη διάδοση του φωτός χαρακτηρίζονται από µαγνητική διαπερατότητα περίπου ίση µε αυτή του κενού: µµ ο. Η ηλεκτρική διαπερατότητα όµως είναι µεγαλύτερη και επιπλέον εξαρτάται από τη συχνότητα. Έτσι, η ταχύτητα διάδοσης του φωτός δεν είναι ακριβώς η ίδια για διάφορες συχνότητες. Αυτό σηµαίνει ότι και ο δ.δ. εξαρτάται από τη συχνότητα του φωτός, δηλαδή έχει διαφορετική τιµή για φως διαφορετικής συχνότητας. Αργότερα, θα δούµε τη συνέπεια αυτής της εξάρτησης του δ.δ. από τη συχνότητα..5 Ανάκλαση ιάδοση Όταν φωτεινή δέσµη πέσει σε µια διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων µε διαφορετικούς δ.δ., µέρος του προσπίπτοντος φωτός ανακλάται ενώ το υπόλοιπο διαδίδεται (διαθλάται) στο δεύτερο µέσο. Αν η επιφάνεια είναι λεία, έχουµε οµοιόµορφη ανάκλαση, διαφορετικά το φως διαχέεται θεωρητικά, η ανάκλαση και η διάθλαση µπορούν να µελετηθούν µε τη βοήθεια των εξηγήσεων του Maxwell. Υπάρχουν όµως και άλλες γενικά πιο απλές αρχές, όπως ο νόµος του ell και η αρχή του Fermat, που περιγράφουν τη συµπεριφορά του φωτός χωρίς να αναφέρονται στην ηλεκτροµαγνητική του φύση. Στη µελέτη της ανάκλασης και της διάδοσης που θα µας απασχολήσουν εδώ, κάνουµε χρήση µόνο της έννοιας της ακτίνας φωτός. Λέγοντας ακτίνα, εννοούµε µια νοητή γραµµή που συµπίπτει µε τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Οι δύο νόµοι της ανάκλασης βγαίνουν εύκολα από απλή παρατήρηση και µπορούν να διατυπωθούν ως εξής:
, Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώµενη ακτίνα και η κάθετος στην επιφάνεια στο σηµείο προσπτώσεως, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.. Η γωνία πρόσπτωσης (π) είναι ίση µε τη γωνία ανάκλασης (α). Οι νόµοι αυτοί είναι αρκετοί για να προσδιορίσουν τη θέση και το µέγεθος του ειδώλου που σχηµατίζει ένα κάτοπτρο από κάποιο αντικείµενο. Το µέρος του φωτός που διαδίδεται στο δεύτερο µέσο µε δ.δ. (< ) ονοµάζουµε διαθλώµενο. Οι νόµοι της διάθλασης µπορούν να διατυπωθούν ως εξής:. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώµενη και η κάθετος στο σηµείο πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.. Οι διευθύνσεις της προσπίπτουσας και της διαθλώµενης ακτίνας συνδέονται µεταξύ τους µε τη σχέση: η ηµπ η ηµδ (6) όπου η και η είναι οι δείκτες διάθλασης των δύο µέσων, ενώ π και δ είναι αντίστοιχα οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης (σχήµα 3). Η σχέση αυτή είναι γνωστή σαν νόµος του ell. Σχήµα 3: Σχηµατική παράσταση των νόµων της ανάκλασης κα ι της διάθλασης. Με π, α και δ συµβολίζονται αντίστοιχα οι γωνίες πρόσπτωσης, ανάκλασης και διάθλασης. Στην περίπτωση που η γωνία πρόσπτωσης γίνει π 0 ο, δηλαδή η διεύθυνση διάδοσης είναι κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια, δεν θα έχουµε αλλαγή στη διεύθυνση της δέσµης, αφού για να ικανοποιείται ο νόµος του ell θα πρέπει ηµπ ηµδ 0, εποµένως και π δ 0, θα αλλάξει όµως το µήκος κύµατος του διερχόµενου φωτός σε σχέση µε αυτό του προσπίπτοντος, όπως αναφέραµε προηγούµενα.
.6 Οι εξισώσεις του Fresel Όπως είδαµε, όταν το φως συναντήσει, στη διεύθυνση της διάδοσης του, µια διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων που έχουν διαφορετικούς δ.δ., ένα µέρος του ανακλάται ενώ το υπόλοιπο διαδίδεται στο δεύτερο µέσο. Οι νόµοι της ανάκλασης και της διάθλασης που αναφέραµε προηγούµενα καθορίζουν µεν τη διεύθυνση που ακολουθεί το ανακλώµενo και το διαθλώµενο φως, αλλά όχι και τις αντίστοιχες εντάσεις. Οι εντάσεις αυτές εξαρτώνται αφενός από τη γωνία πρόσπτωσης του φωτός στη διαχωριστική επιφάνεια και αφετέρου από τους δ.δ. των δύο µέσων και υπολογίζονται µε τη βοήθεια των εξισώσεων του Fresel. Οι εξισώσεις αυτές µας δίνουν τους συντελεστές ανάκλασης α α (ανακλαστικότητα) και διέλευσης α δ (διαπερατότητα) που ορίζονται σαν το πηλίκο της ανακλώµενης και της διερχόµενης προς την προσπίπτουσα ένταση του φωτός αντίστοιχα. Εξετάζοντας την ειδική περίπτωση απλού αρµονικού κύµατος φωτός, µε διεύθυνση του ανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου παράλληλη προς το επίπεδο πρόσπτωσης, οι παραπάνω συντελεστές δίνονται από τις σχέσεις: δσυνπ πσυνδ αα δσυνπ+ πσυνδ (7) 4π δσυνπσυνδ α (8) δ ( συνπ + συνδ) δ π Στην περίπτωση κάθετης πρόσπτωσης, όπου π δ 0 ο, έχουµε: α α δ δ + π π (9) α δ 4 π δ ( δ + π ) (0) Έτσι, για παράδειγµα, το ποσοστό της έντασης του φωτός που ανακλάται µετά από κάθετη πρόσπτωση σε διαχωριστική επιφάνεια αέρα ( α.0) και νερού ( w.3) θα είναι: w a α α 0,07 () w + a Εποµένως στην περίπτωση αυτή, µόνο το,7% της έντασης του φωτός ανακλάται ενώ το 98.3% διαθλάται.
