ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ

Αναγνωσιµότητα και Eικόνες ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης, Ιλιάδα Ηλία, Στυλιανή Καταλάνου Μοδεστίνα Μοδέστου, Ορτάνζια Ιωάννου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο τοµέας αναγνωσιµότητας είναι ένας από τους πιο έντονα µελετηµένους τοµείς της εκπαιδευτικής έρευνας. Έχουν αναπτυχθεί δεκάδες τεχνικών ή τύπων που επιτρέπουν την εκτίµηση της δυσκολίας ενός κειµένου. Από την άλλη πλευρά στις τελευταίες δεκαετίες έχουν γίνει πολλές έρευνες για το ρόλο των αναπαραστάσεων και ιδιαίτερα των εικόνων στην κατανόηση και µάθηση των µαθηµατικών εννοιών. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται µερικές τεχνικές µέτρησης της αναγνωσιµότητας των κειµένων και εκφράζονται πρώτες σκέψεις για την εµπλοκή των εικόνων σε αυτές τις τεχνικές. 1. Εισαγωγή Τι είναι αναγνωσιµότητα Αναγνωσιµότητα είναι ο βαθµός δυσκολίας που αισθάνεται ένας αναγνώστης όταν προσπαθεί να καταλάβει ένα κείµενο χωρίς να λαµβάνουµε υπόψη την υλική παρουσίαση του µηνύµατος. Ο βαθµός δυσκολίας ανάγνωσης ενός κειµένου επηρεάζεται από το περιεχόµενο του, από τον τρόπο µε τον οποίο είναι συνταγµένο αλλά και από τις προτιµήσεις του αναγνώστη (Γαγάτσης, 1985, σ. 137). Οι έρευνες για την αναγνωσιµότητα γίνονται µε απώτερο σκοπό να βρεθεί τρόπος για πρόβλεψη και έλεγχο της δυσκολίας της γραπτής γλώσσας. Με λίγα λόγια ο σκοπός των ερευνών αυτών είναι η καλυτέρευση της αποτελεσµατικότητας της γραπτής επικοινωνίας (Γαγάτσης, 1985, σ. 138). Η πολυπλοκότητα της σύνταξης αλλά και η δυσκολία του χρησιµοποιούµενου λεξιλογίου έχει ως αποτέλεσµα πολλοί έφηβοι και παιδιά να καταλαβαίνουν αργά αυτά που διαβάζουν. Επίσης η ακατάλληλη διδασκαλία της ανάγνωσης σε συνδυασµό µε την καθηµερινή επαφή µε κείµενα που µαθαίνουν µε δυσκολία έχει ως αποτέλεσµα οι µαθητές να αποθαρρύνονται από το διάβασµα. Το πρόβληµα αυτό γίνεται εντονότερο µε τα µαθηµατικά κείµενα, τα οποία παρουσιάζουν µεγαλύτερα προβλήµατα αποκωδικοποίησης λόγω του ότι χρησιµοποιούν ένα µείγµα της φυσικής και της µαθηµατικό - συµβολικής γλώσσας. Ένας ακόµη λόγος είναι το ότι τα µαθηµατικά συνοδεύονται σχεδόν πάντα από µια προφορική επικοινωνία, µ αποτέλεσµα πολλοί συγγραφείς µαθηµατικών να µη δίνουν µεγάλη σηµασία στη σύνταξη των κειµένων αλλά µόνο στην ορθότητα των αποδείξεων (Γαγάτσης, 1985, σ. 138). Είναι καλό να γνωρίζουµε ποια µετρήσιµα στοιχεία του γραπτού λόγου συνδέονται µε την αναγνωσιµότητα, αφού αυτή είναι ένας στατιστικός δείκτης που είναι σε στενή συσχέτιση µε τη δυσκολία των κειµένων. Μερικά από αυτά τα στοιχεία 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 111

Α. Γαγάτσης κ.á. είναι το ποσοστό των λέξεων που χρησιµοποιούνται συχνά, ο αριθµός των δύσκολων λέξεων, ο αριθµός των άγνωστων λέξεων για µαθητές µιας τάξης, ο αριθµός σύνθετων φράσεων, ο αριθµός «µαθηµατικών» όρων κτλ (Γαγάτσης, 1985, σ. 141). Σε γενικές γραµµές, όλες οι µελέτες δείχνουν ότι ένα κείµενο είναι εύκολο όταν περιέχει συνηθισµένες και µικρές λέξεις ενώ είναι δύσκολο όταν περιέχει µεγάλες και ασυνήθιστες λέξεις. Το βασικό πρόβληµα που προκύπτει είναι η επιλογή µονάδας που να µετρά το βαθµό οικειότητας των λέξεων. Μια µεταβλητή που φαίνεται να επηρεάζει το βαθµό δυσκολίας ενός κειµένου είναι η οικειότητα των λέξεων. Οι πιο συχνές λέξεις είναι πιο οικείες σ ένα άτοµο από τις λιγότερο συχνές. Παρ όλα αυτά, η οικειότητα των λέξεων είναι πιο σηµαντική από τη συχνότητα καθώς πολλές λέξεις είναι οικείες και ανακαλούνται πολύ εύκολα επειδή χρησιµοποιούνται στην καθηµερινή ζωή, για παράδειγµα αντιστοιχούν σε αντικείµενα καθηµερινής χρήσης, και όχι επειδή εµφανίζονται συχνά σε κείµενα (Γαγάτσης, 1985, σ. 141). Άλλη µια µεταβλητή που επηρεάζει τη δυσκολία είναι ο λεκτικός πλεονασµός, που υπολογίζεται µε εύρεση του λόγου ανάµεσα στον αριθµό διαφορετικών λέξεων και στον ολικό αριθµό λέξεων ενός κειµένου (Γαγάτσης, 1985, σ. 142). Ο δείκτης αυτός είναι γνωστός και ως «rapport type-occurrence» ή «type token ratio». Τη δυσκολία ενός κειµένου επηρεάζει, επίσης, το µήκος της φράσης. Μετριέται µε βάση τον αριθµό των λέξεων ή τον αριθµό των συλλαβών. Γενικά, ένα κείµενο µε πολλές δευτερεύουσες προτάσεις και µεγάλες φράσεις είναι κατά µέσο όρο πιο δύσκολο στην κατανόηση (Γαγάτσης, 1985, σ. 143). 