Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση Νίκος Θεοχαράκης Διάλεξη 5 Ιανουάριος 2014
Ελαστικότητα
Ελαστικότητα Γενικά η ελαστικότητα μας δείχνει πως αντιδρά μια εξαρτημένη μεταβλητή στις μεταβολές μιας ανεξάρτητης μεταβλητής y=f(x) Δx Δy e y y % y y x x % x x y x
Ελαστικότητα
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Price elasticity of demand Alfred Marshall H ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής της ζητούμενης ποσότητας ως προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής Αν ΔQ είναι η μεταβολή της ποσότητας Q, και ΔP η μεταβολή της τιμής P, τότε η ελαστικότητα ζήτησης ε D στο σημείο της καμπύλης ζήτησης (P, Q) ορίζεται ως: D Q Q P P
A. Marshall, On the Graphic Method of Statistics, Journal of the Statistical Society of London, Jubilee Volume (Jun. 22-24, 1885), pp. 251-260 J. M. Keynes, Alfred Marshall, 1842-1924, The Economic Journal, Vol. 34, No. 135 (Sep., 1924), pp. 311-372
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή H ελαστικότητα είναι ανεξάρτητη από τις διαστάσεις με τις οποίες μετράμε την τιμή και την ποσότητα. Είτε η τιμή είναι εκφρασμένη σε, είτε σε χιλιάδες, είτε σε δολάρια και η ποσότητα είναι εκφρασμένη είτε σε κιλά είτε σε τόνους είτε σε γραμμάρια, η ελαστικότητα παραμένει η ίδια εφόσον οι μεταβολές είναι ποσοστιαίες. Επειδή η καμπύλη ζήτησης έχει αρνητική κλίση (δηλ., όταν αυξάνει η τιμή, μειώνεται η ζητούμενη ποσότητα), η ελαστικότητα ζήτησης παίρνει αρνητικές τιμές εφόσον οι μεταβολές της τιμής και της ποσότητας κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Πολλές φορές όμως, καταχρηστικά, όταν λέμε ότι μια ελαστικότητα είναι μεγαλύτερη από μία άλλη αναφερόμαστε στο γεγονός ότι η απόλυτη τιμή της ελαστικότητας είναι μεγαλύτερη.
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Ας κάνουμε ένα παράδειγμα με γραμμική καμπύλη ζήτησης Τα δεδομένα μας δίνονται από τον εξής πίνακα: P Q 12,5 0 10,0 20 7,5 40 5,0 60 2,5 80 0 100
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Η γραφική παράσταση της καμπύλης ζήτησης είναι η εξής:
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης στο κάθε σημείο των δεδομένων; Ας πάρουμε το σημείο (P=5, Q=60). Αν αυξηθεί η τιμή από 5 σε 7,5 η ζητούμενη ποσότητα θα μεταβληθεί από 60 σε 40. Q 20, P 2,5 Άρα Τοποθετώντας τα δεδομένα στον τύπο της ελαστικότητας έχουμε: D Q 20 1 Q 60 3 2 0, 67 P 2,5 1 3 P 5 2
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Μπορείτε με τον ίδιο τρόπο να υπολογίσετε την ελαστικότητα σε κάθε σημείο των δεδομένων. P Q ε 12,5 0-10,0 20-4 7,5 40-1,5 5,0 60-0,67 2,5 80-0,25 0 100 0
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Παρατηρήστε από τον τύπο ότι όταν η ποσότητα είναι μηδέν, εφόσον βρίσκεται στον παρονομαστή, η ελαστικότητα θα είναι πλην άπειρο, ενώ όταν η τιμή είναι μηδέν η ελαστικότητα θα είναι μηδενική, εφόσον η τιμή εμφανίζεται στον αριθμητή. Παρατηρήστε επίσης ότι όσο αυξάνει η τιμή τόσο αυξάνει και η ελαστικότητα (σε απόλυτα μεγέθη) έτσι ώστε, ενώ ξεκινά από το μηδέν καταλήγει βαθμιαία στο μείον άπειρο. Q P Q 0 D P Q Q P P 0 D 0 P Q Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει αυτήν την σχέση.