.7 Ολική Ανάκλαση Εξετάζοντας το νόµο του ell, στην περίπτωση της ανάκλασης ακτίνας φωτός από διαχωριστική επιφάνεια, όταν προσπίπτει σε αυτήν προερχόµενη από το υλικό µέσον που έχει το µεγαλύτερο δ.δ, ( π > δ ), διαπιστώνουµε ότι δ > π. Σχήµα 4: Οριακή γωνία και ολική ανάκλαση των ακτίνων. Για τη µέγιστη τιµή που έχουµε δ 90 ο, η γωνία π παίρνει την οριακή της τιµή π ορ που βρίσκεται από το νόµο του ell αν θέσουµε ηµδ, ηµπ o ρ δ / () π Για τιµές π > π ορ ο νόµος του ell δεν είναι δυνατόν να ικανοποιείται, γεγονός που υποδηλώνει ότι δεν έχουµε διαθλώµενο κύµα. Παράλληλα, εξετάζοντας την εξίσωση του Fresel (8) στις συνθήκες αυτές διαπιστώνουµε ότι ο συντελεστής ανάκλασης γίνεται ίσος µε τη µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι όλο το φως ανακλάται, γεγονός που ισχύει για κάθε γωνία π που είναι: π ορ < π < 90 ο, Έτσι, γίνεται φανερό ότι για γωνίες πρόσπτωσης µεγαλύτερες από την οριακή αυτή γωνία η διάθλαση είναι αδύνατη και έχουµε το φαινόµενο της ολικής ανάκλασης, π.χ. για το γυαλί µε δ,δ. γ,55 και τον αέρα µε η θα έχουµε: ηµπ ορ α / γ /.55 0.645 και π ορ 40 ο Η ολική ανάκλαση βρίσκει ενδιαφέρουσες εφαρµογές στα πρίσµατα ολικής ανάκλασης καθώς και στις οπτικές ίνες. Αν το φως πέσει σε πρίσµα µε διατοµή ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο (45 ο - 45 ο - 90 ο ) όπως αυτό του σχήµατος 5, µε διεύθυνση κάθετη προς την πλάγια επιφάνεια ΒΓ, θα υποστεί διαδοχικές ολικές ανακλάσεις στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ, µε αποτέλεσµα την αντιστροφή της διεύθυνσής του, µε σύγχρονη παράλληλη µετατόπιση. Σχήµα 5: Πρίσµατα οπτικής ανάκλασης και πορεία των φωτεινών ακτινών
Αν η προσπίπτουσα ακτίνα είναι κάθετη προς µια από τις πλευρές ΑΒ ή ΑΓ, θα διαδοθεί µέσα στο πρίσµα χωρίς να αλλάξει πορεία. Στη συνέχεια θα υποστεί ολική ανάκλαση στην πλευρά ΒΓ, εκτρεπόµενη κατά γωνία 90 ο µε αποτέλεσµα να προσπέσει και πάλι κάθετα στην τρίτη πλευρά του πρίσµατος. Έτσι η τελική εκτροπή της ακτίνας από την αρχική της πορεία θα είναι 90 ο. Στις οπτικές ίνες, ή φωτοαγωγoύς, το φως µπαίνει από το ένα άκρο και βγαίνει από το άλλο αφού υποστεί µια σειρά διαδοχικών ολικών ανακλάσεων, κάθε φορά που συναντά εξωτερική επιφάνεια της οπτικής ίνας (σχήµα 6), Με τις οπτικές ίνες είναι δυνατόν να φωτίσουµε κοιλότητες που είναι δύσκολο να φωτιστούν διαφορετικά, κάνοντας έτσι δυνατή την εξέταση του εσωτερικού του ανθρώπινου σώµατος. Εξαιτίας των πολλαπλών ανακλάσεων, δεν είναι δυνατόν να πάρουµε εικόνα µε τη χρήση ενός µόνο φωτοαγωγού. Για το σκοπό αυτό, χρησιµοποιούµε δέσµη παράλληλων οπτικών ινών των οποίων δηλαδή η διάταξη είναι ίδια στην είσοδο και στην έξοδο. Σχήµα 6: Πορεία φωτεινής δέσµης σε µια οπτική ίνα. Έτσι, η εικόνα χωρίζεται σε πολλά µικρά στοιχεία διαφορετικής φωτεινότητας που ανασυνθέτουν στην έξοδο την εικόνα. Βέβαια, η ποιότητα της εικόνας αυτής εξαρτάται από τον συνολικό αριθµό και τις διαστάσεις των οπτικών ινών που αποτελούν τη δέσµη..8 Αρχή του Fermat Το φαινόµενο της διάθλασης µελετήθηκε από την αρχαιότητα, και τα πρώτα αποτελέσµατα µετρήσεων των γωνιών πρόσπτωσης και διάθλασης που έγιναν από τον Κλαύδιο Πτολεµαίο χρονολογούνται από το 40 µχ. Παρόλα αυτά, µόλις το 6 ο W. ell διατύπωσε τον οµώνυµο νόµο της διάθλασης. Έτσι, στην αρχή έχουµε την παρατήρηση του φαινοµένου, στη συνέχεια τα αποτελέσµατα µετρήσεων και αργότερα ένα νόµο που εκφράζει µαθηµατικά το φαινόµενο. Το σηµαντικότερο όµως στην Επιστήµη είναι να βρεθεί µια "αρχή", δηλαδή ένας τρόπος σκέψης που να κάνει προφανή το νόµο. Αλλά τέτοια γενική αρχή πάνω στη διάδοση του φωτός διατυπώθηκε το 650 από τον Fermat. Η ιδέα είναι ότι το φως, µεταξύ όλων των δυνατών δρόµων που θα µπορούσε να ακολουθήσει για να φτάσει από ένα σηµείο σε ένα άλλο, ακολουθεί εκείνον που απαιτεί το µικρότερο χρονικό διάστηµα. Έτσι, η αρχή του Fermat µπορεί να διατυπωθεί ως εξής "Μια ακτίνα ακολουθεί τον χρονικά συντοµότερο δρόµο".
Σχήµα 7: Υποθετική πορεία ακτίνας φωτός από ένα σηµείο Α σε ένα σηµείο Β µέσω των διαφορετικών µέσων. Ας υποθέσουµε ότι µια ακτίνα φωτός διαδίδεται από ένα σηµείο Α σε ένα άλλο Β διασχίζοντας τις γεωµετρικές αποστάσεις,, 3,...,, όπως φαίνεται στο σχήµα 7, σε υλικά µε δ.δ.,, 3,..., η αντίστοιχα. Ο συνολικός χρόνος που θα χρειαστεί το φως για να καλύψει τη διαδροµή αυτή θα είναι: t m i C i i C 0 m i C C 0 i i C 0 m i i i (3) Το άθροισµα Σ i s i ονοµάζουµε οπτικό δρόµο. Είναι φανερό ότι έχουµε ελαχιστοποίηση του χρόνου t όταν ο οπτικός δρόµος ελαχιστοποιείται. Έτσι, η αρχή του Fermat µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μια ακτίνα φωτός ακολουθεί εκείνη τη διαδροµή που αντιστοιχεί στο συντοµότερο οπτικό δρόµο. Με τη βοήθεια της αρχής του Fermat είναι δυνατό να αποδειχθούν εύκολα νόµοι της ανάκλασης και διάθλασης και να µελετηθούν προβλήµατα της γεωµετρικής οπτικής που θα µας απασχολήσουν στη συνέχεια.
. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ.. Εισαγωγή Όπως είδαµε προηγούµενα, στη βάση της αρχής του Fermat, το φως ακολουθεί τον συντοµότερο οπτικό δρόµο. Ένα βασικό πρόβληµα της οπτικής είναι η δυνατότητα συγκέντρωσης του φωτός που προέρχεται από ένα σηµείο Α του χώρου σε ένα άλλο σηµείο Ε. Θέλουµε δηλαδή, το φως που αποκλίνει από το Α να το συγκεντρώσουµε στο Ε µε τη βοήθεια ενός οπτικού συστήµατος. Αφού το φως ακολουθεί το συντοµότερο οπτικό δρόµο, ο µόνος τρόπος για να επιτύχουµε αυτό θα είναι το οπτικό µας σύστηµα να δηµιουργεί ισοδύναµους εναλλακτικούς οπτικούς δρόµους που ακολουθώντας τους το φως να φτάνει από το Α στο Ε. Τέτοια οπτικά συστήµατα είναι για παράδειγµα τα κάτοπτρα και οι φακοί. Στη συνέχεια, θα εξετάσουµε τις βασικές διαθλαστικές διατάξεις που χρησιµοποιούνται για τη συγκέντρωση του φωτός, µε τελικό σκοπό τον σχηµατισµό ειδώλου. Μια τέτοια ανάλυση αποτελεί αντικείµενο της γεωµετρικής οπτικής. Η γεωµετρική οπτική περιορίζεται σε περιπτώσεις όπου η θεώρηση της φύσης του φωτός δεν έχει σηµασία και απλά γίνεται η παραδοχή ότι το φως διαδίδεται ευθύγραµµα σε οµογενή µέσα.. Σφαιρικές διαθλαστικές επιφάνειες Ας θεωρήσουµε ότι σηµειακή πηγή Α που βρίσκεται σε περιβάλλον µε δ.δ., εκπέµπει φως το οποίο θέλουµε να συγκεντρωθεί στο σηµείο Ε που βρίσκεται µέσα σε άλλο υλικό µέσο µε δ.δ. > όπως φαίνεται στο σχήµα 8. Το πρόβληµα είναι να προσδιορίσουµε µια διαχωριστική επιφάνεια των δύο αυτών µέσων τέτοια ώστε όλοι οι εναλλακτικοί οπτικοί δρόµοι που θα ακολουθήσει το φως, διαδιδόµενο από το σηµείο Α στο Ε, µέσω της διαχωριστικής επιφάνειας να είναι ίσοι µεταξύ τους. Σχήµα 8: Συγκέντρωση του φωτός από το Α στο Ε µέσω της διαχωριστικής επιφάνειας. Είναι φανερό ότι ο ελάχιστος γεωµετρικός δρόµος είναι η ευθεία που ενώνει τα σηµεία Α και Ε. Ο αντίστοιχος οπτικός δρόµος σύµφωνα µε την αρχή του Fermat, θα είναι: O + E όπου η απόσταση που διανύει το φως στο µέσο µε δ.δ. και E η απόσταση που διανύει στο µέσο µε δ.δ..
Στο σηµείο Ο που ονοµάζουµε πόλο της επιφάνειας, το φως για να συνεχίσει ευθύγραµµα τη διάδοσή του θα πρέπει να συναντήσει κάθετα τη διαχωριστική επιφάνεια. Τη διεύθυνση αυτή (ΑΟΕ), ονοµάζουµε κύριο οπτικό άξονα. Τώρα σε οποιοδήποτε άλλο σηµείο Σ της επιφάνειας που φτάνει το φως προερχόµενο από το Α θα οδηγηθεί στο Ε αν ικανοποιεί τη σχέση: x x + E + (4) Το πρόβληµα λοιπόν είναι να βρούµε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Σi που ικανοποιούν τη σχέση 4. Ο γεωµετρικός αυτός τόπος είναι µια επιφάνεια γνωστή σαν "καρτεσιανό ωοειδές". Στην πράξη τέτοιες επιφάνειες είναι δύσκολο να κατασκευαστούν και παρουσιάζουν ενδιαφέρον µόνο στην περίπτωση ειδικών εφαρµογών. Μια απλούστερη επιφάνεια που έχει πρακτικό ενδιαφέρον είναι η σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια. Μια σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια σχεδόν συµπίπτει µε την επιφάνεια του καρτεσιανού ωοειδούς στην περιοχή γύρω από τον κύριο οπτικό άξονα. Έτσι θα έχουµε και πάλι συγκέντρωση του φωτός στο σηµείο Ε υπό την προϋπόθεση ότι το άνοιγµα του κώνου που σχηµατίζουν οι αποκλίνουσες από το Α ακτίνες είναι µικρό, δηλαδή οι ακτίνες σχηµατίζουν µικρές γωνίες µε τον οπτικό άξονα. Τις ακτίνες αυτές ονοµάζουµε παραξονικές. Ας θεωρήσουµε σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια µε ακτίνα καµπυλότητας r, κέντρο καµπυλότητας K και κύριο άξονα ΟΚ, που διαχωρίζει δύο µέσα µε δ.δ. και. Έστω σηµείο Α σε απόσταση αριστερά του πόλου Ο που εκπέµπει φως. Σχήµα 9: Σχηµατικό διάγραµµα σύγκλισης φωτεινών ακτινών από σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια. Όπως φαίνεται στο σχήµα 9, η ακτίνα ΑΣ συναντώντας τη σφαιρική διαχωριστική επιφάνεια στο σηµείο Σ υφίσταται διάθλαση και εκτρέπεται στη διεύθυνση ΣΕ. Αν η τυχούσα ακτίνα ΑΣ είναι παραξονική µπορεί να δειχθεί ότι διαθλώµενη στο σηµείο Σ θα περάσει από το σηµείο Ε που βρίσκεται πάνω στον κύριο άξονα και σε απόσταση E από τον πόλο της σφαιρικής διαθλαστικής επιφάνειας. Εποµένως, κάθε παραξονική ακτίνα θα περάσει από το Ε. Η απόσταση E βρίσκεται συναρτήσει της απόστασης και της ακτίνας καµπυλότητας r της διαθλαστικής επιφάνειας από τη σχέση: + (5) r E όπου και οι δ.δ. του µέσου από το οποίο προέρχονται οι ακτίνες και του µέσου στο οποίο εισέρχονται αντίστοιχα. Το σηµείο Ε ονοµάζουµε είδωλο του σηµείο Α που σχηµατίζεται µε την
παρεµβολή της σφαιρικής διαθλαστικής επιφάνειας. Ας διερευνήσουµε τώρα την εξίσωση 5 σε ορισµένες οριακές συνθήκες. Αν το αντικείµενο Α βρίσκεται σε πολύ µεγάλη απόσταση ΑΟ να τείνει στο άπειρο, οι ακτίνες έρχονται πρακτικά παράλληλες προς τον κύριο άξονα (σχήµα 0α) και ο λόγoς / τείνει στο µηδέν. Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε λοιπόν: E r (6) Την απόσταση E, στην οποία συγκεντρώνονται παράλληλες ακτίνες φωτός µε την παρεµβολή της σφαιρικής διαθλαστικής επιφάνειας, ονοµάζουµε εστιακή απόσταση ειδώλου και συµβολίζουµε µε f Ε. Tο αντίστοιχο σηµείο στον κύριο άξονα, ονοµάζουµε κύρια εστία του ειδώλου και συµβολίζουµε µε F Ε. Αντικαθιστώντας στην 6 η εστιακή απόσταση f E του ειδώλου θα είναι εποµένως ίση µε: f E r (7) Αντίστοιχα, υπάρχει µια απόσταση για την οποία οι ακτίνες που προέρχονται από το Α συνεχίζουν την πορεία τους παράλληλα προς τον κύριο άξονα µετά την παρεµβολή της διαθλαστικής επιφάνειας. Την απόσταση αυτή ονοµάζουµε εστιακή απόσταση αντικειµένου και συµβολίζουµε µε f Α και το αντίστοιχο σηµείο F Α κύρια εστία αντικειµένου. Στην περίπτωση αυτή, θα έχουµε E να τείνει στο άπειρο και αντίστοιχα, ο λόγος / E θα τείνει στο µηδέν (σχήµα 0β). Όταν το αντικείµενο πλησιάσει ακόµα περισσότερο στην σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια οι ακτίνες συνεχίζουν να αποκλίνουν και µετά τη διάθλασή τους σ αυτήν. Στην περίπτωση αυτή, οι φωτεινές ακτίνες φαίνεται να προέρχονται από ένα σηµείο Ε αριστερά του πόλου και η απόσταση E από αυτόν παίρνει αρνητική τιµή για να ικανοποιείται η σχέση 5. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι έχουµε φανταστικό είδωλο(σχήµα 0γ). Αντίστοιχα, αν οι ακτίνες, διαδιδόµενες από αριστερά προς τα δεξιά, συγκλίνουν στο σηµείο Α δεξιά της διαθλαστικής επιφάνειας, η απόσταση παίρνει αρνητική τιµή για να ικανοποιείται η σχέση 5 και λέµε ότι έχουµε φανταστικό αντικείµενο (σχήµα 0δ). f r f Α r (8) Γενικά, ένα αντικείµενο ονοµάζεται πραγµατικό, όταν το φως αποκλίνει από αυτό, ενώ αντίστροφα, ένα είδωλο ονοµάζεται πραγµατικό όταν το φως συγκλίνει σε αυτό, και φανταστικό όταν το φως αποκλίνει από αυτό. Στην ανάλυση που κάνουµε εδώ, θεωρούµε επίσης ότι: ) Το φως διαδίδεται από τα αριστερά προς τα δεξιά. ) Οι αποστάσεις µετρούνται µε αρχή τον πόλο Ο και λαµβάνονται:
-για τα, και f θετικές προς τα αριστερά του Ο. -για τα r, E και f Ε θετικές προς τα δεξιά του Ο. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, αρνητικές τιµές για τα, E σηµαίνουν φανταστικό αντικείµενο και είδωλο αντίστοιχα. Σχήµα 0: Σχηµατικό διάγραµµα της πορείας φωτεινών ακτίνων στις περιπτώσεις (α) E f E, (β) Α f Α, (γ) φανταστικό αντικείµενο, (δ) φανταστικό είδωλο Τέλος, µια ακόµα οριακή περίπτωση, είναι αυτή κατά την οποία η ακτίνα r της διαθλαστικής επιφάνειας τείνει στο άπειρο, πράγµα που ισοδυναµεί µε επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια µέσων µε δδ,, και. Στην περίπτωση αυτή, από την εξίσωση 5, θα έχουµε: + 0 (9) r E Απαραίτητη συνθήκη για να ικανοποιείται η παραπάνω εξίσωση, είναι τα και E να έχουν αντίθετα πρόσηµα. Εποµένως, δεν είναι δυνατόν να έχουµε κάτω από αυτές τις συνθήκες σχηµατισµό πραγµατικού ειδώλου από πραγµατικό αντικείµενο..3 Λεπτοί φακοί Λεπτό φακό ονοµάζουµε ένα οπτικό σύστηµα που αποτελείται από δύο διαθλαστικές επιφάνειες (από τις οποίες µια τουλάχιστον είναι καµπύλη). Λεπτός φακός είναι εκείνος του οποίου το πάχος µπορεί να θεωρηθεί αµελητέο σε σχέση µε τις αποστάσεις ειδώλου και αντικειµένου. Στη συνέχεια θα αναφερθούµε σε λεπτούς φακούς µε σταθερό δ.δ. και σφαιρικές διαθλαστικές επιφάνειες. Θεωρώντας και πάλι ότι ισχύουν οι παραδοχές που αναφέραµε προηγούµενα για τις σφαιρικές διαθλαστικές επιφάνειες, για να βρούµε την αντίστοιχη εξίσωση σχηµατισµού ειδώλου από λεπτό φακό δεν έχουµε παρά να εφαρµόσουµε δύο φορές την εξίσωση 5 για τις δύο διαθλαστικές επιφάνειες του φακού. Έτσι, η πρώτη διαθλαστική επιφάνεια, µε ακτίνα
καµπυλότητας r, που συναντούν οι ακτίνες προερχόµενες από το σηµείο Α, θα σχηµατίσει είδωλο Ε σε απόσταση E', σύµφωνα µε τη σχέση: + E' r (0) Το είδωλο αυτό θα αποτελεί αντικείµενο για τη δεύτερη διαθλαστική επιφάνεια του λεπτού φακού. Εδώ χρειάζεται λίγη προσοχή στα πρόσηµα και στους δ.δ. που θα χρησιµοποιήσουµε. Επειδή ο φακός είναι λεπτός, το φως θα συγκλίνει στο Ε' διαδιδόµενο στο υλικό του φακού που έχει δ.δ.. Έτσι, για τη δεύτερη διαθλαστική επιφάνεια του φακού το αντικείµενο είναι φανταστικό σε απόσταση ' - E' και το φως προέρχεται από µέσο µε δ.δ. και σχηµατίζει είδωλο σε απόσταση E στο µέσο. ' r E + η ' r E E + + ( ) Προσθέτοντας τώρα κατά µέλη τις 0 και έχουµε: ( ) + r r E η + r r E () Σχήµα : Σχηµατικό διάγραµµα σύγκλισης φωτεινών ακτίνων από λεπτό φακό Η παραπάνω αποτελεί τη βασική εξίσωση των λεπτών φακών. Όταν το τείνει στο άπειρο το E γίνεται ίσο µε f Ε', ενώ όταν το E τείνει στο άπειρο το γίνεται ίσο µε f Α και είναι προφανές από τη σχέση () ότι: r r f f f E (3)
Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση των λεπτών φακών οι εστιακές αποστάσεις αντικειµένου και ειδώλου είναι ίσες µεταξύ τους και έτσι αναφερόµαστε γενικά στην εστιακή απόσταση του φακού. Με βάση την εξίσωση (3), η εξίσωση των λεπτών φακών παίρνει τη µορφή + (4) f E πιο γνωστή σαν εξίσωση των φακών του Gauss..4.Σχηµατισµός ειδώλου από λεπτό φακό Για τη γραφική µελέτη του σχηµατισµού από ένα λεπτό φακό χρησιµοποιούµε 3 φωτεινές ακτίνες των οποίων η διαδροµή προσδιορίζεται εύκολα (σχήµα ). α) Την προσπίπτουσα στο φακό παράλληλα προς τον ΟΑ- Περνά από την εστία F E β) Την εξερχόµενη παράλληλα προς τον ΟΑ - Περνά από την εστία F Α γ) Τη διερχόµενη από το κέντρο του φακού - εν εκτρέπεται Σχήµα : Σχηµατικό διάγραµµα των δρόµων των 3 αντιπροσωπευτικών ακτίνων στην περίπτωση συγκλίνοντα φακού. ύο από τις τρεις αυτές ακτίνες που ξεκινούν από ένα σηµείο Α του αντικειµένου θα µας δώσουν το αντίστοιχο σηµείο του ειδώλου στο σηµείο που τέµνονται. Από το σηµείο αυτό, θα περάσει και οποιαδήποτε άλλη φωτεινή ακτίνα που ξεκινά από το Α και περνά από το φακό. Μια άλλη µορφή της εξίσωσης των λεπτών φακών είναι ο τύπος του Newto. x x f E (5) όπου Χ Α η απόσταση του αντικειµένου από το F Α και Χ Ε η απόσταση του ειδώλου από το F E όπως φαίνεται και στο σχήµα. Ο τύπος του Newto προκύπτει µε απλή αντικατάσταση των και E από τα f +Χ και f +Χ E αντίστοιχα στην εξίσωση του Gauss.
.5 Μεγέθυνση και µεγεθυντική ισχύς φακών Σαν µεγέθυνση Μ (γραµµική) ενός φακού ή συστήµατος φακών, ονοµάζουµε το λόγο Υ E /Υ, όπου Υ Α η κάθετη προς το γραµµικό άξονα διάσταση του αντικειµένου και Υ E η αντίστοιχη διάσταση του ειδώλου. Είναι σχετικά εύκολο, µε βάση όµοια τρίγωνα, να δειχθεί ότι στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση: M Y Y E E (6) όπου E και αντίστοιχα οι αποστάσεις φακού-ειδώλου και φακού αντικειµένου. Εφαρµόζοντας τον τύπο του Newto, η παραπάνω σχέση παίρνει τη µορφή: M X E f f X (7) Τέλος Μεγεθυντική Ισχύ (Μ.Ι.) ενός οργάνου, καλούµε το λόγο της γωνίας κάτω από την οποία το µάτι βλέπει ένα αντικείµενο µέσω του οργάνου, προς τη µεγαλύτερη δυνατή γωνία µε την οποία το γυµνό µάτι θα µπορούσε να παρατηρήσει το ίδιο αντικείµενοι µε ευκρίνεια. εδοµένης της διάστασης του αντικειµένου, η τελευταία αυτή γωνία γίνεται µέγιστη όταν η απόσταση από το µάτι γίνει ελάχιστη και όπως θα δούµε, η ελάχιστη απόσταση για ευκρινή όραση για το φυσιολογικό µάτι είναι 0 cm.
3. ΤΟ ΜΑΤΙ Το µάτι αποτελεί για τον άνθρωπο το βασικό αισθητήριο όργανο συλλογής πληροφοριών για το χώρο που τον περιβάλλει. Πρόκειται για ένα πολύ ευαίσθητο οπτικό όργανο που µπορεί να λειτουργήσει σε ένα εξαιρετικά µεγάλο εύρος έντασης φωτός αλλά σε ένα µικρό εύρος συχνοτήτων. Στη συνέχεια, θα µας απασχολήσει το µάτι σαν οπτικό όργανο, δηλαδή µόνο σε σχέση µε το φως που δέχεται από τον εξωτερικό του χώρο και το συγκεντρώνει στον αµφιβληστροειδή. Στα θέµατα που αφορούν τις παραπέρα "φυσικοχηµικές" και άλλες διεργασίες που οδηγούν στην αίσθηση της όρασης, την αντίληψη των χρωµάτων, την αντίληψη του βάθους ή της κίνησης των σηµάτων, δεν θα αναφερθούµε εδώ παρά το µεγάλο ενδιαφέρον που παρουσιάζουν, γιατί η έκταση που θα έπαιρνε µια τέτοια ανάλυση ξεφεύγει από τους στόχους και τις "προδιαγραφές" του συγράµµατος αυτού. Ωστόσο, για την κατανόηση του οπτικού µέρους της λειτουργίας του µατιού, έχουµε ανάγκη από ορισµένα βασικά στοιχεία της ανατοµίας και φυσιολογίας του. 3. Ανατοµικά στοιχεία Στο εξωτερικό µέρος του µατιού (σχήµα 3) διακρίνουµε ένα προστατευτικό περίβληµα που καλείται σκληρός χιτώνας. Αυτός, τροποποιούµενος στο εµπρός του τµήµα, σχηµατίζει τον κερατοειδή, που είναι διαφανής και µέσω του οποίου µπαίνουν οι οπτικές ακτίνες στο βολβό του µατιού. Εσωτερικά του σκληρού χιτώνα, βρίσκεται ο χοριοειδής χιτώνας ο οποίος, στα δύο τρίτα του περίπου, καλύπτεται από τον αµφιβληστροειδή που περιέχει τους φωτοευαίσθητους υποδοχείς. Σχήµα 3: ιάγραµµα οριζόντιας τοµής µατιού Εσωτερικά, ο βολβός του µατιού χωρίζεται από τον κρυσταλλοειδή φακό σε δύο µέρη. Μπροστά στο φακό, βρίσκεται η ίρις, η οποία είναι αδιαφανής, αφήνοντας στη µέση ένα κυκλικό άνοιγµα, την κόρη, της οποίας η διάµετρος µπορεί να µεταβάλλεται, παίζοντας έτσι ρόλο διαφράγµατος. Το µεταξύ του κερατοειδούς και του φακού τµήµα του µατιού είναι γεµάτο από το
υδατώδες υγρό, ενώ ο µεταξύ του φακού και του αµφιβληστροειδή χώρος, περιέχει ένα διαυγές ζελατινώδες υλικό, το υαλώδες σώµα. Εξωτερικά του σκληρού χιτώνα, είναι προσαρµοσµένοι έξι µυς οι οποίοι επιτρέπουν περιστροφικές κινήσεις στο µάτι. Στη συνέχεια, θα εξετάσουµε το ρόλο κάθε µέρους του µατιού στην όραση, αρχίζοντας από το σύστηµα συγκέντρωσης των φωτεινών ακτίνων πάνω στον αµφιβληστροειδή. 3. Η εστίαση στο µάτι Η διάµετρος του ανθρώπινου µατιού, κατά τη διεύθυνση του οπτικού άξονα, είναι περίπου mm. Αυτό σηµαίνει ότι το µάτι πρέπει να είναι ικανό να προσαρµόζει την ισχύ του έτσι ώστε αντικείµενα που βρίσκονται σε διαφορετική κάθε φορά απόσταση από αυτό, να σχηµατίζουν είδωλα στην απόσταση των mm, που παραµένει στην προκειµένη περίπτωση σταθερή. Το µάτι διαθέτει δύο βασικά µέρη για τον σκοπό αυτό: τον κερατοειδή και το φακό. Ο κερατοειδής είναι το σταθερό στοιχείο οπτικής ισχύος του µατιού και εκτελεί την κυρίως εστίαση όπως θα δούµε στη συνέχεια. Ο φακός είναι το µεταβαλλόµενο στοιχείο και είναι υπεύθυνος για τον ακριβή σχηµατισµό των ειδώλων, αντικειµένων που βρίσκονται σε διαφορετικές κάθε φορά αποστάσεις, πάνω στον αµφιβληστροειδή,. Ο κερατοειδής εστιάζει βασικά σαν απλή διαχωριστική επιφάνεια αφού έχει δείκτη διάθλασης k.37, ενώ το υδατώδες υγρό έχει δείκτη διάθλασης υ.33 δηλαδή πολύ παραπλήσιο. Αν θεωρήσουµε τη διαχωριστική επιφάνεια κερατοειδούς - αέρα που έχει ακτίνα καµπυλότητας 7.7mm (σχήµα 4), η ισχύς της µπορεί να υπoλογιστεί από τη σχέση: f ' k r k.37.00.37 77 *0 3 35 Λαµβάνοντας υπόψη και τη διάθλαση στην πίσω σφαιρική διαχωριστική επιφάνεια κερατοειδούς - υδατώδους υγρού, που µε παρόµοιους υπολογισµούς βρίσκεται ότι αφαιρεί ισχύ περίπου 3,5 µε αποτέλεσµα η συνολική ισχύς του κερατοειδούς να υπολογίζεται περίπου ίση προς 3,5 και η τελική εστιακή απόσταση του κερατοειδούς βρίσκεται ίση µε 3mm(fk). Σχήµα 4: ιάγραµµα της εστίασης από τον κερατοειδή (α) και το φακό (β). Εποµένως, παράλληλη δέσµη ακτίνων θα εστιασθεί από τον κερατοειδή περίπου 0mm πίσω από τον αµφιβληστροειδή που απέχει µόνο mm από αυτόν. Η ακριβής εστίαση της εικόνας
στον αµφιβληστροειδή γίνεται από το φακό. Ο φακός είναι περισσότερο κυρτός στην πίσω πλευρά του από ό,τι στην εµπρός και µεταβάλλει την εστιακή του απόσταση µεταβάλλοντας την ακτίνα καµπυλότητας µε τη βοήθεια των ακτινωτών µυών. Όταν οι µυς αυτοί είναι χαλαροί, ο φακός βρίσκεται σε θέση ελάχιστης ισχύος και το µάτι εστιάζει µακρινά αντικείµενα. Για να εστιάσει κοντύτερα, οι ακτινωτοί µυς που περιβάλλουν κυκλικά το φακό τον συµπιέζουν και έτσι του δίνουν περισσότερο σφαιρική µορφή µειώνοντας την ακτίνα καµπυλότητας της εµπρός κυρίως σφαιρικής επιφάνειας και αυξάνοντας έτσι την ισχύ του φακού. Η ικανότητα αυτή του µατιού είναι γνωστή σαν προσαρµογή (accommodatio). Η ικανότητα προσαρµογής χάνεται σιγά-σιγά µε την ηλικία και καταλήγει στην πρεσβυωπία. Η ακτίνα καµπυλότητας της πίσω επιφάνειας του φακού µπορεί να µεταβάλλεται από 0mm ως 5mm, ενώ η ακτίνα καµπυλότητας της εµπρός σφαιρικής επιφάνειας παραµένει σχεδόν σταθερή και ίση µε 6mm. Έτσι, αν λάβουµε τους δ.δ. του υαλώδους σώµατος και του υδατώδους υγρού ίσους προς.33 και τον δ.δ. του φακού ίσο προς.40, µπορούµε να υπολογίσουµε την ισχύ του φακού και στις δύο περιπτώσεις για r 6mm και r 0mm η εστιακή απόσταση του φακού θα είναι: Εποµένως:.40.33 r r.33 6.0 0.0 3 3 f ϕ f ϕ P mi 4 ϕ ενώ για r 5mm, βρίσκουµε Ρφ 9 και f 5 mm. Συνεπώς η συνολική ισχύς του συστήµατος Κερατοειδούς Φακού για το µέσο φυσιολογικό ανθρώπινο µάτι µπορεί να πάρει τιµές µεταξύ 45 και 50 διοπτρίες περίπου. Με αυτόν τον τρόπο υπολογίσαµε προσεγγιστικά ότι το σύστηµα κερατοειδούς-φακού µπορεί να σχηµατίζει τα είδωλα από µακρινά αντικείµενα, µε το φακό στην ελάχιστη ισχύ του, πάνω στον αµφιβληστροειδή. Με το φακό στη µέγιστη ισχύ του, το µάτι θα είναι ικανό να σχηµατίζει τα είδωλα από αντικείµενα σε απόσταση που τη βρίσκουµε αν αντικαταστήσουµε E mm και το /f 50. + f E ίση µε 0 cm περίπου. Τόση βρίσκεται και στην πράξη ότι είναι η ελάχιστη απόσταση ενός αντικειµένου που το ανθρώπινο µάτι µπορεί να δει µε ευκρίνεια. Σηµειώνουµε και πάλι, ότι το µεγαλύτερο µέρος της διάθλασης γίνεται κυρίως από τον κερατοειδή και όχι από το φακό. Αυτό είναι συνέπεια του γεγονότος ότι ο κερατοειδής βρίσκεται σε επαφή µε τον αέρα και υπάρχει µια πολύ µεγαλύτερη µεταβολή στο δείκτη διάθλασης κατά µήκος της εξωτερικής του διαχωριστικής επιφάνειας από αυτήν που υπάρχει στις διαχωριστικές επιφάνειες του φακού. Αν ο κερατοειδής βρεθεί σε περιβάλλον νερού µε δ.δ..33, τότε η ισχύς του θα ελαττωθεί περίπου κατά µία τάξη µεγέθους. Γίνεται έτσι φανερός ο λόγος για τον οποίο η εικόνα που παίρνουµε µέσα στο νερό όταν ο κερατοειδής βρίσκεται σε επαφή µε αυτό είναι ασαφής. Αντίστοιχα, η ισχύς του φακού θα ήταν µεγαλύτερη κατά µία περίπου τάξη µεγέθους αν βρισκόταν σε περιβάλλον αέρα. Το είδωλο που σχηµατίζεται πάνω στον αµφιβληστροειδή είναι µικρό. Θεωρώντας π.χ. αντικείµενο ύψους 5cm που βρίσκεται σε απόσταση 5m, λαµβάνοντας την απόσταση φακού-
αµφιβληστροειδούς ίση µε cm, τότε το ύψος του ειδώλου θα είναι ίσο µε Υ E Υ (- E / ) 5(-/500) - * 0 - cm. Όταν θέλουµε να δούµε καλύτερα κάποιο αντικείµενο που έχει µικρές διαστάσεις, το φέρνουµε όσο γίνεται κοντύτερα στο µάτι µας ώστε να έχουµε καλή εικόνα. Ελαττώνοντας έτσι την απόσταση στο ελάχιστό της (περίπου 0cm) πετυχαίνουµε το µεγαλύτερο δυνατό µέγεθος του ειδώλου. 3.3 Άλλα µέρη του µατιού 3.3. Αµφιβληστροειδής Ο αµφιβληστροειδής, δηλαδή το φωτοευαίσθητο τµήµα του µατιού, µετατρέπει τις οπτικές εικόνες σε ηλεκτρικά σήµατα που στέλνονται στη συνέχεια στον εγκέφαλο. Είναι ένα πολύ σύνθετο όργανο και αποτελείται από 6 έως 7 στρώµατα κυττάρων µε διαφορετική το καθένα αποστολή. Ο αµφιβληστροειδής καλύπτει το πίσω µέρος του βολβού του µατιού. Παρόλο που η µεγάλη επιφάνεια που καλύπτει επιτρέπει µια χρήσιµη οπτική αντίληψη σε ευρεία γωνία, η κυρίως όραση περιορίζεται σε µια µικρή περιοχή που λέγεται ωχρά κηλίδα. Μια ακόµα µικρότερη περιοχή της ώχρας κηλίδας, το κεντρικό βοθρίο, διαµέτρου περίπου 0,3mm, είναι εκείνο που επιτρέπει στο µάτι να διακρίνει λεπτοµέρειες. Στον αµφιβληστροειδή, υπάρχουν δύο βασικοί τύποι φωτουποδοχέων: Τα κωνία και τα ραβδία. Τα κωνία και τα ραβδία είναι κατανεµηµένα συµµετρικά προς όλες τις κατευθύνσεις σε σχέση µε τον οπτικό άξονα του µατιού εκτός από µια περιοχή, το τυφλό σηµείο, από όπου απουσιάζουν εντελώς. Τα κωνία (περίπου 6 εκατοµµύρια σε κάθε µάτι) χρησιµοποιούνται κυρίως για το φως της µέρας και βρίσκονται συγκεντρωµένα στην περιοχή της ωχράς κηλίδας. Η πυκνότητα των κωνίων στο κεντρικό βοθρίο καθορίζει τις λεπτοµέρειες που είναι δυνατόν να διακρίνει το µάτι σε µια εικόνα. Τα ραβδία χρησιµοποιούνται κυρίως για την όραση τη νύκτα και για την περιφερειακή όραση. Είναι πολύ πιο διαδεδοµένα από τα κωνία (περίπου 0 εκατοµµύρια σε κάθε µάτι) και καλύπτουν το µεγαλύτερο µέρος του αµφιβληστροειδή, εκτός βέβαια από την περιοχή του τυφλού σηµείου, αλλά έχουν τη µεγαλύτερη πυκνότητά τους σε µια γωνία περίπου 0 ο σε σχέση µε τον οπτικό άξονα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το βράδυ βλέπουµε καλύτερα αντικείµενα που βρίσκονται σε γωνιακή απόσταση 0 ο. Αναφέρουµε τέλος ότι µόνο τα κωνία που βρίσκονται στην περιοχή του κεντρικού βοθρίου είναι συνδεδεµένα, το καθένα ξεχωριστά, µε µια νευρική ίνα του οπτικού νεύρου. Οι υπόλοιποι φωτουποδοχείς (κωνία και ραβδία) µοιράζονται περισσότεροι µαζί µια οπτική ίνα. Σηµειωτέον ότι ο αριθµός των νευρικών ινών του οπτικού νεύρου είναι περίπου εκατοµµύριο σε σχέση µε πάνω από 00 εκατοµµύρια φωτουποδοχείς του αµφιβληστροειδή. 3.3. Η κόρη Όπως είδαµε, η ίρις, η οποία βρίσκεται ανάµεσα στον κερατοειδή και το φακό, και η οποία δίνει στο µάτι το χαρακτηριστικό του χρώµα, αφήνει στο µέσο ένα άνοιγµα, την κόρη, όπου περνάει το φως στο εσωτερικό του µατιού. Η κόρη φαίνεται µαύρη επειδή όλο το φως που µπαίνει απορροφάται µέσα στο µάτι. Σε κανονικές συνθήκες φωτισµού, το άνοιγµα έχει διάµετρο περίπου 4mm. Η διάµετρος αυτή µπορεί να ελαττωθεί σε περίπου.5mm σε συνθήκες έντονου φωτισµού ή
να αυξηθεί σε περίπου 8mm, στο σκοτάδι. Ο χρόνος τον οποίο χρειάζεται η ίρις για να αντιδράσει σε µεταβολές της έντασης του φωτός είναι περίπου 5sec για να κλείσει όσο το δυνατόν περισσότερο, ενώ για να ανοίξει τελείως χρειάζεται περίπου 300sec. 3.3.3 Το υδατώδες υγρό Ο χώρος ανάµεσα στο φακό και στον κερατοειδή, είναι γεµάτος µε το υδατώδες υγρό. Αυτό το ρευστό, κυρίως νερό, που ανανεώνεται συνέχεια, περιέχει τα περισσότερα από τα αναγκαία θρεπτικά συστατικά για τα κύτταρα του κερατοειδούς και του φακού. ιατηρεί επίσης την εσωτερική πίεση του µατιού αυξηµένη κατά περίπου 0 mm Hg. Τέλος, το υαλώδες σώµα που είναι µια ζελατινοειδής ουσία, πληρεί το χώρο µεταξύ του φακού και του αµφιβληστροειδή και βοηθάει στο να διατηρείται το σχήµα του µατιού σταθερό. 3.3.4 Οξύτητα της όρασης Οξύτητα της όρασης ονοµάζουµε την ικανότητα να διακρίνουµε µικρά αντικείµενα ή λεπτοµέρειες, αν και η γενική αυτή έννοια της λέξης αφήνει περιθώρια παρερµηνειών ή και παρανοήσεων. Έτσι, τις διάφορες δοκιµασίες που χρησιµοποιούνται για την ποσοτική εκτίµηση της οξύτητας της όρασης ενός ατόµου, θα πρέπει να τις βλέπουµε µε επιφύλαξη από φυσική σκοπιά. Κι αυτό διότι κάθε τεστ αποτελεί και ένα διαφορετικό συνδυασµό εκτιµήσεων που αναφέρονται µεν στη διακριτική ικανότητα, αλλά συγχρόνως και στην ανίχνευση και τον καθορισµό µιας εικόνας (π.