stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1
3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο απορροφά την ενέργεια ενός φωτονίου της ακτινοβολίας ηλεκτρομαγνητικής Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα (κύμα φωτός ή απλά ακτινοβολία) αποτελείται από ένα χρονομεταβαλλόμενο (ταλαντούμενο) ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό πεδίο τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Όταν ένα τέτοιο κύμα φωτός «χτυπήσει» ένα άτομο αυτό θα αισθανθεί κατά κύριο λόγο το ηλεκτρικό πεδίο (αφού τα ηλεκτρόνια είναι ελαφρότερα). Αν το μήκος κύματος του φωτός είναι αρκετά μεγαλύτερο από τη διάσταση του ατόμου τότε το πεδίο μπορεί να θεωρηθεί σταθερό στο χώρο του ατόμου (π.χ. η ορατή ακτινοβολία ~500nm >> ακτίνα του ατόμου 1A =0.1nm) και τότε μπορούμε να γράψουμε το ηλεκτρικό πεδίο της ακτινοβολίας που βλέπει το άτομο και την αντίστοιχη διαταραγμένη χαμιλτονιανή (για μονοχρωματική ακτινοβολία πολωμένη στην κατεύθυνση z) : Τα διαγώνια στοιχεία της χαμιλτονιανής θα είναι μηδέν αφού η συνάρτηση περιττή ενώ τα μη-διαγώνια στοιχεία θα δίνονται από τη σχέση Και άρα το πρόβλημα ανάγεται στην ημιτονοειδή διαταραχή που εξετάσαμε στο προηγούμενο μάθημα Άρα η πιθανότητα μετάβασης ενός ηλεκτρονίου από μια χαμηλή στάθμη ψ a σε μια υψηλότερη (ενεργειακά) ψ b όταν το άτομο εκτίθεται σε πολωμένη μονοχρωματική ακτινοβολία θα δίνεται από τη σχέση: 2
5 6 Εξαναγκασμένη εκπομπή Κανείς μπορεί να υπολογίσει επίσης την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στην χαμηλή στάθμη ψ a όταν ξεκινά από την υψηλότερη ψ b υπό την έκθεση σε πολωμένη μονοχρωματική ακτινοβολία Το αποτέλεσμα αυτό είναι ακριβώς το ίδιο με την περίπτωση της απορρόφησης και έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Αν ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μια διεγερμένη κατάσταση και υποβληθεί στην επίδραση κατάλληλης Η/Μ ακτινοβολίας τότε αυτό μπορεί να αποδιεγερθεί στην χαμηλότερη ενεργειακά στάθμη με παράλληλη εκπομπή ενός φωτονίου αντίστοιχης ενέργειας. Η διαδικασία αυτή προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Einstein και ονομάζεται εξαναγκασμένη εκπομπή. Δηλαδή στο σύστημα μπήκε ένα φωτόνιο και βγήκαν 2! Αυτή είναι ακριβώς η έννοια της ενίσχυσης και βέβαια η αρχή λειτουργίας των λέιζερ. Αυθόρμητη εκπομπή Εκτός από την απορρόφηση και την εξαναγκασμένη εκπομπή υπάρχει και ένας τρίτος φυσικός μηχανισμός σε αυτό το πρόβλημα και είναι η αυθόρμητη εκπομπή. Όπως λέει και το όνομα αυτής πρόκειται για ένα σύστημα που το ηλεκτρόνιο είναι στη υψηλή στάθμη και μεταβαίνει στη χαμηλότερη χωρίς την επίδραση εξωτερικού παράγοντα. Και πάλι θα εκπέμψει ένα φωτόνιο με ενέργεια ίση με την ενεργειακή διαφορά των 2 σταθμών. Μπορεί κανείς να αντιληφτεί την αυθόρμητη αυτή φυσική διεργασία σαν αποτέλεσμα της ανάγκης του συστήματος να βρίσκεται σε όσο γίνεται χαμηλότερη ενεργειακά κατάσταση ή ως αποτέλεσμα της αρχής αβεβαιότητας που είδαμε ήδη στο πρώτο μάθημα. 3
7 8 Συντελεστές Α και Β του Einstein Ας υποθέσουμε ότι έχουμε Ν α άτομα στη χαμηλή στάθμη και Ν b στην υψηλή. Και ας ορίσουμε ως Α το ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής, δηλαδή τα ηλεκτρόνια που φεύγουν από την υψηλή στάθμη ανά μονάδα χρόνου είναι Ν b Α. Ο αντίστοιχος ρυθμός εξαναγκασμένης εκπομπής εξαρτάται από την πυκνότητα ενέργειας μιας πολυχρωματικής Η/Μ ακτινοβολίας Β ba ρ(ω 0 ) (ρ(ω 0 ) η πυκνότητα ενέργειας) και ο αριθμός των ηλεκτρόνιων που φεύγουν από την υψηλή στάθμη ανά μονάδα χρόνου είναι Ν b Β ba ρ(ω 0 ). Τέλος ο αντίστοιχος ρυθμός απορρόφησης θα είναι Β ab ρ(ω 0 ) και ο αριθμός των ηλεκτρόνιων που φεύγουν από την χαμηλή στάθμη προς την υψηλή ανά μονάδα χρόνου είναι Ν a Β ab ρ(ω 0 ). Έτσι μπορούμε τώρα να γράψουμε