Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του"

Σκύλλα Ηλιόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ - ΕΝΝΟΙΕΣ Q ή q : Ποσότητα (Quantity) προϊόντος ρ, Ρ : τιμή (Price) προϊόντος ανά μονάδα προϊόντος. Συνάρτηση τηςζητησης; Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του. Δηλαδή Qd = f(p). Ρ=η τιμή του προϊόντος, η συνάρτηση της ζήτησης είναι μια γραμμική φθίνουσα συνάρτηση της τιμής της, Συνάρτηση προσφοράς Η συνάρτηση της προσφοράς είναι μία μαθηματική σχέση που παρουσιάζει τον τρόπο με τον οποίο η προσφερόμενη ποσότητα ενός αγαθού ή υπηρεσίας αντιδρά στις μεταβολές των παραγόντων που επηρεάζουν την προσφορά. δηλαδή Q s =f(p) ή ειδικότερα ως μία γραμμική αύξουσα συνάρτηση Είναι γενικά παραδεκτό ότι η συνάρτηση της προσφοράς είναι αύξουσα συνάρτηση, δηλαδή ότι όσο μεγαλύτερες τιμές απολαμβάνει ο προμηθευτής τόσο πιο πολύ αυξάνει την ποσότητα των προϊόντων του που φέρνει στην αγορά προς κατανάλωση Ισορροπία τηςαγοράς Συνδυάζοντας στην ίδια γραφική παράσταση τα διαγράμματα προσφοράς και ζήτησης έχουμε:

Ρ=η τιμή του προϊόντος, η συνάρτηση της ζήτησης είναι μια γραμμική φθίνουσα συνάρτηση της τιμής της, Συνάρτηση προσφοράς Η συνάρτηση της προσφοράς είναι μία μαθηματική σχέση που παρουσιάζει τον τρόπο

2 Εχουμε ισορροπια όταν Qd= Q s Σημείο ισορροπίας : η τιμή της μονάδας προϊόντος ρ όταν η ζήτηση είναι ίση με προσφορά Ορισμοί Βασικών οικονομικών μεγεθών Συνολικά έσοδα (total revenue, TR) Μπορούν να περιγραφούν ως συνάρτηση των μονάδων πώλησης: TR(Q)=P*Q όπου Ρ είναι η τιμή πώλησης μιας μονάδας προϊόντος και Q οι συνολικές μονάδες που πωλούνται. Τα έσοδα δίνονται από την σχέση R = p.q (τιμή ποσότητα) Παρατήρηση : Εάν δίνεται η συνάρτηση ζήτησης D(p), για να βρούμε την συνάρτηση εσόδων R(q), επιλύουμε την συνάρτηση ζήτησης D(p) ως προς την τιμή της μονάδας προϊόντος ρ και αντικαθιστούμε στη σχέση R=pq. Έτσι έχουμε τα έσοδα R συναρτήσει της ποσότητας παραγωγής q.

που πωλούνται. Τα έσοδα δίνονται από την σχέση R = p.

3 Π.χ. η συνάρτηση της ζήτησης εάν P=500-0,02Q, τότε TR=PQ=(500-0,02Q)Q=500Q-0,02Q 2 Μέσα έσοδα (average revenue AR) Προκύπτουν αν διαιρέσουμε τα συνολικά έσοδα με το πλήθος των μονάδων πώλησης AR = TR/Q = (500Q-0,02Q 2 )/Q= 500-0,02Q Συνολικό κόστος παραγωγής (totalcost, TC) Μπορεί να περιγραφεί ως συνάρτηση των μονάδων παραγωγής (Q) δηλαδή TC =f(q). Συνήθως το κόστος παραγωγής δίνεται ως άθροισμα του σταθερού κόστους παραγωγής (fixedcost, ανεξάρτητου από πόσες μονάδες παράγονται) και του μεταβλητού κόστους παραγωγής (variablecost, ανάλογου των μονάδων που παράγονται), δηλαδή: TC(Q)=FC+VC(Q) FC : Σταθερό κόστος (FixedCost) Προκύπτει για Q=0 από τη συνάρτηση συνολικού κόστους FC = TC(0) ή C(0) VC : Μεταβλητό κόστος το ολικό κόστος παραγωγής Q μονάδων προϊόντος στην περίπτωση που FC = 0. Κέρδος (profit) Μπορεί να περιγραφεί ως συνάρτηση των μονάδων παραγωγής (Θεωρούμε ότι οι μονάδες προϊόντος που παράγονται είναι ίδιες με αυτές που πωλούνται) και ισούται με την διαφορά των συνολικών εσόδων και συνολικού κόστους, δηλαδή: Π(Q)=TR(Q)-TC(Q) Μεσο (Αverage κέρδος, κόστος, έσοδο, κ.λπ Προκύπτουν αν διαιρέσουμε την συνάρτηση κέρδος, κόστος, έσοδο, κ.λπ Με την μεταβλητή της Οριακό (marginal, κέρδος, κόστος, έσοδο, κ.λπ) Είναι η παράγωγος της αντίστοιχης συνάρτησης ΟΡΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