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Μπορούμε γενικότερα να υπολογίσουμε την ελαστικότητα μιας γραμμικής καμπύλης ζήτησης Q P 0, 0 σε κάθε σημείο αυτής ως εξής: Αν μεταβληθεί η τιμή κατά ΔP, η ζητούμενη ποσότητα θα μεταβληθεί κατά Q P P P P Από τον τύπο της ελαστικότητας ζήτησης έχουμε: D Q P P P P P Q P P P
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Σε ποιο σημείο μιας γραμμικής καμπύλης ζήτησης η ελαστικότητα είναι ίση με τη μονάδα; Από τον τύπο της ελαστικότητας ζήτησης έχουμε: D Q P P 1 P P Q P 2 Q P 2 2
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Το σημείο QP,, 2 2 και από το παρακάτω σχήμα βρίσκεται στο μέσο της Κ.Ζ. όπως προκύπτει
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Η γραμμική καμπύλη ζήτησης έχει την ιδιότητα ότι η ελαστικότητα κάθε σημείου είναι ανεξάρτητη από το αν αυξήσαμε ή μειώσαμε την τιμή ή και κατά πόσο την μεταβάλαμε. Για QP ισχύει πάντοτε ότι Q P Αυτό δεν ισχύει για όλες τις Κ.Ζ. Έτσι χρησιμοποιούμε την έννοια της τοξοειδούς ελαστικότητας (arc elasticity of demand). arc D 2 1 2 1 2 1 2 1 ( Q Q ) ( Q Q ) 2 ( P P) ( P P) 2 R. G. D. Allen & A. P. Lerner, The Concept of Arc Elasticity of Demand, Review of Economic Studies, Vol. 1, No. 3 (Jun., 1934), pp. 226-230
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Μπορούμε όμως να ορίσουμε την ελαστικότητα και για απειροελάχιστες μεταβολές χρησιμοποιώντας διαφορικό λογισμό. Στην περίπτωση αυτή έχουμε dq P D dp Q
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Γενικότερα, αν η καμπύλη ζήτησης δίνεται από την σχέση Q=F(P), τότε η ελαστικότητα ζήτησης μπορεί να ορισθεί ως: Παρατηρείστε επίσης το εξής: Γνωρίζουμε από τον διαφορικό λογισμό ότι (όπου lnx ο φυσικός λογάριθμος του x) Άρα (όπου ο λογάριθμος του x με βάση το a) D P F F P P d ln x dx 1 x dx x d ln x dlog a x dy y d ln y d log y a
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Άρα η ελαστικότητα μπορεί να ορισθεί και ως dq P d ln Q D dp Q d ln P
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Καμπύλες ζήτησης με σταθερές ελαστικότητες Τελείως ανελαστική (ε=0) Ανελαστική (ε<1) Μοναδιαίας ελαστικότητας (ε=1) Ελαστική (ε>1) Απείρως ελαστική (ε= )
Τελείως ανελαστική καμπύλη ζήτησης
Δυο γραμμικές Κ.Ζ. Μια γραμμική Κ.Ζ. έχει διαφορετική ελαστικότητα ζήτησης σε όλο το μήκος της. Παρά ταύτα μπορούμε να συγκρίνουμε δυο γραμμικές Κ.Ζ. ως προς την ελαστικότητα τους Q P Qa a ap a a, a
P P P P D D a a a a a a a ap P
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Προσδιοριστικοί παράγοντες ελαστικότητας ζήτησης Διαθεσιμότητα στενών υποκατάστατων Ορισμός αγοράς Χρονικός ορίζοντας
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης Συνολικά έσοδα (total revenue) TR=PQ Σε μια γραμμική Κ.Ζ. έχουμε TR=PQ=(α+βQ)Q=aQ+βQ 2 Μπορούμε να δούμε την κίνηση των εσόδων παρατηρώντας το οριακό έσοδο (marginal revenue, MR) Το οριακό έσοδο μας δείχνει πως αυξάνονται τα συνολικά έσοδα για μια οριακή αύξηση στην ποσότητα
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Το οριακό έσοδο μας δείχνει πως αυξάνονται τα συνολικά έσοδα για μια οριακή αύξηση στην ποσότητα MR P P Q Q PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ P Q PQ P P Q PQ Παρατηρείστε ότι το οριακό έσοδο μεταβάλλεται (α) από το επιπλέον έσοδο που μας δίνουν οι επιπλέον μονάδες ΔQ [πρώτος όρος του δεξιού σκέλους της εξίσωσης] και (β) από τη μείωση των εσόδων που επέρχεται επειδή όλες οι προηγούμενες μονάδες Q τώρα πωλούνται κατά ΔP λιγότερο [δεύτερος όρος του δεξιού σκέλους της εξίσωσης]