την εξίσωση που περιγράφει το συνολικό ρυθμό αλλαγής του πληθυσμού της υψηλής κατάστασης η οποία είναι Κατάσταση ισορροπίας Αν υποθέσουμε τώρα ότι το σύστημα μας είναι σε θερμοδυναμική ισορροπία με την Η/Μ ακτινοβολία, τότε οι πληθυσμοί των σταθμών θα είναι σταθεροί στο χρόνο, δηλαδή και άρα Από τη θερμοδυναμική γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των σωματιδίων είναι ανάλογος προς τον παράγοντα Boltzmann και άρα: Τέλος αν συγκρίνουμε με την έκφραση του μέλανος σώματος και χρησιμοποιήσουμε την έκφραση του Β ba (Δεν το δείξαμε εδώ) καταλήγουμε και 4
9 10 έχουμε: Χρόνος ζωής μιας διεγερμένης κατάστασης Η τελευταία σχέση δίνει το ρυθμό μεταφοράς στην αυθόρμητη εκπομπή. Αν υποθέσουμε λοιπόν ότι κάποια στιγμή μεταφέρουμε ένα μεγάλο πληθυσμό ηλεκτρόνιων στη διεγερμένη τότε αυτός ο αριθμός θα μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Αν λύσουμε ως προς Ν b Προφανώς ο αριθμός των ηλεκτρονίων μειώνεται εκθετικά με ένα χαρακτηριστικό χρόνο τον οποίο ονομάζουμε χρόνο ζωής της κατάστασης Μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια του χρόνου ζωής σε ένα πιο περίπλοκο σύστημα όπου η διεγερμένη μας κατάσταση μπορεί να αποδιεγερθεί σε περισσότερες από μια χαμηλότερες καταστάσεις με αντίστοιχους συντελεστές Α i Κανόνες επιλογής Όπως είδαμε ο υπολογισμός της αυθόρμητης εκπομπής ανάγεται στον υπολογισμό των στοιχείων μήτρας της μορφής Είπαμε ήδη ότι πολλά από αυτά το στοιχεία μήτρας είναι μηδενικά, πότε όμως συμβαίνει αυτό; Ας δουλέψουμε πάνω σε ένα υδρογονικό σύστημα και ας περιγράψουμε τις καταστάσεις του με τον συνήθη φορμαλισμό των κβαντικών αριθμών, τότε τα στοιχεία της μήτρας γίνονται Θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο κάτω μεταθετικές σχέσεις της στροφορμής για να δούμε τι κανόνες μπορεί να προκύπτουν Από την τελευταία 5
11 12 Από όπου προκύπτει ότι Αντίστοιχα από τις άλλες μεταθετικές σχέσεις έχουμε και Κανόνες επιλογής για το m Από τις 2 προηγούμενες έχουμε Από όπου προκύπτει ότι Ή πιο γενικά ή ή Αυτοί είναι οι κανόνες επιλογής για το m και μας λένε ότι οι επιτρεπτές μεταβάσεις από μια κατάσταση στην άλλη οφείλουν να ικανοποιούν τις πιο πάνω συνθήκες διαφορετικά δεν είναι επιτρεπτές. Από φυσική πλευρά οι κανόνες αυτοί λένε απλά ότι από τη στιγμή που τα φωτόνια έχουν σπιν 1, άρα m =-1,0,1, και για να διατηρείται η ορμή του συστήματος, το άτομο πρέπει να δίνει ότι ακριβώς παίρνει το αντίστοιχο φωτόνιο. ή 6
13 14 Κανόνες επιλογής για το l Ξεκινώντας από την μεταθετική σχέση (δεν την έχουμε αποδείξει αλλά αποδεικνύεται εύκολα). Θα έχουμε: Και έτσι θα είναι: Είναι: και Και έτσι η πρώτη συνθήκη μπορεί να γραφτεί ως: Οπότε θα είναι είτε l= l =0, που όμως δεν μπορεί να γίνει αφού οδηγεί σε περιττά (μηδενικά) ολοκληρώματα, είτε: Αυτοί είναι οι κανόνες επιλογής για το l και μας λένε και πάλι ότι οι επιτρεπτές μεταβάσεις από μια κατάσταση στην άλλη οφείλουν να ικανοποιούν τις πιο πάνω συνθήκες διαφορετικά δεν είναι επιτρεπτές. Η φυσική εξήγηση είναι η ίδια και οφείλετε στο σπιν των φωτονίων και τη διατήρηση της ορμής του συστήματος, η οποία επιβάλλει συγκεκριμένες τιμές στο άθροισμα των στροφορμών σύμφωνα με τον κανόνα που βρήκαμε. ή 7
15 Σχηματική αναπαράσταση επιτρεπόμενων μεταβάσεων Μετασταθής κατάσταση, το ηλεκτρόνιο μένει εγκλωβισμένο 16 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 8
17 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ορίζουμε ως χρόνο ημι-ζωής το χρόνο που χρειάζεται για να μείνει μια διεγερμένη κατάσταση με το μισό πληθυσμό της. Βρείτε τη σχέση του χρόνου ημι-ζωής με το χρόνο ζωής. 2. Βρείτε σε ποιές συχνότητες υπερισχύει η αυθόρμητη εκπομπή και σε ποιές η εξαναγκασμένη από ακτινοβολία μέλανος σώματος σε θερμοκρασία περιβάλλοντος (Τ=300 Κ). Δίνονται: 9