Λύσεις Παλιών Θεµάτων Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας, 9ο εξάµηνο Υπεύθ. Καθ. Νεκτάριος Κοζύρης
Θέµα Φεβρουάριος 2003 1) Έστω ένας υπερκύβος n-διαστάσεων. i. Να βρεθεί ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων διευθυνσιοδότησης των κόµβων του. ii. Να βρεθεί ο αριθµός των ακµών. iii. Είναι δυνατόν να υπάρχουν κύκλοι περιττού µήκους; 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 2
Θέµα Φεβρουάριος 2003 2) Συγκρίνετε 2 αρχιτεκτονικές µε 2048 κόµβους, η µία µε τοπολογία υπερκύβου (k-cube) και η άλλη µε τοπολογία k-ccc. Πώς είναι διατεταγµένοι οι κόµβοι σε κάθε µια από τις τοπολογίες αυτές; Ποια τα υπέρ και ποια τα κατά της κάθε τοπολογίας; 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 3
Θέµα Φεβρουάριος 2003 1) Έστω ένας υπερκύβος n-διαστάσεων. i. Να βρεθεί ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων διευθυνσιοδότησης των κόµβων του. Επιλέγουµε έναν τυχαίο κόµβο και αποφασίζουµε αυθαίρετα πιο όνοµα από τα 2 n θα του δώσουµε. 000 001 010 011 100 101 110 111 010 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 4
Θέµα Φεβρουάριος 2003 1) Έστω ένας υπερκύβος n-διαστάσεων. i. Να βρεθεί ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων διευθυνσιοδότησης των κόµβων του. Ο κόµβος αυτός έχει n γείτονες. Η διεύθυνση καθενός διαφέρει σε ένα bit. Σε ποιο bit θα διαφέρει ο καθένας; 010 Για τον πρώτο υπάρχουν n επιλογές Για τον επόµενο n-1, κοκ 110 000 011 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 5
Θέµα Φεβρουάριος 2003 1) Έστω ένας υπερκύβος n-διαστάσεων. i. Να βρεθεί ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων διευθυνσιοδότησης των κόµβων του. Για την επιλογή των διευθύνσεων των γειτόνων έχουµε n! επιλογές, όσες είναι οι δυνατές µεταθέσεις n αριθµών. Συνολικά, οι δυνατοί τρόποι διευθυνσιοδότησης είναι 2 n n! 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 6
Θέµα Φεβρουάριος 2003 1) Έστω ένας υπερκύβος n-διαστάσεων. ii. Να βρεθεί ο αριθµός των ακµών. Υπάρχουν 2 n κόµβοι, καθένας από τους οποίους είναι συνδεδεµένος µε n άλλους κόµβους. Με τον τρόπο αυτό όµως µετράµε κάθε ακµή δύο φορές. Εποµένως, ο συνολικός αριθµός ακµών είναι 2 n n/2 = n2 n-1 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 7
Θέµα Φεβρουάριος 2003 1) Έστω ένας υπερκύβος n-διαστάσεων. iii. Είναι δυνατόν να υπάρχουν κύκλοι περιττού µήκους; Όχι. Σε κάθε µετάβαση µεταβάλλεται ακριβώς ένα bit της διεύθυνσης. Για να είναι ο πρώτος κόµβος του µονοπατιού ίδιος µε τον τελευταίο, πρέπει για κάθε µεταβολή ενός bit να υπάρχει άλλη µία αντίστροφη µεταβολή. ηλαδή το µήκος του κυκλικού µονοπατιού είναι υποχρεωτικά πολλαπλάσιο του 2. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 8
Θέµα Φεβρουάριος 2003 2) Συγκρίνετε 2 αρχιτεκτονικές µε 2048 κόµβους, η µία µε τοπολογία υπερκύβου (k-cube) και η άλλη µε τοπολογία k-ccc. Πώς είναι διατεταγµένοι οι κόµβοι σε κάθε µια από τις τοπολογίες αυτές; Στην πρώτη περίπτωση (k-cube) πρόκειται για έναν 11-διάστατο υπερκύβο (2 11 = 2048). Στην δεύτερη περίπτωση (k-ccc) πρόκειται για έναν 8-διάστατο υπερκύβο, όπου ο κάθε κόµβος έχει αντικατασταθεί από έναν δακτύλιο 8 κόµβων (8 2 8 = 2048). Ο i-οστός κόµβος κάθε δακτυλίου συνδέεται µε τον (i-1)-οστό και τον (i+1)-κόµβο του ίδιο δακτυλίου, καθώς και µε τον i-οστό κόµβο του γειτονικού δακτυλίου κατά την ι- οστή διάσταση του υπερκύβου. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 9
Θέµα Φεβρουάριος 2003 2) Συγκρίνετε 2 αρχιτεκτονικές µε 2048 κόµβους, η µία µε τοπολογία υπερκύβου (k-cube) και η άλλη µε τοπολογία k-ccc. Πώς είναι διατεταγµένοι οι κόµβοι σε κάθε µια από τις τοπολογίες αυτές; Προς κόµβο 7 δακτυλίου 10010111 Προς κόµβο 0 δακτυλίου 00010110 Προς κόµβο 1 δακτυλίου 11010110 Προς κόµβο 2 δακτυλίου 10110110 0 1 7 2 3 6 δακτύλιος 10010110 5 4 Προς κόµβο 6 δακτυλίου 10010100 Προς κόµβο 5 δακτυλίου 10010010 Προς κόµβο 4 δακτυλίου 10011110 Προς κόµβο 3 δακτυλίου 10000110 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 10
Θέµα Φεβρουάριος 2003 2) Συγκρίνετε 2 αρχιτεκτονικές µε 2048 κόµβους, η µία µε τοπολογία υπερκύβου (k-cube) και η άλλη µε τοπολογία k-ccc. Ποια τα υπέρ και ποια τα κατά της κάθε τοπολογίας; Το θετικό της τοπολογίας k-cube είναι ότι έχει πολύ µικρή διάµετρο και συνεπώς µικρή καθυστέρηση για τη µεταφορά ενός πακέτου µεταξύ δύο κόµβων. ιάµετρος υπερκύβου = n = 11 ιάµετρος CCC = 2k-1+k/2 = 19 Επίσης, έχει µεγαλύτερο εύρος ζώνης Εύρος τοµής υπερκύβου = Ν/2 = 1024 Εύρος τοµής CCC = N/2k = 128 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 11
Θέµα Φεβρουάριος 2003 2) Συγκρίνετε 2 αρχιτεκτονικές µε 2048 κόµβους, η µία µε τοπολογία υπερκύβου (k-cube) και η άλλη µε τοπολογία k-ccc. Ποια τα υπέρ και ποια τα κατά της κάθε τοπολογίας; Η τοπολογία k-ccc υπερτερεί στο γεγονός ότι οι κόµβοι έχουν µικρό και σταθερό βαθµό διασύνδεσης, ίσο µε 3. Εποµένως η αρχιτεκτονική αυτή είναι επεκτάσιµη. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 12
Θέµα Μάρτιος 2004 1) Ποια είναι η διάµετρος ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποια ενός n-ccc; Αποδείξτε τις αντίστοιχες σχέσεις 2) Ποιο είναι το εύρος τοµής ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποιο ενός n-ccc; Αποδείξτε τις αντίστοιχες σχέσεις 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 13
Θέµα Μάρτιος 2004 1) Ποια είναι η διάµετρος ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποια ενός n-ccc; ιάµετρος υπερκύβου: D=n Θεωρούµε ότι κάθε κόµβος συµβολίζεται µε τη δυαδική αναπαράστασή του n-bits. Τότε, το µονοπάτι µεταξύ δύο κόµβων προκύπτει εκτελώντας την πράξη XOR µεταξύ των δυαδικών αναπαραστάσεων του αρχικού και του τελικού κόµβου. Το µήκος του µονοπατιού αυτού ισούται µε τον αριθµό των άσσων στο αποτέλεσµα της πράξης XOR. Εποµένως, στη χειρότερη περίπτωση, που οι δυαδικές αναπαραστάσεις των δύο κόµβων είναι συµπληρωµατικές, το µήκους του µονοπατιού που τους συνδέει θα είναι n. Άρα, η διάµετρος του υπερκύβου ισούται µε D=n. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 14
Θέµα Μάρτιος 2004 1) Ποια είναι η διάµετρος ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποια ενός n-ccc; n ιάµετρος n-ccc: D=2n-1+ 2 Στην περίπτωση της τοπολογίας n-ccc, η µετάβαση από τον αρχικό στον τελικό κόµβοµπορεί να χωριστεί σε δύο στάδια: i. µετάβαση από το δακτύλιο που περιέχει τον αρχικό κόµβο στο δακτύλιο που περιέχει τον τελικό κόµβο. Η µετάβαση αυτή µπορεί να στοιχίσει το πολύ 2n-1 βήµατα. ii. µετάβαση εσωτερικά στον τελικό δακτύλιο, από τον κόµβο που καταλήγουµε στο 1ο στάδιο στον τελικό κόµβο προορισµού. Η µετάβαση αυτή µπορεί να χρειαστεί το n πολύ βήµατα, όση είναι και η διάµετρος του δακτυλίου. 2 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 15
Θέµα Μάρτιος 2004 1) Ποια είναι η διάµετρος ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποια ενός n-ccc; n ιάµετρος n-ccc: D=2n-1+ 2 i. µετάβαση από το δακτύλιο που περιέχει τον αρχικό κόµβο στο δακτύλιο που περιέχει τον τελικό κόµβο. Στη χειρότερη περίπτωση, που οι δυαδικές αναπαραστάσεις των δύο δακτυλίων (αντίστοιχες µε τις αναπαραστάσεις κάποιων κόµβων ενός n- υπερκύβου) έχουν όλα τα bits διαφορετικά, θα χρειαστεί να µετακινηθούµε σε n διαφορετικές διευθύνσεις του υπερκύβου. Για κάθε µετακίνηση κατά µήκος µιας διεύθυνσης, χρειάζεται προφανώς ένα βήµα πάνω σε σύνδεσµο της διεύθυνσης αυτής, αλλά και ένα βήµα πάνω σε εσωτερικό σύνδεσµο του τρέχοντος δακτυλίου (αφού κάθε κόµβος του δακτυλίου τον διασυνδέει µε τον υπόλοιπο υπερκύβο µέσω µιας ακριβώς διάστασης). Η µετάβαση στο εσωτερικό του δακτυλίου δε χρειάζεται µόνο στην περίπτωση που βρισκόµαστε ακόµη στον αρχικό κόµβο, οπότε δεν έχουµε ακόµη αξιοποιήσει τον αντίστοιχο σύνδεσµο µε τον υπόλοιπο υπερκύβο. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 16
Θέµα Μάρτιος 2004 1) Ποια είναι η διάµετρος ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποια ενός n-ccc; n ιάµετρος n-ccc: D=2n-1+ 2 i. µετάβαση από το δακτύλιο που περιέχει τον αρχικό κόµβο στο δακτύλιο που περιέχει τον τελικό κόµβο. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 17
Θέµα Μάρτιος 2004 2) Ποιο είναι το εύρος τοµής ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποιο ενός n-ccc; Εύρος τοµής υπερκύβου: b=2 n-1 Για να χωριστεί ο υπερκύβος σε δύο ίσα µέρη, πρέπει να κοπούν οι ακµές κατά µήκος µίας διάστασης, ώστε να προκύψουν δύο υπερκύβοι n-1 διαστάσεων. Το πλήθος των ακµών αυτών είναι εκ κατασκευής 2 n-1, όσοι, δηλαδή, οι κόµβοι ενός υπερκύβου n-1 διαστάσεων. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 18
Θέµα Μάρτιος 2004 2) Ποιο είναι το εύρος τοµής ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποιο ενός n-ccc; Εύρος τοµής υπερκύβου: b=2 n-1 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 19
Θέµα Μάρτιος 2004 2) Ποιο είναι το εύρος τοµής ενός υπερκύβου n διαστάσεων και ποιο ενός n-ccc; Εύρος τοµής n-ccc: b=2 n-1 Για να χωρίσουµε την τοπολογία n-ccc στη µέση, πρέπει να τη σπάσουµε σε δύο n-1 υπερκύβους, στους οποίους κάθε κόµβος θα έχει αντικατασταθεί µε δακτύλιο n κόµβων. Για να γίνει αυτό, δε χρειάζεται να κοπεί κανένας από τους εσωτερικούς συνδέσµους των δακτυλίων, αλλά µόνο οι εξωτερικοί σύνδεσµοι του υπερκύβου. Εποµένως, το εύρος τοµής ισούται µε το εύρος τοµής του n υπερκύβου 2 n-1 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 20
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 1) Σε ένα σύστηµα 512 κόµβων, κατανεµηµένης µοιραζόµενης µνήµης µε κεντρικό κατάλογο, πόσα επιπλέον bits χρειάζονται για κάθε θέση της µνήµης στην περίπτωση που χρησιµοποιούνται full bit vectors και πόσα σε περίπτωση που µπορούν να έχουν αντίγραφο µόνο 4 κόµβοι; 2) Αντί της διπλά συνδεδεµένης λίστας που χρησιµοποιεί το πρωτόκολλο SCI, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απλή συνδεδεµένη λίστα. Ποιο θα ήταν το πλεονέκτηµα; Περιγράψτε τις αλλαγές που θα έπρεπε να γίνουν ώστε να καταστούν δυνατές οι εξής λειτουργίες: o o Αντικατάσταση ενός block σε µία cache Εγγραφή σε ένα block µνήµης που υπάρχει ήδη στις caches άλλων επεξεργαστών. Ποια θα ήταν τα αποτελέσµατα µιας τέτοιας προσέγγισης σχετικά µε την επεκτασιµότητα του πολυεπεξεργαστικού συστήµατος; 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 21
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 1) Σε ένα σύστηµα 512 κόµβων, κατανεµηµένης µοιραζόµενης µνήµης µε κεντρικό κατάλογο, πόσα επιπλέον bits χρειάζονται για κάθε block της µνήµης στην περίπτωση που χρησιµοποιούνται full bit vectors και πόσα σε περίπτωση που µπορούν να έχουν αντίγραφο µόνο 4 κόµβοι; Full bit vectors: Χρειάζεται 1 presence bit ανά ανά κόµβο και ανά block µνήµης 512 επιπλέον bits για κάθε block µνήµης 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 22
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 1) Σε ένα σύστηµα 512 κόµβων, κατανεµηµένης µοιραζόµενης µνήµης µε κεντρικό κατάλογο, πόσα επιπλέον bits χρειάζονται για κάθε block της µνήµης στην περίπτωση που χρησιµοποιούνται full bit vectors και πόσα σε περίπτωση που µπορούν να έχουν αντίγραφο µόνο 4 κόµβοι; Με χρήση 4 δεικτών µόνο: Κάθε δείκτης έχει 9 bits (ώστε 2 9 = 512) Για κάθε block έχουµε 4δείκτες 9bits/δείκτη = 36bits 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 23
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 2) Αντί της διπλά συνδεδεµένης λίστας που χρησιµοποιεί το πρωτόκολλο SCI, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απλή συνδεδεµένη λίστα. Ποιο θα ήταν το πλεονέκτηµα; Οικονοµία χώρου (Έναν δείκτη αντί δύο σε κάθε block της cache) Main Memory (Home) Node 0 Node 1 Node 2 P P P Cache Cache Cache 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 24