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Το οριακό έσοδο μας είναι επίσης η πρώτη παράγωγος των συνολικών εσόδων MR dtr dq Σε μια γραμμική καμπύλη ζήτησης το οριακό έσοδο είναι: TR PQ Q Q Q Q 2 d Q Q 2 d PQ MR 2Q dq dq
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Το οριακό έσοδο μας είναι επίσης η πρώτη παράγωγος των συνολικών εσόδων MR dtr dq Άρα τα έσοδα μεγιστοποιούνται όταν το οριακό έσοδο είναι μηδενικό dtr max TR 0 MR 0 Q dq
Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Στην περίπτωση της γραμμικής Κ.Ζ. αυτό σημαίνει ότι MR 2 Q 0 Q, P 2 2 2 Δηλ., τα έσοδα μεγιστοποιούνται στο μέσον της Κ.Ζ. Ας δούμε τις σχέσεις αυτές σε ένα διάγραμμα
Σχέση εσόδου και ελαστικότητας ζήτησης Το οριακό έσοδο σχετίζεται ως εξής με την ελαστικότητα 1 dtr d PQ dp dq dp dp Q MR Q P Q P P 1 P 1 dq dq dq dq dq dq P D Από όπου προκύπτει ότι 1 MR P 1 0 D 1 D Και ότι το MR είναι θετικό όσο ισχύει ότι 1 1 1 1 MR P 1 0 1 0 1 D 1 D D D D
Σχέση εσόδου και ελαστικότητας ζήτησης Το οριακό έσοδο σχετίζεται ως εξής με την ελαστικότητα 1 dtr d PQ dp dq dp dp Q MR Q P Q P P 1 P 1 dq dq dq dq dq dq P D Από όπου προκύπτει ότι τα έσοδα μεγιστοποιούνται όταν 1 MR P 1 0 D 1 D Και ότι το MR είναι θετικό όσο ισχύει ότι 1 1 1 1 MR P 1 0 1 0 1 D 1 D D D D
Σχέση εσόδου και ελαστικότητας ζήτησης Φυσικά υπάρχουν καμπύλες ζήτησης στις οποίες η ελαστικότητα δεν είναι μοναδιαία σε κανένα σημείο. Είχαμε μιλήσει για καμπύλες ζήτησης με σταθερή ελαστικότητα του τύπου: Q AP
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης Γιατί είναι χρήσιμό να υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέτοιες καμπύλες ζήτησης; Διότι μας βοηθούν να εκτιμήσουμε την ελαστικότητα από εμπειρικά δεδομένα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια σειρά από n παρατηρήσεις από τιμές και ποσότητες Q P Q 1 P 1 Q 2 P 2 Q i P i Q n P n
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης Τα σημεία αυτά ανήκουν σε τομές καμπυλών ζήτησης και προσφοράς
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης Μπορούμε όμως να υποθέσουμε ότι η καμπύλη προσφοράς μετατοπίζεται πιο συχνά από ό,τι η καμπύλη ζήτησης (ή ότι μπορούμε να ελέγξουμε οικονομετρικά την μετατόπιση της καμπύλης ζήτησης) και άρα τα σημεία που παρατηρούμε ανήκουν στην καμπύλη ζήτησης
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης Μπορούμε από τα σημεία αυτά να υπολογίσουμε την ελαστικότητα αν υποθέσουμε ότι η κ.ζ. έχει σταθερή ελαστικότητα Q AP ln Q ln A ln P Αν αντί για τις τιμές και τις ποσότητες πάρουμε τους λογαριθμικούς τους μετασχηματισμούς τότε η σχέση γίνεται γραμμική και η ελαστικότητα είναι η κλίση της γραμμής αυτής
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης Γενικά στην οικονομετρία αν υποθέσουμε ότι η σχέση των μεταβλητών μας είναι γραμμική και οι παρατηρήσεις μας εκφράζουν αυτήν την σχέση με ένα σφάλμα μέτρησης τότε από τις παρατηρήσεις μπορούμε να υπολογίσουμε την καλύτερη εκτίμηση αυτής της γραμμικής σχέσης
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης
Εμπειρικός υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης Εν προκειμένω η κλίση της ευθείας μας δίνει την ελαστικότητα της καμπύλης ζήτησης.
Σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης Την έννοια της ελαστικότητας μπορούμε να την γενικεύσουμε και για την επίπτωση που έχει στην ζητούμενη ποσότητα ενός αγαθού η μεταβολή της τιμής ενός άλλου αγαθού ή του εισοδήματος. Αν η ζητούμενη ποσότητα ενός αγαθού x είναι Q x, η τιμή του είναι P x, και η τιμή ενός άλλου αγαθού y είναι P y τότε η σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού x ως προς την τιμή του αγαθού y (cross elasticity of demand) ορίζεται ως :
Σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης dq x xp, y dp y P Q y x
Σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων αν η σταυροειδής ελαστικότητα θα είναι θετική, αρνητική ή μηδενική. Εξαρτάται από το αν το αγαθό είναι υποκατάστατο, συμπληρωματικό ή αν δεν έχει καμία επίδραση. Αν τα αγαθά είναι υποκατάστατα η σταυροειδής ελαστικότητα είναι θετική Όταν αυξάνει η τιμή του βουτύρου αυξάνει η ζητούμενη ποσότητα της μαργαρίνης
Σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης Αν τα αγαθά είναι συμπληρωματικά η σταυροειδής ελαστικότητα είναι αρνητική Όταν αυξάνει η τιμή της βενζίνης μειώνεται η ζητούμενη ποσότητα των αυτοκινήτων
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης ενός αγαθού (income elasticity of demand) ορίζεται ως: dq x xi, di I Q x Όπου Ι είναι το εισόδημα
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων το πρόσημο της εισοδηματικής ελαστικότητας Με βάση την εισοδηματική ελαστικότητα διαχωρίζουμε τα αγαθά σε κατώτερα αγαθά (inferior goods) με αρνητική εισοδηματική ελαστικότητα και κανονικά αγαθά (normal goods) με θετική εισοδηματική ελαστικότητα
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Τα κανονικά αγαθά τα διαχωρίζουμε σε Κανονικά αναγκαία αγαθά (normal necessary goods) με εισοδηματική ελαστικότητα μικρότερη της μονάδας και σε Πολυτελή ή ανώτερα αγαθά (luxury or superior goods) με εισοδηματική ελαστικότητα μεγαλύτερη της μονάδας
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Τι σημαίνει αν ένα αγαθό είναι κατώτερο, αναγκαίο κανονικό ή πολυτελείας; Σχετίζεται με την αύξηση ή μείωση στο μερίδιο συμμετοχής της δαπάνης για το αγαθό αυτό στο εισόδημα του καταναλωτή. Αν το εισόδημα αυξηθεί κατά 10%, και υποθέσουμε ότι όλες οι τιμές παραμένουν αμετάβλητες, τότε:
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Αν ένα αγαθό είναι κατώτερο θα μειωθεί συνολικά η ζητούμενη ποσότητα, άρα θα μειωθεί και η δαπάνη που κάνουμε για αυτό το αγαθό. Άρα η συμμετοχή του στο εισόδημα θα μειωθεί. Αν ένα αγαθό είναι αναγκαίο κανονικό, η αύξηση του εισοδήματος θα αυξήσει συνολικά την ζητούμενη ποσότητα, αλλά αφού η εισοδηματική ελαστικότητα είναι μικρότερη από την μονάδα, η ποσότητα που θα καταναλωθεί (και κατά συνέπεια η δαπάνη) θα αυξηθεί ποσοστιαία λιγότερο από την αύξηση του εισοδήματος, άρα το μερίδιο του στο εισόδημα θα πέσει. Αν ένα αγαθό είναι αγαθό πολυτελείας, και θα αυξηθεί η συνολική δαπάνη και το ποσοστό αυτής της δαπάνης στο εισόδημα θα αυξηθεί.
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Q xi x i Pi PQ i x i Αν είναι η ποσότητα ενός αγαθού και η τιμή του είναι τότε η δαπάνη για αυτό το αγαθό θα είναι Το μερίδιο στο εισόδημα θα είναι s i PQ i xi I
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Αν μάλιστα έχουμε n αγαθά και i=1,2,,n τότε ισχύει ότι n i1 PQ PQ P Q PQ P Q I x x x x x i i 1 1 2 2 i i n Εισοδηματικός περιορισμός (Budget constraint) Διαιρώντας όλα τα μέλη με Ι έχουμε: n n s n i i1 i1 PQ i xi I 1 Δηλαδή, το άθροισμα των μεριδίων συμμετοχής της δαπάνης για κάθε αγαθό στο εισόδημα είναι ίσο με την μονάδα
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Όταν αυξηθεί το εισόδημα I Τύπος αγαθού Εισοδηματική ελαστικότητα xi, Δαπάνη για το αγαθό PQ i xi Μερίδιο στο εισόδημα Κατώτερο xi, 0 Αναγκαίο κανονικό 0 xi, 1 Πολυτελείας xi, 1 s i PQ i xi I
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Ξαναγράφουμε τον εισοδηματικό περιορισμό. Παραγωγίζουμε μερικά κάθε όρο ως προς το εισόδημα Q x Q x Q x I P1 P P I I I I 1 i n i n 1 Σε κάθε όρο του αριστερού σκέλους πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την ποσότητα και το εισόδημα. Qx I Qx Qx I Qx Qx I Qx 1 Q I I Q I I Q I I 1 1 i i n n P1 Pi Pn x x x 1 i n
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Ξαναγράφουμε παρατηρώντας ότι s i PQ i xi I και ότι dq x i xi, I di I Q x i s s s 1 x1, I i x, n, 1 i I xn I Δηλαδή το άθροισμα των γινομένων των εισοδηματικών ελαστικοτήτων όλων των αγαθών επί το μερίδιο συμμετοχής τους στο εισόδημα είναι ίσο με την μονάδα. Πρόκειται για την λεγόμενη συνάθροιση Engel (Engel aggregation).
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Ορίζουμε μια συνάρτηση f x1 x2 x n (,, ) ως ομογενή k βαθμού όταν ισχύει ότι για κάθε θ>0 f ( x, x, x ) f ( x, x, x ) k 1 2 n 1 2 Μια συνάρτηση ζήτησης που περιλαμβάνει την τιμή του ίδιου του αγαθού, τις τιμές όλων των άλλων αγαθών και το εισόδημα είναι ομογενής συνάρτηση μηδενικού βαθμού, διότι η ζητούμενη ποσότητα δεν πρόκειται να μεταβληθεί αν, π.χ., διπλασιασθούν όλες οι τιμές και το εισόδημα n
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Αν η συνάρτηση ζήτησης του αγαθού x 1, είναι η Q f ( P, P,, P, I) x 1 x1 x2 xn τότε ισχύει ότι f ( P, P,, P, I) f ( P, P,, P, I) f ( P, P,, P, I) 0 x1 x2 xn x1 x2 xn x1 x2 xn Το θεώρημα του Euler δηλώνει ότι για μια ομογενή συνάρτηση k βαθμού ισχύει ότι: f f f x x x kf x, x,, x x x x 1 2 n 1 2 1 2 n n
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Στην περίπτωση της συνάρτησης ζήτησης ισχύει ότι Qx Q 1 x Q 1 x Q 1 x1 P P P I 0 f ( P, P,, P, I) 0 P P P I x1 x2 xn x1 x2 xn x1 x2 xn Q x1 με προκύπτει ότι: Διαιρώντας την εξίσωση αυτή Qx 1 P Q x1 x1 P Q x2 x Q 1 P xn x1 I P Q P Q P Q I Q x x x x x1 1 x2 1 xn 1 1 0
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Προσέξτε ότι οι όροι της εξίσωσης Qx 1 P Q x1 x1 P Q x2 x Q 1 P xn x1 I P Q P Q P Q I Q x x x x x1 1 x2 1 xn 1 1 0 Είναι ελαστικότητες: Ο πρώτος όρος είναι ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Ο τελευταίος όρος είναι εισοδηματική ελαστικότητα και Οι ενδιάμεσοι όροι είναι σταυροειδείς ελαστικότητες
Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Qx 1 P Q x1 x1 P Q x2 x Q 1 P xn x1 I P Q P Q P Q I Q x x x x x1 1 x2 1 xn 1 1 0 Άρα το άθροισμα όλων των ελαστικοτήτων ισούται με το μηδέν: x, P x, P x, P x, P x, I 0 1 1 1 2 1 3 1 n 1
