Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme

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Θεοδοσία Ζάππας
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1 Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Schöberl Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universität Linz KV Ausgewählte Kapitel der Regelungstheorie 2016 M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

2 Teil IV Mechanik und Maxwell M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

3 Übersicht Zeit-invarianter Fall Konfigurationsmannigfaltigkait M Bewegung ist eine Kurve in M parametriert in der Zeit Zeit-varianter Fall Konfigurationsbündel Q T Bewegung ist ein Schnitt von Q T Auch zeitinvarianter Fall beinhaltet, mit Q = M T und speziellen Bündelmorphismen welche die Zeit nicht beinhalten. M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

4 Punktmechanik I Konfigurationsmannigfaltigkeit M mit Koordinaten q α. Tangentialbündel T(M) mit Koordinaten (q α, q α ). Bewegung q α = s α (t) und die zugehörige Geschwindigkeit (Änderung der Bewegung) q α s = v α (s(t)) = t s α. Zur Berechnung der Änderung der Geschwindigkeit (Beschleunigung) benötigt man einen linearen Zusammenhang auf T(M) M der Form Λ = dq α ( α +Λ β αρ qρ β ) Λ β αρ C (M), β = q β Der Zusammenhang ist linear da Λ β α = Λ β αρ q ρ gilt (Λ β αρ sind die Christoffelsymbole mit anderer Vorzeichenkonvention). Des weiteren erhält man das kovariante Differential D Λ : (( q β ) α Λ β αρ q ρ )dq α β M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

5 Punktmechanik II Für die kovariante Ableitung in Richtung der Geschwindigkeit v gilt v Λ (v) = v α ( α v β Λ β αρ vρ ) β mit V(T(M)) T(M) M T(M), das heißt wir identifizieren β mit β, da sie sich gleich transformieren. Damit folgt aus (v Λ (v)) s = = ( ( t (v β s) Λ β αρ s ( tt s β ) t s α t s ρ) β (Λ β αρ s ) t s α t s ρ) β das gewünschte Resultat für die vektorielle Darstellung der Beschleunigung. M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

6 Punktmechanik - Weitere Konzepte Eine Metrik ist eine Abbildung g : T(M) T (M) der Form g = g αβ dq α dq β Für die Christoffelsymbole (Koeffizienten des linearen Zusammenhangs) gilt und Für den Impuls gilt 2Λ κ αρ = ĝκε ( α g ρε + ρ g εα ε g αρ ) ρ g αε = g κε Λ κ αρ g αβ Λ β ρε p = m(v g), p α = mg αβ v β mit der Masse m. Kovariante Ableitung v Λ (p) = v α( ) α p β Λ ρ αβ p ρ dq β mit Λ ρ αβ = Λρ αβ und V(T (M)) T (M) M T (M) M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

7 Konfigurationsbündel Wir betrachten ein Bündel Q T mit Koordinaten (t,x α ) für Q und die Zeit t für T. Wir betrachten ein triviales Bündel Q = M T wobei die Koordinaten (x α ) für M sind. Eine Bewegung s(t) ist dann ein Schnitt des Bündels Q T. Auf dem Bündel Q T wählen wir einen trivialen Zusammenhang, der Form γ = dt t also γ α 0 = 0, wenn man γ = dt ( t +γ α 0 α) betrachtet. Spezielle Koordinatenwechsel der Form x = ϕ(x) erhalten die Bündelstruktur, sowie das triviale Bündel und den trivialen Zusammenhang. Im allgemeinen dürfte man auch x = ϕ(t,x) betrachten mitbewegte (beschleunigte) Koordinatensysteme M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

8 Geschwindigkeit, Beschleunigung Die Geschwindigkeit kann nun als vertikales Vektorfeld in V(Q) interpretiert werden. Die Koordinaten für V(Q) sind nun (t,x α,ẋ α ). Zur Berechnung der Beschleunigung benötigt man einen Zusammenhang auf dem Bündel V(Q) Q. Ganz allgemein gilt Γ = dt ( t +Γ α 0 α )+dx β ( β +Γ α β α ) Wir wählen nun Γ α 0 = 0 und Γα β = Λα βρẋρ. Das kovariante Differential folgt nun zu D Γ = (ẋ α t Γ α 0)dt α +(ẋ α β Γα β )dxβ α und die Kovariante Ableitung des Vektorfelds v = (v α s) α entlang des Vektorfelds v s = t + t s α α ergibt mit α α. v s Γ (v s) = ( t (v α s) (Λ α βρ vβ v ρ s)) α M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

9 Newton und Maxwell I Das Gesetz von Newton lautet dann für einen Massenpunkt m mit m(v s Γ (v s)) = (ĝ F) s F = F 0 dt +F α dx α In Koordinaten erhält man ( ) m t (v α s) (Λ α βρ vβ v ρ s) = ĝ ακ F κ Die Lorentzkraft erhält man indem man den erweiterten Zusammenhang betrachtet Γ e = dt ( t +Γ α 0 α )+dx β ( β +Γ α β α ) Γ α 0 = ĝακ F 0κ, Γ α β = Λα βρẋρ +ĝ ακ F βκ. mit F = F 0α dx α dt F αβdx α dx β. M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

10 Newton und Maxwell II Dann gilt D Γe = (ẋt α ĝ ακ F 0κ )dt α +(ẋβ α Λαβρẋρ ĝ ακ F βκ )dx β α und somit v s Γe (v s) = ( t (v α s) (Λ α βρ vβ v ρ s) ĝ ακ (F 0κ +F βκ v β ) s) α beziehungsweise v s Γe (v s) = v s Γ (v s) (ĝ f L ) s Anmerkungen: Im allgemeinen gilt für die Geschwindigkeit v = t γ (s) mit γ (s) = ( t s α γ0 α s)dt α Γ α 0 = 0 bzw. Γα 0 = ĝακ F 0κ gilt für den Fall, dass γ0 α = 0 M. Schöberl (regpro - JKU ) / 10

Σχετικά έγγραφα

3 Lösungen zu Kapitel 3

3 Lösungen zu Kapitel 3 31 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 31 311 Lösung Die Abbildung D : { R 4 R 4 R 4 R 4 R, a 1, a 2, a 3, a 4 ) D( a 1, a 2, a 3, a 4 ) definiere eine Determinantenform (auf R 4