Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες του A,B,Γ ˆ ˆ ˆ συμβολίζονται αντιστοίχως α, β, γ. 0 Για τις γωνίες κάθε τριγώνου ΑΒΓ ισχύει Α + Β+ Γ = 180. Η γωνία του τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόμενη γωνία των πλευρών, π.χ. περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ είναι η γωνία Â. Οι γωνίες του τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς λέγονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς, π.χ. προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΒΓ είναι οι γωνίες ˆB και ˆΓ. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές. Ένα τρίγωνο ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του ονομάζεται : Σκαληνό, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες. Ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές ίσες. Ισόπλευρο, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες.

398 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα. Ισχύει ακόμη και το αντίστροφο. ηλαδή Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται : Οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες. Αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία. Ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή. Σ ένα τρίγωνο, εκτός από τα κύρια στοιχεία, υπάρχουν και τα δευτερεύοντα στοιχεία, που είναι οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη. ιάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. ιχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά.

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 399 Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μια κορυφή του τριγώνου προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Υπάρχουν προτάσεις με τις οποίες διαπιστώνουμε ότι και με λιγότερα στοιχεία από τα έξι είναι δυνατόν να διακρίνουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα. Οι προτάσεις αυτές λέγονται κριτήρια ισότητας τριγώνων. Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1 ο κριτήριο ισότητας ( Π - Γ-Π ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα (Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες) 2 ο κριτήριο ισότητας ( Γ- Π - Γ ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. (Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές) 3 ο κριτήριο ισότητας ( Π - Π -Π ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

400 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση, τότε είναι ίσα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕ και να συμπληρώσετε τις ισότητες Β =..., =... και ΒΓ =. Γ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕ είναι ίσα γιατί έχουν : ΑΒ = ΑΕ(υπόθεση), ΑΓ = Α (υπόθεση) και ακόμα ΒΑΓ = ΑΕ (ως κατακορυφήν γωνίες), δηλαδή ισχύει ότι απαιτεί το κριτήριο Π - Γ Π, οπότε = Ε., = και ΒΓ = Ε. 2. Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος, αν και έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μια γωνία ίση. Β Γ

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 401 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ δεν είναι ίσα, γιατί ενώ είναι ΑΓ = Ζ = 6cm και ΒΓ = Ε = 7cm η γωνία Γ που σχηματίζεται από τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ δεν ισούται με την γωνία του ΕΖ που σχηματίζεται από τις Ε και Ζ. 3. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος και να συμπληρώσετε τις ισότητες ΑΒ = και ΑΓ = Αρχικά παρατηρούμε ότι στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Γ = 180 0 ( Α + Β) = 180 0 (70 0 + 80 0 ) = 180 0 150 0 = 30 0 η οποία ισούται με την γωνία Ζ του ΕΖ. Επομένως ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ - Π - Γ, αφού είναι ΒΓ = ΕΖ και οι προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι αντίστοιχα ίσες. Τέλος είναι ΑΒ = Ε και ΑΓ = Ζ. 4. Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α = 180 0 (60 0 + 45 0 ) = 180 0 105 0 = 75 0 Αντίστοιχα στο ΕΖ η γωνία Ε = 180 0 (60 0 + 45 0 ) = 180 0 105 0 = 75 0 και τέλος στο ΚΜ η γωνία Μ = 180 0 (60 0 + 75 0 ) = 180 0 135 0 = 45 0.Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΕΖ και ΚΜ έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Οι προϋποθέσεις όμως του κριτηρίου Γ- Π - Γ πληρούνται από τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΜ. 5. Είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

402 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ δεν είναι ίσα αφού Β = 70 0 60 0 = Ε. Επομένως δεν πληρούνται οι συνθήκες του κριτηρίου Γ Π Γ. 6. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος και να συμπληρώσετε τις ισότητες Α =... Β =... και Γ =... Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ είναι ίσα γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία αφού : ΑΒ = Ζ = 5cm, ΒΓ = ΕΖ = 8cm, ΓΑ = Ε = 7cm. Τότε είναι : A =, = Ζ, = Β Γ Ε 7. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (), αν είναι λανθασμένες : α) Aν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα β) Aν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα γ ) Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. δ ) Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. ε ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε θα έχουν και την τρίτη τους γωνία ίση. στ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία, τότε θα έχουν και την τρίτη τους πλευρά ίση. α) Η α είναι άθος (), γιατί δεν είναι πάντα ίσα. Για παράδειγμα δύο ισόπλευρα με διαφορετικές πλευρές ενώ έχουν τις γωνίες τους ίσες μια προς μια(60 0 ) έχουν διαφορετικές πλευρές και επομένως δεν είναι ίσα. β) Η β είναι Σωστή (Σ) λόγω του πρώτου κριτηρίου ισότητας. γ) Η γ είναι άθος (), γιατί τα τρίγωνα πρέπει να είναι ίσα. δ) Η δ είναι Σωστή (Σ),γιατί τα τρίγωνα είναι ίσα. 0 ε) Η ε είναι Σωστή (Σ) γιατί γνωρίζουμε ότι Α+ Β+ Γ = 180. στ) Η στ είναι άθος (). Αυτό συμβαίνει μόνο στα ορθογώνια τρίγωνα.

