Η Εφαρμογή της Θεωρίας Παιγνίων στην Εκμετάλλευση ενός Υδροφορέα με Εγκατεστημένες Γεωτρήσεις

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 43 Η Εφαρμογή της Θεωρίας Παιγνίων στην Εκμετάλλευση ενός Υδροφορέα με Εγκατεστημένες Γεωτρήσεις Α. Σ. ΖΟΡΜΠΑ Π. Κ. ΤΟΛΙΚΑΣ Δ. Κ. ΤΟΛΙΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός- Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Μαθηματικός Περίληψη Η διαχείριση των υπόγειων υδατικών πόρων απαιτεί τη μελέτη των παραμέτρων που καθορίζουν την εκμετάλλευσή τους, παράλληλα με την αντιμετώπιση όλων των παραγόντων που υπεισέρχονται στο πρόβλημα και κυρίως των περιβαλλοντικών, των οικονομικών και των κοινωνικών. Οι παράμετροι αυτές εκφράζουν την επίδραση που έχουν οι αντλήσεις στη συμπεριφορά του υδροφορέα σε σχέση: α) με τα υδρογεωλογικά του στοιχεία β) με τα υδρολογικά δεδομένα της περιοχής και γ) με την ενδεχόμενη συμμετοχή της διοίκησης μέσα από την υπάρχουσα νομοθεσία. Η μελέτη του εύρους, μέσα στο οποίο κυμαίνονται οι τιμές τους, μπορεί να οδηγήσει σε μια απόφαση πολιτικής από την πλευρά της πολιτείας. Το ζήτημα της διαχείρισης εντάσσεται στα κοινωνικο-πολιτικά προβλήματα, επειδή οι παράγοντες που υπεισέρχονται έχουν στενή σχέση με τη συμπεριφορά των χρηστών και τη στάση της πολιτείας απέναντί τους. Με την εφαρμογή της Θεωρίας Παιγνίων επιδιώκεται η προσομοίωση της συμπεριφοράς του συστήματος «υπόγειοι υδατικοί πόροι-χρήστες νερού» με ένα μοντέλο βασισμένο σε ένα γνωστό παιχνίδι, «Το Δίλημμα του Φυλακισμένου», ενώ η επιβολή ήπιου κλιμακωτού τιμολογίου οδηγεί σε οικονομική ανάπτυξη το σύνολο των αγροτών χωρίς να γίνει υπεράντληση του υδροφορέα. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μεγάλη ανάπτυξη τα τελευταία χρόνια των μαθηματικών θεωριών του Χάους και της Πολυπλοκότητας [1, 2]- με την παράλληλη ανάπτυξη των Γενετικών Αλγορίθμων ως μεθόδου βελτιστοποίησης μαθηματικών μοντέλων [3, 4], η οποία οδήγησε στην αναζήτηση νέων τεχνικών διαχείρισης πολυπαραμετρικών προβλημάτων όπου το «τυχαίο γεγονός» αποτελεί τον κανόνα για τις τιμές των μεταβλητών τουςέφερε στο προσκήνιο την ανάγκη εφαρμογής των νέων θεωριών και στα προβλήματα διαχείρισης των υδατικών πόρων. Γενικά το πρόβλημα της διαχείρισης ενός υδροφορέα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής( «Ποια είναι η πολιτική την οποία θα πρέπει να ακολουθήσει η πολιτεία σε σχέση με τις ενέργειες εκμετάλλευσης ενός υπόγειου υδατικού πόρου, στο πλαίσιο μιας βιώσιμης ανάπτυξης και ευημερίας της ευρύτερης περιοχής». Ο όρος πολιτική αναφέρεται σε μια σειρά διοικητικών αποφάσεων, οι οποίες θα έχουν ως στόχο τους αφ ενός την ορθολογική διαχείριση του υδατικού πόρου, με κριτήριο την ευημερία όλων των κοινωνικών ομάδων που στηρίζουν Υποβλήθηκε: 2.6.2 Έγινε δεκτή: 13.6.21 τις επιχειρηματικές αλλά και γενικότερες ζωτικές τους ανάγκες σε αυτόν, και αφ ετέρου την προστασία του από την υπερβολική εκμετάλλευση με κριτήριο τη διατήρηση των μονίμων αποθεμάτων σύμφωνα με τις αρχές της βιώσιμης ανάπτυξης. Οι αποφάσεις αυτές μπορεί να αναφέρονται σε επεμβάσεις είτε προληπτικές, στο πλήθος και το είδος των δράσεων, είτε σε διορθωτικές, μετά από έλεγχο της απόδοσης του υδατικού πόρου. Θα μιλούσαμε για βιώσιμη ανάπτυξη αν οι προσπάθειές μας συνέτειναν προς την κατεύθυνση της μη υπεράντλησης του υδροφορέα και επομένως τη διάθεση προς τη ζήτηση μόνο των ανανεώσιμων αποθεμάτων του νερού αφ ενός και αφ ετέρου τη διαχείριση όχι μόνο της προσφοράς νερού αλλά και της ζήτησης. Παράλληλα, όμως, η προοπτική μιας συνεχούς οικονομικής ανάπτυξης και ευημερίας για το σύνολο των αγροτών/επιχειρηματιών εντάσσεται στην κοινωνική διάσταση της αειφορίας και θέτει στόχους που δύσκολα αποτιμούνται με αριθμούς και μαθηματικές σχέσεις. Ακόμα πιο δύσκολο είναι να αποδοθεί μαθηματικά η επέμβαση της πολιτείας με την εφαρμογή διατάξεων, βάσει των οποίων θα επιβληθεί ενδεχομένως κάποιο πρόστιμο σε όσους παραβαίνουν την ισχύουσα νομοθεσία σχετικά με τη διαχείριση των υδατικών πόρων. Στην παρούσα έρευνα γίνεται προσομοίωση της συμπεριφοράς των αγροτών μιας περιοχής, οι οποίοι εκμεταλλεύονται το υπόγειο νερό ενός υδροφορέα, σε σχέση με την υδραυλική ανταπόκριση του υδροφορέα αφ ενός και την επιβολή πολιτικής τιμών αφ ετέρου, μέσα από την εφαρμογή κλιμακωτού τιμολογίου στο αντλούμενο νερό. Η συμπεριφορά αυτή είναι συνήθως ανταγωνιστική. Η διαμάχη για το νερό αναγκάζει τους χρήστες και την πολιτεία να εμπλακούν σε σχέσεις οι οποίες προσομοιάζονται με επιτυχία μέσα από τη Θεωρία Παιγνίων, η οποία αποτελεί ένα εργαλείο λήψης αποφάσεων που χρησιμοποιείται όχι μόνο στα σταθερά συστήματα αλλά κυρίως σε πολύπλοκες καταστάσεις, σε καταστάσεις όπου η τύχη και η απόφαση του ενός (ατόμου ή γενικότερα ενός φορέα) δεν είναι οι μοναδικοί παράγοντες που τις επηρεάζουν [5, 6]. Προβλήματα διασυνοριακών υδατικών πόρων που αναφύονται μεταξύ των κρατών αντιμετωπίζονται συχνά στη βάση της Θεωρίας Παιγνίων [8, 9], της οποίας «η χρησιμότητα έγκειται στο γεγονός ότι ανιχνεύει εναλλακτικά σενάρια, τα οποία κρούουν τον κώδωνα του κινδύνου και οδηγούν τον ελεγκτή

44 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 ενός συστήματος, π.χ. μια κυβέρνηση, να αναστείλει ή να επιταχύνει ορισμένες διαδικασίες, να μεταβάλει δηλαδή ορισμένες παραμέτρους, προκειμένου να αναχαιτίσει ή να αναστρέψει μια ανεπιθύμητη δυναμική» [1]. Στην έρευνα αυτή μελετώνται η σχέση και η αλληλεπίδραση μεταξύ των διαφόρων παραμέτρων που καθορίζουν τις διορθωτικές επεμβάσεις που αναφέρθηκαν, η αποτελεσματικότητα της εφαρμογής τους και η επίδρασή τους στην επίτευξη του στόχου της διαχείρισης των υδατικών πόρων, σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε. 2. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Σήμερα η κυριότερη δραστηριότητα εκμετάλλευσης ενός υδροφορέα είναι οι αντλήσεις που γίνονται από ένα μεγάλο αριθμό εγκατεστημένων γεωτρήσεων, με σκοπό την κάλυψη αναγκών σε νερό διαφόρων επιχειρηματικών μονάδων, κυρίως αγροτικών. Για την εγκατάσταση μιας γεώτρησης απαιτείται η έκδοση άδειας, με την οποία καθορίζεται και το επιτρεπόμενο βάθος άντλησης, ωστόσο τις περισσότερες φορές, ακριβώς εξαιτίας της μεγάλης άντλησης και της πτώσης του υδροφόρου ορίζοντα που αυτή συνεπάγεται, οι ιδιοκτήτες των γεωτρήσεων προχωρούν σε όλο και μεγαλύτερα βάθη άντλησης, με αποτέλεσμα την περαιτέρω πτώση του. Το γεγονός αυτό μελλοντικά θα οδηγήσει σε μια υπεράντληση του υδροφορέα και στη χρεοκοπία των επιχειρησιακών δράσεων, οι οποίες βασίστηκαν στην εκμετάλλευσή του. Ας υποτεθεί για παράδειγμα ότι το ζήτημα της διαχείρισης αφορά σε έναν υδροφορέα, στον οποίο γίνονται αντλήσεις για την άρδευση μιας μεγάλης περιοχής. Ο κάθε αγρότης καλείται να αποφασίσει πόσο νερό θα αντλήσει, προκειμένου να αρδεύσει το κτήμα του. Αν χρησιμοποιήσει όσο νερό τού παρέχεται από τα υδρολογικά και υδρογεωλογικά στοιχεία της περιοχής, θα αποκομίσει σίγουρο όφελος αυξάνοντας το εισόδημά του. Αν οι γείτονές του ενεργήσουν αντίστοιχα, θα υποστεί τις συνέπειες της επίδρασης αυτών των αντλήσεων, με αποτέλεσμα να έχει πτώση της στάθμης του νερού στη γεώτρησή του. Αλλά και από το ετήσιο υδατικό ισοζύγιο θα προκύψει ενδεχομένως μια διαφορά στα διαθέσιμα αποθέματα, η οποία με τη σειρά της θα επιφέρει ίσως περαιτέρω πτώση της στάθμης του υπόγειου υδροφόρου στρώματος στη συγκεκριμένη γεώτρηση. Επομένως, η ετήσια άντληση του κάθε αγρότη επηρεάζει όχι μόνον τη στάθμη της δικής του γεώτρησης αλλά και εκείνη των γειτόνων του, έμμεσα δε και της συνολικής υπό εκμετάλλευση περιοχής. Αν ο αγρότης φερθεί με «σύνεση» και περιορίσει την άντλησή του στα ανανεώσιμα αποθέματα, κινδυνεύει να γίνει αντικείμενο εκμετάλλευσης από τους γείτονές του, εφόσον αυτοί δεν θα φερθούν ανάλογα. Παρ όλο που όλους θα τους συνέφερε μια «συνετή» τακτική όσον αφορά στις αντλήσεις τους, ο πειρασμός για τη μεγαλύτερη δυνατή αύξηση του εισοδήματός τους θα παροτρύνει πολλούς σε ανταγωνιστικές αντλήσεις με υπέρβαση από τα ανανεώσιμα αποθέματα. Το γεγονός ότι οι αντλήσεις των γεωτρήσεων δεν είναι δυνατόν να καθορισθούν εκ των προτέρων ούτε και να προβλεφθούν, αφού οι αγρότες αντλούν σύμφωνα με τις εκάστοτε ανάγκες των καλλιεργειών τους με κυριότερο κριτήριο την αύξηση της ετήσιας παραγωγής τους, κάνει το πρόβλημα της διαχείρισης του υδροφορέα ιδιαίτερα πολύπλοκο και εξαιρετικά μη γραμμικό. Πρόκειται για μια «κατάσταση δράσης» παρόμοια με αυτήν που στη διεθνή βιβλιογραφία αναφέρεται ως «Το Δίλημμα του Φυλακισμένου» (the Prisoner s Dilemma), ένα παιχνίδι για δύο παίκτες, το οποίο επινόησαν οι Merrill Flood και Melvin Dresher στις αρχές της δεκαετίας του 5 και το οποίο έχει εκτεταμένα μελετηθεί στη Θεωρία των Παιγνίων αλλά και στις οικονομικές και πολιτικές επιστήμες, διότι θεωρήθηκε ως ένα ιδεατό μοντέλο που περιγράφει τα φαινόμενα του πραγματικού κόσμου [11, 12, 13]. 2.1. Το μοντέλο Η συμπεριφορά των αγροτών, που αντλούν από ένα υδροφορέα, έχει προσομοιωθεί με το επαναλαμβανόμενο «Δίλημμα του Φυλακισμένου». Για την κατάστρωση του μαθηματικού μοντέλου θεωρήθηκε η έκταση που καταλαμβάνει ο υδροφορέας διαιρεμένη σε Ν Χ Ν αγροτεμάχια με εγκατεστημένες ισάριθμες γεωτρήσεις. Οι ιδιοκτήτες τους κατέχουν ίσο αρχικό κεφάλαιο, αυτό που θα τους αντιστοιχούσε από τη διαθέσιμη προς άντληση ποσότητα υπόγειου νερού, υπολογισμένη από τα θεωρητικά ανανεώσιμα αποθέματα. Ενέργεια του κάθε «παίκτη» θεωρήθηκε η ετήσια συνολική του άντληση ως ποσοστό του αρχικού του διαθέσιμου κεφαλαίου. Είναι προφανές ότι το κέρδος, που θα αποκομίσει ο «παίκτης» από την κίνησή του, εξαρτάται και από τις κινήσεις των άλλων «παικτών», κύρια των γειτόνων του αλλά και των υπολοίπων, αφού κάθε ενέργεια, δηλαδή κάθε άντληση μπορεί να επιφέρει μείωση ή αύξηση του αρχικού διαθέσιμου κεφαλαίου ανάλογα με το αν θα υπερβεί ή όχι τα ανανεώσιμα αποθέματα. Αν η ενέργεια του «παίκτη» γίνει μέσα στα επιτρεπόμενα από την υδρολογία όρια, τότε το αποτέλεσμα θα είναι να έχει αύξηση του κεφαλαίου του, αφού η δυνατότητα επαρκούς άντλησης θα έχει ως φυσική συνέπεια τη διαχείριση του αντλούμενου νερού για την ικανοποίηση των επιχειρηματικών του αναγκών. Παρατηρείται η πολυπλοκότητα του προβλήματος όσον αφορά στις παραμέτρους που συσχετίζουν τις ενέργειες των «παικτών» με τα αποτελέσματα αυτών των ενεργειών στην αύξηση ή μείωση του κέρδους τους. Κάποιες από αυτές τις παραμέτρους προκύπτουν από τα υδρογεωλογικά στοιχεία του υπόγειου υδατικού πόρου, κάποιες από τα υδρολογικά δεδομένα της περιοχής και τέλος ορισμένες εκφράζουν την νομική ή διοικητική διάσταση των συνεπειών που οι ενέργειες αυτές θα έχουν στο εισόδημά τους. Ειδικότερα, οι παράμετροι, που καθορίζουν την επίδραση του συνόλου των αντλήσεων σε κάθε μία άντληση ξεχωριστά (η οποία επίδραση οφείλεται στο ετήσιο υδατικό ισοζύγιο της περιοχής), και οι παράμετροι της επίδρασης των αντλήσεων στην αύξηση

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 45 ή μείωση του κεφαλαίου τους αποτέλεσαν δεδομένα για την έρευνά μας. Δεδομένες θεωρήθηκαν και οι παράμετροι που καθορίζουν την κατάσταση του υδροφορέα. Οι παράμετροι αυτές είναι( 1. Η παράμετρος e, η οποία εκφράζει τη δυνατότητα εκμετάλλευσης του υδροφορέα με μια υπέρβαση της μέγιστης, επιτρεπόμενης από τα ανανεώσιμα αποθέματα, άντλησης χωρίς να γίνεται υπεράντλησή του και 2. Η παράμετρος a, η οποία εκφράζει το ποσοστό επίδρασης των γειτονικών αντλήσεων στη στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα σε κάθε μία γεώτρηση. Οι ιδιοκτήτες των γεωτρήσεων καλούνται να εφαρμόσουν στρατηγικές, προκειμένου να επιλέγουν κάθε φορά την επόμενη κίνησή τους. Στην κατάστρωση του μαθηματικού μοντέλου έχουν προγραμματιστεί 3 πιθανά εναλλακτικά σενάρια για την επόμενη κίνηση, τα οποία βασίζονται στην κίνηση του πιο επιτυχημένου γείτονα με ορισμένες παραλλαγές ενώ ένα μικρό ποσοστό κάνει ενέργειες τυχαίες ( 4 ο εναλλακτικό σενάριο). Ένα άλλο μέγεθος, που χρειάζεται να επανα-προσδιοριστεί επίσης σε κάθε γύρο, είναι η διαθέσιμη ποσότητα από τα νέα ανανεώσιμα αποθέματα νερού. Και εδώ υπάρχουν τέσσερα σενάρια με πιθανότητα 25% το καθένα για την τιμή αυτής της ποσότητας, η οποία εξαρτάται από το ετήσιο υδατικό ισοζύγιο και την επίδρασή του στα συνολικά αποθέματα. Είναι ενδεχόμενο να μειωθούν αυτά τα αποθέματα σε τέτοιο βαθμό, ώστε σε κάποιο γύρο η πτώση του υδραυλικού φορτίου να υπερβεί την επιτρεπόμενη από τα υδραυλικά χαρακτηριστικά του υδροφορέα και όλο το σύστημα να καταρρεύσει. Σύμφωνα με το μοντέλο που περιγράφηκε παραπάνω, καταστρώθηκε ένα πρόγραμμα σε γλώσσα Visual Basic. Κατά τη διάρκεια 4 χρόνων (χρονική διάρκεια για την οποία σχεδιάζονται γενικά έργα Πολιτικού Μηχανικού) παρακολουθείται η συμπεριφορά του υδροφορέα ανάλογα με τις ανθρώπινες επεμβάσεις (ενέργειες των αγροτών) και δίνεται η δυνατότητα της άμεσης παρατήρησης στην οθόνη της μεταβολής, στο χώρο και το χρόνο, του αρχικού κεφαλαίου των αγροτών και παράλληλα η καμπύλη μεταβολής του συνολικού εισοδήματος και της συνολικής άντλησης. Προκειμένου να περιοριστούν οι αντλήσεις των αγροτών σε μέτρια επίπεδα και να «τιμωρηθούν» οι σπατάλες με στόχο την εξοικονόμηση οικονομικών πόρων για μελλοντική αποκατάσταση του υδροφορέα, έχει επιλεγεί η εφαρμογή κλιμακωτού τιμολογίου, με τρεις τιμές, οι οποίες θα επιβάλλονται στα ακόλουθα ποσοστά άντλησης: 1. Η άντληση δεν τιμολογείται, εφόσον είναι μικρότερη η ίση από ένα ποσοστό v% της επιτρεπόμενης από τα ανανεώσιμα αποθέματα. 2. Για το τμήμα της άντλησης που περιλαμβάνεται μεταξύ του v% και του 1% της επιτρεπόμενης από τα ανανεώσιμα αποθέματα, επιβάλλεται τιμή ίση με το p % του κέρδους αυτού του τμήματος. 3. Για το τμήμα της άντλησης που υπερβαίνει την επιτρεπόμενη από τα ανανεώσιμα αποθέματα επιβάλλεται τιμή ίση με το b 1 % του κέρδους του συγκεκριμένου τμήματος. Οι παραπάνω παράμετροι υπόκεινται στον περιορισμό v, p, b 1 1 Αυτό που επιδιώχθηκε είναι η αναζήτηση της βέλτιστης πολιτικής, η οποία θα επιφέρει θετικά αποτελέσματα στο σύστημα χωρίς την ανάγκη στήριξης σε ενέργειες συνεργασίας και αλτρουισμού (14( από μέρους των αγροτών. Συγκεκριμένα, διερευνήθηκε κατά πόσο οι τιμές των παραμέτρων v, p, b1 μπορούν να επιλεγούν έτσι, ώστε να υπάρχουν αυξημένες πιθανότητες για το 1% των αγροτών να έχουν αύξηση του εισοδήματός τους, ενώ η πιθανότητα να επιλέξουν οι αγρότες για την επόμενη κίνησή τους τυχαίες συνεργατικές στρατηγικές, θεωρήθηκε ίση με μηδέν. Πρόκειται για την περίπτωση όπου η πολιτεία ζητά τη συναίνεση των πολιτών, προκειμένου να επιβάλει μέτρα προστασίας του περιβάλλοντος χωρίς να προκαλέσει ζημία στο εισόδημά τους. Πόσο αυστηρά μπορεί να είναι αυτά τα μέτρα; Ποιο είναι το εύρος τιμών αυτών των παραμέτρων( Η απάντηση απαιτεί τη διερεύνηση και συσχέτιση μεγάλου πλήθους συνδυασμών τους, ειδικά εκείνων που θα οδηγήσουν στη μεγιστοποίηση του ποσοστού των αγροτών με αύξηση εισοδήματος. Οδηγούμαστε έτσι σε ένα μοντέλο βελτιστοποίησης στο οποίο οι παράμετροι v, p, b 1 αποτελούν τις μεταβλητές απόφασης η αντικειμενική συνάρτηση-στόχος είναι: Το ποσοστό των αγροτών, που μετά 4 χρόνια θα παρουσιάζουν αύξηση στο αρχικό τους εισόδημα, να γίνει μέγιστο. ως περιορισμός θεωρήθηκε η μη κατάρρευση του υδροφορέα στα 4 χρόνια εκμετάλλευσής του. Επιλύθηκε η περίπτωση όπου η κατάσταση του υδροφορέα θεωρείται επιβαρημένη αλλά αναστρέψιμη. Η δυνατότητα να γίνει υπέρβαση των ανανεώσιμων αποθεμάτων είναι της τάξης του 5% (e=1.5), ενώ οι υπάρχουσες γεωτρήσεις, που είναι εγκατεστημένες, αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με μια επιβάρυνση στις γειτονικές αντλήσεις κατά 28% (a=.28) κατά μέσο όρο. Η κατάσταση αυτή επιλέχτηκε, επειδή στην έλλειψη μιας πολιτικής τιμών ανταποκρίνεται με αστάθεια. Αυτό σημαίνει ότι ανάλογα με τις αρχικές τυχαίες αντλήσεις ενδέχεται να υπάρξει είτε συνολική αύξηση στο εισόδημα των αγροτών (στο 1% των αγροτών) είτε καθολική πτώχευση, γεγονός που επισημάνθηκε με την εφαρμογή του προγράμματος σε παρά πολλές δοκιμές. Για κάθε σύνολο τιμών των ανεξαρτήτων μεταβλητών το σύστημα παρουσιάζει μια ποικιλία συμπεριφορών που εξαρτώνται από τις τυχαίες αρχικές κινήσεις, γεγονός που του προσδίδει τον πολύπλοκο χαρακτήρα του. Το ποσοστό των αγροτών που έχουν τελικά αύξηση στο εισόδημά τους διαφέρει ακόμα και για τις ίδιες τιμές των παραμέτρων που καθορίζουν το κλιμακωτό τιμολόγιο. Επομένως, η «τιμή» της αντικειμενικής συνάρτησης δεν είναι σταθερή για το ίδιο σύνολο τιμών των ανεξαρτήτων μεταβλητών. Είναι προφανές ότι αυτό το μοντέλο δεν μπορεί να επιλυθεί με κλασικές μεθόδους μαθηματικού προγραμματισμού. Για αυτόν το λόγο η αναζήτηση της βέλτιστης πολιτικής έγινε με τη χρήση της μεθόδου των Γενετικών Αλγορίθμων.

46 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 2.2. Βελτιστοποίηση με εφαρμογή Γενετικών Αλγορίθμων Το ενδεχόμενο να αντλήσουν όλοι οι αγρότες σε ποσότητες, που η αλληλεπίδρασή τους δεν θα οδηγήσει σε αρνητική βαθμολογία για κανέναν, οδηγεί στον καθορισμό μιας ελάχιστης άντλησης x min για την αρχική τους επιλογή [14]. Επιλέχτηκε η γενική περίπτωση όπου η ελάχιστη αρχική άντληση είναι ίση με το 98% της x min. Η επιλογή αυτή βασίστηκε στο σκεπτικό να υπάρξουν αρχικά και ορισμένες κινήσεις, οι οποίες δεν θα είναι άκρως ανταγωνιστικές. Ο αρχικός πληθυσμός αποτελείτο από 15 χρωμοσώματα, τα οποία αντιστοιχούσαν σε συνδυασμούς των ανεξαρτήτων μεταβλητών v, p, b 1. Ο πληθυσμός αυτός υφίσταται τις γενετικές διαδικασίες της φυσικής επιλογής, της διασταύρωσης και της μετάλλαξης και αναπαράγεται βελτιωμένος στην επόμενη γενιά. Η βελτίωση αφορά στην προσέγγιση της μέγιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, με τον περιορισμό να μη καταρρεύσει ο υδροφορέας. Για την προσομοίωση της φυσικής επιλογής εφαρμόστηκε η μέθοδος της ρουλέτας [3] και η αναπαραγωγή έγινε για 2 γενιές. Στο σύνολο των 3. συνδυασμών οι περιπτώσεις επιβίωσης των χρωμοσωμάτων (λύσεων), που αφορούσαν στην έλλειψη πολιτικής τιμών, ήταν 18 και από αυτές μόνο οι 11 οδήγησαν σε αύξηση κεφαλαίου το 1% των αγροτών, ενώ συνολικά 59 οδήγησαν σε αύξηση κεφαλαίου ποσοστό αγροτών >=97%. Αυτό πιθανόν να σημαίνει ότι τα χρωμοσώματα αυτών των λύσεων είτε δεν αναπαράχθηκαν ή, αν αναπαράχθηκαν, απορρίφθηκαν στη συνέχεια, διότι δεν άντεξαν στη δοκιμασία των επόμενων γενιών. Οι περιπτώσεις αυτές αντιστοιχούν στις παρακάτω τιμές των v, p, b 1 : α) v=1 p= οτιδήποτε b 1 = β) v=οτιδήποτε p= b 1 = Όλες οι υπόλοιπες (2982) περιπτώσεις αποτελούν την ονομαζόμενη ποικίλη τιμολόγηση. Εξετάσθηκαν όλες οι περιπτώσεις όπου οποιοδήποτε ποσοστό των αγροτών έχει αύξηση του αρχικού του κεφαλαίου μετά από 4 χρόνια εκμετάλλευσης του υδροφορέα. Το ποσοστό αυτό μπορεί να κυμαίνεται από % μέχρι 1%. Η περίπτωση του μηδενικού ποσοστού σημαίνει την πτώχευση όλης της περιοχής, ενώ το 1% την καθολική ευημερία. Στα σχήματα 1, 2 και 3 παρουσιάζονται οι συχνότητες εμφάνισης των τριών παραμέτρων τιμολόγησης αντίστοιχα, για τις περιπτώσεις όπου ευημερεί ποσοστό αγροτών ίσο ή μεγαλύτερο από το 97%. Οι περιπτώσεις αυτές ανέρχονται σε 7659. Στο σχήμα 1 φαίνεται ότι υπάρχει μεγάλη συχνότητα εμφάνισης της παραμέτρου v για τις τιμές της πάνω από 6%, με κάποια μικρή εξαίρεση την τιμή 1%. Κάτω από την τιμή v=5% μειώνονται εμφανώς οι περιπτώσεις που αντιστοιχούν στη συνολική ευημερία. Αυτό σημαίνει ότι οι συχνότερες περιπτώσεις ευημερίας εντοπίζονται σε ποσοστά διάθεσης δωρεάν νερού μεγαλύτερα από το 5%-6% των ανανεώσιμων αποθεμάτων. Οι παρατηρήσεις αυτές προκύπτουν και από το σχήμα 6, όπου παρουσιάζεται η συχνότητα των συνδυασμών ευημερίας για τις διάφορες τιμές του ποσοστού δωρεάν άντλησης Αντίστοιχα, στο σχήμα 2, η συχνότητα των περιπτώσεων ευημερίας σε σχέση με την τιμολόγηση των υπολοίπων ποσοτήτων είναι συχνότερες, όταν η τιμολόγηση είναι ήπια. Η παράμετρος p, που εκφράζει το ποσοστό του υπόλοιπου νερού από τα ανανεώσιμα αποθέματα που δεν αποφέρει κέρδος λόγω της τιμολόγησης, κυμαίνεται συχνότερα σε χαμηλές τιμές, κάτω από το 3%. Στο σχήμα 3 φαίνεται ότι η ανάλογη συχνότητα εμφάνισης περιπτώσεων ευημερίας, σε σχέση με την παράμετρο τιμολόγησης b1 που εκφράζει το ποσοστό των ποσοτήτων που υπερβαίνουν τα ανανεώσιμα αποθέματα χωρίς να αποφέρει κέρδος, παρουσιάζεται με μικρή αύξηση στις χαμηλές τιμές αυτής της παραμέτρου. 1,2 τιµές της παραµέτρου v% 1,8,6,4,2 3 4 2 4 4 8 4 1 4 2 6 4 8 8 4 9 2 4 5 6 5 1 4 3 3 4 1 4 4 1 3 3 4 3 6 2 3 5 1 2 8 4 2 5 9 2 3 9 2 8 5 2 8 4 2 1 9 2 1 4 π λ ή θ ο ς σ υ ν δ υ α σ µ ώ ν Σχήμα 1: Ποσοστό δωρεάν άντλησης v%- πλήθος συνδυασμών. Figure 1: Percentage v% of free pumping-combinations.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 47 1,2 τιµές της παραµέτρου p% 1,8,6,4 161 141 174 184 23 223 267 271 317 348 376 353 399 398 419 448 532 54 588 638 679 πλήθος συνδυασµών Σχήμα 2: Ποσοστό τιμολόγησης p%- πλήθος συνδυασμών. Figure 2: Price percentage p%-combinations. 1,2 τιµές της παραµέτρου b1% 1,8,6,4 239 318 297 35 329 322 338 343 365 366 368 381 378 4 365 42 388 391 49 478 434 πλήθος συνδυασµών Σχήμα 3: Ποσοστό τιμολόγησης b1%-πλήθος συνδυασμών. Figure 3: Price percentage b1%- combinations. Παρατηρείται ότι στη συσχέτιση μεταξύ των παραμέτρων v% και p% (σχήμα 4) υπάρχει μια μικρή περιοχή τιμών, για τις οποίες δεν παρουσιάζεται συνολική ευημερία. Η περιοχή αυτή αντιστοιχεί σε πολύ χαμηλές τιμές της v (%- 3%) και παράλληλα σε πολύ υψηλές της p (7%-1%), με άλλα λόγια σε μια ιδιαίτερα αυστηρή τιμολόγηση. Όλοι οι υπόλοιποι συνδυασμοί έχουν οδηγήσει σε ευημερία ποσοστό >=97% των αγροτών. Η σύγκριση των τιμών v και p ως προς το ποσοστό εμφάνισής τους σε αυτούς τους συνδυασμούς ευημερίας, παρουσιάζεται στο σχήμα 5.

48 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 ποσοστό p% που τιµολογείται 1,2 1,8,6,4,4,6,8 1 1,2 ποσοστό v% δωρεάν άντλησης Σχήμα 4: Συσχέτιση των παραμέτρων v% και p%. Figure 4: Relationship between parameters v% and p%. ποσοστά πλήθους συνδυασµών για ευηµερία,8,7,6,5,4,3,1,72 65,14,61,434,333,353,62 13,354,326,319,32 81,4,412 99 89 v= v=,5- v=5-,4 v=,45-,6 v=,65-,8 v=,85-1 >97% p=- p=5-,5 p=.55-1 Σχήμα 5: Σύγκριση των παραμέτρων v% και p%. Figure 5: Comparison between v% and p%. Είναι ενδεικτικό ότι στις περιπτώσεις όπου η δωρεάν άντληση είναι μικρή ή και μηδενική (v=-), η τιμολόγηση της υπόλοιπης ποσότητας νερού είναι, σε μεγάλο ποσοστό βέλτιστων λύσεων, πολύ χαμηλή (p=-). Αντίθετα, η μεγάλη ποσότητα δωρεάν άντλησης αντιστοιχεί συνήθως και σε υψηλή τιμολόγηση για το υπόλοιπο νερό άντλησης. 3. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στις 7.659 περιπτώσεις ευημερίας οι 59 περιπτώσεις αντιστοιχούσαν σε έλλειψη πολιτικής τιμών και θεωρούνται αμελητέου ποσοστού (,77%). Από τις υπόλοιπες 7.6 το 2,8% μόνον αντιστοιχούσε σε μηδενικό ποσοστό δωρεάν άντλησης (σχήμα 7). Ταυτόχρονα,, τουλάχιστον το 5% από αυτές τις περιπτώσεις παρουσίαζε τιμολόγηση χαμηλή, το πολύ μέχρι 15%. Το 34,2% των περιπτώσεων ευημερίας είχε δωρεάν διαθέσιμο νερό σε ποσοστά κάτω του 5% των ανανεώσιμων αποθεμάτων, ενώ η τιμολόγηση της επιπλέον άντλησης, στις μισές τουλάχιστον περιπτώσεις, ήταν το πολύ 25%. Τέλος, στο 63% των συνδυασμών ευημερίας, η δωρεάν τιμολόγηση αντιστοιχούσε σε ποσοστά αντλούμενου νερού ίσα και μεγαλύτερα του 5% των ανανεώσιμων αποθεμάτων. ποσοστά εµφάνισης συνδυασµών ευηµερίας >97%,3 5,15,1,5,28,134,164 8 5 1 v= v=,5- v=5-,4 1v=,45-,6 v=,65-,8 v=,85-1 ποσοστά δωρεάν άντλησης Σχήμα 6: Ποσοστό βέλτιστων λύσεων για διάφορες τιμές της παραμέτρου δωρεάν άντλησης v%. Figure 6: Optimum solutions for several values of the free pumping parameter v%. ποσοστά εµφάνισης συνδυασµών ευηµερίας >97%,7,6,5,4,3,1,28,342,63 1 v= v=,5-,45 v=,5-1 Σχήμα 7:Αθροιστικό ποσοστό βέλτιστων λύσεων για τιμές της παραμέτρου δωρεάν άντλησης v<5% και v >5%. Figure 7: Optimum solutions for the free pumping parameter values v<5% and v >5%. Τέλος, από τα σχήματα 8 και 9, φαίνεται ότι δεν υπάρχει σαφής σχέση μεταξύ των παραμέτρων v ή p και της παραμέτρου b1.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 49 ποσοστά πλήθους συνδυασµών για ευηµερία >=97%,7,6,5,4,3,1,,429,456,444,424,459 88 87,31,33 96,33 83 57 46 73 45,9,67 b1= b1=,5- b1=5-,4 b1=,45-,6 b1=,65-,8 b1=,85-1 p=- p=5-,5 p=.55-1 Σχήμα 8: Σύγκριση των παραμέτρων b1% και p%. Figure 8: Comparison between b1% and p%. να αποδίδεται ως φόρος τo 3%-33%. Από το υπερβάλλον τμήμα μπορεί να αποδίδεται ως φόρος το πολύ 55%-6% (σχήμα 1). ποσοστά εµφάνισης συνδυασµών ευηµερίας >=97%,45,4,35,3 5,15,1,5,57 18 99,426 b1= b1=,5- b1=5-,5 b1=,55-1 ποσοστά πλήθους συνδυασµών για ευηµερία >=97%,7,6,5,4,3,546,539 67 58 58,187,172,1,577 85,542,196,64,142,146,168,153 61,562 b1= b1=,5- b1=5-,4 b1=,45-,6 b1=,65-,8 b1=,85-1 v=- v=5-.5 v=,55-1 Σχήμα 9: Σύγκριση των παραμέτρων b1% και v%. Figure 9: Comparison between b1% and v%. Ως τελικό συμπέρασμα, για την περίπτωση του υδροφορέα που εξετάσθηκε ως παράδειγμα, εξάγεται ότι ένα ποσοστό τουλάχιστον 5% των ανανεώσιμων αποθεμάτων θα πρέπει να μη τιμολογείται (δωρεάν άντληση), ενώ από το υπόλοιπο τμήμα των ανανεώσιμων αποθεμάτων θα πρέπει Σχήμα 1: Ποσοστό βέλτιστων λύσεων για διάφορες τιμές της παραμέτρου b1%. Figure 1: Optimum solutions for several values of the parameter b1%. Η τιμολόγηση αυτή έχει τις περισσότερες πιθανότητες να αποδώσει έσοδα χωρίς να δημιουργήσει ιδιαίτερα οικονομικά προβλήματα στο μεγαλύτερο τμήμα του αγροτικού πληθυσμού που σχετίζει τις δραστηριότητές του με το συγκεκριμένο υδροφορέα. Επομένως, σε ένα δεδομένο περιβάλλον στο οποίο υπάρχει ήδη μια δυσμενής κατάσταση, η επιβολή μιας πολιτικής τιμών σε μορφή κλιμακωτού τιμολογίου μπορεί να βοηθήσει προς την κατεύθυνση της βιώσιμης ανάπτυξης. Η κεντρική ιδέα, που απορρέει από την έρευνα, είναι ότι: Μια πολιτική τιμών σε μορφή κλιμακωτού τιμολογίου πρέπει να είναι ήπια. Αυτό σημαίνει ότι είναι προτιμότερο ένα ποσοστό του διαθέσιμου από τα ανανεώσιμα αποθέματα νερού να διατίθεται δωρεάν και το υπόλοιπο να τιμολογείται. Η εξ ολοκλήρου τιμολόγηση ενδέχεται να λειτουργήσει σε βάρος της ανάπτυξης και της ευημερίας της περιοχής και η πολιτική αυτή κινδυνεύει να χαρακτηριστεί ως εξόχως «εισπρακτική». Από την άλλη πλευρά, η παντελής έλλειψη νομοθεσίας και πολιτικής τιμών σπάνια οδηγεί σε ευημερία το σύνολο του πληθυσμού.

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Babovic Vladan, «Emergence, Evolution, Intelligence: Hydroinformatics», A. A. Balkema, Rotterdam, Brookfield, 1996. 2. Holland John, «emergence: from Chaos to Order», Oxford University Press, 1998. 3. Goldberg D.,«Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning», ADDISON-WESLEY Publ. Co., Inc., 1989. 4. Back Thomas,«Evolutionary Algorithms in Theory and Practice. Evolution Strategies, Evolutionary Programming, Genetic Algorithms». Oxford University Press, New York, 1996. 5. Newmann John von and MORGENSTERN Oscar, «Theory of Games and Economic Behavior», Princeton University Press, 1953. 6. Davis Morton D.,«Game Theory», Βasic Books, Inc., Publishers, 1973. 7. Rapoport Anatol, «Conflict in man-made environment», Penguin Books, 1974. 8. Bennett Lynne, Ragland Shannon and Yolles Peter, «Facilitating International Agreements Through an Interconnected Game Approach», Conflict and Cooperation on Trans-Boundary Water Resources, Kluwer Acad. Publishers, 1998. 9. Netanyahu S., Just R. and Horowitz J, «Bargaining Over Shared Aquifers: The Case of Israel and the Palestinians», Conflict and Cooperation on Trans-Boundary Water Resources, Kluwer Academic Publishers, 1998. 1. Νίκολης Ιωάννης, «Θεωρία Παιγνίων: μελετώντας ζούγκλες έως...χρηματιστήρια», συνέντευξη στην εφημερίδα «Ελευθεροτυπία», σελ. 16, 2 Νοεμβρίου 1999. 11. Nowak Martin, May Robert and Sigmund Karl, «The Arithmetics of Mutual Help», Scientific American, pp. 5, June 1995. 12. Sigmund Karl, «Games of Life», Penguin Books, 1995. 13. Axelrod Robert, «The Evolution of Cooperation», ελλην. μετάφραση, Εκδόσεις Καστανιώτη, 1998. 14. Ζορμπά Αγγελική, «Διαχείριση υπόγειων υδατικών πόρων με εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων. Βελτιστοποίηση με τη χρήση Γενετικών Αλγορίθμων», διδακτορική διατριβή Α.Π.Θ., 2. Α. Σ. Ζορμπά, Δρ Πολιτικός Μηχανικός-Μαθηματικός, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ. Π. Κ. Τολίκας, Αν. Καθηγητής, Τομέας Συγκοινωνιακών και Υδραυλικών Έργων, Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών, Α.Π.Θ. Δ. Κ. Τολίκας, Καθηγητής, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 51 Extended summary Application of Game Theory to The Exploitation of an Aquifer with Pumping Wells Α. S. ZORBA P. K. TOLIKAS D. K. TOLIKAS Dr Civil Engineer- Assoc. Professor A.U.TH. Professor A.U.TH. Mathematician Abstract In addition to all aquifer parameters influencing its exploitation, environmental, financial and social factors, must be studied for groundwater resource management. The impact of pumping on the aquifer, as well as on the farmers income, depends on the aquifer s hydrogeological characteristics, on the area s hydrological data and on the state intervention that is usually imposed as a price policy. The research is focused on the evaluation of the parameters range, which may define the main axes of the aquifer s management policy. The farmers behavior is simulated in a similar way to The prisoner s dilemma, known from Game Theory. The implementation of a scaled prices policy could lead to the growth of the initial farmers capital for the following 4 years, under the condition that the aquifer has not been overpumped. 1. INTRODUCTION The system aquifer - pumping is characterized as a high degree complex system. New theories, such as the theory of complexity and chaos (1,2( and genetic algorithms (3,4( are used to handle this complexity. The problem concerning aquifer management can be outlined as the state policy for groundwater resources exploitation under the prism in the context of the sustainable development of the area. The term policy means a series of state regulations that define what to do in any situation that might arise. The regulations aim at two competitive goals: a) the exploitation of groundwater resources according to the interests of all the social groups, whose vital needs and business activities depend on these resources and b) the protection of the groundwater resources from overpumping. Many problems, such as economics (5,6( and politics (7(, but also problems of transboundary water resource management (8,9(, are successfully dealt with by Game Theory. 2. FORMULATION OF THE PROBLEM The pumping wells play the most significant role in the exploitation of the aquifer. They are used for irrigation and Submitted: Jun. 2. 2 Accepted: Jun. 13. 21 for water supply to villages, cities and industries. The drills owners usually pump arbitrarily significant groundwater discharges that cause a gradual lowering of the hydraulic head. The scaling up of the drawdown will eventually result in the bankruptcy of many agricultural and business activities that are based on the aquifer s exploitation. The farmers and the businessmen pump groundwater amounts according to their needs, having as a sole incentive to increase their income as much as possible. Thus, the groundwater pumping rates are unpredictable and the aquifer s management is characterized by complexity and strong non- linearity. The farmers actions, which determine the annual amount of the pumped groundwater, can be studied in a similar way to the prisoner s dilemma. This is a game for two players that has been thoroughly studied in economics and in political sciences (11,12,13(. The prisoner s dilemma is considered as an ideal model, which can simulate real world phenomena. 2.1. The model The total area above the aquifer is supposed to be divided into N X N farms. In each farm a pumping well exists. The annual amount of groundwater to be pumped by a farmer (player) is considered as his choice (action). Each player s outcome depends not only on his choice, but also on the choices of the rest of the players. This is due to the fact that any amount of pumped groundwater will decrease his initial capital, as the total amount of the pumped groundwater exceeds the renewable deposits and vice versa. In this case, severe local or global implications might occur, as for example a significant drawdown rate, which may gradually cause the aquifer s total destruction. In contrast, if the player s action doesn t exceed the allowable hydrological limits the player will increase his capital. Thus, the players actions, the problem s parameters and the players outcomes are governed by complicated relationships that create a complex system. The problem s parameters are obtained from the area s hydrological

52 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 21, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 data (precipitation, infiltration etc), from the aquifer s hydrogeological data (permeability, aquifer s thickness etc) and from the scaled prices policy imposed by the state. The solution to the above-prescribed model, for an aquifer with unstable behavior, is the policy which leads to the growth of the initial farmers capitals for the following 4 years, under the condition that the aquifer has not been overpumped. The maximization of the percentage of the farmers who increase their initial capitals is the objective function of this optimization model. The maximum value of the objective function is 1%, but in this research all the percentages that exceed a satisfactory lower limit of 97% were studied. Thus, the maximum value of the objective function is a priori known. What is to be determined are the price policy parameters v, p, b1, which represent the decision variables and describe( a) Percentage v% of pumping water is free b) Pumping between v% and 1% of renewable deposits lose the p% of the related profit c) Pumping over the renewable deposits lose b1% of the related profit. The method of genetic algorithms is used to solve this optimization problem. Every solution leads to a certain combination of the parameters v, p and b1 and constitutes a chromosome. According to the genetic algorithm method, an initial population of 15 random combinations of the decision variables is formed. This initial population is improved in the following generations and leads to an optimum policy by means of genetic processes (reproduction, crossover and mutation). Considering that the optimum policy is not unique, many combinations of the parameters values can approach the maximum value of the objective function. Running a program, developed in Visual Basic, for 2 generations and for 4 years, interesting results were obtained for the sustainable groundwater resources management. The research is focused on the determination of the frequency of occurence of parameter values that maximize the number of the farmers who increase their income (figures 1, 2, 3). In the above example it is obvious that the three values of the scaled price parameters correspond to a mild policy. The best policy is either to supply a water amount (about 5%-6%) freely or to impose medium prices (p=33%-35%, b1=6%) on the remaining quantities. In the contrary case a lot of the farmers will decrease their incomes. Concluding, we can remark that a mild policy seems to be the most suitable for obtaining the pursued goal, which is almost total prosperity under a general, sustainable development of the whole region. A. S. Zorba, Dr Civil Engineer-Mathematician, Div. of Hydraulics & Environmental Engineering, Dep. of Civil Engineering, A.U.TH., GR- 546, Thessaloniki. P. K. Tolikas, Assoc. Professor, Div. of Transportation &Hydraulic Engineering, Dep. of Rural & Surveying, A.U.TH., GR-546, Thessaloniki. D. K. Tolikas, Professor, Div. of Hydraulics & Environmental Engineering, Dep. of Civil Engineering, A.U.TH., GR-546, Thessaloniki.