2. Τρεις τύποι αναγνωσιµότητας Για υπολογισµό της αναγνωσιµότητας προτάθηκαν πολλοί τύποι. Ένας τύπος αναγνωσιµότητας είναι µια γραµµική σχέση της µορφής Α = αx + βy + γz + + Κ όπου A είναι η αναγνωσιµότητα των κειµένων, α, β, γ,, Κ είναι σταθερές και x, y, z διάφορα µετρήσιµα στοιχεία των κειµένων. Τύποι αναγνωσιµότητας προτάθηκαν για την αγγλική γλώσσα, τη γαλλική και την ολλανδική. Σε εργασία που έγινε από το Γαγάτση (1985), συγκρίθηκαν τα αποτελέσµατα τριών τύπων που προτάθηκαν από τους L. Kandel και A. Moles, τον G. De Landsheere και τον G Henry σε 44 γαλλικά κείµενα µαθηµατικών. Ο τύπος που προτάθηκε από τους Kandel και Moles για τη γαλλική γλώσσα είναι µια προσαρµογή του τύπου που προτάθηκε από τον Flesch το 1948 για την αγγλική. Βάσει του τύπου του Flesch, η ευκολία στην ανάγνωση υπολογιζόταν ως εξής: Ευκολία = 206,835 0,846sm 1,015mp όπου sm είναι ο αριθµός συλλαβών ανά 100 λέξεις και mp είναι ο αριθµός των λέξεων σε κάθε φράση (Γαγάτσης, 1985, σ. 147). Οι Kandel και Moles προσάρµοσαν τον τύπο του Flesch έτσι ώστε: Ευκολία = 206,85 0,74sm 1,02mp. εν πρότειναν κάποια ειδική µετατροπή για τον υπολογισµό των συλλαβών και των φράσεων στη γαλλική γλώσσα. Παρατηρώντας, όµως, ότι οι γαλλικές λέξεις είναι κατά µέσο όρο πιο µεγάλες από τις αγγλικές λέξεις, µείωσαν τον αντίστοιχο συντελεστή σε σχέση µε τον τύπο του Flesch, διαιρώντας τον µε 1,15 (Γαγάτσης, 1985, σ. 153-154). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 112

Αναγνωσιµότητα και Eικόνες Ο τύπος που προτάθηκε από τον De Landsheere είναι ο ίδιος µε τον τύπο του Flesch. Οι συντελεστές παραµένουν αναλλοίωτοι αλλά προτείνονται ειδικοί κανόνες υπολογισµού φράσεων και συλλαβών. Ο πιο σηµαντικός κανόνας του De Landsheere είναι ο υπολογισµός του άφωνου «e» για τον αριθµό των συλλαβών. Με βάση αυτόν τον κανόνα, αυτό που συµβαίνει ουσιαστικά είναι η αύξηση του αριθµού των συλλαβών και κατ επέκταση του όρου «0,84sm», µ αποτέλεσµα την µείωση των σκορς αναγνωσιµότητας (Γαγάτσης, 1985, σ. 154). Εκτός από τους Kandel και Moles και τον De Landsheere, εργάστηκε σχετικά µε τους τύπους αναγνωσιµότητας και ο Henry. Συγκεκριµένα, εργάστηκε πάνω στους τύπους δεύτερης γενιάς, στα τεστ ολοκλήρωσης (cloze test ή test de closure). Το τεστ ολοκλήρωσης είναι ένα τεστ που συνίσταται στην κατάργηση κάθε πέµπτης (5 ης ) λέξης σ ένα κείµενο και που οι αναγνώστες πρέπει να συµπληρώσουν (Γαγάτσης, 1985, σ. 153). Οι τύποι που πρότεινε µέσα από τις εργασίες του ο Henry στα τεστ ολοκλήρωσης, είναι οι πρώτοι που κατασκευάστηκαν ειδικά για τη γαλλική γλώσσα. Παίρνοντας τα αποτελέσµατα του τεστ ολοκλήρωσης σαν κύριο κριτήριο, ο Henry χρησιµοποίησε 116 µεταβλητές που εντάσσονται στις πιο κάτω κατηγορίες: - τυπικές µεταβλητές, π.χ. µήκος των φράσεων - λεξικές µεταβλητές, π.χ. πλεονασµός, συχνότητα - κατηγορικές µεταβλητές π.χ. γραµµικές τάξεις και υποτάξεις - συντακτικές µεταβλητές - µεταβλητές διαλόγου π.χ. επιφωνήµατα, εισαγωγικά κτλ (Γαγάτσης, 1985, σ. 154). Η πρωτοτυπία των εργασιών του Henry συνίσταται στο γεγονός ότι πρότεινε διαφορετικούς τύπους για τρία διαφορετικά µορφωτικά επίπεδα: το τέλος της δηµοτικής εκπαίδευσης, το τέλος της κατώτερης µέσης εκπαίδευσης (γυµνάσιο) και το τέλος της ανώτερης µέσης εκπαίδευσης (λύκειο) (σ. 154). Παράλληλα, για κάθε επίπεδο προτείνονται τρεις διαφορετικοί τύποι: ένας τύπος που περιλαµβάνει όλες τις µεταβλητές, ο οποίος είναι πολύ δύσχρηστος και αξιοποιείται µόνο για ερευνητικούς σκοπούς, ένας τύπος «υπολογιστής» που χρησιµοποιείται σε µεγάλη κλίµακα και ένας «σύντοµος» τύπος που επιτρέπει σε όλους τον υπολογισµό της αναγνωσιµότητας χωρίς ειδικό υλικό (Γαγάτσης, 1985, σ. 154). Εφαρµόζοντας τους προτεινόµενους τύπους σε 44 γαλλικά κείµενα µαθηµατικών, παρατηρήθηκε ότι υπήρχε οµοιότητα ανάµεσα στις ταξινοµήσεις των κειµένων για τους τύπους των Kandel Moles και του De Landsheere. Όµως, η οµοιότητα αυτή ήταν µικρή, δεδοµένου ότι πρόκειται για τον ίδιο τύπο, στον οποίο έγιναν διαφορετικές µεταβολές (Γαγάτσης, 1985, σ. 159). Εκπληκτικό είναι και το γεγονός ότι περνώντας από ένα κείµενο σε άλλο, το αποτέλεσµα βάσει του τύπου των Kandel Moles αυξανόταν ενώ βάσει του τύπου του De Landsheere µειωνόταν. Αναφορικά µε τ αποτελέσµατα των τύπων αυτών σε σχέση µε τον τύπο του Henry, παρουσιάζονται διαφορές είτε στ αναλυτικά είτε στα συγκεντρωτικά αποτελέσµατα. (Γαγάτσης, 1985, σ. 159). Μέσα από τη σύγκριση των τριών τύπων αναγνωσιµότητας διαπιστώνεται, όπως αναφέρει ο Γαγάτσης (1985), ότι για να µετατρέψουµε έναν τύπο από µια γλώσσα σε άλλη, φαίνεται πιο έγκυρη η αλλαγή ενός ή περισσότερων από τους συντελεστές του 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 113

Α. Γαγάτσης κ.á. τύπου παρά η αλλαγή στους κανόνες υπολογισµού των φράσεων, συλλαβών, λέξεων κτλ. (σ. 160). Επίσης, η σύγκριση έδειξε πως ο τύπος του Henry δείχνει καλύτερα την αναγνωσιµότητα των µαθηµατικών κειµένων (Γαγάτσης, 1985, σ. 170). 3. Εφαρµογή τύπων αναγνωσιµότητας σε µαθηµατικά κείµενα Ο τύπος του Flesch, στον οποίο έγινε αναφορά στο προηγούµενο κεφάλαιο, όπως και οι περισσότεροι τύποι αναγνωσιµότητας, κατασκευάστηκαν για λογοτεχνικά κείµενα. Εντούτοις, υπάρχουν πολλά παραδείγµατα εφαρµογής των τύπων αυτών σε µαθηµατικά κείµενα. Συγκεκριµένα, όπως ο Γαγάτσης (1985) αναφέρει, έγιναν εφαρµογές του τύπου του Flesch σε µαθηµατικά κείµενα από τους Selikson και τον Johnson (σ. 169). Επίσης, οι Heddons και Smith και ο Selikson εφάρµοσαν σε µαθηµατικά κείµενα και τον τύπο που πρότειναν οι Dale-Chall (Γαγάτσης, 1985, σ. 169). Με την εφαρµογή τέτοιων τύπων αναγνωσιµότητας σε µαθηµατικά κείµενα, προέκυψαν ορισµένες δυσκολίες. Για παράδειγµα, οι λέξεις «αν», «και», «αν», «τότε», «µόνο» είναι οικείες σε µαθητές ορισµένης ηλικίας αλλά δεν είναι σίγουρο πως οι εκφράσεις «αν και µόνο αν», «αν τότε» είναι οικείες στους ίδιους µαθητές. Παράλληλα, στα µαθηµατικά κείµενα µεγάλο µέρος του λεξιλογίου µπορεί να είναι γνωστό στους µαθητές αλλά να µην περιέχεται συνήθως σε καταλόγους λέξεων (Γαγάτσης, 1985, σ. 170). Κατ επέκταση, οι τύποι αναγνωσιµότητας δεν είναι λαθεµένοι. Τα λάθη προκύπτουν µε την εφαρµογή τους σε κείµενα διαφορετικά απ αυτά για τα οποία κατασκευάστηκαν (Γαγάτσης, 1985, σ. 170). Έγινε εφαρµογή του τύπου του Flesch και σε ελληνικά βιβλία των µαθηµατικών. Συγκεκριµένα, εφαρµόστηκε σε 60 κείµενα, 60 ορισµούς και 60 ασκήσεις των βιβλίων των τριών µεγαλύτερων τάξεων του ηµοτικού. Με τον ίδιο τρόπο έγινε εφαρµογή του τύπου του Flesch σε τρία βιβλία των µαθηµατικών του Γυµνασίου και τρία του Λυκείου (Γαγάτσης, 1985, σ. 173-174). Μέσα από την εφαρµογή του τύπου στα προαναφερθέντα κείµενα, παρατηρήθηκε ότι τα βιβλία των µαθηµατικών ήταν πιο δύσκολα από το αναµενόµενο. Η αυξηµένη δυσκολία οφείλεται πιθανότατα στη συµβολικο-µαθηµατική γλώσσα, στις πολύπλοκες περιγραφές καθώς και στη χρήση σύνθετων λέξεων (Γαγάτσης, 1985, σ. 174). Επίσης, παρατηρώντας τους µέσους όρους των αποτελεσµάτων για τα κείµενα, τους ορισµούς και τις ασκήσεις, δεν ξεκαθαρίζεται ποιο από τα τρία είναι το πιο δύσκολο (Γαγάτσης, 1985, σ. 174). Παράλληλα, αναφορικά µε τα βιβλία του Γυµνασίου και του Λυκείου, η αυξηµένη χρήση αριθµών και συµβόλων δηµιουργεί προβλήµατα στην εφαρµογή του τύπου. Οι αριθµοί και τα σύµβολα παραλείπονται, µ αποτέλεσµα να αγνοούνται σηµαντικά µέρη ενός βιβλίου όταν εφαρµόζεται ένας τύπος αναγνωσιµότητας (Γαγάτσης, 1985, σ. 174). Ως εκ τούτου, οι µέσοι όροι αναγνωσιµότητας των βιβλίων σπάνια έχουν αξία. Από την άλλη, τα ατοµικά σκορς αναγνωσιµότητας των κειµένων έχουν πρακτική αξία όταν ο δείκτης είναι χαµηλός ενώ στα κείµενα δεν περιέχονται µαθηµατικά σύµβολα. Σε τέτοια περίπτωση, είναι σηµαντικό να γίνουν προσπάθειες εξήγησης του χαµηλού δείκτη, καθώς και πώς αυτός επηρεάζει την κατανόηση των µαθητών (Γαγάτσης, 1985, σ. 175). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 114

Αναγνωσιµότητα και Eικόνες Σε γενικές γραµµές, µέσα από την εφαρµογή τύπων αναγνωσιµότητας λογοτεχνικών κειµένων σε µαθηµατικά κείµενα, δηµιουργήθηκαν τα ίδια προβλήµατα ανεξαρτήτου της γλώσσας του κειµένου. Τα σύµβολα, οι αριθµοί και οι µαθηµατικοί τύποι αυξάνουν τον αριθµό των συλλαβών µ αποτέλεσµα να µειώνεται ο δείκτης αναγνωσιµότητας και να µη είναι γνωστή η πραγµατική δυσκολία του κειµένου (Γαγάτσης, 1985, σ. 175). Επιπλέον, µε τους τύπους δε λαµβάνεται υπόψη η δυσκολία τεχνικών όρων και ειδικών µαθηµατικών εκφράσεων (Γαγάτσης, 1985, σ. 175). Τέτοια προβλήµατα καθιστούν αναγκαία την ύπαρξη ειδικών τύπων για µέτρηση της αναγνωσιµότητας των µαθηµατικών κειµένων. 4. Ειδικοί τύποι αναγνωσιµότητας για µαθηµατικά κείµενα Την αναγκαιότητα για δηµιουργία ειδικών τύπων αναγνωσιµότητας µαθηµατικών κειµένων εντόπισαν και οι Kane, Byrne και Hater, όπως παρατίθεται στο Γαγάτση (1985). Η µελέτη τους διαιρείται σε τρία µέρη. Στο πρώτο µέρος ανάπτυξαν κατάλογο οικείων µαθηµατικών συµβόλων και λέξεων, στο δεύτερο µέρος επικύρωσαν το test de closure (cloze test) σαν µέτρο της κατανόησης των µαθηµατικών κειµένων και στο τρίτο µέρος επεξεργάστηκαν «ειδικές» µεταβλητές για τα µαθηµατικά κείµενα και κατασκεύασαν δύο τύπους αναγνωσιµότητας (Γαγάτσης, 1985, σ. 175). Ο πρώτος τύπος που προτάθηκε από τους Kane, Byrne και Hater είχε τη µορφή: Αναγνωσιµότητα = 0,23Χ 0,53Υ + 61,88 όπου «Χ» είναι ο αριθµός των µαθηµατικών λέξεων που λείπουν από τον κατάλογο των µαθηµατικών λέξεων που έχουν «οικειότητα» 80% και «Υ» είναι ο αριθµός των διαφορετικών λέξεων µε τρεις ή περισσότερες συλλαβές (Γαγάτσης, 1985, σ. 176). Ο δεύτερος τύπος που πρότειναν οι Kane, Byrne και Hater είχε τη µορφή: Αναγνωσιµότητα = -0,15Α + 0,10Β 0,42C 0,17D + 35,32. Στον τύπο αυτό: Α = λέξεις που λείπουν από τον κατάλογο των 3000 λέξεων του Dale και από τον κατάλογο των µαθηµατικών λέξεων που έχουν «οικειότητα» 80%, Β = ο αριθµός των αλλαγών από τη φυσική γλώσσα στη συµβολική γλώσσα και αντίστροφα C = ο αριθµός των διαφορετικών µαθηµατικών όρων που λείπουν από το µαθηµατικό κατάλογο «οικειότητας» 80% και ο αριθµός των µαθηµατικών συµβόλων που λείπουν από τον κατάλογο «οικειότητας» 90%. D = ο αριθµός των ερωτηµατικών. (Γαγάτσης, 1985, σ. 176-177) Μέσα από την εργασία των Kane, Byrne και Hater, όπως παρατίθεται στο Γαγάτση (1985), παρατηρείται ότι λόγω της µεγάλης ποικιλίας των µαθηµατικών κειµένων, είναι δύσκολο να περιγραφεί η δυσκολία µε τις δύο µεταβλητές του τύπου του Flesch. Εποµένως, µε τους δύο τύπους που προαναφέρθηκαν παρατηρείται µεγάλη πρόοδος ως προς τις µεταβλητές που συνδυάζουν (σ. 177). Παρατηρείται, επίσης, ότι οι συχνές εναλλαγές φυσικής και συµβολικής γλώσσας, καθώς και ο µεγάλος αριθµός ερωτηµατικών στο κείµενο, αυξάνουν τη δυσκολία (Γαγάτσης, 1985, σ. 177). Ακόµη, 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 115

Α. Γαγάτσης κ.á. στον δεύτερο τύπο η µεταβλητή «C» είναι στην πραγµατικότητα τα ουσιαστικά, τα ρήµατα και τα επίθετα (Γαγάτσης, 1985, σ. 177). Άξιο αναφοράς είναι το γεγονός ότι παρόλο που οι πιο πάνω τύποι είναι έγκυροι, δεν µπορούν να εφαρµοστούν σε ελληνικά κείµενα, διότι δεν υπάρχουν κατάλογοι «οικείων» λέξεων για την ελληνική γλώσσα (Γαγάτσης, 1985, σ. 177). 5. Τύπος αναγνωσιµότητας για επιστηµονικά κείµενα Συχνά γίνεται αναφορά σε έναν τύπο που προτάθηκε για επιστηµονικά κείµενα ο οποίος παρουσιάζει διαφορές από τους κλασσικούς τύπους για υπολογισµό της αναγνωσιµότητας. Σύµφωνα µε αυτό τον τύπο ζητείται από τον αναγνώστη να σηµειώσει, διαβάζοντας τις λέξεις, φράσεις, παραγράφους, εξισώσεις, πίνακες, σχήµατα και γραφήµατα που δεν είναι σαφή (Γαγάτσης, 1985, σ. 178). Με άλλα λόγια, αξιοποιείται η ανατροφοδότηση που προσφέρει ο αναγνώστης. Τα στοιχεία που υποδεικνύει ο αναγνώστης ως ασαφή συγκεντρώνονται σε πίνακες. Ακολούθως εφαρµόζεται ο τύπος για υπολογισµό του δείκτη επικοινωνίας C.I.: C.I. = X της αποτυχηµένης επικοινωνίας του αναγνώστη (Αριθµός των Χ) x (Αριθµός των αναγνωστών) (Γαγάτσης, 1985, σ. 179) Σε περίπτωση που ο τύπος αυτός χρησιµοποιείται για υπολογισµό του δείκτη C.I. των λέξεων µιας σελίδας, τα στοιχεία του τύπου ερµηνεύονται ως εξής: «Αριθµός των Χ» = αριθµός των λέξεων της σελίδας «Αριθµός των αναγνωστών» = ο αριθµός των ατόµων που διάβασαν το κείµενο και έδωσαν ανατροφοδότηση «Χ της αποτυχηµένης επικοινωνίας του αναγνώστη» = το άθροισµα των γινοµένων «αριθµός επαναλήψεων ασαφούς Χ (λέξης) στη σελίδα» x «αριθµός αναγνωστών που υποδεικνύουν ένα συγκεκριµένο ασαφές». Για ερµηνεία του δείκτη C.I. έχουν οριστεί κάποια όρια. Τα όρια αυτά παρουσιάζονται στον πίνακα 1. Πίνακας 1 0 C.I. 0,001 Εντελώς σαφές 0,001 C.I. 0,01 Σαφές 0,01 C.I 0,1 Ασαφές 0,1 C.I 1,0 Εντελώς ασαφές (Γαγάτσης, 1985, σ. 181) Μέσα από τον πίνακα παρατηρείται ότι εάν, για παράδειγµα, ένα υλικό ανάγνωσης έχει δείκτη C.I = 0,0002 κρίνεται ως «πολύ σαφές», ενώ εάν έχει C.I = 0,03 κρίνεται ως «ασαφές». Ο δείκτης επικοινωνίας C.I µπορεί να υπολογιστεί, όπως είδαµε και πιο 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 116

