ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7.1 Mεταφορά θερµότητας H θερµότητα µπορεί να µεταφερθεί από σηµείο του χώρου υψηλότερης θερµοκρασίας T 1 σε άλλο χαµηλότερης T µε αντίστοιχη µεταφορά µάζας. Η µεταφορά είναι δυνατή µόνο, αν το υλικό είναι ρευστό και επιτυγχάνεται µε δύο τρόπους, είτε αυτόµατα λόγω διαφοράς θερµοκρασίας, που προκαλεί διαφορά πυκνότητας στη µάζα του ρευστού, είτε µε τη βοήθεια συστήµατος, που αναγκάζει το ρευστό να κινηθεί. O πρώτος τρόπος ονοµάζεται φυσική µεταφορά και ο δεύτερος εξαναγκασµένη. Kατά τη φυσική µεταφορά το σηµείο του χώρου µε την υψηλότερη θερµοκρασία πρέπει να βρίσκεται χαµηλότερα από το αντίστοιχο µε τη µικρότερη, οπότε οι µάζες µε υψηλότερη θερµοκρασία και εποµένως µικρότερη πυκνότητα ανεβαίνουν λόγω ανώσεως, ενώ οι µάζες µε χαµηλότερη θερµοκρασία κινούνται αντίστροφα. Aν δεν τηρηθεί ο όρος αυτός, είναι αδύνατη η φυσική µεταφορά. Aς θεωρήσουµε π.χ. δοκιµαστικό σωλήνα γεµάτο νερό. Αν θερµανθεί το νερό κοντά στην ελεύθερη επιφάνειά του, είναι δυνατό στο σηµείο αυτό να αρχίσει να βράζει, ενώ η υπόλοιπη µάζα του έχει τη θερµοκρασία του περιβάλλοντος. Έως σήµερα δεν έχει διατυπωθεί ικανοποιητική µαθηµατική σχέση που να δίνει τη µεταφορά θερµότητας για όλες τις δυνατές περιπτώσεις. Yπάρχει κάποια απλή σχέση που αποτελεί µια πρώτη προσέγγιση του προβλήµατος και σύµφωνα µε την οποία το ποσό θερµότητας dq, το οποίο µεταφέρεται κατά µήκος φλέβας διατοµής S, σε χρόνο dt, µεταξύ δύο σηµείων µε διαφορά θερµοκρασίας T, είναι: dq dq = hs Tdt ή = hs S (7.1) dt όπου dq/dt η θερµική ροή ή το θερµικό ρεύµα. O συντελεστής h ονοµάζεται συντελεστής θερµικής µεταφοράς και µετριέται σε cal/sec.cm.grad. H ανεπάρκεια της σχέσεως (7.1) καθίσταται αµέσως φανερή από το γεγονός ότι ο συντελεστής h εξαρτάται από πάρα πολλούς παράγοντες: Από τη γεωµετρία του χώρου, δηλαδή από τη σχετική θέση των επιφανειών µεταξύ των οποίων κινείται το ρευστό. Από την πυκνότητα, το ιξώδες, την ειδική θερµότητα του ρευστού.

86 Από το είδος της ροής του ρευστού. Από τη διαφορά της θερµοκρασίας και τη θερµική ροή. Eποµένως η σχέση 7.1 είναι στην πραγµατικότητα εµπειρική και γι αυτό η τιµή του συντελεστή h δίνεται από πίνακες. H ίδια σχέση µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για την εξαναγκασµένη µεταφορά, όπου η µετακίνηση της µάζας οφείλεται σε εξωτερικό αίτιο, όπως αντλία, κυκλοφορητής ή ανεµιστήρας. Φυσικά τότε δεν είναι απαραίτητο το σηµείο µε την υψηλότερη θερµοκρασία να βρίσκεται χαµηλότερα, αλλά ο συντελεστής h δίνεται πάλι από πίνακες που, όµως, είναι διαφορετικοί για διαφορετικά εξωτερικά αίτια. 7. Aκτινοβολία θερµότητας H ύπαρξη ζωής στον πλανήτη µας οφείλεται στην ηλιακή ακτινοβολία, που δέχεται η Γη, µε την οποία διατηρείται η θερµοκρασία του πλανήτη σε επίπεδα κατάλληλα για την επιβίωση, ανθρώπων, ζώων και φυτών. Θερµότητα εποµένως µπορεί να µεταφερθεί και µε τη βοήθεια της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας µέσω του κενού κάτι που επιτυγχάνεται χωρίς να υπάρχει ενδιάµεσα ύλη. Tο φάσµα της ηλιακής ακτινοβολίας περιλαµβάνει, εκτός από το ορατό, που καλύπτει την περιοχή 4000-7000 Å, µια περιοχή µε µήκος κύµατος µεγαλύτερο από 7000 Å, η οποία ονοµάζεται υπέρυθρη ή υπερέρυθρη ακτινοβολία (IR). H ενέργεια των φωτονίων της ακτινοβολίας αυτής αντιστοιχεί στην ενέργεια ταλαντώσεως των µορίων. Όταν απορροφηθεί η ακτινοβολία αυτή, αυξάνεται η ολική ενέργεια ταλαντώσεως των µορίων, εποµένως η εσωτερική ενέργεια του σώµατος και τελικώς η θερµοκρασία του. Ακτινοβολία, µε µήκος κύµατος που αντιστοιχεί στην περιοχή της υπέρυθρης ακτινοβολίας, µπορεί να προέρχεται και από κάποια συσκευή, όπως οι φούρνοι µικροκυµάτων οι οποίοι σήµερα χρησιµοποιούνται ευρύτατα στη µαγειρική. H θεωρία της ακτινοβολίας στηρίζεται στις έννοιες του µέλανος σώµατος και της αφετικής ικανότητας. Mέλαν σώµα ονοµάζεται εκείνη η επιφάνεια η οποία απορροφά κάθε είδους ακτινοβολία που πέφτει επάνω της.

87 Σχήµα 7.1 Mια τέτοια επιφάνεια δεν υπάρχει στη φύση, όχι στη Γη τουλάχιστον. Kατά προσέγγιση µέλαν σώµα είναι µια κοιλότητα µε µικρό άνοιγµα σε κάποιο σηµείο της και της οποίας τα τοιχώµατα απορροφούν ένα έστω, µικρό ποσοστό της ακτινοβολίας που θα πέσει πάνω τους (Σχ. 7.1). Γι αυτό και δέσµη ακτινοβολίας, που θα περάσει από το άνοιγµα της κοιλότητας και θα εισ- έλθει στο εσωτερικό της, θα παγιδευτεί και µετά από αλλεπάλληλες ανακλάσεις στα τοιχώµατα θα απορροφηθεί εντελώς. Eίναι πειραµατικό δεδοµένο ότι το µέλαν σώµα εκπέµπει ακτινοβολία που εξαρτάται από τη θερµοκρασία του. Aπό στοιχειώδη επιφάνειά του ds εκπέµπεται στοιχειώδης ισχύς dp µε τη µορφή ακτινοβολίας, η οποία δίνεται από τη σχέση: dp = σt 4 ds (7.) όπου σ=5.67x10-1 Joule/sec.cm.grad 4 σταθερά, που ονοµάζεται σταθερά του Stefan. Tο πηλίκον dp A = ds ονοµάζεται αφετική ικανότητα της επιφάνειας και χρησιµοποιείται αντί για την ισχύ P, γιατί είναι ανεξάρτητη από το µέγεθος της επιφάνειας. Έτσι η σχέση 7. παίρνει τη µορφή: A ο = σt 4 (7.3) που ονοµάζεται νόµος των Stefan-Boltzmann. Σύµφωνα µε τον νόµο αυτό η αφετική ικανότητα του µέλανος σώµατος A ο είναι ανάλογη της τέταρτης δυνάµεως της απόλυτης θερµοκρασίας του T. H αφετική ικανότητα του τυχόντος σώµατος είναι µικρότερη της αντίστοιχης του µέλανος και υπολογίζεται: A = αa ο (7.4) όπου α σταθερά, που ονοµάζεται συντελεστής απορροφήσεως και εξαρτάται από το είδος της επιφάνειας, τη θερµοκρασία της και το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας που εκπέµπεται ή απορροφάται. O συντελεστής αυτός ορίζεται ως το

88 πηλίκον της απορροφούµενης ισχύος P απ προς την προσπίπτουσα στην επιφάνεια ισχύ P πρ : P α = P Aπό τον ορισµό αυτό προκύπτει ότι ο συντελεστής απορροφήσεως α µπορεί να πάρει τιµές µεταξύ 0 και 1. Στον Πίνακα 7.1 δίνεται ο συντελεστής απορροφήσεως ορισµένων υλικών. Πίνακας 7.1 Συντελεστής απορροφήσεως ορισµένων υλικών απ πρ υλικό α υλικό α αλουµίνιο 0.039 αµίαντος 0.93 ορείχαλκος 0.033 ελαστικό 0.86 νικέλιο 0.045 πάγος 0.97 σίδηρος 0.050 αιθάλη 0.95 χαλκός 0.018 T 1 P 1 P T A Σχήµα 3. B Θεωρούµε τώρα δύο ίδιες και επίπεδες επιφάνειες A και B που βρίσκονται αντίστοιχα σε θερµοκρασίες T 1 και T, έχουν συντελεστή απορροφήσεως α και εµβαδό S και είναι τοποθετηµένες παράλληλα και απέναντι η µία στην άλλη (Σχ. 7.). H ισχύς την οποία εκπέµπουν η µία προς την άλλη είναι: 4 P 1 = ασst 1 ή της T, η συνολική ισχύς που δέχεται η επιφάνεια B είναι: 4 4 P = P P = ασs(t T ) (7.5) 1 1 4 P = ασst Aν η θερµοκρασία T 1 είναι µεγαλύτερη και είναι ίση µε τη συνολική ισχύ που εκπέµπει η επιφάνεια A. Στην περίπτωση που οι επιφάνειες είναι διαφορετικές, γιατί έχουν διαφορετικούς συντελεστές απορροφήσεως α 1 και α, η σχέση 7.5 παίρνει τη µορφή:

89 4 4 P = σs(α T α T ) (7.6) 1 1 Οι εξισώσεις 7.5 και 7.6 ερµηνεύουν τη διάδοση της θερµότητας από σώµα υψηλότερης θερµοκρασίας σε άλλο χαµηλότερης χωρίς τη µεσολάβηση ύλης µόνο µε τη βοήθεια της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. 7.3 Nόµος του Planck H ακτινοβολία του µέλανος σώµατος κατανέµεται σε ολόκληρο το φάσµα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. O τρόπος κατανοµής µελετάται µε τη βοήθεια µιας συνάρτησης που ονοµάζεται συνάρτηση φασµατικής κατανοµής της αφετικής ικανότητας ή απλούστερα φασµατική αφετική ικανότητα A λ. Aν da είναι η αφετική ικανότητα, που αντιστοιχεί σε ακτινοβολίες µε µήκη κύµατος µεταξύ λ και λ+dλ, φασµατική αφετική ικανότητα θα είναι το πηλίκον: dα Α λ = dλ και είναι συνάρτηση της απόλυτης θερµοκρασίας και του µήκους κύµατος A λ =f(λ,t). H έρευνα της µορφής της µαθηµατικής έκφρασής της οδήγησε στη διατύπωση από τον Planck της θεωρίας των κβάντα, µε συνέπεια την ανάπτυξη της Kβαντικής θεωρίας. Η θεωρία αυτή σε συνδυασµό µε τη θεωρία της Σχετικότητας προκάλεσε επανάσταση στη µέχρι τότε Φυσική αλλάζοντας εντελώς τη φιλοσοφία της. H συνάρτηση A λ =f(λ,t) είναι λοιπόν: πhc Α λ = 5 λ 1 hc exp{ } 1 kλt (7.7) όπου h=6.63x10-14 Joule.sec η σταθερά του Planck, k η σταθερά του Boltzmann και c=3x10 8 m/sec η ταχύτητα του φωτός. H γραφική παράσταση της σχέσεως 7.7 για διάφορες θερµοκρασίες δίνεται στα Σχήµατα 7.3 και 7.4. Στον άξονα των x δίνεται το µήκος κύµατος λ της ακτινοβολίας, ενώ στον άξονα των y η φασµατική αφετική ικανότητα σε αυθαίρετες µονάδες. ιαπιστώνεται ότι οι καµπύλες παρουσιάζουν ένα µέγιστο, το οποίο µετατοπίζεται προς µικρότερα µήκη κύµατος όταν αυξάνει η θερµοκρασία. Yπολογίζεται ακόµη ότι το γινόµενο του µήκους κύµατος λ ο, που αντιστοιχεί στο µέγιστο της φασµατικής αφετικής ικανότητας, επί την αντίστοιχη απόλυτη θερµοκρασία είναι σταθερό:

90 H σχέση 7.8 ονοµάζεται νόµος του Wien. λ ο T = σταθ. (7.8) Σχήµα 7.3 Σχήµα 7.4 Mε τη βοήθεια των καµπυλών του Planck και του νόµου του Wien µπορεί να ερµηνευθεί το χρώµα που έχει ένα µέταλλο του οποίου η θερµοκρασία αυξάνεται: Όταν η θερµοκρασία του σώµατος είναι χαµηλή, π.χ. µικρότερη από 400 C, η φασµατική αφετική ικανότητα, που αντιστοιχεί στην περιοχή 4000-7000 Å, είναι πολύ µικρή, γιατί το µέγιστο βρίσκεται σε πολύ µεγάλα µήκη κύµατος. Έτσι η εκπεµπόµενη ακτινοβολία δεν µπορεί να διεγείρει το ανθρώπινο µάτι και το σώµα φαίνεται µαύρο. Όταν η θερµοκρασία αυξηθεί αρκετά, το µέγιστο µετατοπίζεται προς µικρότερα µήκη κύµατος και φθάνει στην περιοχή του ορατού. Tότε, επειδή η φασµατική αφετική ικανότητα που αντιστοιχεί στο ερυθρό είναι µεγαλύτερη από την αντίστοιχη του ιώδους, το σώµα φαίνεται ερυθρό, έχει δηλαδή ερυθροπυρωθεί. Για ακόµα µεγαλύτερες θερµοκρασίες, γύρω στους 6000 C, οι δύο οριακές φασµατικές αφετικές ικανότητες είναι ίσες και το σώµα φαίνεται λευκό, έχει δηλαδή λευκοπυρωθεί.

91 Aν τέλος ήταν δυνατό να φθάσει το σώµα σε υψηλότερη θερµοκρασία χωρίς να καταστραφεί, π.χ. 0000 C, η φασµατική αφετική ικανότητα στο ιώδες θα ήταν µεγαλύτερη της αντίστοιχης στο ερυθρό και το σώµα θα φαινόταν µπλε. Αυτό συµβαίνει σε ορισµένα αστέρια, των οποίων η επιφάνεια έχει θερµοκρασία της τάξεως αυτής, και τα οποία έχουν µπλε χρώµα. 7.4 O νόµος του Nεύτονα για την ψύξη Όταν ένα σώµα βρίσκεται σε θερµοκρασία T λίγο µεγαλύτερη από εκείνη του περιβάλλοντος T ο, η θερµική ροή από το σώµα προς το περιβάλλον είναι κατά προσέγγιση ανάλογη της διαφοράς θεµοκρασίας. Kαι επειδή η ταχύτητα µεταβολής της θερµοκρασίας είναι ανάλογη της θερµικής ροής, έπεται ότι και η ταχύτητα µεταβολής της θερµοκρασίας θα είναι ανάλογη της διαφοράς θερµοκρασίας σώµατος-περιβάλλοντος: dt dt = K(T T ) (7.9) όπου K σταθερά η οποία εξαρτάται κατά προσέγγιση από το σώµα αλλά όχι και από τη θερµοκρασία. H σχέση αυτή ονοµάζεται νόµος του Nεύτονα για την ψύξη. Tο αρνητικό σηµείο υπεισέρχεται, γιατί η µεταβολή της θερµοκρασίας του σώµατος είναι αρνητική, όταν η θερµοκρασία του είναι µεγαλύτερη από εκείνη του περιβάλλοντος. Aπό τη σχέση αυτή προκύπτει µε ολοκλήρωση: T = T ο + (T 1 - T ο ) exp {-Kt} (7.10) δηλαδή η θερµοκρασία του σώµατος µεταβάλλεται εκθετικά µε το χρόνο και τείνει να εξισωθεί µε εκείνη του περιβάλλοντος. o 7.5 Aγωγή θερµότητας Ένας τρίτος τρόπος µεταφοράς θερµότητας είναι µέσω της ύλης χωρίς ταυτόχρονη µετακίνηση µάζας. Θεωρούµε δύο πηγές θερµότητας A και B µε σταθερές θερµοκρασίες T 1 και T (T 1 >T ), οι οποίες έρχονται σε θερµική επαφή µε τη βοήθεια ράβδου διατοµής S και µήκους l (Σχ. 7.5). Tότε ποσό θερµότητας dq φεύγει από την πηγή A σε χρόνο dt για να οδηγηθεί µέσω της ράβδου στην πηγή B. Στην αρχή των χρόνων η κατανοµή της θερµοκρασίας ακολουθεί εκθετική καµπύλη, η οποία µεταβάλλεται για να µεταπέσει σε ευθεία µετά από χρονικό διάστηµα αρκετό, ώστε να γίνει µόνιµη η κατάσταση (Σχ. 7.6). Tο πηλίκο της

9 διαφοράς θερµοκρασίας dt µεταξύ δύο σηµείων της ράβδου που απέχουν κατά dx προς την απόσταση αυτή, dt/dx, ονοµάζεται θερµοβαθµίδα. H θερµοβαθµίδα µεταβάλλεται κατά µήκος της ράβδου, όταν η κατάσταση είναι µεταβατική ενώ είναι ανεξάρτητη του σηµείου της ράβδου κατά τη στάσιµη κατάσταση. Eν πάσει περιπτώσει η θερµική ροή είναι: dq dt = κs (7.11) dt dx A l Β Τ 1 S Τ x Σχήµα 7.5 x+dx όπου κ σταθερά η οποία ονοµάζεται συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας µε αντίστοιχη µονάδα µετρήσεως το 1cal/cm.sec.grad. Tο αρνητικό σηµείο υπεισέρχεται στη σχέση 7.11, γιατί η θερµοβαθµίδα είναι αρνητική, δηλαδή η θερµοκρασία ελαττώνεται, όταν αποµακρυνόµαστε από την πηγή A και η απόσταση x αυξάνει. Στη στάσιµη κατάσταση, όπου η θερµοβαθµίδα είναι σταθερή, η σχέση 7.11 µπορεί να πάρει τη µορφή: dq T1 T = κs (7.1) dt l Στον Πίνακα 7. δίνονται τιµές του συντελεστή θερµικής αγωγι- µότητας κ ορισµένων υλικών. Kατά την αγωγή η διάδοση θερµότητας γίνεται µέσω ακίνητης ύλης. Aυτό δεν σηµαίνει ότι δεν είναι δυνατή αγωγή θερµό-τητας και στα ρευστά. Όµως εκεί το φαινόµενο της µε- T Τ Τ 1 t t 0 l x Σχήµα 7.6 ταφοράς θερµικής ενέργειας µέσω κινούµενης µάζας είναι πολύ πιο έντονο και καλύπτει τα αποτελέσµατα της διαδόσεως θερµότητας µε αγωγή, που γι αυτό τον λόγο αφορά κυρίως τα στερεά.

93 Πίνακας 7. Συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας κ υλικών στη θερµοκρασία 0 C. Υλικό κ cal/sec.cm.grad Υλικό κ cal/sec.cm.grad χλωροφόρµιο 0.00039 αλουµίνιο 0.488 αµµωνία (υγρή) 0.0015 µόλυβδος 0.084 freon-1 0.00017 σίδηρος 0.175 ορυκτέλαιο 0.00035 χαλκός 0.93 γλυκερίνη 0.00068 άργυρος 0.974 νερό 0.00143 Από την καθηµερινή εµπειρία είναι γνωστό ότι η ευκολία ή δυσκολία διαδόσεως της θερµότητας εξαρτάται από το υλικό της ράβδου. Aν η ράβδος είναι µεταλλική, η διάδοση είναι εύκολη, ενώ, αν είναι από κάποιο µονωτικό υλικό, όπως γυαλί, εβονίτης, υαλοβάµβακας, αµίαντος ή πολυουραιθάνη, είναι δύσκολη έως αδύνατη. Παρατηρείται επίσης ότι τα υλικά τα οποία παρουσιάζουν µεγάλο συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας είναι εκείνα ακριβώς που έχουν µεγάλη ειδική ηλεκτρική αγωγιµότητα 1. Kαι επειδή η ηλεκτρική αγωγιµότητα οφείλεται στα ελεύθερα ηλεκτρόνια, τα οποία έχουν τη δυνατότητα να µετακινούνται στο εσωτερικό του αγωγού, στον ίδιο παράγοντα θα πρέπει να οφείλεται και η θερµική αγωγιµότητα. H θερµότητα δηλαδή µεταφέρεται µε τον εξής τρόπο: Tα ηλεκτρόνια συγκρούονται µε τους δοµικούς λίθους της πηγής υψηλής θερµοκρασίας και παίρνουν ένα µέρος από την κινητική ενέργεια των τελευταίων. Όταν βρεθούν στην περιοχή χαµηλής θερµοκρασίας, συγκρούονται µε τους δοµικούς λίθους της περιοχής αυτής και αποδίδουν ένα µέρος από την ενέργειά τους. Mε τον τρόπο αυτό µεταφέρεται εσωτερική ενέργεια από το σηµεία υψηλότερης θερµοκρασίας σε αντίστοιχα χαµηλότερης. Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα ηλεκτρόνια, η διάδοση της θερµότητας απαιτεί τόσο µεγάλο χρονικό διάστηµα, ώστε να καθίσταται αµφίβολη. Άρα η αγωγή θερµότητας οφείλεται στα ελεύθερα ηλεκτρόνια του υλικού και η

94 διάδοση µέσω των δοµικών λίθων δεν µπορεί να θεωρηθεί ότι παίζει κάποιο σοβαρό ρόλο. Eξάλλου το πηλίκον του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας προς την ειδική ηλεκτρική αγωγιµότητα είναι σταθερό και εξαρτάται µόνο από την απόλυτη θερµοκρασία: κ g 3k = T (7.13) e όπου k η σταθερά του Boltzmann και e=1.6x10-19 Cb το φορτίο του ηλεκτρονίου. H σχέση 7.13 ονοµάζεται νόµος των Franz-Wiedemann. 1 Yπενθυµίζεται ότι η αντίσταση R σύρµατος µήκους l καί διατοµής S είναι R=ρl/S, όπου ρ η ειδική αντίσταση που εξαρτάται από το υλικό και τη θερµοκρασία. Eιδική ηλεκτρική αγωγιµότητα είναι το αντίστροφο της ειδικής αντίστασης g=1/ρ.