Ελαστικότητα ζήτησης Άσκηση Έστω η εξής συνάρτηση ζήτησης: x x y z w Όπου Qx, Px, Py, Pz, Pw, I είναι η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού x, η τιμή του αγαθού x, οι τιμές των αγαθών y, z, w και το εισόδημα αντίστοιχα α. Ποια είναι η οικονομική ερμηνεία των παραμέτρων α, β, γ, δ και ζ; β. Ποιους περιορισμούς πιστεύετε ότι πρέπει να βάλουμε σε αυτές τις παραμέτρους; Q cp P P P I
Ελαστικότητα ζήτησης Λύση α. Πρόκειται για ελαστικότητες. Η συνάρτηση αυτή είναι σταθερής ελαστικότητας ως προς τις μεταβλητές. Το α είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή του ίδιου του αγαθού, τα β, γ, και δ είναι οι σταυροειδείς ελαστικότητες ζήτησης ως προς τις τιμές των αγαθών y, z, και w. Το δ είναι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης. Ελαστικότητα ζήτησης για το ίδιο το αγαθό 1 Px Q Px cp x x Py Pz Pw I Px cpx Py Pz Pw I xp, x Qx Px cpx Py Pz Pw I cpx Py Pz Pw I Σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή άλλου αγαθού 1 Py Q Px cp y x x Py Pz Pw I P cpx Py Pz Pw I xp, y Q P cp P P P I cp P P P I x y Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης xi, I Q I x y z w x y z w 1 1 cpx Py Pz Pw I I cpx Py Pz Pw I x Qx I cpx Py Pz Pw I cpx Py Pz Pw I
Ελαστικότητα ζήτησης Λύση β. Η ελαστικότητα ζήτησης πρέπει να είναι αρνητική. Οι άλλες ελαστικότητες έχουν πρόσημο ανάλογα με το αν τα αγαθά είναι συμπληρωματικά ή υποκατάστατα (σταυροειδείς) και με το αν είναι κανονικά ή κατώτερα (εισοδηματική). Πρέπει όμως να υποθέσουμε και κάτι παραπάνω: Η ζητούμενη ποσότητα πρέπει να μην επηρεάζεται από το εάν οι τιμές όλων των αγαθών και το εισόδημα μεταβληθούν κατά το ίδιο ποσοστό. Άρα η συνάρτηση ζήτησης πρέπει να είναι ομογενής μηδενικού βαθμού. Πρέπει δηλαδή x x y z w x y z w Για να συμβαίνει αυτό πρέπει 0 Q cp P P P I c P P P P I 1 0 Γιατί σύμφωνα με αυτό τον περιορισμό δεν μπορεί όλα τα άλλα αγαθά να είναι συμπληρωματικά και το x κατώτερο;
Άσκηση Έστω αγαθό Χ. Ο καταναλωτής Α δαπανά το 4% του εισοδήματός του στο αγαθό Χ (δηλ. s p Q I 0,04 ). Έστω τώρα ότι το εισόδημα του Ι αυξήθηκε κατά 20% X X και ότι ο ίδιος καταναλωτής δαπανά πλέον το 5% του εισοδήματος του για το ίδιο αγαθό (δηλ. s p Q I 0,05 ). X X Ζητείται: (α) Τι είδους αγαθό είναι το Χ από πλευράς εισοδηματικής ελαστικότητας; Αιτιολογείστε την απάντησή σας. (β) Υπολογίστε την εισοδηματική ελαστικότητα του αγαθού Χ. Επιβεβαιώστε την απάντηση που δώσατε στο προηγούμενο ερώτημα.
Λύση (α) Εφόσον με την αύξηση του εισοδήματος αυξήθηκε η συμμετοχή του αγαθού στη δαπάνη, τότε το αγαθό είναι πολυτελείας.
(β) Η εισοδηματική ελαστικότητα του αγαθού δίδεται από τον τύπο Q Q I I I Q Μας δίνεται από την εκφώνηση ότι 0,2, άρα πρέπει να υπολογίσουμε το I Q Γνωρίζουμε ότι s p Q I 0,04 και s p Q I 0,05 ή ότι X X pxq px QX Q X X px QX QX s 0,05 I I I 1,2 I p Q Q X X. px QX QX X X X s 1,2 I 1,2 I 1 QX Q 1 X Q X 0, 05 5 1 pxqx pxq s X 1,2 QX QX 1,2 QX 0,04 4 I I QX 5 6 4 1, 2 1 0,5 QX 4 4 Αντικαθιστώντας στον τύπο της εισοδηματικής ελαστικότητας τα αριθμητικά Q Q 0,5 δεδομένα έχουμε: 2,5 1. Εφόσον η εισοδηματική ελαστικότητα I 0,2 I είναι μεγαλύτερη της μονάδας το αγαθό είναι πολυτελείας όπως έπρεπε να αποδείξουμε.