ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ARSALL ΚΑΙ ICKS. Η καµπύλη Egel Η καµπύλη Egel παράγεται από την καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης και δείχνει το πώς µεταβάλλεται η ποσότητα ενός αγαθού που αγοράζει ένας καταναλωτής, καθώς µεταβάλλεται το χρηµατικό του εισόδηµα. Εκτός από την καµπύλη Egel που συνδέει ζητούµενη ποσότητα και χρηµατικό εισόδηµα, υπάρχει και η καµπύλη δαπάνης κατά Egel, η οποία δείχνει την εξέλιξη της δαπάνης του καταναλωτή για ένα αγαθό, καθώς µεταβάλλεται το χρηµατικό του εισόδηµα. Στο παρακάτω σχήµα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές µορφές της καµπύλης δαπάνης κατά Egel για το αγαθό Χ. δαπάνη ( ) Ε Ε Ε 3 Ε 4 εισόδηµα (). Η καµπύλη αυτή πήρε το όνοµά της από τον γερµανό στατιστικό Erst Egel, ο οποίος ασχολήθηκε µε τη µελέτη των σχέσεων µεταξύ του εισοδήµατος του νοικοκυριού και των δαπανών του για διάφορα αγαθά. Ο E. Egel έδειξε ότι καθώς αυξάνεται το εισόδηµα, το ποσοστό του εισοδήµατος που δαπανάται για είδη διατροφής µειώνεται (νόµος του Egel).. Η καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης ορίζεται ως ο γεωµετρικός τόπος όλων των σηµείων ισορροπίας του καταναλωτή που προκύπτουν από µεταβολές του χρηµατικού του εισοδήµατος, ενώ οι τιµές των αγαθών παραµένουν σταθερές.

2 Η καµπύλη Egel Ε δείχνει ότι η δαπάνη του καταναλωτή για το αγαθό Χ αυξάνεται πιο γρήγορα απ ό,τι αυξάνεται το εισόδηµά του. Εφόσον η τιµή του αγαθού είναι δεδοµένη για τον καταναλωτή, πιο γρήγορα από το εισόδηµα θα αυξάνεται και η κατανάλωσή του. Εποµένως, το αγαθό Χ είναι αγαθό πολυτελείας. Στην περίπτωση της καµπύλης Egel Ε, ο ρυθµός αύξησης της δαπάνης του καταναλωτή για το αγαθό είναι µικρότερος από τον ρυθµό αύξησης του εισοδήµατος. Οπότε, το αγαθό Χ είναι αγαθό πρώτης ανάγκης. Εάν η καµπύλη δαπάνης κατά Egel για το αγαθό είναι η Ε 3, το αγαθό Χ είναι ουδέτερο αγαθό. Στην προκειµένη περίπτωση, µεταβολές του εισοδήµατος δεν επηρεάζουν τη δαπάνη του καταναλωτή για το αγαθό. Τέλος, η καµπύλη Egel Ε 4 δείχνει ότι αυξήσεις του εισοδήµατος οδηγούν σε µείωση της δαπάνης του καταναλωτή. Αυτό σηµαίνει ότι το αγαθό Χ είναι κατώτερο αγαθό. Μια άλλη µορφή καµπύλης Egel είναι αυτή που συνδέει το ποσοστό του εισοδήµατος του καταναλωτή που δαπανάται για ένα αγαθό µε το µέγεθος του εισοδήµατός του. Η εκτίµηση της παλινδρόµησης, που εκφράζει µια καµπύλη Egel αυτής της µορφής, µας επιτρέπει να υπολογίσουµε την εισοδηµατική ελαστικότητα για το υπό µελέτη αγαθό και µε βάση τις τιµές αυτής της ελαστικότητας να συµπεράνουµε σε ποια κατηγορία αγαθών ανήκει αυτό. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι η καµπύλη Egel για το αγαθό Χ εκφράζεται από την παρακάτω σχέση: S α β l (.) όπου α και β είναι παράµετροι, είναι το εισόδηµα του καταναλωτή και S / είναι το ποσοστό του εισοδήµατος που δαπανάται για το αγαθό Χ. Παίρνοντας τον λογάριθµο της σχέσης που δίνει το ποσοστό του εισοδήµατος που δαπανάται για το εν λόγω αγαθό θα έχουµε: l S l l l (.) Παραγωγίζοντας τη σχέση (.) ως προς l παίρνουµε: ls l l l l l l l (.3) Στην παραπάνω σχέση, ο όρος l / l εκφράζει την εισοδηµατική ελαστικότητα για το αγαθό Χ (ε ), l / l και l / l. Οπότε: ls ls ε > ε l l (.4) Από τη σχέση (.) προκύπτει S / l β και συνεπώς ls / l β / S. `Ετσι, η εισοδηµατική ελαστικότητα για το αγαθό Χ δίνεται από την εξής σχέση: β ε S (.5)

3 . Οι ιδιότητες των συναρτήσεων ζήτησης κατά arshall Οι συναρτήσεις ζήτησης κατά arshall παρουσιάζονται, στη γενική τους µορφή, ως εξής: (,,,, ),,,, (.) Οι συναρτήσεις αυτές ζήτησης παρουσιάζουν ορισµένες ιδιότητες, οι οποίες είναι: () Είναι µονότιµες συναρτήσεις των τιµών των αγαθών (,,, ) και του χρηµατικού εισοδήµατος (). Αυτό σηµαίνει ότι µε δεδοµένο το επίπεδο των τιµών των αγαθών και το µέγεθος του χρηµατικού εισοδήµατος υπάρχει ένας και µοναδικός συνδυασµός ποσοτήτων των αγαθών που µεγιστοποιεί τη χρησιµότητα του καταναλωτή. Η ιδιότητα αυτή είναι αποτέλεσµα της υπόθεσης περί φθίνοντος οριακού λόγου υποκατάστασης. () Οι συναρτήσεις ζήτησης είναι οµογενείς 3 µηδενικού βαθµού ως προς τις τιµές των αγαθών και το εισόδηµα. Αυτό σηµαίνει: ( t, t,, t, t) t (,,,, ) (,,,, ) (.) ηλαδή µια αύξηση των τιµών των αγαθών και του εισοδήµατος κατά την ίδια αναλογία δεν θα επηρεάσει τις ζητούµενες ποσότητες των αγαθών από τον καταναλωτή. Με άλλα λόγια, ο καταναλωτής δεν έχει αυταπάτη χρήµατος. Για να αποδείξουµε αυτή την ιδιότητα, ας υποθέσουµε ότι οι τιµές των αγαθών και το εισόδηµα του καταναλωτή αυξάνονται κατά το ίδιο ποσοστό, που είναι ίσο µε t. Στην περίπτωση αυτή, το πρόβληµα που αντιµετωπίζει ο καταναλωτής διατυπώνεται ως εξής: µεγιστοποίηση: (,,, ) µε περιορισµό: t t t t Ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός του καταναλωτή, όπως είναι φανερό, είναι 3. Η συνάρτηση y y(,,, ) είναι οµογενής βαθµού k όταν: y(t, t,, t ) t κ y(,,, ) t κ y. 4. Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Euler, αν η συνάρτηση y y(,,, ) είναι οµογενής βαθµού k, τότε: y y y y y y ky(,,, ). 3

4 4 ταυτόσηµος µε τον αρχικό, που είναι. Οπότε, οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της χρησιµότητας του καταναλωτή θα µας δώσουν την ίδια συνθήκη ισορροπίας ( / / ). Συνεπώς, οι ζητούµενες ποσότητες των αγαθών από τον καταναλωτή είναι ακριβώς οι ίδιες πριν και µετά την αύξηση των τιµών και του εισοδήµατος κατά το ίδιο ποσοστό. Οι συναρτήσεις ζήτησης κατά arshall, όπως είδαµε, είναι οµογενείς µηδενικού βαθµού ως προς τις τιµές των αγαθών και το εισόδηµα. Εφαρµόζοντας το θεώρηµα του Euler θα έχουµε: ιαιρώντας όλους του όρους της παραπάνω σχέσης µε παίρνουµε: ε ε ε ε (.3) Σύµφωνα µε τη σχέση (.3), το άθροισµα των ελαστικοτήτων ζήτησης ενός αγαθού ως προς την τιµή του (ε ), τις τιµές των άλλων αγαθών (ε ) και το εισόδηµα (ε ) είναι ίσο µε το µηδέν. Επιπλέον, από το υπόδειγµα του arshall για τη µελέτη της συµπεριφοράς του καταναλωτή προκύπτουν και οι ακόλουθες ιδιότητες: (3) Κάθε αύξηση του εισοδήµατος δαπανάται εξ ολοκλήρου για αγορά των αγαθών που καταναλώνει ο καταναλωτής. Αυτό σηµαίνει ότι αν ισχύει και οι τιµές των αγαθών παραµένουν σταθερές, τότε: Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας κάθε όρο της παραπάνω σχέσης, η οποία προέκυψε από την παραγώγιση του εισοδηµατικού περιορισµού ως προς, µε /, θα έχουµε: ή k ε k ε k ε (.4)

