ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10"

Σαλώμη Ιωάννου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις.ε κάθε τρίγωνο Α έχουµε : A+ B+ = 8 0.Η προέκταση της διχοτόµου µιας γωνίας είναι και διχοτόµος της κατακορυφήν της. 3. Η διάµεσος ενός τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ίσα τρίγωνα. 4.Υπάρχει τρίγωνο µε δύο ορθές. 5.Τα εφαπτόµενα τµήµατα που άγονται από σηµείο εκτός κύκλου είναι οµοιοτρόπως άνισα. 6.ύο οξείες γωνίες µε πλευρές κάθετες είναι µεταξύ τους ίσες. 7.Το σηµείο τοµής των διχοτόµων ενός τριγώνου ισαπέχει από τις κορυφές του. 8.Η κοινή χορδή δύο τεµνόµενων κύκλων είναι µεσοκάθετος στη διάκεντρό τους. 9.Αν α, β, γ πλευρές τριγώνου τότε α > β +γ. 0.Όταν δύο κύκλοι ( Κ, R ) και (, ρ ) εφάπτονται εξωτερικά τότε Κ > R +ρ..ύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι µεταξύ τους κάθετες..ο ρόµβος έχει όλες τις πλευρές του ίσες. 3.Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε είναι ορθογώνιο.

2 4.Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράµµου διχοτοµούν τις γωνίες του. 5.Το τετράπλευρο Α είναι παραλληλόγραµµο όταν Α// και Α=.. Να µεταφέρετε στο γραπτό σας και να γράψετε σε κάθε τετράπλευρο της πρώτης στήλης την ιδιότητα ή τις ιδιότητες τις δεύτερης στήλης που αντιστοιχούν στη σωστή απάντηση. Α) ) Όλες οι γωνίες του ίσες Ορθογώνιο ) Ρόµβος ) Όλες οι πλευρές του ίσες ) Τετράγωνο 3) Οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα 4) Οι διαγώνιοί του διχοτοµούν τις γωνίες του 5) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες Α) Ορθογώνιο: ) Όλες οι γωνίες του ίσες 5) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες ) Ρόµβος: ) Όλες οι πλευρές του ίσες 3) Οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα 4) Οι διαγώνιοί του διχοτοµούν τις γωνίες του ) Τετράγωνο: ) Όλες οι γωνίες του ίσες ) Όλες οι πλευρές του ίσες 3) Οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα 4) Οι διαγώνιοί του διχοτοµούν τις γωνίες του 5) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες

3 ΘΕΜΑ ο Α. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά µε τις κατάλληλες λέξεις ώστε οι προτάσεις που θα προκύψουν να είναι αληθείς.. Το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων ενός τριγώνου λέγεται περίκεντρο και αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου.. Το παραλληλόγραµµο που έχει µια ορθή γωνία λέγεται ορθογώνιο. 3. Το σύνολο των σηµείων εκείνων τα οποία ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθυγράµµου τµήµατος ανήκουν στη µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος 4. Το σηµείο τοµής των διχοτόµων ενός τριγώνου λέγεται έγγεντρο και αυτό είναι το κέντρο του εγγεγραµµένου κύκλου. 5. Ρόµβος λέγεται το παραλληλόγραµµο που έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες. 6. Αν οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες : Α α) Οι γωνίες A και A 3 ονοµάζονται κατακορυφήν και είναι ίσες. β) Οι γωνίες Α 3 και ονοµάζονται παραπληρωµατικές και έχουν άθροισµα µία ευθεία γωνία (80 ). γ) Οι γωνίες B και Α ονοµάζονται εντός εκτός και επί τα αυτά και είναι ίσες. δ) Οι γωνίες A 3 και B ονοµάζονται εντός εναλλάξ και είναι ίσες.. τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε την ακριβώς µία σωστή απάντηση. Να αιτιολογήστε τις τρεις τελευταίες.. Κάθε σηµείο Μ της εσωτερικής διχοτόµου µίας γωνίας : α) Ισαπέχει από τις πλευρές της β) Απέχει σταθερή απόσταση από την κορυφή της γωνίας γ) ρίσκεται στο µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος που έχει τα άκρα του στις πλευρές της γωνίας. δ) Κανένα από τα παραπάνω

4 . ε ένα τρίγωνο Α ισχύει A< B, αν α, β οι πλευρές του τριγώνου που βρίσκονται απέναντι από ις γωνίες Α και αντίστοιχα, τότε : α) α >β β) α =β γ) α <β δ) β <γ 3. Αν στο παρακάτω σχήµα είναι ε //ε, τότε η γωνία x είναι ίση µε : ( δικαιολογήστε ) x 55 3 Α: 49 : 86 : 55 : 94 x = 80 x = x = το παρακάτω σχήµα η γωνία y είναι ίση µε : ( δικαιολογήστε ) 30+ 0= 70 x 30= = 30 x+ 0 y 3x+ 40 Α: 70 : 50 : 60 : 30 3x + 40= x + x + 0 x = 30 Εποµένως y=50 5. το παρακάτω σχήµα σηµειώνονται τα ίσα τµήµατα. Η γωνία x είναι ίση µε: (δικαιολογήστε ) ω x 5 ω x Α: 5 : 3 : 6 : 64 5+ω=80 Όµως η ω είναι εξωτερική εποµένως: ω=8 ω=x δηλαδή x=3 ω=64 ΘΕΜΑ 3 ο Α. το διπλανό σχήµα δίνεται τρίγωνο Α. την προέκταση του ύψους Α παίρνουµε τµήµα Ζ = Α και στην προέκταση της διαµέσου ΑΜ τµήµα ΜΗ =ΑΜ. Να αποδειχτεί ότι :. Ζ = Α το ΑΖ τρίγωνο το είναι και ύψος και διάµεσος εποµένως το τρίγωνο ισοσκελές και Ζ=Α.Τα τρίγωνα ΑΜ και ΜΗ είναι ίσα Τα τρίγωνα ΑΜ και ΜΗ είναι ίσα(π--π) γιατί έχουν τις γωνίες Μ =Μ ως κατακορυφήν, Μ = Μ αφού η ΑΜ διάµεσος και ΑΜ = ΜΗ από την υπόθεση.