Συνήθως το κόστος παραγωγής δίνεται ως άθροισμα του σταθερού κόστους παραγωγής (fixedcost, ανεξάρτητου από πόσες μονάδες παράγονται) και του μεταβλητού κόστους παραγωγής (variablecost, ανάλογου των

4 Στις οικονομικές και επιχειρησιακές εφαρμογές η λέξη «οριακό» χρησιμοποιείται για να δοθεί έμφαση στην «παράγωγο». ΠΧ. Οριακό κόστος (MarginalCost): Η παράγωγος του κόστους MC(q) = C'(q) Συνάρτηση f( Παράγωγος f'( C(q) Κόστος παραγωγής q MC=C'(q)Το οριακό μονάδων προϊόντος R(q) Έσοδα από την πώληση q μονάδων προϊόντος Π(ς) Κέρδος από την παραγωγή και πώληση q μονάδων κοστος MR=R'(q)τα οριακα έσοδα ΜΠ=Π'(ς) Το οριακο κέρδος 8. Κανόνες παραγώγισης-από το τυπολογιο του εαπ Που βθα εχετε μαζι σας 8.1 f ( f ( g ( 8.2 f ( f ( f ( g ( 8.3 f ( f ( 2 f ( 8.4 Εάν y f (u) και u κανόνας). τότε dy dy du, (αλυσωτός dx du dx 8.5 Εάν η συνάρτηση g είναι αντίστροφη της f (δηλαδή g[ f ( ] x ) 1 τότε y) όπου y f (. f ( 9. Παραγώγιση γνωστών συναρτήσεων n n 6.1 f ( nf ( f 1 ( x x 6.2 e e ae a e 1 ln x x f ( ln f ( f (

προϊόντος Π(ς) Κέρδος από την παραγωγή και πώληση q μονάδων κοστος MR=R'(q)τα οριακα έσοδα ΜΠ=Π'(ς) Το οριακο κέρδος 8. Κανόνες παραγώγισης-από το τυπολογιο του εαπ Που βθα εχετε μαζι σας 8.

5 ΠΡΟΣΟΧΗ Αν έχω το οριακό και θέλω το απλό τότε ολοκληρώνω 16. Ολοκλήρωση γνωστών συναρτήσεων Κανόνες παραγώγισης-από το τυπολογιο του εαπ Που θα εχετε μαζι σας 16.1 adx ax c 16.2 n 1 n1 x dx x c n x 1 dx ln x c 16.4 f ( dx ln f ( c f ( 16.5 n 1 1 n1 f ( dx f ( c n 1 f ( 16.6 x x e dx e c 16.7 f ( f ( f ( e dx e c ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Κανόνες παραγώγισης-από το τυπολογιο του εαπ 10. Ελαστικότητα συνάρτησης y f ( : dy y dx x dy dx x y η εναλλακτικά d(ln y) d(ln διαφορετικά ' (()) f x. 0 x0 ε= η ελαστiκότητα της f () x στο σημείο ( x 0, 0 ) f () x 0

3 x 1 dx ln x c 16.4 f ( dx ln f ( c f ( 16.5 n 1 1 n1 f ( dx f ( c n 1 f ( 16.6 x x e dx e c 16.