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 403 8. Είναι ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα του διπλανού σχήματος ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι : Γ = 90 0 55 0 = 35 0, η οποία ισούται με την γωνία Ζ του ΕΖ. Επομένως είναι ίσα αφού έχουν μία πλευρά και μία γωνία α- ντίστοιχα ίσες. 9. Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Επειδή στο τρίγωνο ΚΜ είναι Μ = 90 0 40 0 = 50 0, τα ορθογώνια ΑΒΓ και ΚΜ είναι ίσα γιατί έχουν μία πλευρά και την αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. 10. Τα ορθογώνια τρίγωνα του διπλανού σχήματος έχουν δύο πλευρές ίσες. Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ δεν είναι ίσα παρά το γεγονός ότι έ- χουν δύο πλευρές ίσες γιατί αυτές δεν είναι αντίστοιχες. Η κάθετη πλευρά ΑΓ του ΑΒΓ ισούται με την υποτείνουσα ΕΖ του ΕΖ. 11. Να αιτιολογήσετε γιατί είναι ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓ.

404 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία. Τις κάθετες ΑΒ και Α και τις υποτείνουσες. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και Α = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι Β = ΓΕ. ΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓΕ είναι ίσα γιατί : ΑΒ = ΑΓΕ 1. Α = ΑΕ (Υπόθεση) 2. ΑΒ = ΑΓ (Υπόθεση) 3. ΒΑ = ΓΑΕ (ως κατακορυφήν γωνίες) Από το κριτήριο Π Γ Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και Β = ΓΕ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Στο διπλανό σχήμα η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας xoy Αν ΟΑ = ΟΒ και Σ τυχαίο σημείο της διχοτόμου, να αποδείξετε ότι ΣΑ = ΣΒ. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΣ και ΟΒΣ είναι ίσα γιατί : ΥΣΗ ΟΑΣ = ΟΒΣ 1. ΟΑ = ΟΒ (Υπόθεση) 2. ΟΣ = ΟΣ ( κοινή πλευρά )

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 405 3. ΑΟΣ = ΒΟΣ (επειδή η Οδ είναι διχοτόμος της xoy ) Από το κριτήριο Π Γ Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και ΣΑ= ΣΒ. ΑΣΚΗΣΗ 3 Στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία, Ε, ώστε Β = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι Α = ΑΕ. ΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓΕ είναι ίσα γιατί : Α 1. ΑΒ = ΑΓΕ (παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου) 2. ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση) 3. Β = ΓΕ (υπόθεση) Από το κριτήριο Π Γ Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και Α= ΑΕ. Β Γ (Τα σημεία, Ε μπορούμε να τα πάρουμε και εξωτερικά του ΒΓ) Ε ΑΣΚΗΣΗ 4 Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = Ο Να αποδείξετε ότι ΒΓ = Α. ΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑ και ΟΓΒ είναι ίσα γιατί : ΟΑ = ΟΓΒ 1. ΟΑ = ΟΓ (υπόθεση) 2. Ο = ΟΒ (υπόθεση) 3. ΑΟ = ΓΟΒ (κοινή γωνία) Από το κριτήριο Π Γ Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και ΒΓ= Α.

