Συνοπτική Παρουσίαση Σχέσεων για τον Προσδιορισμό του Επιφανειακού Συντελεστή Μεταφοράς της Θερμότητας.

Transcript

1 5 η ΔΙΑΛΕΞΗ Στόχος της διάλεξης αυτής είναι η κατανόηση των διαδικασιών αλλά και των σχέσεων που χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό του ρυθμού μεταφοράς θερμότητας, Q &, αλλά και του επιφανειακού συντελεστή μεταφοράς θερμότητας,. Συνοπτική Παρουσίαση Σχέσεων για τον Προσδιορισμό του Επιφανειακού Συντελεστή Μεταφοράς της Θερμότητας. Κατά τη μελέτη της μεταφοράς θερμότητας, σύμφωνα με την αδιαστατική ανάλυση εμφανίζονται οι ακόλουθοι αριθμοί: 1. Αριθμός Reylds: u D r u D Re (5.1) 3 3 D r b g D D b g D. Αριθμός Grs : Gr (5.) 3. Αριθμός Prdtl: 4. Αριθμός Nusselt: C Pr (5.3) D Nu (5.4) 5. Αριθμός Peclet: Pe Re Pr (5.5) 6. Αριθμός Ryleg: R r g 3 3 Gr Pr D D D D (5.6) όπου, D είναι η διάμετρος ή το χαρακτηριστικό μήκος, L c, του σώματος, π.χ. για έναν κατακόρυφο τοίχο όπου το ρευστό είναι ο αέρας του περιβάλλοντος ο οποίος όταν έρχεται σε επαφή με τον θερμαινόμενο τοίχο ή την κατακόρυφη θερμαινόμενη πλάκα, κινείται προς τα άνω το L c είναι το ύψος της πλάκας ή του τοίχου, δηλ. η διάσταση κατά μήκος της οποίας κινείται το ρευστό. β είναι ο συντελεστής διαστολής, του σώματος ο οποίος για τα ιδανικά αέρια δίνεται από τη σχέση: b C b 1 (5.7α) PDF creted wt dfctry Pr trl vers

2 είναι η απόλυτη θερμοκρασία του οριακού στρώματος. Mε το υποδηλώνεται ότι οι φυσικές ιδιότητες πρέπει να υπολογίζονται στη θερμοκρασία της λεπτής στοιβάδας ή του οριακού στρώματος, δηλ. για θερμοκρασία, η οποία προσδιορίζεται από τη σχέση: S + b (5.7β) S είναι η θερμοκρασία της επιφανείας και b η θερμοκρασία του κυρίου όγκου του ρευστού και D s - b (5.7γ) 1. Γενικά, για την ελεύθερη μεταφορά θερμότητας (φυσική ροή του ρευστού) ισχύει: Nu C Gr Pr (5.8). Για την εξαναγκασμένη ροή θερμότητας (εξαναγκασμένη ροή ρευστού) ' ισχύει: Nu C' Re Pr ' (5.9) Τα C,,,C,, είναι σταθερές και εξαρτώνται τόσο από το είδος της ροής, όσο και από τη γεωμετρία του συστήματος ροής. Πίνακας 4-1: Σταθερές για τον υπολογισμό του αριθμού Nu από τη γενική σχέση Nu C Gr Pr για την ελεύθερη μεταφορά θερμότητας. Στην περίπτωση αυτή ισχύει. Γεωμετρία (Gr Pr) C < / /4 > /3 Κατακόρυφες επιφάνειες και κύλινδροι (L<1[]) Οριζόντιοι Κύλινδροι ( D<0.0[] ) Οριζόντιες Επιφάνειες: - Η Θερμαινόμενη πλευρά της επιφάνειας «βλέπει» πάνω ή η ψυχόμενη επιφάνεια «βλέπει» προς τα κάτω - Η Θερμαινόμενη πλευρά επιφάνειας «βλέπει» προς τα κάτω ή η ψυχωμένη επιφάνεια «βλέπει» άνω > x10 7 x10 7 3x /5 1/4 1/3 1/4 1/3 1/5 PDF creted wt dfctry Pr trl vers

3 Αναλυτικότερα: 1. Μεταφορά Θερμότητας από Κατακόρυφες Επιφάνειες Ελεύθερη Ροή Θερμότητας 1.1 Εάν ισχύει: 10 < 9 1 < Gr Pr 10 (5.10) Τότε, η ροή είναι τυρβώδης Ο αριθμός Nu δίδεται από τη σχέση: ( Gr Pr) 1 3 Nu 0.13, (5.11) βλ. τον αντίστοιχο ανωτέρω Πίνακα για τις τιμές των C και. 1. Για στρωτή ροή πρέπει να ισχύει η διπλή ανισότητα: 10 < 4 9 < Gr Pr 10 (5.1) Τότε ισχύει: ( ) 1 4 Nu 0.59 Gr Pr (5.13) Ο συντελεστής μεταφοράς δίνεται για μια κατακόρυφη επιφάνεια και από τη σχέση, d (5.14) όπου δ το πάχος του οριακού στρώματος. Για το πάχος, δ, του οριακού στρώματος στη στρωτή ροή (Gr ), ισχύει d x 3.93 Ł Pr Gr Pr ł 1 4 (5.15) δ όπου x είναι η απόσταση από την επίπεδη επιφάνεια, όπως φαίνεται στο σχήμα 5-1. Σχήμα 5-1: Οριακό στρώμα πάχους δ, σε απόσταση x από την είσοδο του ρευστού.. Μεταφορά Θερμότητας από Οριζόντιες Επιφάνειες Ελεύθερη Ροή Θερμότητας.1 Στην περίπτωση και για τυρβώδη ροή, ισχύει: PDF creted wt dfctry Pr trl vers

4 10 < 7 10 < Gr Pr 3 10 (5.16) Εάν η θερμαινόμενη πλάκα «βλέπει» προς τα άνω ή η ψυχωμένη «βλέπει» προς τα κάτω, ο αριθμός Nu προσδιορίζεται από τη σχέση: D Nu 0.14 ( Gr Pr) 1 3 (5.17). Αντίστοιχα, όταν η ροή είναι στρωτή, θα ισχύει: 10 < 5 7 < Gr Pr 10 (5.18) ο προσδιορισμός του αριθμού Nu γίνεται από τη σχέση: ( Gr Pr) 1 4 Nu 0.7 (5.19) Ο αριθμός Nu για ψυχόμενη οριζόντια πλάκα που «κοιτάζει» προς τα άνω και εφ 7 όσον R > 10, δίδεται και από τη σχέση: 1 / 3 Nu t 0.15 R (5.0) Αντίστοιχα, για ψυχόμενη οριζόντια πλάκα που κοιτάζει προς τα κάτω, όταν < R < 3 10, θα ισχύει: 1 / 4 Nu b 0.7 R (5.1).3 Μεταφορά Θερμότητας από Οριζόντιους Κυλίνδρους Ελεύθερη Ροή Θερμότητας Για φυσική ροή ρευστών, ο αριθμός Nu δίδεται από τη σχέση: ( Gr Pr) Nu C (5.) Για τα ρευστά που θερμαίνονται κατά την επαφή τους με σωλήνες η ανωτέρω σχέση γράφεται: PDF creted wt dfctry Pr trl vers

5 D ØD r b g D C, ø 0.55Œ œ (5.3) º ß C, Ο όρος της (5.3) είναι ο Pr που λαμβάνεται αμέσως από Πίνακες όπως βλέπουμε στο σχετικό φάκελο των διαλέξεων αυτών. και ισχύει όταν, 10 < 4 9 < Gr Pr 10 (στρωτή ροή) (5.4) Για την περίπτωση όπου: (5.5) 10 < 9 1 < Gr Pr 10 (τυρβώδης ροή) τότε, D ØD r b g D C ø ØD r b g D ø 0.19Œ 0.19 Pr œ Œ œ (5.6) º ß º ß 0.33 με το υποδηλώνεται ότι οι φυσικές ιδιότητες πρέπει να υπολογίζονται στη θερμοκρασία της λεπτής στοιβάδας ή οριακού στρώματος, δηλ. για θερμοκρασία, όπου, S + b S είναι η θερμοκρασία της επιφανείας και b η θερμοκρασία του κυρίου όγκου του ρευστού. Στις ανωτέρω σχέσεις: 1 b (5.7) είναι η απόλυτη θερμοκρασία στο οριακό στρώμα. Ακόμα, D S - (5.8) b PDF creted wt dfctry Pr trl vers

6 .4 Μεταφορά Θερμότητας από Κατακόρυφους Κυλίνδρους Ελεύθερη Ροή Θερμότητας για την περίπτωση όπου το σώμα ευρίσκεται σε ατμοσφαιρικό περιβάλλον σε συνήθεις συνθήκες. Για στρωτή ροή θα ισχύει: D C ή Ł L ł (5.9) ( D) ' C για τυρβώδη ροή (5.30) Ειδικότερα: Οριζόντιοι Κύλινδροι (d διάμετρος) Κατακόρυφες Επιφάνειες (L ύψος επιφάνειας) Οριζόντιες Επιφάνειες (L μήκος πλευράς) Οριζόντια Επιφάνεια (L μήκος πλευράς) Στρωτή Ροή Τυρβώδης Ροή Στρωτή Ροή Τυρβώδης Ροή Θερμές «βλέπουν» πάνω ή Ψυχρές «βλέπουν» κάτω Θερμές «βλέπουν» κάνω Ψυχρές «βλέπουν» πάνω [ W C] 1.31( D/ d) 0. 5 [ W 1.4( D) [ W C] 1.41( D/ L) 0. 5 [ W 1.31( D) [ W C] 1.31( D/ L) 0. 5 στρωτή ροή [ W C] 1.5( D) τυρβώδης ροή [ W C] 0.58( D/ L) 0. 5 στρωτή ροή.5 Εξαναγκασμένη Μεταφορά Ρευστού σε Αγωγούς Θέρμανση/ Ψύξη Ρευστών που ρέουν μέσα σε σωλήνες..5.1 Τυρβώδης Ροή D Nu Re Pr ή (5.31) D 0.8 ( r u D) ( C ) 0.03 (5.3) όπου 0.4 στην περίπτωση όπου το ρευστό θερμαίνεται PDF creted wt dfctry Pr trl vers

7 0.3»»»»» ψύχεται Σημείωση: Στην περίπτωση αερίων ο αριθμός Prdtl, Pr, αλλάζει πολύ λίγο: Για μονατομικά αέρια: Για διατομικά αέρια: Για τριατομικά αέρια: Pr0.67 Pr0.70 Pr0.80 Ακριβείς τιμές του αριθμού Prdtl, Pr, ευρίσκονται και σε Πίνακες που δίδεται στο σχετικό υποφάκελο του φακέλου «έγγραφα». Προσοχή: Για ρευστά μεγάλου ιξώδους οι προηγούμενες σχέσεις δεν είναι ακριβείς. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη διορθωμένη σχέση: D ( r u D) (Pr) ( ) / S (5.33) Όλες οι τιμές των φυσικών μεγεθών στις ανωτέρω σχέσεις υπολογίζονται στη θερμοκρασία στοιβάδας του ρευστού, ενώ η μ S αναφέρεται στη θερμοκρασία της επιφάνειας. Ο όρος μ/μ S καλείται όρος των Seder και te και εισάγεται λόγω της επίδρασης της θερμοκρασίας στο ιξώδες των ρευστών..5. Στρωτή Ροή Εξαναγκασμένη Κυκλοφορία του Ρευστού Nu ØDø 1.86 Re Pr ( ) S, (5.34) Œ L œ º ß όπου L είναι το μήκος του σωλήνα..6 Θέρμανση Ρευστών όταν η Ροή (βεβιασμένη) είναι Κάθετη σε Σύρματα και Σωλήνες Ο αριθμός Nu σε προβλήματα αυτού του τύπου δίδεται από τη σχέση: Nu C Re (5.35) όπου το χαρακτηριστικό μήκος για τον αριθμό Nu και Re είναι η εξωτερική διάμετρος του σωλήνα. Οι σταθερές έχουν τις ακόλουθες τιμές: C (5.36) PDF creted wt dfctry Pr trl vers

8 Οι τιμές των φυσικών παραμέτρων π.χ., ρ, μ, κλπ. πρέπει να υπολογιστούν στη θερμοκρασία του οριακού στρώματος,..7 Θέρμανση Υγρών Μετάλλων σε Τυρβώδη Ροή μέσω Σωλήνων Μια απλουστευμένη έκφραση προσδιορισμού του αριθμού Nu για τα υγρά μέταλλα είναι η ακόλουθη: Nu ( Re Pr) Pe όπου Pe Re Pr, ο αριθμός Peclet. Το τελευταίο στάδιο ενός eczer αποτελείται από σωλήνα μήκους 30 με εσωτερική διάμετρο και εξωτερική.5, που περνάει οφιοειδώς μέσα από θερμό στρώμα αερίων Νερό τρέχει μέσα από σωλήνα με ταχύτητα U 0.5 / s και εισέρχεται με θερμοκρασία 1 80 C. Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας νερού-τοιχώματος σωλήνα προσδιορίζεται από τη σχέση: N 0.03 Re Pr Το αέριο περνάει από το σωλήνα με ταχύτητα U 3 / s και η θερμοκρασία του διατηρείται σχεδόν σταθερή, 400 C. 3 Η πυκνότητα του αερίου είναι ίση με r 0.64g /. Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας αερίου-σωλήνα προσδιορίζεται από τη σχέση: 0.6 Nu 0.3Re Προσοχή: Στους υπολογισμούς οι ιδιότητες νερού και αερίου υπολογίζονται στη θερμοκρασία στοιβάδας. Ανάλυση: α. Η θερμική αντίσταση των τοιχωμάτων του σωλήνα θεωρείται αμελητέα, δηλαδή. s β. Η μεταβολή της θερμοκρασίας του νερού κατά τη διαδρομή του στους σωλήνες δεν θα ληφθεί υπόψη αρχικά. Η θερμοκρασία λεπτής στοιβάδας για το αέριο είναι ίση με: C Στη θερμοκρασία αυτή θα προσδιοριστούν οι ιδιότητες/σταθερές του αερίου. PDF creted wt dfctry Pr trl vers

9 Για τη θερμοκρασία στοιβάδας στο νερό ας δεχτούμε τους 80 C εφ όσον η θερμοκρασιακή μεταβολή στο νερό θεωρείται μικρή σε σχέση με αυτή στο αέριο. γ. Προσδιορισμός των συντελεστών μεταφοράς θερμότητας. Περίπτωση Ι: Υπολογισμός ν, συντελεστή μεταφοράς θερμότητας για το νερό. Από τον Πίνακα 3 που παρατίθεται στο τέλος, έχουμε: r Pr W / K Επομένως, Ns / 3 974g / / s Re U d Ως εκ τούτου, Nu 0.03 Re 0.8 Pr Επειδή, N D / θα έχουμε: Nu d W / K / W / K 3.144W / K Περίπτωση ΙΙ: Υπολογισμός του α (για το αέριο) Από τον Πίνακα Ι που παραθέτουμε στο τέλος, έχουμε: Ns / Συνεπώς, -3 W / K r N / / s g / PDF creted wt dfctry Pr trl vers

10 U d ex 3 / s.5 / Re / s Επειδή Nu 0.3 Re 0.6 Nu 0.3 (4568) d Nu ex Nu d ex W / K Nu.5 / W / K Τελικά: 99.9W / 3144W / K K Δηλαδή, η αντίσταση στη μεταφορά θερμότητας είναι πολύ μεγάλη μεταξύ αερίουτοιχώματος σωλήνα και είναι ο παράγοντας α, που ελέγχει την όλη μεταφορά θερμότητας. Το ολ βρίσκεται στη συνέχεια από τη σχέση: l Συνεπάγεται: l 96.9W / K Δηλαδή, βλέπουμε ότι, εφ όσον <<. l Ο σωλήνας έχει εξωτερική επιφάνεια Α ίση με:.5 A d ex L Επομένως η θερμότητα που μεταφέρεται, ισούται με: Q l AD 96.9W / K 5.98 (400-80) C 18548W 1854W Οι τύποι που δίδονται στην ανάλυση του προβλήματος αυτού για τον Nu, δεν περιλαμβάνουν τον αριθμό Grs (Gr). PDF creted wt dfctry Pr trl vers

11 Αυτό συμβαίνει γιατί η ροή του νερού και των αερίων είναι βεβιασμένη, οπότε και ισχύουν οι προηγούμενοι τύποι για τον αριθμό Nu. Παρατηρήσεις: Αύξηση του α για να αυξηθεί το Q, επιτυγχάνεται αν στην εξωτερική επιφάνεια του σωλήνα υπάρχουν μικρά πτερύγια. Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε το ίδιο πρόβλημα με την παρατήρηση ότι η θερμοκρασία του νερού αλλάζει μέσα στο σωλήνα, μεταξύ εισόδου και εξόδου. Ο ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας που υπολογίσαμε προηγούμενα, είναι αρκετά ακριβής, ώστε να προσδιορίσουμε τη μεταβολή της θερμοκρασίας, κατά μήκος του σωλήνα. Έστω da μια απειροστή κυλινδρική επιφάνεια. Τότε: da d ex dx όπου dx, το απειροστό μήκος του σωλήνα. Έστω ότι σε μήκος dx του σωλήνα η θερμοκρασία του νερού αλλάζει κατά d. Αν C είναι η ειδική θερμότητα του νερού και είναι ο ρυθμός μάζας του νερού, έχουμε ότι: dq C & d Όμως η θερμότητα αυτή dq προήλθε από τον αέρα των σωλήνα σε μήκος dx. Επομένως, [ (x) ] dq d dx - l ex 700 F,που εφάπτεται στο όπου (x) είναι η θερμοκρασία του νερού στη θέση x και x+dx, εφ όσον υποθέσαμε ότι εξαρτάται από το x. Επομένως, εξισώνοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, έχουμε: [ (x) ] & C d d dx - l ex d ( d ex ) - (x) C l dx ή αν τεθεί αντί (x) και P αντί d ex d - lp - dx C Ολοκληρώνουμε και θα έχουμε: PDF creted wt dfctry Pr trl vers

12 - ( Ø ø la - ) Œ1 - ex - œ Œº Ł C & łœß Στην περίπτωση της άσκησης αυτής, l A και C (1 - e ) 41.8 C όπου είναι η θερμοκρασία εξόδου του νερού και η θερμοκρασία εισόδου. Επομένως μια καλύτερη τιμή του Q είναι τώρα η : Q C & ( - ) 173.1W σε σύγκριση με τα 185.4W που υπολογίσαμε προηγουμένως κατά την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος. Όμως, d exu & rsu r 4 και με πράξεις προκύπτει ότι & 0.987g / s C 4196J / gk C Το ρ βρίσκεται από τον Πίνακα στο Aedx. Ομοίως το C. Ένας άλλος τρόπος προσδιορισμού της μεταβολής της θερμοκρασίας στο σωλήνα είναι να εισάγουμε την έννοια της μέσης θερμοκρασίας,,του νερού, ώστε να μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε και το Q. Επομένως: Q C & ( - ) l A( - ) - C & A l ( - ) - Ø lœ º - - ø œ ß C Ø400-11ø lœ 30 œ º ß 98.6 C Συνεπώς, PDF creted wt dfctry Pr trl vers

13 Q l A 98.6 C W όπου τα ολ και Α είναι γνωστά εφ όσον το ολ έχει προσδιοριστεί και το Α ομοίως υπολογίζεται. PDF creted wt dfctry Pr trl vers