Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.
|
|
- Οἰδίπους Κωνσταντόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Απορρίπτει όταν (η είσοδος στην TM) w L. Η γλώσσα L στην περίπτωση αυτή λέγεται αναδροµική. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Απορρίπτει ή Εγκλωβίζεται σε Ατέρµονο Υπολογισµό όταν w L. όσο κι αν περιµένουµε, µπορεί να µη µάθουµε ποτέ. Η γλώσσα L στην περίπτωση αυτή λέγεται αναδροµικά απαριθµήσιµη. Κάθε αναδροµική γλώσσα είναι αναδροµικά απαριθµήσιµη. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Απαριθµητές (Enumerators) Απόδειξη (1/2) Μηχανή Turing συνδεδεµένη µε έναν «εκτυπωτή». Ο εκτυπωτής χρησιµεύει ώς συσκευή εξόδου. Η µηχανή εκτυπώνει λέξεις της γλώσσας που αναγνωρίζει. Ο απαριθµητής έχει αρχικά κενή ταινία. Αν δεν τερµατίζει, µπορεί να εκτυπώνει λέξεις επ άπειρον. Απαριθµεί τις λέξεις της γλώσσας που αναγνωρίζει, µε οποιαδήποτε σειρά, ίσως και µε επαναλήψεις. Αν µια γλώσσα A απαριθµείται από απαριθµητή E, τότε αναγνωρίζεται από TM. Αλγοριθµική Περιγραφή της TM, για είσοδο w: 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E. Κάθε ϕορά που ο E εκτυπώνει λέξη w, η TM συγκρίνει τη w µε την w. 2. Αν εµφανιστεί η w στην έξοδο του E, η TM αποδέχεται. Θεώρηµα: Μια γλώσσα είναι αναγνωρίσιµη ανν απαριθµείται από απαριθµητή. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
2 Απόδειξη (2/2) Αναδροµικές Συναρτήσεις Αν µια γλώσσα αναγνωρίζεται από TM, τότε απαριθµείται από απαριθµητή. εδοµένης TM και καταλόγου, w 1, w 2,..., όλων των λέξεων, επί σχετικού αλφαβήτου, Σ: Για i = 1, 2, 3,... ο απαριθµητής επαναλαµβάνει: 1. Εκτέλεση i ϐηµάτων της TM, για καθεµία από τις εισόδους w 1, w 2, Κάθε ϕορά που η TM αποδέχεται, ο απαριθµητής εκτυπώνει τη λέξη. Παρατηρήσεις: Ενας κατάλογος w 1, w 2,... όλων των λέξεων επί του Σ είναι εφικτός: Εστω συνάρτηση f : Σ Σ. Υπολογίζεται από TM αν: Η TM τερµατίζει για κάθε είσοδο w Σ. Η TM αφήνει στην ταινία γραµµένη την f(w) Σ, στον τερµατισµό. Τότε η f λέγεται αναδροµική συνάρτηση. ιαισθητικά: η f µπορεί να οριστεί µέσω αναδροµικής διαδικασίας. διότι το Σ είναι αριθµήσιµο σύνολο, επειδή οι λέξεις του έχουν πεπερασµένο µήκος (περισσότερα έπονται) Κλεψιά: ο κατάλογος υπονοεί έναν «κρυµένο» απαριθµητή. Ολες οι «προφανείς» αριθµητικές f : N k N είναι αναδροµικές. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Η Καθολική Μηχανή Turing a. k. a. «Υπολογιστής» Η καθολική TM U δέχεται σαν είσοδο: Την κωδικοποίηση µιας TM M σε πεπερασµένο αλφάβητο της U. Την κωδικοποίηση της εισόδου w της M (στο αλφάβητο της U). Προσοµοιώνει την M για είσοδο w. Το πεπερασµένο αλφάβητο της U πρέπει να µπορεί να κωδικοποιήσει: Κάθε (πεπερασµένη) TM, µε οποιοδήποτε αλφάβητο ταινίας. Το (οποιοδήποτε πεπερασµένο) αλφάβητο (γλώσσας) εισόδου της TM. Βολικά Αλφάβητα: Σ U = {0, 1}, Σ U = {0, 1,..., 9, A, B,..., F}. (δυαδική κωδικοποίηση, δεκαεξαδική κωδικοποίηση, κ.λ.π.) Γιατί είναι εφικτό; ιότι το (άπειρο) σύνολο όλων των (πεπερασµένων) TMs και το (άπειρο) σύνολο όλων των πεπερασµένων λέξεων επί του Σ U είναι ισοµεγέθη. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Η Καθολική Μηχανή Turing Μηχανή Τριών Ταινιών: Η πρώτη έχει την κωδικοποίηση των περιεχοµένων της ταινίας της M. Η δεύτερη έχει κωδικοποιηµένη την M καθεαυτή. Η τρίτη έχει κωδικοποιηµένη την τρέχουσα κατάσταση της M. Υπολογισµός: Αρχικά, η είσοδος M, w γράφεται στην 1η ταινία. Η U µετακινεί την M στη 2η ταινία. Γράφει την w στην αρχή (αριστερά) της 1ης ταινίας. Γράφει την αρχική κατάσταση της M στην 3η ταινία. Προσοµοιώνει σε κάθε ϐήµα της κάθε ϐήµα της M για είσοδο w. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
3 Εισαγωγικά Το σηµαντικότερο αποτέλεσµα της Θεωρίας Υπολογισµού. Το Πρόβληµα του Τερµατισµού Μπορούν όλα τα προβλήµατα να επιλυθούν µε µηχανή Turing; Εστω ότι δίνεται ένα πρόγραµµα: κώδικας και προδιαγραφές εισόδου, περιγραφή εξόδου, προδιαγραφή λειτουργίας, κ.λ.π Να επαληθευτεί ότι λειτουργεί σύµφωνα µε τις προδιαγραφές του. Μπορούµε να αυτοµατοποιήσουµε την επαλήθευση µέσω υπολογιστή; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Εισαγωγικά Μέθοδος ιαγωνιοποίησης (1/2) Georg Cantor, 1873 Ορίζουµε: Αποδοχη/TM = { M, w η M είναι TM που αποδέχεται τη λέξη w }. Θα αποδείξουµε το ακόλουθο: Θεώρηµα Η γλώσσα Αποδοχη/TM δεν είναι αποφασίσιµη. Πρόβληµα σύγκρισης µεγεθών άπειρων συνόλων. Πώς αποφασίζουµε αν κάποιο είναι µεγαλύτερο από άλλο ή αν είναι ισοµεγέθη; ε µπορούµε να µετρήσουµε τα στοιχεία τους, όπως σε πεπερασµένα σύνολα. Παράδειγµα: { 0, 1 } και άρτιοι ϑετικοί ακέραιοι. Πώς συγκρίνονται; Παρατήρηση: ύο πεπερασµένα σύνολα είναι ισοµεγέθη αν ταιριάζονται τα στοιχεία του ενός µε του άλλου σε Ϲεύγη. Η ίδια µέθοδος εφαρµόζεται και στα απειροσύνολα! Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
4 Μέθοδος ιαγωνιοποίησης (2/2) Παράδειγµα 1 Ορισµοί: Εστω A, B σύνολα και συνάρτηση f : A B. Η f είναι: Μονοµορφική ή 1 1 (ένα προς ένα), αν: f(a) f(a ) όταν a a Επιµορφική ή επί του B αν «χρησιµοποιεί» όλα τα στοιχεία του B, δηλαδή αν: για κάθε b B υπάρχει a A τέτοιο ώστε f(a) = b. Τα A και B είναι ισοµεγέθη αν υπάρχει συνάρτηση f : A B που είναι: ταυτόχρονα 1 1 και επί του B. Εστω N = {1, 2, 3,... } το σύνολο των ϕυσικών αριθµών. Εστω E = {2, 4, 6,... } το σύνολο των άρτιων ϕυσικών αριθµών. ιαπιστώνουµε ότι τα N και E είναι ισοµεγέθη. Μπορούµε να ορίσουµε την αντιστοιχία f : N E, µε f(n) = 2n. Το παράδειγµα µοιάζει παράδοξο, καθώς γνωρίζουµε ότι E N. Ορισµός Ενα σύνολο λέγεται αριθµήσιµο αν είναι πεπερασµένο ή ισοµεγέθες µε το N. Τότε, η f λέγεται αντιστοιχία. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Παράδειγµα 2 (α) Παράδειγµα 2 (ϐ) Εστω Q = { m n m, n N } το σύνολο των ϱητών αριθµών. 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5... Παρότι Q N, ϑα δείξουµε ότι είναι αριθµήσιµο (ισοµεγέθες µε το N). Κατασκευάζουµε άπειρο πίνακα (άπειρες γραµµές, άπειρες στήλες): Γραµµή i: όλοι οι αριθµοί του Q µε αριθµητή i. 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5... 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5... Στήλη j: όλοι οι αριθµοί του Q µε παρονοµαστή j. Στοιχείο (i, j): έχει τον αριθµό i / j. 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5... Μετατρέπουµε τον πίνακα σε «κατάλογο» του Q, προσεκτικά. Παραθέτουµε τις διαγωνίους του πίνακα από το (i, 1) έως το (1, i) για i = 1, 2,..., χωρίς τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου, όταν i > 1. 5/1 5/ Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
5 Παράδειγµα 3 (α) Παράδειγµα 3 (ϐ) Θεώρηµα Το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών είναι υπεραριθµήσιµο. Με απαγωγή σε άτοπο, δείχνουµε ότι δεν υπάρχει αντιστοιχία f : N R. Εστω ότι υπάρχει αντιστοιχία f : N R. Θα εντοπίσουµε x R που δε «συνταιριάζεται» µε κανένα στοιχείο του N: τότε, η f δεν είναι επί του R, εποµένως, δε συνιστά αντιστοιχία, σε αντίφαση προς την υπόθεσή µας. Προκειµένου να εντοπίσουµε το x R, ϑα το κατασκευάσουµε. Επιλέγουµε κάθε ψηφίο του x κατάλληλα, ώστε να διαφέρει από κάποιον από τους πραγµατικούς αριθµούς που έχουν συνταιριαστεί µε στοιχεία του N. Παράδειγµα. Αν µέρος της f(n) είναι αυτό που δίνεται στον πίνακα αριστερά: n f(n) Επιλέγουµε x (0, 1) που διαφέρει: - στο 1ο δεκαδικό ψηφίο από το f(1). - στο 2ο δεκαδικό ψηφίο από το f(2). - στο 3ο δεκαδικό ψηφίο από το f(3). - στο 4ο δεκαδικό ψηφίο από το f(4). - κ.ο.κ. Σηµείωση: Ϲεύγη αριθµών και είναι ίσοι, παρά τη διαφορετική δεκαδική τους αναπαράσταση. Για το λόγο αυτό ϕροντίζουµε να µην επιλέγουµε ποτέ τα ψηφία 9 και 0 σαν δεκαδικά ψηφία του x. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Συνέπεια του Παραδείγµατος 3 Απόδειξη (1/3) αλφάβητο Σ, πεπερασµένο πλήθος λέξεων επί του Σ µε συγκεκριµένο µήκος. Πόρισµα Υπάρχουν γλώσσες που δεν είναι Turing-αναγνωρίσιµες. ικαιολόγηση: Το σύνολο των µηχανών Turing είναι αριθµήσιµο. Το σύνολο όλων των γλωσσών είναι υπεραριθµήσιµο. Μπορούµε να γράψουµε «κατάλογο» που, αρχικά, έχει όλες τις λέξεις µήκους 0, κατόπιν όλες τις λέξεις µήκους 1, µετά όλες τις λέξεις µήκους 2 κ.λ.π. Αρα, το Σ είναι αριθµήσιµο. Κάθε µηχανή Turing, M, µπορεί να κωδικοποιηθεί µε κάποια λέξη, M, του Σ. ιαγράφουµε από τον κατάλογο λέξεων του Σ τις λέξεις που δεν είναι TMs. ιαγράφουµε τις λέξεις που κωδικοποιούν την ίδια TM µε προηγούµενη λέξη. Ο εναποµένων κατάλογος είναι αριθµήσιµος, καθώς κάθε στοιχείο του µπορεί να αντιστοιχηθεί σε διαφορετικό στοιχείο του N. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
6 Απόδειξη (2/3) Απόδειξη (3/3) Το σύνολο B όλων των άπειρου µήκους δυαδικών ακολουθιών είναι υπεραριθµήσιµο. Γιατί; Μπορούµε να το αποδείξουµε µε διαγωνιοποίηση, όπως για το R. Εστω L το σύνολο όλων των γλωσσών επί του αλφαβήτου Σ. Θα δείξουµε ότι τα L και B είναι ισοµεγέθη. Θα δώσουµε µια αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων των L και B. Ορίζουµε τη χαρακτηριστική ακολουθία, χ A, κάθε γλώσσας A L. Εστω Σ = { s 1, s 2, s 2,... }. Ορίζουµε το i-οστό ψηφίο της χ A να είναι 1, αν s i A, διαφορετικά 0. Παράδειγµα: Η γλώσσα των λέξεων που ξεκινούν από 0. Η συνάρτηση f : L B, όπου f(a) = χ A είναι: 1 1 και επί του B. Εποµένως, είναι αντιστοιχία. Αντιστοιχίσαµε: κάθε στοιχείο του (υπεραριθµήσιµου) B σε ένα στοιχείο (γλώσσα επί του Σ) του L. Εποµένως, το L πρέπει να είναι ισοµεγέθες του B, άρα, υπεραριθµήσιµο. Σ = { ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,... } A = { 0, 00, 01, 000, 001,... } χ A = Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Το Πρόβληµα του Τερµατισµού (Halting Problem) Απόδειξη (1/3) Ορίζουµε τη Γλώσσα: Αποδοχη/TM = { M, w η M είναι TM και αποδέχεται τη w } Ερώτηµα: Είναι (Turing-)αποφασίσιµη η Αποδοχη/TM; Αν είναι, τότε υπάρχει TM που αποφασίζει αν: η M αποδέχεται την w, ή η M απορρίπτει την w. Οταν η TM αποδέχεται, η M αποδέχεται και, εποµένως, η M τερµατίζει. Υποθέτουµε ότι υπάρχει TM, H, που αποφασίζει την Αποδοχη/TM: { αποδοχή αν η M αποδέχεται τη w H( M, w ) = απόρριψη αν η M δεν αποδέχεται τη w Κατασκευάζουµε µια νέα TM, D, που χρησιµοποιεί την H σαν υπορουτίνα. Η D καλεί την H για να προσδιορίσει πώς συµπεριφέρεται η M µε είσοδο τη λέξη M. Κατόπιν, η D αποκρίνεται το αντίθετο από την M: Οταν η TM απορρίπτει, τότε: αποδέχεται όταν η M δεν αποδέχεται, δηλ. η H( M, M ) απορρίπτει, η M είτε τερµατίζει απορρίπτοντας (τη w), απορρίπτει όταν η M αποδέχεται, δηλ. η H( M, M ) αποδέχεται. είτε υπολογίζει ατέρµονα χωρίς να αποδέχεται ποτέ. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
7 Απόδειξη (2/3) Απόδειξη (3/3) Για είσοδο M, η µηχανή Turing D: 1. Εκτελεί (προσοµοιώνει) την H, για είσοδο M, M. 2. Αποδέχεται αν η H απορρίπτει, διαφορετικά, απορρίπτει. Αρα, ό,τι κι αν αποκριθεί η D, θα αποκριθεί ταυτόχρονα και το αντίθετο!!! Εποµένως: D( M ) = { αποδοχή απόρριψη αν η M δεν αποδέχεται τη λέξη M αν η M αποδέχεται τη λέξη M Προφανώς αυτό δε γίνεται, η D δε µπορεί να υπάρχει. Ορίσαµε τη D µέσω της H, την οποία ορίσαµε µέσω της M. Εποµένως δε µπορεί να υπάρχει η H. Τώρα, εκτελούµε τη µηχανή D µε είσοδο τον εαυτό της! Και λαµβάνουµε: { αποδοχή αν η D δεν αποδέχεται τη λέξη D D( D ) = απόρριψη αν η D αποδέχεται τη λέξη D Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ερµηνεία µε ιαγωνιοποίηση (1/3) Ερµηνεία µε ιαγωνιοποίηση (2/3) Συνοψίζουµε τους ορισµούς µας από την απόδειξη: Η H αποδέχεται τη λέξη M, w αν και µόνο αν η M αποδέχεται τη λέξη w. Η D απορρίπτει τη λέξη M αν και µόνο αν η M αποδέχεται τη λέξη M. Η D απορρίπτει τη λέξη D αν και µόνο αν η D αποδέχεται τη λέξη D. Κατασκευάζουµε έναν πίνακα µε άπειρες γραµµές και άπειρες στήλες. Μία γραµµή για κάθε δυνατή µηχανή Turing, M i, και µία στήλη για την κωδικοποίησή της σαν λέξη. M 1 M 2 M 3 M 4... M 1 αποδοχή αποδοχή... M 2 αποδοχή αποδοχή αποδοχή αποδοχή... M 3... M 4 αποδοχή αποδοχή Σηµείωση: όπου δεν έχουµε γράψει «αποδοχή», σηµαίνει ότι η M µε είσοδο την κωδικοποίηση του εαυτού της είτε τερµατίζει απορρίπτοντας, είτε υπολογίζει ατέρµονα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ξαναγράφουµε τον πίνακα, µε τη συµπεριφορά της H σε κάθε κελί: H M 1 M 2 M 3 M 4... M 1 αποδοχή απόρριψη αποδοχή απόρριψη... M 2 αποδοχή αποδοχή αποδοχή αποδοχή... M 3 απόρριψη απόρριψη απόρριψη απόρριψη... M 4 αποδοχή αποδοχή απόρριψη απόρριψη Παρατήρηση: η µηχανή Turing D, ϑα πρέπει να ϐρίσκεται στη λίστα όλων των µηχανών Turing, είναι δηλαδή µια από τις M 1, M 2, M 3,... Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
8 Ερµηνεία µε ιαγωνιοποίηση (3/3) Μια µη αναγνωρίσιµη γλώσσα Προσθέτουµε στον προηγούµενο πίνακα µια γραµµή και στήλη για την D: H M 1 M 2 M 3 M 4... D... M 1 αποδοχή απόρριψη αποδοχή απόρριψη... απόρριψη... M 2 αποδοχή αποδοχή αποδοχή αποδοχή... απόρριψη... M 3 απόρριψη απόρριψη απόρριψη απόρριψη... αποδοχή... M 4 αποδοχή αποδοχή απόρριψη απόρριψη... αποδοχή D απόρριψη απόρριψη αποδοχή αποδοχή...??? Η D υπολογίζει το αντίθετο των στοιχείων της διαγωνίου του πίνακα. Τότε, όµως, στη ϑέση της διαγωνίου που αντιστοιχεί στον εαυτό της, υπολογίζει το αντίθετο της δικής της απόφασης!!!! ΑΤΟΠΟ Αποδείξαµε ότι η Αποδοχη/TM δεν είναι αποφασίσιµη (Το πρόβληµα του τερµατισµού). Είναι όµως αναγνωρίσιµη: Μια TM για είσοδο M, w, προσοµοιώνει την M µε είσοδο w. Η TM τερµατίζει αποδεχόµενη, αν τερµατίζει η M αποδεχόµενη. Θα εντοπίσουµε µια γλώσσα που δεν είναι καν ( Turing-)αναγνωρίσιµη. Μια γλώσσα, A, είναι συµπληρωµατικά αναγνωρίσιµη, αν η Ā = { w w A } είναι αναγνωρίσιµη. Θεώρηµα Μια γλώσσα είναι αποφασίσιµη αν και µόνο αν είναι αναγνωρίσιµη και συµπληρωµατικά αναγνωρίσιµη. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Απόδειξη (1/2) Απόδειξη (2/2) Αν µια γλώσσα, A, είναι αποφασίσιµη: Τότε και η Ā είναι αποφασίσιµη (γιατί;) Εποµένως, η A και η Ā, είναι αναγνωρίσιµες (αφού είναι αποφασίσιµες). Αρα η A είναι ταυτόχρονα αναγνωρίσιµη και συµπληρωµατικά αναγνωρίσιµη. Εστω ότι η A και η Ā είναι αναγνωρίσιµες. Υπάρχουν δηλαδή µηχανές Turing M και M, που τερµατίζουν αποδεχόµενες οποιαδήποτε λέξη w A και w Ā, αντιστοίχως. Τότε µπορούµε να ορίσουµε τη µηχανή Turing T που αποφασίζει την A; Για είσοδο w, η µηχανή T: 1. Προσοµοιώνει παράλληλα τις M και M για είσοδο w. 2. Αν αποδεχθεί η M, αποδέχεται. Αν αποδεχθεί η M, απορρίπτει. Σχόλια: Είναι σηµαντικό η T να προσοµοιώνει παράλληλα τις M και M. ηλαδή, να εκτελεί ένα ϐήµα από την M, κατόπιν ένα ϐήµα από την M. Ετσι διασφαλίζουµε ότι τερµατίζει πάντα (και, εποµένως, αποφασίζει)! Αν προσοµοίωνε πρώτα την M ή την M και µετά την M ή την M αντίστοιχα: µπορεί η πρώτη προσοµοίωση να µην τερµάτιζε ποτέ!!! Τότε, ούτε η T ϑα τερµάτιζε. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
9 Η γλώσσα Αποδοχη/TM Πόρισµα Η γλώσσα Αποδοχη/TM δεν είναι (Turing-)αναγνωρίσιµη. Απόδειξη: Γνωρίζουµε ότι η Αποδοχη/TM είναι αναγνωρίσιµη. Αν είναι αναγνωρίσιµη και η Αποδοχη/TM, τότε η Αποδοχη/TM είναι αποφασίσιµη (από το προηγούµενο ϑεώρηµα). Οµως γνωρίζουµε ότι η Αποδοχη/TM δεν είναι αποφασίσιµη (Πρόβληµα Τερµατισµού) ΑΤΟΠΟ! Εποµένως η Αποδοχη/TM δεν είναι αναγνωρίσιµη. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/ / 60
Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;
Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015
Διαβάστε περισσότεραΓνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.
Γνωριµία ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 26): ευτέρα
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36
ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ Τι θα κάνουμε σήμερα Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Ασυμφραστικές Γλώσσες (4.1.2) Το Πρόβλημα του Τερματισμού
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΗ NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.
Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016
Διαβάστε περισσότεραΣε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing
Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές
Διαβάστε περισσότεραnum(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k ))
Υπολογισμοί με Μ.Τ. Εστω M = (K, Σ, δ, s, {y, n}) μια Μ.Τ. Κάθε συνολική κατάσταση τερματισμού της οποίας η κατάσταση τερματισμού είναι το y, θα ονομάζεται συνολική κατάσταση αποδοχής, ενώ αν η κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 10 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραΓενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.
Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος.
Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες () ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εισαγωγή: Υπολογισιµότητα και Πολυπλοκότητα. Βασικές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 9 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΠοιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);
Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές
Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /
Διαβάστε περισσότεραΑνω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n
Διαβάστε περισσότεραΜη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση
Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις
Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού
Διαβάστε περισσότεραιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r
ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΓενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει την ακόλουθη γλώσσα. { a n b n+2 c n 2 n 2 } Λύση: H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης
Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότερα10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα
Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΜΤ Τυχαίας Προσπέλασης Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 23: Μηχανές Turing Τυχαίας Προσπέλασης Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμα Πληροφορικής Επ. Καθ.
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 23: Μηχανές Turing Τυχαίας Προσπέλασης Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα.
Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες (3) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς (Ντετερµινιστική) Κλειστότητα Κανονικών Γλωσσών ως προς Ενωση. Κατασκευή: DFA
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ. Μάθηµα 3.2: ηµήτρης Ψούνης
ΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ Μάθηµα 3.2: Ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β. Θεωρία 1. Πεπερασµένα Αυτόµατα 1. Λειτουργία και Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {1010 2 10 3 10 n 1 10 n 1 n 1}. (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata
Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1.
Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2): Αυτόµατα Στοίβας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μη Κανονικές Γλώσσες Το Λήµµα της Αντλησης για τις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 12. Θεωρία Υπολογισιμότητας 30Μαρτίου, 17 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Θέση Church-Turing Τι μπορεί να υπολογιστεί και τι δεν μπορεί να υπολογιστεί?
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΠλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.
30 Νοεμβρίου 2016 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΚωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου)
Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Εισαγωγή. Αυτό το φυλλάδιο έχει στόχο να δώσει ένα ανάλογο αποτέλεσµα µε αυτό του linear speedup θεωρήµατος, εάν έχουµε µία µηχανή
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς έντρα 1 / 27 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 12: Μηχανές Turing Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing (TM) Τυπικός Ορισμός Μηχανής Turing (3.1.1) 1 Τι είδαμε μέχρι στιγμής Πεπερασμένα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20 Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΑρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων. Εφαρµογές. Παράδειγµα 1.
Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.g Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς A B C = A + B + C A B B C A C +
Διαβάστε περισσότερα5.1 Θεωρητική εισαγωγή
ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΜονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.
Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που
Διαβάστε περισσότεραΥπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville
Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης
Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο
Διαβάστε περισσότερα- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N.
Αναδροµικές Σχέσεις Αναδροµικές Σχέσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµική Σχέση για την ακολουθία a n } είναι: - εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω
Διαβάστε περισσότεραΑπαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης
Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των
Διαβάστε περισσότεραΠροηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων
Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων
Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 19 Μαΐου,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΠολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.
Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue
Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.
Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα: Προσοµοίωση µιας ουράς FIFO Οι λειτουργίες που υποστηρίζονται από µια ουρά FIFO είναι: [enq(q,x), ack(q)] [deq(q), return(q,x)] όπου x είν
Wait-free προσοµοιώσεις αυθαίρετων αντικειµένων Έχουµε δει ότι το πρόβληµα της οµοφωνίας δεν µπορεί να επιλυθεί µε χρήση µόνο read/write καταχωρητών. Πολλοί µοντέρνοι επεξεργαστές παρέχουν επιπρόσθετα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης
Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή
Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραK είναι το σύνολο των καταστάσεων. Σ είναι το αλφάβητο των συµβόλων που χρησιµοποιούνται και το οποίο. s K είναι η αρχική κατάσταση της M.
Ισοδυναµία των Μηχανών Turing (TM) Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 11 Απριλίου 2006 1 Βασική µορφή Μηχανών Turing (BTM) Η ϐασική µορφή της Μηχανής Turing (ΒΤΜ) αποτελείται από ένα σύνολο εντολών, µία ταινία που
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 11: Καθολική μηχανή Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory
CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένος έλεγχος καταστάσεων
Κεφάλαιο 6 Μηχανές Turing Σύνοψη Οι Μηχανές Turing (ΜΤ) δεν είναι απλά μία ακόμη μηχανή αναγνώρισης για κάποια ευρύτερη οικογένεια γλωσσών από τις γλώσσες, που γίνονται δεκτές από τα Αυτόματα Στοίβας.
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines
CSC 314: Switching Theory Chapter 3: Turing Machines 28 November 2008 1 1 Υπολογισμοί σε Μηχανές Turing Πως χρησιμοποιούμε μια μηχανή Turing? Για την αναγνώριση μιας γλώσσας? Σύμβαση για την αναγνώριση
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Η µαθηµατική ανάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί να πάρει τη µορφή ποιοτικής, παραµετρικής και ποσοτικής ανάλυσης.
1 Πρόλογος Σκοπός του παρόντος συγγράµµατος είναι να αναδείξει τη συµβολή των καθαρών µαθηµατικών στην ανάπτυξη και λειτουργία οποιουδήποτε οικονοµικού συστήµατος. Σε κάθε βήµα των µαθηµατικών µεθόδων
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
Διαβάστε περισσότερα771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων
771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 4 ο ιδάσκων: Α. Ντελόπουλος Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης
Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 Τµηµα Β ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html 19 Οκτωβρίου 2016 Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε
Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες
Διαβάστε περισσότερα