Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Transcript

1 Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Ο σκοπός του εν λόγω μαθήματος είναι να κατανοήσουν οι φοιτητές του Τμήματος Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής τις γνωστικές περιοχές της Επιχειρησιακής έρευνας καθώς και των Ποσοτικών Μεθόδων. 4

5 1.Περιεχόμενα ενότητας Κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων. Αρχές του Γραμμικού Προγραμματισμού. Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. 5

6 1.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς τις μεθόδους επίλυσης. 1 ο Αναλυτικά μοντέλα. Η λύση του προβλήματος προκύπτει από την εφαρμογή μαθηματικών τύπων που καθορίζουν την τιμή των μεταβλητών του μοντέλου με βάση τις τιμές των παραμέτρων του. Για παράδειγμα, ο προσδιορισμός του βέλτιστου ύψους αποθεμάτων και του σημείου παραγγελίας στα προβλήματα προγραμματισμού και ελέγχου αποθεμάτων. 6

7 2.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς τις μεθόδους επίλυσης. 2 ο Αλγοριθμικά μοντέλα. Η λύση προκύπτει από την εφαρμογή ενός αλγορίθμου, δηλαδή μιας σειράς μαθηματικών πράξεων και μετασχηματισμών η οποία εκτελείται με συγκεκριμένους κανόνες που περιλαμβάνουν διακλαδώσεις ή επαναλήψεις βημάτων. Παράδειγμα, ο γραμμικός προγραμματισμός. 3 ο Ευρετικές μέθοδοι. Αποτελούν ειδική κατηγορία αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται όταν η ακριβής επίλυση ενός προβλήματος είναι είτε αδύνατη λόγω πολυπλοκότητας του μοντέλου είτε πρακτικά πολύ δύσκολη λόγω του μεγέθους του. 7

8 3.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς τις μεθόδους επίλυσης. 4 ο Προσομοίωση. Είναι μια γενική μέθοδος ανάλυσης σύνθετων και πολύπλοκων προβλημάτων των οποίων ο προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου δεν είναι δυνατή είτε λόγω πολυπλοκότητας είτε διότι οι τιμές των παραμέτρων τους παρουσιάζουν τυχαίες διακυμάνσεις. Στην τελευταία περίπτωση χρησιμοποιείται ο υπολογιστής για να εξετάσει τον τρόπο λειτουργίας του υπό ανάλυση συστήματος όταν οι παράμετροι του μοντέλου λαμβάνουν διαφορετικές τυχαίες τιμές ανάλογα με τη διακύμανση που παρουσιάζουν. 8

9 4.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς τις μεθόδους επίλυσης. 5ο Πολυκριτήριες μέθοδοι. Αποτελούν μια ειδική οικογένεια μεθόδων και τεχνικών ανάλυσης προβλημάτων στα οποία τα κριτήρια βελτιστοποίησης ή αποφάσεων είναι περισσότερά από ένα και χαρακτηρίζονται από τον όρο πολυκριτήριας ανάλυσης αποφάσεων. Παραδείγματα, Θεωρία Πολυκριτήριας Χρησιμότητας, οι Μέθοδοι Υπεροχής και η Ανάλυση Προτιμήσεων. 9

10 5.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς το στόχο. 1 ο Μοντέλα βελτιστοποίησης. Στόχος είναι η μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας μεταβλητής ή της τιμής μια συνάρτησης γενικότερα η οποία εκφράζει τον επιθυμητό επιχειρησιακό στόχο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί μέσω αναλυτικών, αλγοριθμικών ή ευρετικών μεθόδων επίλυσης. Το αποτέλεσμα είναι οι τιμές των μεταβλητών που καθορίζουν τη βέλτιστη τιμή του στόχου. 10

11 6.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς το στόχο. 2 ο Περιγραφικά Μοντέλα. Σε αυτή την περίπτωση ενδιαφέρει η αναζήτηση και η ποσοτικοποίηση σχέσεων μεταξύ των διαφορετικών μεταβλητών του μοντέλου έτσι ώστε να προσδιοριστούν οι αλλαγές που θα προκύψουν σε ένα μέγεθος όταν σε ένα άλλο ή άλλα μεγέθη που το επηρεάζουν μεταβάλλονται. Το αποτέλεσμα συνήθως απεικονίζεται γραφική παράσταση των εξεταζόμενων μεγεθών. 11

12 7.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς το στόχο. 3 ο Μοντέλα Πρόβλεψης. Είναι κυρίως στατιστικά μοντέλα ανάλυσης ιστορικών στοιχείων σε μορφή χρονοσειρών με σκοπό τον προσδιορισμό μιας μαθηματικής σχέσης μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής (π.χ. πωλήσεις) και ενός ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών που μπορεί να την επηρεάζουν (π.χ. διαφήμιση, πληθυσμός, χρόνος κ.α.) έτσι ώστε με βάση μελλοντικές τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών, να είναι δυνατή η πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. 12

13 8.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Κατηγοριοποίηση ως προς τη διαχείριση της αβεβαιότητας. 1ο Προσδιοριστικά-Ντετερμινιστικά. Όταν οι τιμές των παραμέτρων του προβλήματος που επηρεάζουν τη λύση του θεωρούνται σταθερές, με την έννοια ότι δεν χαρακτηρίζονται από συνεχείς τυχαίες αλλαγές. 2ο Πιθανολογικά-Στοχαστικά. Όταν οι παράμετροι του προβλήματος αντιπροσωπεύουν μεγέθη που από τη φύση τους υπόκεινται σε τυχαίες μεταβολές. 13

14 9.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Τι είναι γραμμικός προγραμματισμός και πότε ένα σύστημα είναι γραμμικό; Ποιες οι πιθανές τιμές και οι λύσεις του; Γραμμικός Προγραμματισμός (ΓΠ) είναι το όνομα της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που έχουν σκοπό τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης που υπόκεινται σε γραμμικούς περιορισμούς υπό τη μορφή γραμμικών ανισοτήτων. Από οικονομική άποψη ο ΓΠ ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των περιορισμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Ο όρος «προγραμματισμός» δεν έχει την έννοια του προγραμματισμού Η/Υ αλλά του «σχεδιασμού». Τέλος, ένα σύστημα ονομάζεται γραμμικό όταν οι μεταβλητές δεν είναι υψωμένες σε καμία δύναμη πέραν της μονάδας και δεν υπάρχουν γινόμενα μεταξύ των μεταβλητών. 14

15 10.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Πηγή: Διδάσκων. 15

16 11.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Ποιες είναι οι αρχές του Γραμμικού Προγραμματισμού; Για τα υποδείγματα του Γ.Π. ισχύουν οι παρακάτω αρχές: α. Διαιρετότητα: Σύμφωνα με αυτή οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν κάθε τιμή στο σύνολο των πραγματικών θετικών αριθμών. β. Σταθερών αναλογιών: Σύμφωνα με αυτή την αρχή ο πολλαπλασιασμός της ποσότητας ενός μεγέθους λ>0 προϋποθέτει τον πολλαπλασιασμό επί λ των ποσοτήτων όλων των συντελεστών παραγωγής του. γ. Προσθετικότητα: Σύμφωνα με αυτή η χρησιμοποίηση περισσοτέρων της μιας παραγωγικών δραστηριοτήτων προϋποθέτει την πρόσθεση των αντίστοιχων ποσοτήτων των συντελεστών παραγωγής αυτών. 16

17 12.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Τα βήματα για τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος είναι: 1 ο Αναγνώριση και καθορισμός του προβλήματος. 2 ο Συλλογή των δεδομένων. 3 ο Καθορισμός των κριτηρίων επιλογής. 4 ο Εύρεση του συνόλου των εφικτών λύσεων (με χρήση διαγράμματος) 5 ο Αξιολόγηση των εφικτών λύσεων με βάση τα κριτήρια και επίλυση του μοντέλου. 17

18 13.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Τα βήματα για τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος είναι (συνέχεια): 6 ο Επιλογή της βέλτιστης λύσης (λήψη απόφασης). 7 ο Εφαρμογή της βέλτιστης λύσης στο σύστημα. 8 ο Αξιολόγηση των αποτελεσμάτων και ανατροφοδότηση. 18

19 14.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex. Όταν υπάρχουν μέχρι πέντε κλάδοι παραγωγής και μέχρι πέντε συντελεστές σε περιορισμένες ποσότητες, τότε η εύρεση του άριστου σχεδίου παραγωγής γίνεται με τη μέθοδο Simplex. Η μέθοδος αυτή είναι μία επαναληπτική διαδικασία (αλγόριθμος) που στηρίζεται στην εξής αρχή. Το σύνολο Ε των δυνατών λύσεων (x 1, x 2,... x n ) είναι κυρτό στο χώρο των n διαστάσεων. Το κυρτό αυτό σύνολο Ε είναι ένα κυρτό πολύεδρο που κάθε κορυφή του είναι μία βασική λύση. 19

20 15.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Άρα η μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης είναι δυνατόν να επιτευχθεί μόνο στα ακραία σημεία της περιοχής των εφικτών λύσεων. Η μέθοδος Simplex εξετάζει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μόνο στα ακραία σημεία της περιοχής των εφικτών λύσεων με ένα συστηματικό αλγεβρικό τρόπο. Η διαδοχική εξέταση των ακραίων σημείων γίνεται με ένα επαναληπτικό τρόπο δηλ. με το να επαναλαμβάνεται το ίδιο σύνολο των διαδικασιών και αλγεβρικών πράξεων σε διαδοχικά βήματα έως όπου επιτυγχάνουμε να εντοπίσουμε τη βέλτιστη λύση. 20

21 16.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Κάθε βήμα της μεθόδου Simplex αντιστοιχεί στην επιλογή ενός ακραίου σημείου της περιοχής των εφικτών λύσεων. Σε κάθε βήμα το επόμενο ακραίο σημείο της περιοχής των εφικτών λύσεων επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να αυξάνεται και επομένως σταδιακά πλησιάζουμε προς τη βέλτιστη λύση. 21

22 17.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Έτσι ορίζοντας μία αρχική λύση βάσης μεταβαίνουμε στην επόμενη λύση βάσης αυξάνοντας την τιμή της οικονομικής συνάρτησης της οποίας ζητείται το μέγιστο. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι που η αύξηση της οικονομικής συνάρτησης να μην είναι πλέον δυνατή. Τότε έχει βρεθεί η άριστη λύση βάσης. Αφού λοιπόν ο αριθμός των κορυφών του κυρτού πολυέδρου είναι ένας πεπερασμένος αριθμός, η άριστη λύση βάσης, αν υπάρχει, προκύπτει μετά από ένα πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων του αλγορίθμου. 22

23 18.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Η μέθοδος Simplex εκτός από τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης, δηλ. τις τιμές των μεταβλητών και το αντίστοιχο βέλτιστο κέρδος, μας παρέχει επίσης πλήθος άλλων πληροφοριών οικονομικής φύσης τις οποίες δεν είναι δυνατόν να παράγουμε με άλλο τρόπο. Η μέθοδος Simplex μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο σε προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού, αλλά και σε προβλήματα Παραμετρικού, Ακέραιου, Μικτού Ακέραιου, Τετραγωνικού κλπ. 23

24 19.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Αδρανείς Μεταβλητές: o Κατά την εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο Γραμμικό Προγραμματισμό σε πρόβλημα μεγιστοποίησης, απαιτείται η μετατροπή του συστήματος των περιορισμών από σύστημα ανισώσεων σε σύστημα εξισώσεων. Για το λόγο αυτό πρέπει να χρησιμοποιηθούν νέες βοηθητικές μεταβλητές που στην περίπτωση των προβλημάτων μεγιστοποίησης ονομάζονται αδρανείς μεταβλητές. Οι αδρανείς μεταβλητές αντιπροσωπεύουν αχρησιμοποίητους πόρους στη διαδικασία μεγιστοποίησης του κέρδους. 24

25 20.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Ύπαρξη μοναδιαίου πίνακα. o Μετά τη μετατροπή των ανισώσεων σε εξισώσεις, το επόμενο βήμα για την εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο Γραμμικό Προγραμματισμό σε πρόβλημα μεγιστοποίησης, είναι η ύπαρξη μοναδιαίου πίνακα στον πίνακα των συντελεστών όλων των μεταβλητών, αρχικών και βοηθητικών, του συστήματος των περιορισμών. 25

26 21.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Εμφάνιση αδρανών μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση. Μετά τη μετατροπή του συστήματος των περιορισμών σε σύστημα εξισώσεων και μετά τη δημιουργία του μοναδιαίου πίνακα στον πίνακα των συντελεστών των αρχικών και βοηθητικών μεταβλητών, πρέπει να εμφανιστούν οι βοηθητικές μεταβλητές στην οικονομική συνάρτηση. Λοιπόν, οι αδρανείς μεταβλητές εμφανίζονται στην αντικειμενική συνάρτηση με συντελεστή μηδέν. 26

27 22.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Κριτήριο αριστοποίησης σε προβλήματα μεγιστοποίησης Όταν όλες οι διαφορές Z i -C i γίνουν θετικές ή μηδέν τότε η αντίστοιχη βασική λύση είναι η άριστη. Θετικές τιμές Z i -C i δηλώνουν ότι στην περίπτωση που η τιμή όλες αντίστοιχης μεταβλητής αυξηθεί, θα υπάρχει μείωση του κέρδους. Αντίθετα αρνητικές τιμές Z i -C i δηλώνουν ότι μπορεί να υπάρξει βελτίωση του κέρδους αν αυξηθεί η τιμή όλες συγκεκριμένης μεταβλητής με αρνητικό Z i -C i. 27

28 23.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Όταν συμβαίνει αυτό τότε το κριτήριο για την εκλογή όλες μεταβλητής που θα γίνει βασική είναι: Κριτήριο εισόδου σε προβλήματα μεγιστοποίησης Από όλες αρνητικές διαφορές Z i -C i εκείνη που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή δίνει τη μεταβλητή που θα μπεί στη βάση. Η στήλη όλες μεταβλητής που μπαίνει στη βάση λέγεται οδηγός στήλη. 28

29 24.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Ο πίνακας Simplex 2 κατασκευάζεται ως εξής: Αρχικά γίνεται αντικατάσταση στη βάση όλες οδηγού σειράς από την οδηγό στήλη. Δηλαδή θα αντικατασταθεί η S 2 από την x 1. Στη συνέχεια τα στοιχεία όλες σειράς όλες μεταβλητής που έγινε βασική θα προκύψουν από τη διαίρεση των στοιχείων όλες οδηγού σειράς με το οδηγό στοιχείο του πίνακα Simplex 1. Τα στοιχεία όλες στήλης όλες μεταβλητής που έγινε βασική θα είναι όλα μηδέν, εκτός όλες τιμής 1 που θα υπάρχει στη θέση του οδηγού στοιχείου του πίνακα. 29

30 25.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Ο πίνακας Simplex 2 κατασκευάζεται ως εξής: Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα Simplex 2 (εκτός από τα R j και λ j ) υπολογίζονται από τον πρώτο πίνακα ως εξής: Η νέα τιμή όλες στοιχείου θα είναι ίση με την παλιά τιμή του μείον το γινόμενο του αντίστοιχου στοιχείου όλες οδηγού σειράς του προηγούμενου πίνακα με το αντίστοιχο λ j. Ο κανόνας όλες ισχύει για όλα τα στοιχεία, ακόμη και για τα στοιχεία όλες Bottom row, που όλες μπορούν να υπολογιστούν και από τα Z i και C i. 30

31 26.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Ο πίνακας Simplex 2 κατασκευάζεται ως εξής: Ο δεύτερος τρόπος είναι προτιμότερος μια και αποφεύγουμε το χάσιμο μονάδων από όλες συνεχείς στρογγυλοποιήσεις των δεκαδικών. 31

32 27.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Ο πίνακας Simplex 2 κατασκευάζεται ως εξής: Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ο όλες πίνακας Simplex έχει και όλες δύο μοναδιαίες στήλες που αντιστοιχούν όλες βασικές μεταβλητές S 1 (η στήλη ) και x 1 (η στήλη ). Βασικά, οι αλγεβρικές πράξεις που εκτελέσαμε για να πάρουμε όλες νέες τιμές του πίνακα Simplex είχαν ακριβώς αυτό σαν σκοπό. Το να μετατρέψουμε δηλ. την στήλη που αντιστοιχεί στην νέα βασική μεταβλητή x 1 σε μοναδιαία στήλη. 32

33 28.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Ο πίνακας Simplex 2 κατασκευάζεται ως εξής: Η διαίρεση με το οδηγό στοιχείο έδωσε την τιμή 1 στη θέση όλες τομής όλες σειράς x 1 με τη στήλη x 1. Ο πολλαπλασιασμός των νέων τιμών όλες οδηγού σειράς με το 4 και η αφαίρεση του γινομένου από τη σειρά S 1 είχε σαν αποτέλεσμα να μηδενίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία όλες στήλης x 1. 33

34 29.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Οι συντελεστές του πίνακα Simplex στον τελικό πίνακα. Πόσες μονάδες από κάθε μία από τις βασικές μεταβλητές πρέπει να δοθούν για να αποκτήσουμε μία μονάδα από τη συγκεκριμένη μη βασική μεταβλητή; Μη βασική μεταβλητή είναι η S 2. Η S 2 συμβολίζει τις μη χρησιμοποιηθείσες ώρες εργασίας. 34

35 30.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Πηγή: Διδάσκων 35

36 31.ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ Εφαρμογή της μεθόδου Simplex στο γραμμικό προγραμματισμό κατά τη μεγιστοποίηση. Μέθοδος Simplex (συνέχεια). Σύμφωνα με τον τελικό πίνακα από την διαφάνεια 35 και έστω ότι είχαμε προχωρήσει σε λύση του προβλήματος με τη μέθοδο Simplex τότε μπορούμε να πούμε ότι: Για να αυξηθεί η S 2 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να μειωθεί η x 1 κατά 0,25 και να αυξηθεί η S 1 κατά 0,25. Αύξηση της S 2 κατά μία μονάδα σημαίνει μία περισσότερο μη χρησιμοποιημένη ώρα εργασίας ή αλλιώς μία ώρα εργασίας λιγότερο. 36

37 Τέλος Μαθήματος