6 ΤΥΠΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Ζήτησης Qd(p) Η ζήτηση σε ορισμένα αγαθά και υπηρεσίες είναι ποιο ευαίσθητη στις μεταβολές της τιμής ενώ σε άλλα είναι λιγότερο ευαίσθητη. Αυτός ο βαθμόςτης ευαισθησίας της ζητούμενης ποσότητας ενός αγαθού Α στις μεταβολές της τιμής του ονομάζεται ελαστικότητα ζήτησης σε σχέση με την τιμή του αγαθού δίνεται από τον τύπο που δεν είναι άλλος παρά ο λόγος της ποσοστιαίας % μεταβολής της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία % μεταβολή της τιμής. ΤΥΠΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Ζήτησης Όταν η ελαστικότητα αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο της καμπύλης Ζήτησης ' (Qd(p) 0 ). p0 E= Qd(p) 0 ΤΥΠΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ME ΠΟΣΟΣΤΑ- Ότανηελαστικότητααναφέρεταισεένασυγκεκριμένοσημείοτηςκαμπύληςζήτη σης Τότε ε= %Δq Δq p = όπουδqμεταβολήποσότητας % Δp Δp q Δp μεταβολή τιμής p,qαρχικέςποσότητες Το πρόσημο της ελαστικότητας ζήτησης είναι αρνητικό εφόσον οι καμπύλες ζήτησης έχουν αρνητική κλίση. Στην πράξη όμως συνηθίζεται να παραλείπεται. Παράδειγμα : Aν η τιμή ενός αγαθού αυξηθεί κατά 15 % και η ζητούμενη ποσότητα μειωθεί κατά 5 % τότε η ελαστικότητα ζήτησης θα ισούται με %Δq 5 % E= = = O,33 % Δp 15 % ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΖΗΤΗΣΗ Όταν ε > 1 τότε η ζήτηση είναι ελαστική και σε αυτή την περίπτωση μια ποσοστιαία αύξηση η μείωση της τιμής προκαλεί μεγαλύτερη ποσοστιαία μείωση η αύξηση αντίστοιχα της ζητούμενης ποσότητας. Όταν 0 < ε < 1 τότε η ζήτηση είναι ανελαστική και σε αυτή την περίπτωση μια

άλλος παρά ο λόγος της ποσοστιαίας % μεταβολής της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία % μεταβολή της τιμής.

7 ποσοστιαία αύξηση η μείωση της τιμής προκαλεί μικρότερη ποσοστιαία Όταν ε =1τότε η ζήτηση έχει μοναδιαία ελαστικότητα και σε αυτή την περίπτωση μια ποσοστιαία αύξηση η μείωση της τιμής προκαλεί ισόποση ποσοστιαία μείωση η αύξηση αντίστοιχα της ζητούμενης ποσότητας.. Κριτήριο 2 η ' παραγώγου για Ακρότατα Εξετάσουμε αν στο χ 0 (ρίζα της f'(x o )=0) έχουμε τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο με την 2 η παράγωγο στο χ 0 δηλαδή α) Όταν στη θέση χ 0 με f (χ ο )=0 προκύπτει F (χ ο )<0, τότε στο Χο έχουμε τοπικό μέγιστο την τιμή y=f(x 0 ). β) Όταν στη θέση χ 0 με f(x o )=0 προκύπτει F (χ ο )>0, τότε στο Χο έχουμε τοπικό ελάχιστο την τιμή y=f(x 0 ). ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ : Βήμα 1 Παραγωγίζω τη συνάρτηση δηλαδή θα βρω την πρώτη παράγωγο Βήμα 2 Θα βρώ πού η πρώτη παραγωγος μηδενίζεται Βήμα 3 Παραγωγίζω τη πρώτη παράγωγο δηλαδή θα βρω την δεύτερη παράγωγο Βήμα 3 αντικαθιστώ τις τιμές που μηδενίζουν την πρώτη παραγωγο στον τύπο της δευτερης και αν βγεί θετικο το αποτέλασμα τοτε εχω ελάχιστο για αυτή την τιμή Εαν βγεί αρνητικά θα εχω μέγιστο για αυτή την τιμή 11. Μέγιστα και ελάχιστα συνάρτησης μιας μεταβλητής y f ( από το τυπολογιο του εαπ Μέγιστο Συνθήκη Α dy τάξεως 0 dx Συνθήκη Β 2 d y τάξεως 0 2 d x Ελάχιστο dy 0 dx 2 d y 0 2 d x

. Κριτήριο 2 η ' παραγώγου για Ακρότατα Εξετάσουμε αν στο χ 0 (ρίζα της f'(x o )=0) έχουμε τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο με την 2 η παράγωγο στο χ 0 δηλαδή α) Όταν στη θέση χ 0 με f (χ ο )=0 προκύπτει F

8 Μονοτονία Συνάρτησης Ας είναι η συνάρτηση y = ί(χ) με Π.Ο. το AcR. Για την εύρεση και των διαστημάτων που είναι αύξουσα ή φθίνουσα κάνουμε τα εξής: 1 ) Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο και τα σημεία μηδενισμού της (ρίζες), από την λύση της εξίσωσης f (χ)=0. Θυμίζουμε ότι μια ρίζα χ 0 2 ) Στο διάστημα Δ του Π.Ο. που η f'(>0 η συνάρτηση f( είναι γνήσια αύξουσα. αποτέλεσμαf(. Στο διάστημα Δ του Π.Ο. που η f'(<0 η συνάρτηση f( είναι γνήσια φθίνουσα.

παράγωγο και τα σημεία μηδενισμού της (ρίζες), από την λύση της εξίσωσης f (χ)=0.

Σχετικά έγγραφα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση