B(α, β) B(α + n, β + n x n) α 1 Modus der Be(α, β)-verteilung : α + β 2 α Erwartungswert der Be(α, β)-verteilung : α + β

Σχετικά έγγραφα
Hauptseminar Mathematische Logik Pcf Theorie (S2A2) Das Galvin-Hajnal Theorem

ΤΖΑΚΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΕΡΟΘΕΡΜΑ Φ , ,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,800 Φ 250 1,800 Υ: 1.75 B:0.59 Π: 0.

ΔΕΔΔΗΕ / Περιοχή Ξάνθης : Αιτήσεις σύνδεσης φωτοβολταϊκών συστημάτων του Ειδικού Προγράμματος

ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΕΠΟΧΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ YΕ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑ ΥΕ ΕΡΓΑΤΩΝ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ (1) (2) (3) (4) (6) (7)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΣ

Ε Π Ι Λ Α Χ Ο Ν Τ Ε Σ

ΠΡΟΣΛΗΨΕΙΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΩΝ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ( )

ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Ξ Ο Ο Α Α , , Ο Ο Α Α 1.621,20 ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3

ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884

3 Lösungen zu Kapitel 3

ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ. «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ ά κ ι» της Γ ω γ ώ ς Α γ γ ε λ ο π ο ύ λ ο υ

ΕΠΙΚΡΑΤΕΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π... ΑΘΗΝΑ ΕΤΟΣ Ι ΡΥΣΗΣ 1884

Αναλυτική κατάσταση τµηµάτων που συµµετέχουν στην πιλοτική εφαρµογή του Συστήµατος Ασφαλούς Μετάδοσης αποτελεσµάτων µέσω κινητού

Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Α Β Ο Υ Λ Η Σ

18. Normale Endomorphismen

Λεσ οργανισατευρσ χηοισισσεντ παρµι χεττε λιστε, λεσ πρευϖεσ δε λευρ χοµπ τιτιον.

θ) Ο αριθμός των εγκύρων ψηφοδελτίων που έλαβε κάθε ένας συνδυασμός ή μεμονωμένος υποψήφιος ανέρχεται:

θ α ν ά σ η ς τ ρ ι α ρ ί δ η ς FRATERNITÉ ά γ γ ι γ μ α γ ι α δ ύ ο π ρ ό σ ω π α σ ε δ υ ο π ρ ά ξ ε ι ς

Σ Υ Ν Ο Λ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Ϋ Π Ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μ Ε Λ Ε Τ Η Σ

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Κ Α Τ Α Τ Α Ξ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Κ Η Σ Α Π Α Σ Χ Ο Λ Η Σ Η Σ (Α.Π. ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗΣ 21809/ )

Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Η Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ Π Ο Ο Σ Φ Α Ι Ρ Ο Υ ΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΕΣ ΠΡΩΤΑΘΛΗΜΑΤΩΝ ΥΠΟΔΟΜΩΝ

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ΑΣΕΠ : Πίνακας κατάταξης υποψηφίων ορισµένου χρόνου 1 από 23

ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Ι Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο - Α Π Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο Μ Η Ν Ο Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Ι Ο Υ

ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΥΡΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ

ΕΚΛΟΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ ΨΗΦΟΦΟΡΙΑΣ ΒΟΥΛΕΥΤΙΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΤΗΣ 6 ης ΜΑΪΟΥ 2012

Übung 7 - Verfahren zur Lösung linearer Systeme, Gittereigenschaften

ΑΠΟΦΑΣΗ ΑΡΙΘ. 594 ΑΠΟ ΤΟ ΥΠ' ΑΡΙΘ. 25/2010 ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΕΩΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ

ΥΠOΥΡΓΕΙO ΠΑΙΔΕΙΑΣ KAI ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Χαλκίδα, 6 Ιουνίου 2012 Αρ. Πρωτ.: 57829/2608. Προς. - Περιφερειάρχη Στερεάς Ελλάδας - κ.κ. ηµάρχους Π.Ε Εύβοιας - Πρωτοδικείο Χαλκίδας

ΓΙΑ ΕΦΗΒΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΗΛΙΚΟΥΣ Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ

Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme

King James Bible Greek New Testament Word List

ΠΛΑΙΣΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (ΠΑ) ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΗΜ. ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΤΑ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗΣ ΤΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ Π Α Ρ Ο Ν Τ Ε Σ

ΠΡΟΧΕΙΡΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

Λογιστική Παγίων ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι. Λογιστική Καταχώρηση Παγίων. Επισκευές & Συντηρήσεις. Προσθήκες βελτιώσεις μετασκευές ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΠΟΣΒΕΣΕΩΝ

Πεξί : Aπνδνρήο παξαίηεζεο Σαθηηθώλ θαη Αλαπιεξωκαηηθώλ Μειώλ Οξηζκνύ λέωλ κειώλ ηνπ Γ.. ηνπ ΝΠΓΓ «Γεκνηηθό Γπκλαζηήξην Νέαο κύξλεο».

ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ ΚΡΗΤΗ AMAΛΙΑ Α ΑΡΓΟΣ ΤΡΙΠΟΛΙΤΣΙΩΤΗΣ Ι. ΑΝΑΣΤ. 1 Ο ΧΛΜ ΑΡΓΟΥΣ ΝΑΥΠΛΙΟΥ ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΑ ΜΕΣΣΗΝΗ

46 ΒΑΛΑΜΒΑΝΟΥ ΜΑΡΙΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΙ ΟχιΝαι Β , , Οχι Β Ναι 1.473,80 1

ΕΚΛΟΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Β ΕΚΛΟΓΙΚΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

Άρρενες Ομάδες ηλικιών

Klausur Strömungsmechanik II Dichte des Fluids ρ F. Viskosität des Fluids η F. Sinkgeschwindigkeit v s. Erdbeschleunigung g

Για έργα που δεν εµπίπτουν στο πεδίο εφαρµογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ 2

Ανακοίνωση : ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 1/2012 Φορέας: ΗΜΟΣ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ-ΜΕΝΕΜΕΝΗΣ. Ειδικότητα : ΥΕ Εργατών Καθαριότητας


ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ. (Τύπος Α) Για έργα που εμπίπτουν λόγω προϋπολογισμού 1 στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/17.

ΔΠΧΝΤΜΗΑ ΓΗΔΤΘΤΝΖ ΠΔΡΗΟΥΖ ΝΟΜΟ ΣΖΛΔΦΧΝΟ ΠΑΝΑΓΗΧΣΖ & ΗΑ Ο.Δ. Γ.ΠΑΠΑΝΓΡΔΟΤ 41&ΘΖΡΑ ΑΡΓΤΡΟΤΠΟΛΖ ΑΣΣΗΚΖ ΣΔΦΑΝΟΤ ΑΗΚΑΣΔΡΗΝΖ ΜΗΝΧΑ 100 ΜΔΓΑΡΑ

ΕΤΟΣ 5ο ΑΡΙΘ.ΦΥΛΛΟΥ 252 ΓΡΑΦΕΙΑ: ΤΥΠΟΓΡΑΦΕΙΑ:ΕΙΡΗΝΗΣ 2 ΤΚ ΓΡΕΒΕΝΑ ΤΗΛ.24620/ FAX:24620/ ΤΡΙΤΗ 25 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΤΙΜΗ ΦΥΛ 0,30

Nεανικά Ἀγκυροβολήματα

33 η Τακτική Συνεδρίαση Οικονοµική Επιτροπής

Κίλδπλνο θηώρεηαο. ΔΡΔΤΝΑ ΔΙΟΓΗΜΑΣΟ ΚΑΙ ΤΝΘΗΚΩΝ ΓΙΑΒΙΩΗ ΣΩΝ ΝΟΙΚΟΚΤΡΙΩΝ 2014 (Πεξίνδνο αλαθνξάο εηζνδήκαηνο 2013)

γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ o μ ά θ η μ α Ν Ε Ο Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές:

Ε' ΕΣΑΚΕ, ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ, Ο.Α.ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ,

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Παρασκευή 7 Μαΐου 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΘΕΑΤΡΟ : ΠΡΟΖΑ

Σεπτέμβριος 2015 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΠΑΙΔΙΚΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΔΟΠΑΦΜΑΗ

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Η ΔΗΜΑΡΧΟΣ ΣΟΥΛΙΟΥ

ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΟΚΤΩ ΜΗΝΩΝ (8)

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ο. Τετάρτη 8 Ιουλίου 2015

Κοινοβουλευτική Ομάδα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ. ιιιιιιι. Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ

ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΘΕΣΗΣ :100 Ειδικότητα : ΠΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)


ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ

Π Ε Τ Ρ Ο Σ Α Ρ Τ Α Ν Η Σ Ε Λ Ε Υ Θ Ε Ρ Ι Α

Αθήνα, 4 Φεβρουαρίου 2013 Αριθ. πρωτ.: 130

Übungen zu Teilchenphysik 2 SS Fierz Identität. Handout. Datum: von Christoph Saulder

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους:

: ( : /18/ 2004/17/ 2015

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Λάρισα

Ι Ο Υ Ν Ι Ο Σ

15PROC

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΝΣΤ. Παρασκευή 2 Ιουλίου 2010

Καθηγητής τεχνικών µαθηµάτων Παιδαγωγικής Ακαδηµίας Αθηνών 1054 Φαµηλιάρης Παντελής - Έγγραφο Βιογραφικά στοιχεία. (σ. 1)

15PROC

ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: )

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΩΝ ΘΕΜΑ: "ΑΓΡΟΤΕΣ - Κ.Φ.Σ. - ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΚΟΚΚΙΝΙΔΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟ^

ΟΔΟΙ ΠΑΛΙΑΣ ΠΟΛΗΣ ΡΕΘΥΜΝΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ ΔΗΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ 9/2015

Η Ευρωπαϊκή Βουλή απαιτεί σχέδιο δράσης για τον σακχαρώδη διαβήτη Συνεδρίαση της , Στρασβούργο ξεκίνησε πρωτοποριακά από το 2012

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Π Λ Ε Ι Ο Δ Ο Τ Ι Κ Η Σ Δ Η Μ Ο Π Ρ Α Σ Ι Α Σ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΚΘ. Τρίτη 18 Σεπτεµβρίου 2012

Μ Ε Ε Γ Γ Ρ Α Φ Ε Σ Π Ρ Ο Σ Φ Ο Ρ Ε Σ Κ Α Ι Δ Υ Ν Α Τ Ο Τ Η Τ Α Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Β Ε Λ Τ Ι Ω Σ Η Σ Μ Α Ϊ Ο Σ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2013 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ι Τρίτη 27 Αυγούστου 2013

Τ.Ε.Ι ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ Χ Ο Λ Η Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ ΙΑ Σ Γ Ε Ω Π Ο Ν ΙΑ Σ. Τ Μ Η Μ Α Θ Ε.Κ.Α. / ΙεκδΟί

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΠΣΤ. Πέµπτη 16 Φεβρουαρίου 2012

Ἡ Ἁγία μεγαλομάρτυς Μαρίνα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π... ΑΘΗΝΑ ΕΤΟΣ Ι ΡΥΣΗΣ 1884

Transcript:

Aufgabe X,..., X n iid G(π) a) Bestimmung der Loglikelihoodfunktion n P L(π) = π( π) xi = π n x ( π) i n = π n ( π) n( x ) Damit folgt: Insgesamt also ˆπ ML = i= l(π) = n log(π) + n( x ) log( π) S(π) = d d π l(π) = n n( x ) π π n( π) = n( x )π = xπ π = x. P n xi = x. b) Bestimmung der Posteriori π x. π Be(α, β) X i π G(π) π x,..., x n! = priori Beobachtungen posteriori Bestimmung der Posteriori-Verteilung durch den Satz von Bayes: Somit f(π x) = f(x π)f(π) f(x π)f(π) f(π x) π n ( π) n x n π α ( π) β = π α+n ( π) β+n x n Dies ist der Kern einer Be(α + n, β + n x n)-verteilung, also ist π x Be(α + n, β + n x n). Alternative: = = f(x, π) = B(α + n, β + n x n) B(α, β) π α+n ( π) β+n x n d π LaMo: 25. Juli 26@8:7 / 8

Damit f(x π)f(π) f(π x) = = = B(α, β) B(α + n, β + n x n) B(α + n, β + n x n) πα ( π) β+n x n B(α, β) πα ( π) β+n x n c) Posteriori-Modus/Erwartungswert Somit α Modus der Be(α, β)-verteilung : α + β 2 α Erwartungswert der Be(α, β)-verteilung : α + β d) Mod(π x) = ˆπ ML? α =, β = Aufgabe 2 Normal-Normal-Modell Aus der Vorlesung: α + n Mod(π x) = α + n + β + n x n 2 α + n E(π x) = α + n + β + n x n = α + n α + β + n x Mod(π x) = + n + n + + n x n 2 = x X,..., X n iid N(µ, σ 2 ) µ N(ν, τ 2 ) (σ 2 bekannt) Dann ( µ x N λ + λ 2 ( ) λ x + λ 2 ν, λ + λ 2 ) wobei λ = n σ 2 und λ 2 = τ 2 > postnormev <- function(x, sigma, nu, tau) { + n <- length(x) + lambda <- n/sigma^2 + lambda2 <- /tau^2 LaMo: 25. Juli 26@8:7 2 / 8

+ E <- (lambda * mean(x) + lambda2 * nu)/(lambda + lambda2) + V <- /(lambda + lambda2) + return(list(mean = E, sd = sqrt(v))) > plot.priorpost <- function(p, p) { + age <- seq(3, 45, length = ) + vals <- cbind(dnorm(age, mean = p$mean, sd = p$sd), dnorm(age, + mean = p$mean, sd = p$sd)) + matplot(age, vals, ylab = "density", type = "l") + legend(3, max(vals), c("prior", "Posterior"), col = :2, + lty = c(, )) Es gilt: ν = 37, τ 2 = 2 2, σ 2 = 8 2 und beobachtet wird x = 42. a) Damit folgt n =, λ = 8 2 und λ 2 = 2 2. > p <- list(mean = 37, sd = 2) > x <- 42 π x N(44., 7.43 2 ) > p <- postnormev(x = x, sigma = 8, nu = p$mean, tau = p$sd) > plot.priorpost(p, p) density..2.4 Prior Posterior 3 35 4 45 age b) Nun ist µ N(4, 5 2 ), n =, λ = 8 2 und λ 2 = 5 2 > p2 <- list(mean = 4, sd = 5) µ x N(42.48, 7.9 2 ) > p2 <- postnormev(x = x, sigma = 8, nu = p2$mean, tau = p2$sd) > plot.priorpost(p2, p2) > plot.priorpost(p, p2) LaMo: 25. Juli 26@8:7 3 / 8

density..2.4 Prior Posterior 3 35 4 45 age c) siehe a) und b) Aufgabe 3 somit X,..., X n iid B(p) p BeMix(π, α, β), sodass 2 π i =, α i >, β i >, π i > i= a) Posteriori Verteilung für π: f(p) = πf (p α, β ) + ( π)f 2 (p α 2, β 2 ). f(p x) f(x p)f(p) ( n ) = p x i ( p) x i [}{{} π f (p α, β ) + ( π) f }{{} 2 (p α 2, β 2 )] i= π π 2 π = B(α, β ) pα +n x ( p) β+n n x π 2 + B(α 2, β 2 ) pα 2+n x ( p) β 2+n n x Dies ist der Kern einer Be(α +n x, β +n n x) und einer Be(α 2 +n x, β 2 +n n x)-verteilung mit Normalisierungskonstante c i = B(α i + n x, β + n n x). LaMo: 25. Juli 26@8:7 4 / 8

Sei α i = α i + n x und β i = β i + n n x. Dann ist Wir hatten: = = f(x p)f(p) d p π B(α, β ) + π 2 B(α 2, β 2 ) p α +n x ( p) β +n n x d p p α 2+n x ( p) β 2+n n x d p = π B(α, β ) B(α, β ) + π 2 B(α 2, β 2 ) B(α 2, β 2 ) f(x p)f(p) = und somit Also π B(α, β ) pα +n x ( p) β+n n x π 2 + B(α 2, β 2 ) pα 2+n x ( p) β 2+n n x Verlängerung! = π B(α, β ) B(α, β ) f(p α, β ) + π 2 B(α 2, β 2 ) B(α 2, β 2 ) f(p α 2, β 2) B(α = π, β ) B(α, β ) + π B(α2, β 2 ) 2 B(α 2, β 2 ). f(p x) = f(x p)f(p) = π B(α, β ) B(α, β ) f(p α, β ) + π 2 B(α 2, β 2 ) B(α 2, β 2 ) f(p α 2, β 2) = π f(p α, β ) + π 2f(p α 2, β 2), wobei π i = π i B(α i, β i ) B(α i, β i ) und π i = p x BeMix(π, α, β ). > dbbmix <- function(x, pi, alpha, beta) { + pi * dbeta(x, alpha[], beta[]) + ( - pi) * dbeta(x, alpha[2], + beta[2]) > alpha <- c(, 2) > beta <- c(2, ) > pi <- c(.5,.5) > alphastar <- alpha + 7 > betastar <- beta + 3 > pistar <- pi * beta(alphastar, betastar)/beta(alpha, beta) > pistar <- pistar/sum(pistar) > pistar π i π +. π 2 LaMo: 25. Juli 26@8:7 5 / 8

[].8527.894729 > p <- seq(,, length = ) > prior <- dbbmix(p, pi = pi[], alpha = alpha, beta = beta) > post <- dbbmix(p, pi = pistar[], alpha = alphastar, beta = betastar) > plot(p, prior, type = "l", ylim = c(, max(prior, post))) > lines(p, post, col = 2, lty = 2) > legend(, max(prior, post), c("prior", "Post"), col = :2, lty = c(, + 2)) prior 2 3 4 Prior Post..2.4.6.8. p b) Posteriori-Erwartungswert f(p x) = π f(p α, β ) + ( π) f(p α 2, β 2) oder W B( π ) p x, W Y I(W = ) + Y 2 I(W = ) Y i Be(α i, β i ) damit E(p x) = π E(Y ) + ( π )E(Y 2 ) = π α α + β > rbbmix <- function(size, pi, alpha, beta) { + ( π) α 2 α 2 + β 2 + which <- sample(:, rep = T, size = size, prob = c(pi, - + pi)) LaMo: 25. Juli 26@8:7 6 / 8

+ X <- rbeta(size, alpha[], beta[]) + X2 <- rbeta(size, alpha[2], beta[2]) + ifelse(which ==, X, X2) > pistar[] * (alphastar[]/(alphastar[] + betastar[])) + pistar[2] * + (alphastar[2]/(alphastar[2] + betastar[2])) [].6478682 > X <- rbbmix(e+5, pi = pistar[], alpha = alphastar, beta = betastar) > mean(x) [].64768 c) Das symmetrische ( α)% Vertrauensintervall: p F (p x) = π Das Quantil q der Posteriori: p f(q α, β) d q + ( π ) = π F (p α, β ) + ( π )F (p α 2, β 2) F (q) = {p : F (p) = q} f(q α 2, β 2) d q Somit das Intervall: [ ( F α ) (, F α )] 2 2 d) > pbbmix <- function(x, pi, alpha, beta) { + pi * pbeta(x, alpha[], beta[]) + ( - pi) * pbeta(x, alpha[2], + beta[2]) > qbbmix <- function(q, pi, alpha, beta) { + f <- function(x) { + pbbmix(x, pi = pi, alpha = alpha, beta = beta) - q + return(uniroot(f, lower =, upper = )$root) > qbbmix(q =.5, pi = pistar[], alpha = alphastar, beta = betastar) [].66658 > alpha <-.5 > plot(p, pbbmix(p, pi = pistar[], alpha = alphastar, beta = betastar), + type = "l", xlab = "p", ylab = expression(f(p))) > lines(c(, ), c(alpha/2, alpha/2), col = 2, lty = 2) > lines(c(, ), c( - alpha/2, - alpha/2), col = 2, lty = 2) LaMo: 25. Juli 26@8:7 7 / 8

F(p)..2.4.6.8...2.4.6.8. p > lower <- qbbmix(q = alpha/2, pi = pistar[], alpha = alphastar, + beta = betastar) > upper <- qbbmix(q = - alpha/2, pi = pistar[], alpha = alphastar, + beta = betastar) > cat("a 95% symmetric credibility region: [", lower, ",", upper, + "]\n") A 95% symmetric credibility region: [.3665792,.862333 ] > plot(p, post, type = "l", ylim = c(, max(prior, post))) > ci.grid <- seq(lower, upper, length = ) > lines(ci.grid, dbbmix(ci.grid, pi = pistar[], alpha = alphastar, + beta = betastar), type = "h", col = 2) > lines(p, post, type = "l", ylim = c(, max(prior, post))) post 2 3 4..2.4.6.8. p LaMo: 25. Juli 26@8:7 8 / 8

2024 © DocPlayer.gr Πολιτική Απορρήτου | Όροι Χρήσης | Σχόλια