Αναγνωσιµότητα και Eικόνες πάνω, για ένα µοναδικό Χ, π.χ. τις λέξεις. Σε τέτοια περίπτωση, υπολογίζεται το C.I των λέξεων. Μπορεί, όµως, να υπολογιστεί το C.I και για συνδυασµό κάποιων Χ, δηλαδή για συνδυασµό λέξεων, φράσεων, παραγράφων, σχηµάτων, εξισώσεων και πινάκων. Σε τέτοια περίπτωση, ακολουθείται ένα σχήµα στάθµισης. Αρχικά, καθορίζεται σε κάθε στοιχείο κάποιο βάρος (W). Συγκεκριµένα: Στοιχείο Βάρος Λέξεις W 1 = 1 Φράσεις και εξισώσεις W 2 = 5 Παράγραφοι, πίνακες ή σχήµατα W 3 = 10 Ακολούθως, για υπολογισµό του δείκτη επικοινωνίας για ένα συνδυασµό των Χ αξιοποιείται ο τύπος: 1 [W 1 (C.I.)λέξεων + W 2 (C.I.)φράσεων + W 2 (C.I.)εξισώσεων + C.I. = ΣW + W 3 (C.I.)παραγράφων + W 3 (C.I.)σχηµάτων + W 3 (C.I.)πινάκων] (Γαγάτσης, 1985, σ. 181-182) Σε εργασία που έγινε από το Γαγάτση (1985), εφαρµόστηκε η πιο πάνω διαδικασία εύρεσης του δείκτη C.I. σε τρία µαθηµατικά κείµενα. Το πρώτο κείµενο αφορούσε τη συµµετρία ως προς το επίπεδο. Το δεύτερο κείµενο αφορούσε τη συµµετρία ως προς το κέντρο. Τα δύο αυτά κείµενα πάρθηκαν από το βιβλίο των µαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Το τρίτο κείµενο αφορούσε το αξίωµα του Αρχιµήδη και πάρθηκε από το βιβλίο µαθηµατικών της Α Λυκείου. (Γαγάτσης, 1985, σ. 182-183). Τα κείµενα δόθηκαν για ανάγνωση σε µαθητές από Α Γυµνασίου µέχρι Α Λυκείου. Υπολογίστηκε ο δείκτης C.I. για λέξεις και φράσεις ανά τάξη καθώς και ο µέσος όρος των C.I. ανά τάξη. Μέσα από την επεξεργασία των αποτελεσµάτων, εξάγονται ορισµένες παρατηρήσεις. Αρχικά, όπως αναφέρεται από το Γαγάτση (1985), ο υπολογισµός του δείκτη C.I. είναι µια επίπονη διαδικασία για υπολογισµό της δυσκολίας ενός κειµένου. Παράλληλα, τα αποτελέσµατα ίσως να µην είναι έγκυρα, καθώς οι µαθητές πιθανόν να επηρεάζονται από αµέλεια, ντροπή κτλ και να µη συνεργάζονται σωστά (σ. 191). Επίσης, ο διαχωρισµός της κλίµακας για χαρακτηρισµό των κειµένων δε φαίνεται να γίνεται βάσει κάποιων πειραµατικών δεδοµένων. Η αυθαιρεσία αυτή παρατηρείται, ακόµη, και για τα βάρη στάθµισης των διάφορων στοιχείων του κειµένου (Γαγάτσης, 1985, σ. 191). Σηµαντικό είναι και το γεγονός πως παρόλα τα µειονεκτήµατα της µεθόδου, ο καθηγητής µπορεί να πάρει µέσω αυτής χρήσιµες πληροφορίες για τις γνώσεις και τις αδυναµίες της τάξης του (Γαγάτσης, 1985, σ.192). Τέλος, είναι σηµαντικό και το γεγονός ότι η οδηγία «Σηµειώστε τις λέξεις που είναι ασαφείς» είναι η ίδια πολύ ασαφής. Ως εκ τούτου, σε µελλοντικές χρήσεις της µεθόδου, καλό είναι να χρησιµοποιούνται βοηθητικές ερωτήσεις, όπως «έχετε ξαναδεί / ξανακούσει τις λέξεις / σύµβολα του κειµένου;», «Μπορείτε να ορίσετε τις λέξεις / σύµβολα του κειµένου µε δικά σας λόγια;», «µπορείτε να διαβάσετε τα σύµβολα του κειµένου;» κτλ. (Γαγάτσης, 1985, σ. 195). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 117

Α. Γαγάτσης κ.á. 6. Αναγνωσιµότητα και εικόνες Όπως αναφέρθηκε και στο προηγούµενο κεφάλαιο, τα στοιχεία που λαµβάνονται υπόψη για µέτρηση της αναγνωσιµότητας επιστηµονικών κειµένων, άρα και κειµένων µαθηµατικών, είναι οι λέξεις, φράσεις, παράγραφοι, σχήµατα, εξισώσεις και πίνακες. Συγκεκριµένα, για υπολογισµό του δείκτη επικοινωνίας (C.I.), οι πίνακες και τα σχήµατα έχουν µεγάλο «βάρος». Έρευνες έχουν δείξει, επίσης, πως ένας παράγοντας που επηρεάζει την κατανόηση των µαθηµατικών προβληµάτων είναι οι εικόνες. Αφού, λοιπόν, οι πίνακες, τα σχήµατα, άρα και οι εικόνες, φαίνονται να επηρεάζουν σε µεγάλο βαθµό την αναγνωσιµότητα των µαθηµατικών κειµένων και προβληµάτων, θα είχε ενδιαφέρον να µελετηθεί σε πιο βαθµό επηρεάζουν οι εικόνες