5 3.Ζ = Η Αφού τα τρίγωνα ΑΜ και ΜΗ είναι ίσα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή Α = Η. Όµως στο πρώτο είδαµε ότι Ζ = Α εποµένως Ζ = Η. A B M Z H. το διπλανό σχήµα το Α είναι διχοτόµος του τριγώνου Α, Ε //Α και ΕΖ //.Να αποδείξετε: A B Z E.Ε = Ζ Αφού, Ε //Α και ΕΖ // (απέναντι πλευρές ανά δύο ίσες, το τετράπλευρο ΖΕ είναι παραλ/µο και εποµένως η Ε = Ζ ως απέναντι πλευρές παρ/µου..το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές = Α ( ως εντό εναλλάξ ) Α ΑΕ Ε εποµένως το ΑΕ ισοσκελές. = = Α = Α (Α είναι διχοτόµος ) 3.Ζ = ΑΕ Αφού το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές ( ερώτηµα ), θα έχουµε ΑΕ=Ε και αφού το ΖΕ είναι παραλληλόγραµµο Ζ = Ε. Εποµένως θα ισχύει Ζ =ΑΕ.

6 ΘΕΜΑ 4 ο Α. ίνεται τρίγωνο Α εγγεγραµµένο σε κύκλο. Αν Ι το σηµείο τοµής των διχοτόµων ΑΙ και Ι των γωνιών Α και αντίστοιχα και η ΑΙ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου Α στο, να αποδείξετε : A. Να δείξετε ότι: A B = + B 3 I IB IB= 80 I = 80 B+ A = B A B A = 80 = A+ B+ A B όµως = εποµένως IB= + Α (Ή IB= + 3 = + Α = + ) Μονάδες. Να δείξετε ότι το τρίγωνο Ι είναι ισοσκελές Α Ι = Α + = + = Ι εποµ ένως το τρ ίγωνο Ι είνα ισοσκελέ ς.. Έστω ρόµβος Α και Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των πλευρών Α,,, και Α αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι ορθογώνιο µε διαγώνιες ίσες µε την πλευρά του ρόµβου Α Α Θ Ε Η Ζ ΑΘΕ= Η Ζ (Π Π) γιατί ΑΘ= ΑΕ= Η= Ζ(ως µισά ίσων τµηµάτων) και Α= ως απέναντι γωνίες του ρόµβου Α,εποµένως ΘΕ= ΗΖ. Οµοίως από την ισότητα τριγώνων Θ Η= Ε Ζ προκύπτει ΘΗ= ΕΖ. Άρα το τετράπλευρο ΘΕΖΗ έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες ηλαδή θα είναι παραλληλόγραµµο. Aν θεωρήσουµε τη διαγώνιο ΘΖ, θα προκύψει το ΑΖΘ παραλληλόγραµµο αφού θα έχει ΑΘ//=Ζ, εποµένως θα ισχύει και ΘΖ=Α. Οµοίως από τη διαγώνιο ΗΕ, θα προκύψει ΑΕΗ παραλληλόγραµµο αφού θα έχει ΑΕ//=Η,εποµένως θα ισχύει και ΗΕ=Α. υνεπώς το ΘΕΖΗ είναι ορθογώνιο µε ίσες διαγωνίους ΘΖ=Α=Α=ΗΕ ( ίσες µε την πλευρά του ρόµβου)

7 . ε παραλληλόγραµµο Α οι διχοτόµοι των A και τέµνουν τη διαγώνιο στα σηµεία Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : ) Τα τρίγωνα ΑΕ και Ζ είναι ίσα. Α Ε Ζ ΑΕ= Ζ ( Π ) ) Α= (απέναντι γωνίες παραλ / µου) ) = ( ως εντός εναλλάξ ) 3) Α= (ως µισά ίσων γωνιών ) ) Το τετράπλευρο ΑΖΕ είναι παραλληλόγραµµο. Από την ισότητα τριγώνων ΑΕ= Ζ προκύπτει ότι Ε= Ζ εποµένως και Ε = Ζ (ως παραπληρωµατικές ίσων γωνιών).άρα οι ΑΕ και Ζ σχηµατίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες συνεπώς ΑΕ//Ζ και ΑΕ=Ζ (από την ισότητα τριγώνων ΑΕ= Ζ ),δηλαδή ΑΖΕ παραλ/µο.

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό