ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα. Φαινόμενα μεταφοράς στα αέρια. Μηχανισμοί διάδοσης θερμότητας 3. Διάδοση θερμότητας με αγωγή 4. Ασκήσεις

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Φαινόμενα μεταφοράς στα αέρια Έστω G η ποσότητα που χαρακτηρίζει την ιδιότητα ενός μορίου (π.χ. θερμότητα, ορμή, ) αποδεικνύεται ότι η πυκνότητα ροής της ποσότητας G (I G = dg/(sdt)) για τα αέρια είναι: G G n S t 3 Γενικευμένη σχέση πυκνότητας ροής για τα αέρια Ι G Όπου n η συγκέντρωση των μορίων 8k m η μέση ταχύτητα των μορίων η μέση ελεύθερη διαδρομή Από τη σχέση αυτή προκύπτει τόσο η εξίσωση διάδοσης της θερμότητας, όσο η εξίσωση για το ιξώδες και τη διάχυση.

3 . Μηχανισμοί διάδοσης θερμότητας Θερμικοί μονωτές είναι τα σώματα που εμποδίζουν τη διάδοση θερμότητας ανάμεσα σε δύο σώματα με διαφορετικές θερμοκρασίας, ενώ οι θερμικοί αγωγοί την επιτρέπουν. Οι βασικοί μηχανισμοί διάδοσης θερμότητας είναι με: αγωγή ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η αγωγή είναι η διαδικασία μεταφοράς ενέργειας μεταξύ δυο σημείων ή περιοχών ενός υλικού, που βρίσκονται σε διαφορετική θερμοκρασία. μεταφορά Μεταφορά είναι η διάδοση θερμότητας λόγω μετακίνησης της μάζας ενός ρευστού από μια περιοχή του χώρου σε μια άλλη. ακτινοβολία Είναι η διάδοση θερμότητας μέσο ακτινοβολίας και δεν προϋποθέτει παρουσία ύλης στο χώρο ανάμεσα στα σώματα. Τ Τα ατμοσφαιρικά ρεύματα μεταφοράς δημιουργούν στις παραθαλάσσιες περιοχές τη θαλάσσια αύρα στη διάρκεια της ημέρας και την απόγεια αύρα στη διάρκεια της νύχτας Το νερό είναι θερμότερο από την ξηρά. Τ Η ξηρά είναι θερμότερη από το νερό. Παρατήρηση Διάδοση θερμότητας μπορεί να γίνει μόνο μεταξύ περιοχών με διαφορετικές θερμοκρασίες και η κατεύθυνση της ροής είναι πάντοτε από τις περιοχές υψηλής θερμοκρασίας προς τις περιοχές χαμηλής θερμοκρασίας. Εκπομπή θερμικής ενέργειας μέσω ακτινοβολίας από μια οικία 3

4 Τ 3. Διάδοση θερμότητας με αγωγή Από τη γενικευμένη σχέση της πυκνότητας ροής για τα αέρια αν λάβουμε ότι η ποσότητα G είναι η μέση ενέργεια που αντιστοιχεί σε ένα μόριο τότε προκύπτει η εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας. Τ GQ G G Q n S t 3 S t Στο σχήμα βλέπουμε μία θερμικά αγώγιμη ράβδος μήκους και εμβαδού διατομής S. Θεωρούμε ότι η παράπλευρη επιφάνεια της ράβδους είναι θερμικά μονωμένη με κατάλληλο υλικό, ώστε να μην υπάρχει διάδοση θερμότητας από τα πλάγια. Το αριστερό άκρο της ράβδου διατηρείται σε θερμοκρασία Τ ενώ το δεξί σε χαμηλότερη θερμοκρασία Τ. Η διάδοση θερμότητας γίνεται κατά μήκος του άξονα και θα ισχύει γενικά: Q Q S t Q q t ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Q S t Το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει ότι η θερμότητα ρέει πάντοτε προς την κατεύθυνση που ελαττώνεται η θερμοκρασία. Πυκνότητα ροής θερμότητας ροή θερμότητας (q ή Η) ή θερμικό ρεύμα Εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας (Fourier) Ονομασίες λ συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας [W/mK] θερμοβαθμίδα 4

5 Τ Τ Όταν η θερμοκρασία κατά μήκος της θερμικά αγώγιμή ράβδου μεταβάλλεται με ομοιόμορφο τρόπο και θεωρώντας τη θερμική αγωγιμότητα ανεξάρτητη της θερμοκρασίας τότε Q d q S qd Sd S t d 0 C q d S d q S H C H Q S t 0 H Με άλλα λόγια η εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας σε αυτή την περίπτωση Παρατήρηση Q S t γίνεται C Q S t H C H C Μόνιμη ή στάσιμη κατάσταση ονομάζουμε την κατάσταση όπου η θερμοκρασία παραμένει σταθερή σε κάθε σημείο της ράβδου d/dt = 0 με αποτέλεσμα η ροή θερμότητας dq/dt να είναι σταθερή. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ

6 ΑΣΚΗΣΗ 4. Ασκήσεις Η γενική εξίσωση των φαινομένων μεταφοράς στα αέρια έχει τη μορφή: Εφαρμόστε την για την περίπτωση της θερμικής αγωγιμότητας. I G G n 3 Στην περίπτωση της θερμικής αγωγιμότητας η ποσότητα G θα είναι η μέση ενέργεια που αντιστοιχεί σε ένα μόριο. Άρα: CV Η εξίσωση μεταφοράς γίνεται: IQ n 3 N Όπου ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Q Q S t C n 3 N συγκέντρωση μέση ταχύτητα μέση ελεύθερη διαδρομή V A η πυκνότητα ροής της θερμότητας ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας Και τελικά η εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας γράφεται A R k i CV R N i A i R CV G k N N A A Q S t 6

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ Ράβδος μήκους l και εμβαδού διατομής S έχει το αριστερό της άκρο σε θερμοκρασία Τ και το δεξί της σε θερμοκρασία Τ ( < ). Να βρεθεί η θερμοκρασία της ράβδου και η ροή θερμότητας ανά μονάδα χρόνου. Σε στάσιμη κατάσταση (Τ, σταθερές) η ροή Τ Τ θερμότητας (ανά μονάδα χρόνου) q = dq/dt είναι σταθερή (q = onst). 0 Q d H εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας είναι: Ολοκληρώνοντας από 0 έως qd Sd S t d προκύπτει η ροή της θερμότητας (ανά μονάδα χρόνου): () 0 q d S d q S q S Αν η θερμοκρασία του αγωγού είναι Τ σε απόσταση από την αρχή 0 τότε ολοκληρώνοντας από 0 έως θα προκύψει η θερμοκρασία της ράβδου συναρτήσει της απόστασης: () q qd Sd q S S 0 7

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 3 Το ένα άκρο θερμικά μονωμένης ράβδου στην παράπλευρη επιφάνεια της διατηρείται σε θερμοκρασία Τ και το άλλο σε θερμοκρασία Τ ( < ). H ράβδος αποτελείται από δύο κομμάτια με μήκη l και l και συντελεστές θερμικής αγωγιμότητας λ και λ. Υπολογίστε τη θερμοκρασία στην επαφή των δύο κομματιών. Τ Τ κ Τ Η κατάσταση είναι στάσιμη, αφού η ράβδος είναι θερμικά μονωμένη και οι θερμοκρασίες στα άκρα της είναι σταθερές. Άρα η θερμοκρασία σε κάθε σημείο της ράβδου θα είναι σταθερή (ως προς το χρόνο) με αποτέλεσμα και η ροή θερμότητας q να είναι σταθερή. Στη στάσιμη κατάσταση το ίδιο ποσό θερμότητας που περνάει από το ένα σώμα πρέπει να περάσει και από το άλλο διαδοχικά επομένως η ροή της θερμότητας q να είναι η ίδια και στα δύο σώματα. Q t Q onst q q t 8

9 Τ Τ κ Τ H εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας είναι: Για τη η ράβδο έχουμε: Q d qd Sd S t d q d S d q S q S 0 Για τη η ράβδο έχουμε: () q d S d q S q S 0 Αφού q q S S () όπου αυτή είναι η θερμοκρασία στο σημείο επαφής των δύο κομματιών της ράβδου. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επιπλέον ερώτημα β) Να υπολογιστεί ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας ομογενής ράβδου μήκους l + l που μεταφέρει θερμότητα όπως το σύστημα των δύο ράβδων. Τ Τ κ Τ Η ροή θερμότητας είναι ανεξάρτητη του χρόνου και ίδια στις 3 περιπτώσεις. Τ Τ q q () q q q3 q q 3 () Από την () ισότητα με κατάλληλες ολοκληρώσεις προέκυψε η θερμοκρασία στην επαφή των δύο κομματιών. Από την () ισότητα θα προκύψει ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας της ομογενής ράβδου. q d S d q S q S

11 Έχουμε βρει Αφού q = q 3 έχουμε: ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ q S q 3 S q q S S 3 (*) Αντικαθιστώντας την Τ κ και λύνοντας ως προς λ βρίσκουμε Οι πράξεις που παραλείψαμε φαίνονται στην επόμενη διαφάνεια

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ *

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 4 Ράβδος μήκους l, με θερμικά μονωμένη παράπλευρη επιφάνεια, αποτελείται από υλικό, ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του οποίου είναι λ = α/τ, όπου α σταθερά. Τα άκρα της ράβδου διατηρούνται σε θερμοκρασίες Τ και. Υπολογίστε την θερμοκρασία Τ συναρτήσει της απόστασης (από το άκρο με θερμοκρασία Τ ), καθώς και τη πυκνότητα ροής της θερμότητας. Τ H εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας είναι: Ολοκληρώνοντας από 0 έως q d S q Sln q Sln 0 Τ Στη στάσιμη κατάσταση η ροή θερμότητας θα είναι σταθερή q = dq/dt. Q d d qd S S t d προκύπτει η ροή της θερμότητας (ανά μονάδα χρόνου): d Αν η θερμοκρασία του αγωγού είναι Τ σε απόσταση από την αρχή 0 τότε ολοκληρώνοντας από 0 έως θα προκύψει η θερμοκρασία της ράβδου συναρτήσει της απόστασης: 0 d q d S q Sln q Sln () () 3

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Διαιρώντας κατά μέλη την () με την () έχουμε: Sln ln q q Sln ln ln ln ln ln Από την () βρίσκουμε επίσης την πυκνότητα ροής της θερμότητας: Q IQ q ln S t S 4

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 5 Υπολογίστε τη κατανομή θερμοκρασιών σε υλικό, που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες, αν αυτές έχουν σταθερές θερμοκρασίας Τ και, η απόσταση τους ανάμεσα είναι l και ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας λτ. Τ H εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας είναι: Τ Ολοκληρώνοντας από 0 έως Θεωρώντας την παράπλευρη επιφάνεια του υλικού θερμικά μονωμένη στη στάσιμη κατάσταση η ροή θερμότητας θα είναι σταθερή q = dq/dt. Q d qd Sd S t d προκύπτει η ροή της θερμότητας (ανά μονάδα χρόνου): q d S d q S q S () 0 Αν η θερμοκρασία του αγωγού είναι Τ σε απόσταση από την αρχή 0 τότε ολοκληρώνοντας από 0 έως θα προκύψει η θερμοκρασία της ράβδου συναρτήσει της απόστασης: () q d S d q S q S 0 5

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Διαιρώντας κατά μέλη την () με την () έχουμε: S q q S 6