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 2) Περιγράψτε τις αλλαγές που θα έπρεπε να γίνουν ώστε να καταστούν δυνατές οι εξής λειτουργίες: i. Αντικατάσταση ενός block σε µία cache ii. Εγγραφή σε ένα block µνήµης που υπάρχει ήδη στις caches άλλων επεξεργαστών. i. Θα έπρεπε η απλά συνδεδεµένη συνδεδεµένη λίστα να είναι κυκλική. ii. ε χρειάζεται καµία αλλαγή. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 25
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 2) Περιγράψτε τις αλλαγές που θα έπρεπε να γίνουν ώστε να καταστούν δυνατές οι εξής λειτουργίες: i. Αντικατάσταση ενός block σε µία cache ii. Εγγραφή σε ένα block µνήµης που υπάρχει ήδη στις caches άλλων επεξεργαστών. i. Πώς γίνεται η διαγραφή στην περίπτωση διπλά συνδεδεµένης λίστας: Ο κόµβος που πρόκειται να διαγράψει το block από την cache του, γνωρίζει τον προηγούµενο και τον επόµενο και τους ενηµερώνει για την πρόθεσή του αυτή. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 26
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 2) Περιγράψτε τις αλλαγές που θα έπρεπε να γίνουν ώστε να καταστούν δυνατές οι εξής λειτουργίες: i. Αντικατάσταση ενός block σε µία cache ii. Εγγραφή σε ένα block µνήµης που υπάρχει ήδη στις caches άλλων επεξεργαστών. i. Στην περίπτωση απλά συνδεδεµένης λίστας, οι δείκτες BP δεν υπάρχουν. Προκειµένου να βρεθεί ο προηγούµενος κόµβος της λίστας και να ενηµερωθεί, µία λύση είναι η ύπαρξη κυκλικής λίστας 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 27
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 2) Περιγράψτε τις αλλαγές που θα έπρεπε να γίνουν ώστε να καταστούν δυνατές οι εξής λειτουργίες: i. Αντικατάσταση ενός block σε µία cache ii. Εγγραφή σε ένα block µνήµης που υπάρχει ήδη στις caches άλλων επεξεργαστών. i. Στην περίπτωση απλά συνδεδεµένης λίστας, οι δείκτες BP δεν υπάρχουν. Προκειµένου να βρεθεί ο προηγούµενος κόµβος της λίστας και να ενηµερωθεί, µία λύση είναι η ύπαρξη κυκλικής λίστας FP FP FP FP FP FP FP FP FP 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 28
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 2) Περιγράψτε τις αλλαγές που θα έπρεπε να γίνουν ώστε να καταστούν δυνατές οι εξής λειτουργίες: i. Αντικατάσταση ενός block σε µία cache ii. Εγγραφή σε ένα block µνήµης που υπάρχει ήδη στις caches άλλων επεξεργαστών. ii. ε χρειάζεται καµία αλλαγή. Για την εισαγωγή ενός στοιχείου στη λίστα, σε µία οποιαδήποτε θέση, χρειάζεται µόνο να ξέρουµε έναν τυχαίο κόµβο που υπάρχει ήδη στη λίστα. FP FP FP FP FP FP FP FP FP 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 29
Θέµα Σεπτέµβριος 2004 2) Ποια θα ήταν τα αποτελέσµατα µιας τέτοιας προσέγγισης σχετικά µε την επεκτασιµότητα του πολυεπεξεργαστικού συστήµατος; Το σύστηµα θα είναι λιγότερο επεκτάσιµο. Για τη διαγραφή ενός στοιχείου από η λίστα χρειάζεται Ο(n) χρόνος, προκειµένου να βρεθεί ο προηγούµενος στη λίστα και να ενηµερωθεί ο αντίστοιχος δείκτης. 20/12/2004 Συστήµατα Παράλληλης Επεξεργασίας - 9ο εξάµηνο - καθ. Ν. Κοζύρης 30