και τις διαδικασίες επίλυσης προβληµάτων. Προσπάθεια για µελέτη του ρόλου της εικόνας στην επεξεργασία των κειµένων γενικότερα έγινε από τους Carney & Levin, οι οποίοι προτείνουν πέντε λειτουργίες της εικόνας: διακοσµητική, αναπαραστατική, οργανωτική, µεταφραστική και µετασχηµατιστική (Ηλία & Γαγάτσης, 2004, σ. 25). Ειδικότερα για την επίλυση του µαθηµατικού προβλήµατος, οι Ηλία και Γαγάτσης (2004) αναφέρουν τέσσερις λειτουργίες των εικόνων: (α) διακοσµητικές (β) βοηθητικές αναπαραστατικές, (γ) βοηθητικές οργανωτικές και (δ) πληροφοριακές (σ. 25). Οι διακοσµητικές εικόνες αποτελούν καθαρά διακοσµητικό στοιχείο. εν παρέχουν οποιαδήποτε πληροφορία στους µαθητές. Οι βοηθητικές αναπαραστατικές εικόνες αναπαριστούν ολόκληρο ή µέρος του περιεχοµένου του προβλήµατος. Όµως, δεν είναι απαραίτητες για την επίλυσή του. Οι βοηθητικές οργανωτικές εικόνες βοηθούν τους µαθητές να λύσουν το πρόβληµα καθοδηγώντας τους να σχεδιάσουν ή να γράψουν κάτι. Ούτε αυτές είναι απαραίτητες για την επίλυση του προβλήµατος. Τέλος, οι πληροφοριακές εικόνες δίνουν πληροφορίες που είναι απαραίτητες για να λυθεί το πρόβληµα. Συνεπώς, οι πληροφοριακές εικόνες είναι απαραίτητες για την επίλυση του προβλήµατος. Σχετικά µε το πώς επηρεάζουν οι εικόνες τη λύση προβλήµατος έχουν γίνει διάφορες έρευνες. Μια τέτοια έρευνα έγινε από τους Γαγάτση, Ηλία, Ρούσου Μηχαηλίδου και Τσακίρη (2004). Ένας από τους σκοπούς της έρευνας ήταν να εξεταστεί µε ποιο τρόπο οι διακοσµητικές και πληροφοριακές εικόνες µπορούν να επηρεάσουν την επίλυση προβληµάτων προσθετικής δοµής από τους µαθητές. Μελετήθηκε, επίσης, πώς οι µαθητές χρησιµοποιούν τις εικόνες αυτές κατά την επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος (σ. 24). Μέσα από τα αποτελέσµατα της έρευνας φάνηκε ότι οι διακοσµητικές εικόνες δεν επηρέασαν τη συµπεριφορά των µαθητών στην επίλυση του µαθηµατικού προβλήµατος ενώ οι πληροφοριακές εικόνες, αν και είναι απαραίτητες για την επίλυση του προβλήµατος, δεν επηρέασαν θετικά τις επιδόσεις των µαθητών (σ. 54). Επιπρόσθετα, η ποιοτική ανάλυση (συνεντεύξεις) έδειξε ότι πολλοί µαθητές αµφισβητούσαν τη χρησιµότητα των πληροφοριακών εικόνων, ενώ δήλωναν πως τους δυσκόλεψαν περισσότερο παρά να τους ευκολύνουν. Έρευνα που έγινε από τους Γαγάτση και Μάρκου (2004) είχε ως θέµα την επίδραση των εικόνων στην επίλυση µη ρεαλιστικών προβληµάτων. Σκοπός της έρευνας ήταν να 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 118

Αναγνωσιµότητα και Eικόνες ελέγξει κατά πόσο µια δοσµένη εικονική αναπαράσταση του προβλήµατος σε ασυνήθιστα λεκτικά προβλήµατα µπορούσε ν αλλάξει τη συµπεριφορά των µαθητών στα προβλήµατα αυτά, να προκαλέσει, δηλαδή, ρήξη του διδακτικού συµβολαίου (σ. 129). Με τον όρο «διδακτικό συµβόλαιο» εννοούµε τους υπόρρητους κανόνες που καθοδηγούν τους µαθητές σε υπακοή ακατανόητων εντολών και τους οδηγεί σε µηχανικό τρόπο σκέψης (Γαγάτσης & Μάρκου, 2004, σ. 125). Τα αποτελέσµατα της έρευνας έδειξαν ότι η χρήση εικονικών αναπαραστάσεων δε φαίνεται να διαφοροποιεί τη συµπεριφορά των µαθητών απέναντι στα µη λογικά (ασυνήθιστα) προβλήµατα. Σε έρευνά τους οι Θεοδούλου, Γαγάτση και Θεοδούλου (2003) επιχείρησαν να εξετάσουν το ρόλο του καθενός από τους τέσσερις τύπους εικόνας καθώς και ποια είναι η συµπεριφορά των µαθητών απέναντι στις εικόνες αυτές κατά την επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος (σ. 72). Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι οι διακοσµητικές εικόνες δεν επηρεάζουν τη συµπεριφορά των µαθητών στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος. Παρόλο που προσδίδουν ελκυστικό χαρακτήρα στο κείµενο, δεν ενισχύουν την κατανόηση ή την ανάκληση πληροφοριών (σ. 80). Οι βοηθητικές αναπαραστατικές εικόνες άλλοτε είχαν στατιστικά σηµαντική επίδραση και άλλοτε όχι. Από την άλλη, οι βοηθητικές οργανωτικές εικόνες είχαν ξεκάθαρα θετική επίδραση στην επίλυση του µαθηµατικού προβλήµατος από τους µαθητές (σ. 81). Αντιθέτως, οι πληροφοριακές εικόνες, αν και είναι απαραίτητες για την επίλυση του προβλήµατος, δεν επηρέασαν θετικά τη συµπεριφορά των µαθητών σε σχέση µε την επίδοσή τους όταν τα δεδοµένα δίνονταν λεκτικά µέσα από το πρόβληµα και όχι από την εικόνα (σ. 81). Αυτό, όµως, που φάνηκε να επηρεάζει κατά κύριο λόγο τη συµπεριφορά των µαθητών ήταν η µαθηµατική δοµή, ο χαρακτήρας της πράξης, παρά το είδος της εικόνας (σ. 82). Η έρευνα των εληγιάννη, Γαγάτση και Κουκκούφη (2003) είχε σκοπό να διερευνήσει την επίδραση διακοσµητικών, βοηθητικών-αναπαραστατικών, βοηθητικώνοργανωτικών και πληροφοριακών εικόνων στην επίλυση προβληµάτων πολλαπλασιασµού διαφορετικών µοντέλων (σ. 91). Βάσει των αποτελεσµάτων φαίνεται ότι οι διακοσµητικές εικόνες δεν επηρέασαν σηµαντικά τις επιδόσεις των µαθητών (σ. 98). Οι βοηθητικές-αναπαραστατικές εικόνες συχνά δε λαµβάνονταν υπόψη από τους µαθητές. Όσο αφορά τις βοηθητικές-οργανωτικές εικόνες, διαπιστώθηκε ότι όχι µόνο επιδρούσαν αρνητικά αλλά επιβάρυναν τη διαδικασία λύσης, προσφέροντας ένα αχρείαστο σχέδιο εργασίας. Οι πληροφοριακές εικόνες επηρέασαν αρνητικά περισσότερο από κάθε άλλο είδος εικόνας, παρόλο που η παρουσία τους αποτελούσε απαραίτητο στοιχείο για την επίλυση των προβληµάτων (σ. 99). Παράλληλα, αξίζει να επισηµανθεί ότι τα προβλήµατα οµαδοποιήθηκαν περισσότερο µε βάση το είδος της πολλαπλασιαστικής δοµής παρά µε το είδος της εικόνας που χρησιµοποιήθηκε (σ. 100). ηλαδή, η πολλαπλασιαστική δοµή του προβλήµατος επηρεάζει περισσότερο από το λειτουργικό είδος της εικόνας. Στην έρευνα των Γαγάτση και Μοδέστου (2004) διερευνήθηκαν οι ικανότητες των µαθητών στην επίλυση προβληµάτων πολλαπλασιασµού και στη διεξαγωγή µεταφράσεων ανάµεσα σε εικονική, λεκτική και συµβολική έκφραση (σ. 65). Με βάση τα αποτελέσµατα φάνηκε ότι η πλειοψηφία των παιδιών χρησιµοποιούσε εικονική αναπαράσταση για την επίλυση λεκτικού προβλήµατος. Όσο αφορά τα έργα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 119

Α. Γαγάτσης κ.á. µετάφρασης από λεκτική σε συµβολική έκφραση, τα παιδιά έκαναν αρχικά εικονική αναπαράσταση και ακολούθως διατύπωναν συµβολικά τη µαθηµατική πρόταση. Η ζητούµενη µετάφραση, δηλαδή, επιτυγχανόταν έµµεσα (σ. 75). Μια άλλη έρευνα που έγινε από τους Ηλία, Χρυσάνθου και Φιλίππου, εξετάστηκε η συµβολή των διαφορετικών κατηγοριών εικόνων στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος (στο Ηλία & Γαγάτση, 2004, σ. 28). Εφαρµόστηκαν πειράµατα επικοινωνίας µεταξύ ερευνητών µαθητών και µαθητών µεταξύ τους. Μέσα από τα αποτελέσµατα της έρευνας, παρατηρήθηκε ότι ο ρόλος της εικόνας στην επικοινωνία ήταν συµπληρωµατικός και υποστηρικτικός του γλωσσικού κώδικα για την αναπαραστατική και οργανωτική εικόνα, ανύπαρκτος για τη διακοσµητική και απαραίτητος για την πληροφοριακή. Εξήχθη το γενικό συµπέρασµα ότι η συµβολή της εικόνας στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος εξαρτάται από τη σχέση ανάµεσα στην εικόνα και στο πρόβληµα, δηλαδή τη λειτουργία της εικόνας, τις προϋπάρχουσες γνώσεις και τις νοητικές ικανότητες των µαθητών (Ηλία & Γαγάτση, 2004, σ. 29). Μέσα από τις έρευνες που προαναφέρθηκαν, εξετάστηκε η επίδραση των εικόνων στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων σε διαφορετικά πλαίσια, µε υποκείµενα διαφορετικών ηλικιών και µε διαφορετική µεθοδολογία. Σ αυτό, ίσως, οφείλεται το γεγονός ότι άλλοτε τ αποτελέσµατα είναι συναφή και άλλοτε αντικρουόµενα. Ωστόσο, µέσα απ όλες, καταλήγουµε στο συµπέρασµα που επισήµανε ο Seeger (στο Ηλία & Γαγάτση, 2004, σ. 29), ότι η χρήση των εικόνων πρέπει να γίνεται µε µεγάλη προσοχή. Η κατανόηση στα µαθηµατικά δε θεµελιώνεται απαραίτητα µε την αναφορά σε κάποια αντιληπτική δοµή, όπως οι εικόνες και η αριθµητική γραµµή. Όπως ο Seeger αναφέρει (στο Ηλία & Γαγάτση, 2004, σ. 29), οι αναπαραστάσεις είναι συµβολικά µέσα και για να µπορέσει κάποιος να τα χειριστεί ως τέτοια θα πρέπει να εξοικειωθεί µε τον τρόπο χρήσης τους και να µάθει τη γλώσσα τους. 7. Συµπεράσµατα Επίλογος Μέσα από εργασίες που έγιναν, φάνηκε πως η αναγνωσιµότητα των κειµένων επηρεάζεται από παράγοντες όπως το µήκος των φράσεων ή ο αριθµός των συλλαβών. Όµως, η εφαρµογή των τύπων που κατασκευάστηκαν για υπολογισµό της αναγνωσιµότητας λογοτεχνικών κείµενων σε επιστηµονικά κείµενα, φάνηκε να είναι προβληµατική. Για το λόγο αυτό, υπάρχουν διάφορες προτάσεις για υπολογισµό της αναγνωσιµότητας των επιστηµονικών κειµένων. Μια πρώτη πρόταση είναι οι ειδικοί τύποι αναγνωσιµότητας για µαθηµατικά κείµενα που κατασκευάστηκαν από τους Kane, Byrne και Hater. Μια δεύτερη πρόταση είναι ο τύπος µέτρησης του δείκτη C.I., για του οποίου την εφαρµογή ο αναγνώστης συµµετέχει ενεργά. Για υπολογισµό του δείκτη αυτού, λαµβάνονται υπόψη οι λέξεις, οι φράσεις, οι εξισώσεις, οι παράγραφοι, οι πίνακες και τα σχήµατα. Οι πίνακες και τα σχήµατα έχουν τη µεγαλύτερη βαρύτητα στην κατανόηση ενός επιστηµονικού κειµένου. Μήπως, όµως, οι πίνακες, τα σχήµατα, οι εικόνες επηρεάζουν σε µεγάλο βαθµό µόνο την κατανόηση των επιστηµονικών 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 120

Αναγνωσιµότητα και Eικόνες κειµένων ή και την κατανόηση και αντιµετώπιση των µαθηµατικών προβληµάτων από τους µαθητές; Έρευνες που έγιναν σχετικά µε τις επιδράσεις των εικόνων έδειξαν στην πλειοψηφία πως οι εικόνες επιδρούσαν αρνητικά στα αποτελέσµατα των µαθητών (ιδιαίτερα οι πληροφοριακές) ή αγνοούνταν εντελώς από τους µαθητές (π.χ. διακοσµητικές). Έχοντας υπόψη αυτό, εγείρεται το ερώτηµα κατά πόσο η αρνητική επίδραση των εικόνων οφείλεται σε αλλαγή στρατηγικής (τρόπου αντιµετώπισης του προβλήµατος) από τους µαθητές ή παράλληλα και σε µείωση της αναγνωσιµότητας του προβλήµατος, λόγω της µεγάλης βαρύτητας των εικόνων. Μέσα από συνεντεύξεις µαθητών που έγιναν στα πλαίσια ερευνών που παρουσιάστηκαν στην παρούσα εργασία, φάνηκε πως οι εικόνες, συγκεκριµένα οι πληροφοριακές, δυσκόλευαν την κατανόηση. Το γεγονός αυτό αποτελεί ένδειξη για τη µεγάλη βαρύτητα των εικόνων στην αναγνωσιµότητα µαθηµατικών προβληµάτων. Προς κατασκευή τύπων αναγνωσιµότητας τρίτης γενιάς Είναι φανερό ότι οι τύποι αναγνωσιµότητας πρώτης και δεύτερης γενιάς κατασκευάστηκαν σε µια περίοδο που δεν είχε αρχίσει ο προβληµατισµός για τον όρο των αναπαραστάσεων στην κατανόηση και µάθηση των µαθηµατικών. Ιδιαίτερα οι εικόνες όπως γίνεται φανερό από τα στοιχεία που παρουσιάστηκαν στην παράγραφο 6 παίζουν σηµαντικό ρόλο στην κατανόηση ενός κειµένου από τους µαθητές. Κατά συνέπεια, η κατασκευή ενός οποιουδήποτε τύπου νέας γενιάς πρέπει να λάβει υπόψη της το σηµαντικό ρόλο που διαδραµατίζουν οι εικόνες στην αναγνωσιµότητα των µαθηµατικών κειµένων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γαγάτσης, Α. & Μάρκου, Α. (2004). Η επίδραση των εικόνων στην επίλυση µη ρεαλιστικών προβληµάτων. Στου Α. Γαγάτση (επιµ. εκδ.). Σύγχρονες Τάσεις της ιδακτικής των Μαθηµατικών (σελ 125-138). Λευκωσία: Έκδοση συγγραφέα. Γαγάτσης, Α. & Μοδέστου, Μ. (2004). Η επίδραση των εικόνων στην επίλυση προβληµάτων πολλαπλασιασµού. Στου Α. Γαγάτση (επιµ. εκδ.). Σύγχρονες Τάσεις της ιδακτικής των Μαθηµατικών (σελ 63-81). Λευκωσία: Έκδοση συγγραφέα. Γαγάτσης, Α. (1985). Η εκτίµηση της κατανόησης των µαθηµατικών κειµένων. Θεσσαλονίκη: Υπηρεσία ηµοσιευµάτων. Γαγάτσης, Α., Ηλία, Ι., Ρούσου-Μιχαηλίδου, Π. & Τσακίρη, Μ. (2004). Η επίδραση των εικόνων στην επίλυση προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. Στου Α. Γαγάτση (επιµ. εκδ.). Σύγχρονες Τάσεις της ιδακτικής των Μαθηµατικών (σελ. 19-62). Λευκωσία: Έκδοση συγγραφέα. εληγιάννη, Ε., Γαγάτσης, Α. & Κουκκούφης, Α. (2003). Η επίδραση των εικόνων στην επίλυση προβληµάτων πολλαπλασιασµού στη Γ τάξη δηµοτικού σχολείου. Στου Α. Γαγάτση και Ι. Ηλία (επιµ. εκδ.). Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωµετρικά 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 121

Α. Γαγάτσης κ.á. Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηµατικών, Τόµος Ι (σελ. 87-104). Λευκωσία: Έκδοση συγγραφέα. Ηλία, Ι. & Γαγάτσης, Α. (2004). Η εικόνα στην επίλυση προβλήµατος: Αρωγός ή εµπόδιο; Λευκωσία: Ίδρυµα Προώθησης Έρευνας Πανεπιστήµιο Κύπρου. Θεοδούλου, Ρ., Γαγάτσης, Α. & Θεοδούλου, Α. (2003). Είναι η εικόνα πάντοτε βοηθητική στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος; Στου Α. Γαγάτση και Ι. Ηλία (επιµ. εκδ.). Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωµετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηµατικών, Τόµος Ι (σελ. 67-86). Λευκωσία: Έκδοση συγγραφέα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 122