5 5 όπου / k είναι το ποσοστό του εισοδήµατος που δαπανάει ο καταναλωτής για το αγαθό Χ και ισχύει k k k. Η σχέση (.4) είναι γνωστή ως συνθήκη αθροιστικότητας του Egel (Egel aggregato codto) και σύµφωνα µε αυτή, οι εισοδηµατικές ελαστικοτήτες για όλα τα αγαθά σταθµιζόµενες µε το αντίστοιχο ποσοστό της συνολικής δαπάνης (k ) αθροίζονται στη µονάδα. (4) Μια µεταβολή (αύξηση-µείωση) της σχετικής συµµετοχής ενός αγαθού στη συνολική καταναλωτική δαπάνη ισοσταθµίζεται πλήρως από τη µεταβολή (µείωση-αύξηση) των σχετικών συµµετοχών των υπολοίπων αγαθών. ιαφορίζοντας τον εισοδηµατικό περιορισµό ως προς έχουµε: Πολλαπλασιάζοντας αρχικά όλους τους όρους αυτής της σχέση µε / και στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τον δεύτερο όρο του πρώτου µέλους µε, τον τρίτο όρο µε και τον τελευταίο όρο µε παίρνουµε: ή k ε k ε k ε k Γενικά ισχύει: k ε k ε k ε k (.5) Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, το σταθµισµένο άθροισµα των ελαστικοτήτων ζήτησης όλων των αγαθών ως προς την τιµή ενός συγκεκριµένου αγαθού είναι ίσο µε την αρνητική τιµή του ποσοστού της συνολικής καταναλωτικής δαπάνης που διατίθεται για την αγορά του εν λόγω αγαθού. Σταθµίσεις αποτελούν οι σχετικές συµµετοχές των αγαθών στη συνολική καταναλωτική δαπάνη. Η σχέση (.5) είναι γνωστή ως συνθήκη αθροιστικότητας του Courot (Courot aggregato codto). (5) Τα σταυροειδή αποτελέσµατα υποκατάστασης είναι συµµετρικά. Η εξίσωση του Slutsky στη γενική της µορφή παρουσιάζεται ως εξής:,,,, (.6)

6 όπου / είναι το σταυροειδές αποτέλεσµα υποκατάστασης ανάµεσα στα αγαθά Χ και Χ και σύµφωνα µε τη συγκριτική στατική ανάλυση / λα. Επειδή η µήτρα των συντελεστών των αγνώστων, που χρησιµοποιήθηκε για την εξαγωγή του ολικού αποτελέσµατος της µεταβολής της τιµής ενός αγαθού πάνω στη ζητούµενη ποσότητά του, είναι συµµετρική, δηλαδή, θα ισχύει και α α. Οπότε: (.7) Εφόσον τα σταυροειδή αποτελέσµατα υποκατάστασης είναι συµµετρικά, από τη γενική εξίσωση του Slutsky επιπλέον προκύπτει: (.8) 3. Οι ιδιότητες των συναρτήσεων ζήτησης κατά cks Σύµφωνα µε την προσέγγιση του cks, οι συναρτήσεις ζήτησης των αγαθών εµφανίζονται ως εξής: o (,,,, ),,,, (3.) Από το υπόδειγµα του cks προκύπτουν ορισµένες βασικές ιδιότητες, που θα πρέπει να ικανοποιούν τα συστήµατα ζήτησης. Οι ιδιότητες αυτές είναι: () Οι συναρτήσεις ζήτησης κατά cks είναι οµογενείς µηδενικού βαθµού ως προς τις τιµές των αγαθών µόνο. Αυτό σηµαίνει πως µια αύξηση των τιµών όλων των αγαθών κατά την ίδια αναλογία δεν θα επηρεάσει τις ζητούµενες ποσότητες των αγαθών από τον καταναλωτή. Εφόσον οι συναρτήσεις αυτές είναι οµογενείς µηδενικού βαθµού ως προς τις τιµές, µε βάση το θεώρηµα του Euler θα ισχύει: (3.) ιαιρώντας κάθε όρο της παραπάνω σχέσης µε παίρνουµε: ε ε ε (3.3) 6