406 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 5 Κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι 8 cm. Αν είναι ΑΖ = Β = ΓΕ = 3 cm, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΖ είναι ισόπλευρο. ΥΣΗ Παρατηρούμε ότι : ΒΖ = Γ = ΑΕ γιατί καθένα από τα τμήματα αυτά ισούται με : 8cm 3cm = 5cm. Θα δείξουμε τώρα ότι τα τρίγωνα ΑΖΕ, ΒΖ, ΓΕ είναι ίσα γιατί : ΑΖΕ = ΒΖ = ΓΕ 1. ΑΖ = Β = ΓΕ = 3cm 2. ΑΕ = ΒΖ = Γ = 5cm 3. A = Β = Γ = 60 0. Από το κριτήριο Π Γ Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι, ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και ΖΕ = Ζ = Ε, άρα το τρίγωνο ΕΖ είναι ισόπλευρο. ΑΣΚΗΣΗ 6 Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντιστοίχως τμήματα Β = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι = Ε. ΥΣΗ Επειδή ΑΒ = ΑΓ και Β = ΓΕ ( προσθέτουμε τις ισότητες κατά μέλη ) ΑΒ+Β = ΑΓ+ΓΕ ή Α = ΑΕ, ( 1 ) Για να δείξουμε ότι = Ε Θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα που περιέχουν αυτές τις γωνίες, δηλαδή τα ΑΓ και ΑΒΕ ότι είναι ίσα : ΑΓ = ΑΒΕ 1. ΑΓ = ΑΒ (υπόθεση) 2. Α = ΑΕ (σχέση 1)

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 407 3. ΓΑ = ΒΑΕ (κοινή γωνία) Από το κριτήριο Π Γ Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και = Ε. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σ ένα τετράπλευρο ΑΒΓ η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί τις γωνίες Α και Γ. Να αποδείξετε ότι ΑΒ = Α και ΒΓ = Γ. Α Β ΥΣΗ Για να δείξουμε ότι ΑΒ = Α και ΒΓ = Γ αρκεί να δείξουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓ είναι ίσα : ΑΒΓ = ΑΓ 1. ΒΑΓ = ΑΓ ( ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας Α) 2. ΒΓΑ = ΓΑ (ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ) 3. ΑΓ κοινή πλευρά Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου ισότητας τριγώνων Γ Π Γ τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = Α και ΒΓ = Γ ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες. ΥΣΗ Για να αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα που τις περιέχουν δηλαδή τα ΑΒ και ΓΒ είναι ίσα : Α Γ Γ Β ΑΒ = ΓΒ 1. Β = Β (κοινή πλευρά)

408 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 2. ΑΒ = ΓΒ από την Β) (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ//Γ τεμνομένων 3. ΑΒ = ΓΒ ( ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων Α//ΒΓ τεμνομένων από την Β) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ Π Γ τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = Γ και ΒΓ = Α. ΑΣΚΗΣΗ 9 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ του διπλανού σχήματος έχουν τις διχοτόμους Α και Α ίσες. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ = Α Β β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. ΥΣΗ α) Επειδή Α και Α διχοτόμοι των γωνιών Α και Α αντίστοιχα, είναι 0 : ΒΑ = Β Α = 30 (1). Για να αποδείξουμε ότι ΑΒ = Α Β θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα ΒΑ και Β Α που περιέχουν αυτές τις πλευρές ότι είναι ίσα : ΒΑ = Β Α 1. ΒΑ = 0 Β Α = 30 (σχέση 1) 0 2. ΒΑ = Β Α = 70 (υπόθεση) 3. Α = Α (υπόθεση) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ Π Γ τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = Α Β. β) Παρόμοια αποδεικνύουμε ότι και τα τρίγωνα ΑΓ και Α Γ είναι ίσα, οπότε πάλι θα έχουμε ΑΓ = Α Γ. Τότε όμως και τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία, αφού ΑΒ = Α Β, ΑΓ = Α Γ και τις μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες ίσες.

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 409 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στο διπλανό σχήμα το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ ενός κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα. ΥΣΗ Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα γιατί έχουν : ΟΑΒ = ΟΑΓ 1. ΟΒ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου) 2. ΑΒ = ΑΓ (αφού τα Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ) 3. ΟΑ = ΟΑ (κοινή πλευρά ) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π Π Π τα τρίγωνα είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ 11 Αν Ο, Α είναι τα κέντρα των κύκλων του διπλανού σχήματος, να αποδείξετε ότι η ΑΟ διχοτομεί τη γωνία Β Α Γ. ΥΣΗ Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα γιατί έχουν : ΟΑΒ = ΟΑΓ 1. ΟΒ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου Ο) 2. ΑΒ = ΑΓ (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου Α) 3. ΟΑ= ΟΑ (κοινή πλευρά ). Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π Π Π τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε και ΟΑΒ = ΟΑΓ άρα η ΟΑ διχοτομεί την γωνία ΒΑΓ.

410 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 12 Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓ του διπλανού σχήματος έχουν κοινή βάση ΒΓ. Να αποδείξετε ότι η Α διχοτομεί τις γωνίες Α και. ΥΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα γιατί έχουν : ΑΒ = ΑΓ (ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ) Β = Γ (ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΒΓ). Α = Α (κοινή πλευρά ) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π Π Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα έχουν όλα τα στοιχεία τους ίσα, οπότε ΑΒ = ΑΓ, άρα η Α διχοτομεί τις γωνίες Α και. ΑΣΚΗΣΗ 13 Στα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ του διπλανού σχήματος οι διάμεσοι ΑΜ και Α Μ είναι ίσες. Αν ΑΒ = Α Β και ΒΜ = Β Μ, τότε να αποδείξετε ότι: ΑΒ = ΑΓ α) Β = Β β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. ΥΣΗ α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α Β Μ είναι ίσα, αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία. Είναι ΑΒ = Α Β, ΒΜ = Β Μ και ΑΜ = Α Μ. Επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και β) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ακόμα ότι Β = Β. ΒΜΑ = Β Μ Α. 0 0 Τότε θα είναι και ΑΜΓ = 180 - ΒΜΑ = 180 Β Μ Α = Α Μ Γ. Είναι όμως και ΓΜ = ΜΒ = Μ Β = Μ Γ. Επομένως θα είναι ίσα και τα τρίγωνα ΑΜΓ και Α Μ Γ γιατί έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία αφού ΑΜ = Α Μ, ΜΓ = Μ Γ και τις μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες και

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 411 ίσες. Από την ισότητα των τριγώνων ΑΜΓ και Α Μ Γ προκύπτει ότι και ΑΓ = Α Γ. Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι και τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΑΣΚΗΣΗ 14 Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης ΒΓ. Αν είναι Β = ΓΕ, να αποδείξετε ότι α) το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές β) τα τρίγωνα ΑΜ και ΑΕΜ είναι ίσα. ΥΣΗ α) Τα τρίγωνα ΒΜ και ΓΜ είναι ίσα γιατί : 1. ΜΒ = ΜΓ (επειδή το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ) 2. Β = ΓΕ (υπόθεση) 3. Β = Γ ( ως γωνίες βάσης ισοσκελούς τριγώνου). Επομένως αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου ισότητας τριγώνων Π Γ Π τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα Μ = ΜΕ. β) Είναι : ΑΒ = ΑΓ Β = ΓΕ αφαιρούμε τις ισότητες κατά μέλη και έχουμε.αβ Β = ΑΓ ΓΕ ή Α = ΑΕ. Τα τρίγωνα λοιπόν ΑΜ και ΑΕΜ είναι ίσα, αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, γιατί Α = ΑΕ, Μ = ΜΕ και ΑΜ είναι κοινή πλευρά. ΑΣΚΗΣΗ 15 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουμε Α ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. Αν είναι Α = ΑΕ, να αποδε ίξετε ότι Β = ΓΕ. ΥΣΗ Τα ορθογώνια ΑΒ και ΑΓΕ είναι ίσα αφού έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία.επομένως είναι και Β = ΓΕ.

412 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 16 Σε τετράπλευρο ΑΒΓ είναι Β = = 90 0 και ΑΒ = Α. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = Γ και ότι η ΑΓ είναι η μεσοκάθετος του Β. ΥΣΗ Επειδή δίνεται ότι ΑΒ = Α και η ΑΓ είναι κοινή πλευρά των δύο ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και ΑΓ αυτά είναι ίσα. Τότε όμως είναι και ΓΒ = Γ. Παρατηρούμε A B τώρα ότι τα σημεία Α και Γ ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος Β αφού ΑΒ = Α και ΓΒ = Γ, επομένως τα σημεία αυτά είναι σημεία της μεσοκάθετης Γ του Β,άρα η ΑΓ είναι η μεσοκάθετή του. ΑΣΚΗΣΗ 17 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 0 ) φέρουμε τη διχοτόμο Β. Αν Ε ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΒΕ. ΥΣΗ Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒ και ΕΒ είναι ίσα γιατί έχουν κοινή υποτείνουσα την Β και ίσες τις οξείες γωνίες : ΑΒ και ΕΒ αφού η Β είναι διχοτόμος Β Ε A Γ ΑΣΚΗΣΗ 18 Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το μέσον Μ ενός τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β ισαπέχουν από την ευθεία (ε).

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 413 ΥΣΗ Από τα σημεία Β και φέρνουμε τις κάθετες Α και ΒΕ στην ευθεία ( ε ). Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΑ και ΜΒΕ είναι ίσα γιατί : 1. ΜΑ = ΜΒ (υπόθεση) 2. ΑΜ = ΒΜΕ (ως κατακορυφήν). Επομένως (κριτήριο Π-Γ) είναι και Α = ΒΕ, δηλαδή τα σημεία Α και Β ισαπέχουν από την ευθεία ε. Α Μ Ε Β ε ΑΣΚΗΣΗ 19 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν Α = Α και ΑΒ = Α Β. Αν και τα ύψη τους Α και Α είναι ίσα, να αποδείξετε ότι α) Β = Β β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. ΥΣΗ α) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒ και Α Β είναι ίσα αφού έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες. ΑΒ = Α Β 1. ΑΒ = Α Β (υπόθεση) 2. Α = Α (υπόθεση) Επομένως Β = Β. β) Τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα γιατί έχουν: ΑΒΓ = Α Β Γ 1. ΑΒ = Α Β (υπόθεση) 2. Α = Α (υπόθεση) 3. Β = Β (από το προηγούμενο ερώτημα)

414 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας Γ-Π-Γ των τριγώνων τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ 20 Αν οι χορδές ΑΒ, Γ ενός κύκλου είναι ίσες, να αποδείξετε ότι και τα αποστήματά τους ΟΜ, ΟΝ είναι ίσα και αντιστρόφως. ΥΣΗ Είναι ΑΒ = Γ (υπόθεση) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΟΑ και ΝΟΓ είναι ίσα: ΜΟΑ = ΝΟΓ 1. ΓΝ = ΑΜ (Επειδή και Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ και Γ αντίστοιχα) 2. ΟΑ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου) Οπότε και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα άρα ΟΜ = ΟΝ. ΑΣΚΗΣΗ 21 Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. Αν οι χορδές ΑΓ και Α είναι ίσες, να αποδείξετε ότι και οι χορδές ΒΓ και Β είναι ίσες. ΥΣΗ Επειδή η ΑΒ είναι διάμετρος οι γωνίες ΑΓΒ και ΑΒ είναι ορθές γιατί βλέπουν σε ημικύκλιο.τότε όμως τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΒ και ΑΒ είναι ίσα: ΑΓΒ = ΑΒ 1. ΑΓ = Α(υπόθεση) 2. ΑΒ (κοινή πλευρά) αφού έχουν δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες. Άρα και ΒΓ = Β.

ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 415 ΘΕΜΑ 1 Ο 1 0 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με () αν είναι λανθασμένες. α) ύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση είναι ίσα. β) ύο τρίγωνα που έχουν τις οξείες γωνίες τους ίσες είναι ίσα. γ) ύο τρίγωνα που έχουν μια πλευρά ίση και δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. (3μονάδες) Β. Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν τις βάσεις τους ίσες και τις γωνίες της κορυφής ίσες, τότε να αποδείξετε ότι είναι ίσα. (3μονάδες) ΘΕΜΑ 2 Ο Σε ένα κύκλο κέντρου Ο να χαράξετε μια χορδή του ΑΒ. Αν Γ, είναι σημεία της χορδής ΑΒ τέτοια ώστε ΑΓ=Β, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓ είναι ισοσκελές. (7μονάδες) ΘΕΜΑ 3 Ο = 1 = 2 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο ώστε για ένα εσωτερικό του σημείο, να ισχύουν Β 1 Γ και 1. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β) Το σημείο ισαπέχει από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Β 1 Α 1 2 1 Γ ( 7μονάδες)

416 ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 2 0 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με () αν είναι λανθασμένες. α) ύο τρίγωνα που έχουν μία πλευρά ίση και δύο γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. β) ύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία ίση,τότε είναι ίσα. γ) ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν τις οξείες γωνίες τους ίσες είναι ίσα. (3μονάδες) Β. Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν δύο οποιεσδήποτε πλευρές ίσες και δύο γωνίες της κορυφής ίσες, τότε είναι ίσα ; (3μονάδες) ΘΕΜΑ 2 Ο Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες (7μονάδες) ΘΕΜΑ 3 Ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος Α και το προεκτείνουμε προς το μέρος του κατά τμήμα Ε = Α. Να αποδείξετε ότι ΑΓ = ΓΕ (7μονάδες)