χ. αριθµοί, γράµµατα, το C του ell, κλπ.), που εξαρτάται βέβαια από παραµέτρους όπως το γεωµετρικό σχήµα, που δεν συνδέονται µε τη διακριτική ικανότητα του µατιού. Είναι απαραίτητο να διευκρινίσουµε ότι µπορούµε να ανιχνεύσουµε φως, δηλαδή να δούµε µια απροσδιόριστα µικρή πηγή, αρκεί να έχει αρκετή ένταση. Τα αποτελέσµατα που έχουµε στη διάθεσή µας για την οξύτητα της όρασης του µέσου µατιού (παρόλο ότι ποικίλλουν αρκετά), δίνουν την τιµή των * 0-4 rad. Αν θεωρήσουµε ότι η οπτική οξύτητα εκφράζει τη διακριτική ικανότητα του µατιού, αυτό σηµαίνει ότι σηµεία που φαίνονται από το µάτι υπό γωνία * 0-4 rad, µόλις θα διακρίνονται σαν διαφορετικά. Από φυσιολογική τώρα σκοπιά, είναι γνωστό ότι η µέση διάµετρος των φωτοευαίσθητων κυττάρων είναι µm. Εποµένως, το φυσιολογικό όριο διακριτικής ικανότητας του µατιού, λόγω κατασκευής του αµφιβληστροειδή, δεν θα µπορούσε να είναι µικρότερο από µm, µια που χρειάζονται περισσότερα από ένα κύτταρα για να διακρίνουν τα είδωλα δύο διαφορετικών σηµείων σαν ξεχωριστά. 3.5 ιαθλαστικές ανωµαλίες του µατιού Όταν το οπτικό σύστηµα του µατιού εστιάζει σωστά, δηλαδή στον αµφιβληστροειδή, αντικείµενα που βρίσκονται σε απόσταση πάνω από 0cm, λέµε ότι υπάρχει εµµετρωπία. Η σωστή εστίαση από το µάτι καθορίζεται από τη σχέση της διοπτρικής ισχύος του οπτικού συστήµατος (κερατοειδούς-φακού) προς το µήκος του άξονα του βολβού. Σε πολλές περιπτώσεις, µια απόκλιση της µιας µεταβλητής, µπορεί να εξισορροπείται από ανάλογη απόκλιση της άλλης, ώστε στο τέλος
να έχουµε σωστή εστίαση. Σε πολλές όµως περιπτώσεις, έχουµε ανωµαλίες που οδηγούν σε αµετρωπία. Οι παράµετροι αµετρωπίας είναι βασικά 4 ειδών: Αξονικές, δηλ. όχι κανονικό µήκος του άξονα του βολβού. Καµπυλότητας, δηλ. όχι κανονική καµπυλότητα των διαθλαστικών επιφανειών. 3 ιαθλαστικές, δηλ. όχι κανονικός δ.δ. του κερατοειδούς του φακού ή του υδατώδους υγρού, και τέλος 4 Ανώµαλη θέση του φακού. Ανάλογα µε το αποτέλεσµα του στην εστίαση των ακτινών διακρίνουµε κυρίως τριών ειδών ανωµαλίες: την Υπερµετρωπία, τη Μυωπία και τον Αστιγµατισµό. Στην Υπερµετρωπία, παράλληλες ακτίνες εστιάζονται πίσω από τον αµφιβληστροειδή. Αυτό µπορεί βασικά να οφείλεται σε µικρότερο µήκος του άξονα του βολβού από το κανονικό, ή σε µικρότερη ισχύ του οπτικού συστήµατος λόγω µικρότερης καµπυλότητας των διαθλαστικών επιφανειών ή διαφορετική τιµή των δ.δ.) Σχήµα 5: Σχηµατική παράσταση σύγκλισης των ακτίνων σε (α) µυωπικό και (β) υπερµετρωπικό µάτι. Στη Μυωπία, παράλληλες ακτίνες εστιάζονται µπροστά από τον αµφιβληστροειδή, γεγονός που οφείλεται συνήθως σε µεγαλύτερο µήκος του άξονα του βολβού ή µεγαλύτερη ισχύ του οπτικού συστήµατος κερατοειδούς-φακού. Η διόρθωση των ανωµαλιών αυτών επιδιώκεται µε κατάλληλους διορθωτικούς φακούς που προστίθενται στο σύστηµα κερατοειδούς-φακού, έτσι ώστε παράλληλες ακτίνες να εστιάζονται στον αµφιβληστροειδή. Η διόρθωση γίνεται στους µύωπες µε αποκλίνοντες φακούς (µείωση της ισχύος του συστήµατος), στους υπερµέτρωπες µε συγκλίνοντες (αύξηση). Ας εξετάσουµε δύο περιπτώσεις διόρθωσης µε προσθετικούς φακούς, θεωρώντας και στις δύο ότι η απόσταση φακού-αµφιβληστροειδούς είναι κανονική και παίρνοντας την ίση µε mm. Στην πρώτη, ας θεωρήσουµε µυωπικό µάτι που δεν µπορεί να εστιάσει αντικείµενα που βρίσκονται σε απόσταση µεγαλύτερη από m. Αυτό σηµαίνει ότι, για την απόσταση του m, το µάτι έχει την ελάχιστη δυνατή ισχύ του, που θα είναι ίση µε: Pmi F + E θέτοντας m και E 0.0m βρίσκουµε Ρ mi 46.5. Κανονικά για πολύ µεγάλο, η ισχύς του θα πρέπει να είναι (0+ /0,0)45.5, συνεπώς χρειάζεται ελάττωση της συνολικής ισχύς κατά:
P P φ 45.5 και έτσι έχουµε: P 45.5 46.5 Στο δεύτερο παράδειγµα, ας θεωρήσουµε ένα υπερµετρωπικό µάτι που δεν µπορεί να εστιάσει σε απόσταση µικρότερη από 0.5m. Αυτό σηµαίνει ότι έχει τη µέγιστη ισχύ του στην απόσταση αυτή, και θα είναι ίση µε: Pmax f + E θέτοντας 0.5m και E 0.0m βρίσκουµε Ρ max 47.5. Κανονικά η ισχύς του θα πρέπει να είναι (/0.0+ /0,0)5.5, συνεπώς χρειάζεται επιπλέον ισχύς: Ρ 5.5-47.5 4, για την αποκατάσταση της κοντινής όρασης. Στον Αστιγµατισµό τέλος, από ένα σηµειακό αντικείµενο σχηµατίζεται στον αµφιβληστροειδή µη σηµειακό είδωλο εξ αιτίας µη σφαιρικότητας της επιφάνειας του κερατοειδούς, του οποίου η κυρτότητα µπορεί να διαφέρει στους διάφορους µεσηµβρινούς. H διαθλαστική αυτή ανωµαλία στους αστιγµατικούς διορθώνεται µε κατάλληλους κυλινδρικούς φακούς.