7 7 Σύµφωνα µε τη σχέση (3.3), το άθροισµα των κατά cks ελαστικοτήτων ζήτησης ενός αγαθού ως προς την τιµή του (ε ) και τις τιµές των άλλων αγαθών (ε ) είναι ίσο µε το µηδέν. () Μια µεταβολή (αύξηση-µείωση) της σχετικής συµµετοχής ενός αγαθού στη συνολική καταναλωτική δαπάνη είναι ακριβώς ίση µε τη µεταβολή (µείωση-αύξηση) των σχετικών συµµετοχών των υπολοίπων αγαθών. ιαφορίζοντας τον περιορισµό o (,,, ) ως προς παίρνουµε: Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση /µ, που προέκυψε από τις συνθήκες πρώτης τάξης για την ελαχιστοποίηση της δαπάνης του καταναλωτή, και πολλαπλασιάζοντας µε µ έχουµε: Πολλαπλασιάζοντας τους όρους αυτής της σχέση µε / και επιπλέον πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τον πρώτο όρο του πρώτου µέλους µε, τον δεύτερο όρο µε και τον τελευταίο όρο µε παίρνουµε: ή k ε k ε k ε Γενικά ισχύει: k ε k ε k ε (3.4) Η σχέση (3.4) δείχνει ότι το σταθµισµένο άθροισµα των κατά cks ελαστικοτήτων ζήτησης όλων των αγαθών ως προς την τιµή ενός συγκεκριµένου αγαθού είναι ίσο µε το µηδέν. Οι σταθµίσεις είναι οι σχετικές συµµετοχές των αγαθών στη συνολική καταναλωτική δαπάνη. (3) Οι σταυροειδείς επιδράσεις των τιµών στις ποσότητες των αγαθών είναι συµµετρικές. Με βάση το υπόδειγµα του cks, αν υποθέσουµε ότι από

8 όλα τα δεδοµένα µεταβάλλεται µόνο η τιµή του αγαθού Χ, τότε από συγκριτική στατική ανάλυση προκύπτει η εξής γενική σχέση: α µ (3.5) Επειδή α α, θα ισχύει: (3.6) Πολλαπλασιάζοντας και τους δυο όρους της παραπάνω σχέσης µε / προκύπτει: / και ή k ε k ε (3.7) Από τη σχέση (3.7) γίνεται φανερό ότι οι σταυροειδείς ελαστικότητες κατά cks διαφέρουν µεταξύ τους. Αυτές θα είναι ίσες µόνο όταν k k. Οι συναρτήσεις ζήτησης κατά cks, όπως είδαµε, είναι οµογενείς βαθµού µηδενικού ως προς τις τιµές και σύµφωνα µε το θεώρηµα του Euler ισχύει η σχέση (3.). Συµβολίζοντας το κατά cks ολικό αποτέλεσµα της µεταβολής της τιµής πάνω στην ποσότητα υποκατάστασης, µε S, το οποίο κατά arshall συµπίπτει µε το αποτέλεσµα / ( / S S S ), η σχέση (3.) γράφεται ως εξής: Σύµφωνα µε τη σχέση (3.6), S S (πρώτος νόµος του cks, ενώ σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του cks S < ). Οπότε, θα ισχύει και η παρακάτω σχέση: Συνεπώς: S S S S S S S S (3.8) S Η παραπάνω σχέση εκφράζει τον τρίτο νόµο του cks. 8

9 Παρατήρηση: Με βάση τα κατά arshall ολικά σταυροειδή αποτελέσµατα /, τα αγαθά Χ και Χ διακρίνονται σε µικτά υποκατάστατα, όταν /, µικτά > συµπληρωµατικά, αν / και µικτά ανεξάρτητα στην περίπτωση που < ισχύει /. Αυτό συµβαίνει επειδή τα κατά arshall σταυροειδή αποτελέσµατα περιλαµβάνουν εκτός το αποτέλεσµα υποκατάστασης και το αποτέλεσµα εισοδήµατος και συνεπώς, είναι αβέβαιο αν θα ισχύει / /. Συνήθως, αυτό που συµβαίνει είναι / /. Οπότε, είναι πολύ πιθανό να βρούµε / και / ή και το αντίθετο. Στην περίπτωση αυτή > < είναι φανερό ότι θα οδηγηθούµε σε αντιφατικά συµπεράσµατα, ως προς το τι είναι τα αγαθά Χ και Χ µεταξύ τους. Για να ισχύει / /, θα πρέπει τα αποτελέσµατα εισοδήµατος να είναι µεταξύ τους ίσα, εφόσον τα σταυροειδή αποτελέσµατα υποκατάστασης είναι πάντοτε ίσα µεταξύ τους. ηλαδή απαιτείται: Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση µε / προκύπτει: ε ε (Π.) Εποµένως, τα δυο αγαθά Χ και Χ, για τα οποία ισχύει / /, έχουν ίδια εισοδηµατική ελαστικότητα. Αν συµβαίνει όλα τα αγαθά που καταναλώνει ο καταναλωτής να έχουν ίδια εισοδηµατική ελαστικότητα, δηλαδή ε ε ε ε *, τότε µε βάση τη σχέση (.4) έχουµε: k ε k ε k ε k ε * k ε * k ε * ε * ( k k k ) Επειδή k k k, θα ισχύει: ε ε ε ε * Σύµφωνα µε τα κατά cks σταυροειδή αποτελέσµατα, επειδή πάντοτε ισχύει / /, τα αγαθά Χ και Χ ονοµάζονται καθαρά υποκατάστατα, αν 9

10 /, καθαρά συµπληρωµατικά στην περίπτωση που ισχύει / > και καθαρά ανεξάρτητα, όταν /. < Σε επίπεδο εµπειρικής κυρίως δουλειάς, εξετάζοντας ανά δύο τα αγαθά που καταναλώνονται δεν µας ενδιαφέρει µόνο ο εντοπισµός της σχέσης που υπάρχει ανάµεσά τους, αλλά και το πόσο έντονη είναι η σχέση υποκατάστασης ή συµπληρωµατικότητας. Οι κατά cks σταυροειδείς ελαστικότητες δεν µπορούν να µας πληροφορήσουν για το δεύτερο. Πιο συγκεκριµένα, έχουµε βρει ότι k ε k ε (σχέση 3.7). Εφόσον k > και k >, οι ελαστικότητες ε και ε θα έχουν το ίδιο πρόσηµο. Εποµένως, οι κατά cks σταυροειδείς ελαστικότητες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να εξακριβωθούν οι σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στα αγαθά, µελετώντας αυτά ανά δύο. Επιπλέον, από τη σχέση (3.7) για k k, κάτι που συµβαίνει στην πραγµατικότητα, προκύπτει ε ε. Οπότε, οι ελαστικότητες αυτές δεν µπορούν να αποτελέσουν ένα µέτρο της έντασης των σχέσεων που εµφανίζονται ανάµεσα στα αγαθά. Για να διαπιστωθεί πόσο έντονη ή χαλαρή είναι µια σχέση υποκατάστασης ή συµπηρωµατικότητας ανάµεσα σε δύο αγαθά, χρησιµοποιείται συνήθως η ελαστικότητα υποκατάστασης του Alle. Η ελαστικότητα αυτή ορίζεται ως εξής: σ ε k ιαιρώντας και τα δύο µέλη της σχέσης k ε k ε µε k k προκύπτει: σ ε k ε k σ Συνεπώς, σ σ. `Ετσι, η ελαστικότητα υποκατάστασης του Alle µπορεί να αποτελέσει ένα µέτρο της έντασης της σχέσης που υπάρχει ανάµεσα στα αγαθά Χ και Χ, εφόσον αυτή δεν εξαρτάται από το ποιο αγαθό αναφέρεται πρώτο και ποιο δεύτερο. Κώστας Βελέντζας