ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

Transcript

1 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1

2 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα του νόμου μετασχηματισμού είναι ότι διατηρεί όλες τις αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ των τελεστών του συστήματος. 2

3 5 6 χώρο. Εικόνα του Schrödinger και εικόνα του Heisenberg τότε οι νέες καταστάσεις Μετασχηματισμοί μετατόπισης Εξαιτίας αυτού ακριβώς του ρόλου του ο τελεστής της ορμής αποκαλείται γεννήτορας των μετατοπίσεων στο Θα προχωρήσουμε τώρα σε μια ειδική εκλογή για τον τελεστή μετασχηματισμού U ώστε να επιτύχουμε ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα να μεταφέρουμε τη χρονική εξέλιξη από τις φυσικές καταστάσεις στους τελεστές. Η απλούστερη προσέγγιση οφείλεται στον Heisenberg και έχει ως αφετηρία της το νόμο της χρονικής εξέλιξης των καταστάσεων. Αν ως τελεστής μετασχηματισμού επιλεγεί ο θα είναι ανεξάρτητες του χρόνου ενώ οι νέοι τελεστές θα δίνονται από τον τύπο Αυτές οι νέες καταστάσεις και τελεστές ορίζουν τη λεγόμενη εικόνα του Heisenberg Μεταφορά από μια θέση του χώρου σε μια άλλη: 3

4 7 8 Μετασχηματισμοί στροφής Το ρόλο που παίζει η ορμή για τις μετατοπίσεις, τον αναλαμβάνει η στροφορμή προκειμένου για τις στροφές του φυσικού συστήματος στο χώρο. Μια τέτοια στροφή κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα n δείχνεται στο Σχήμα 4

5 9 10 Συστήματα πολλών σωματιδίων Μια κβαντική κατάσταση δύο σωματιδίων θα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση της μορφής τέτοια ώστε το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της να δίνει την πυκνότητα πιθανότητας να βρούμε το σωματίδιο 1 στη γειτονιά του σημείου r 1 και το σωματίδιο 2 στη γειτονιά του σημείου r 2 ως συνέπεια αυτής της ερμηνείας θα πρέπει να ισχύει η συνθήκη κανονικοποίησης Επίσης θα ισχύει όπως πριν ο τύπος της μέσης τιμής και του εσωτερικού γινομένου Η κυματοσυνάρτηση ψ(r 1, r 2 ) του συστήματος θα προκύπτει από το γινόμενο των μερικών κυματοσυναρτήσεων αφού τα σωματίδια δεν αλληλοεπηρεάζονται και επομένως οι πιθανότητες άρα και τα πλάτη πιθανότητας να βρούμε το ένα εδώ και το άλλο εκεί θα πολλαπλασιάζονται. Θα είναι δηλαδή: Η κυματοσυνάρτηση ψ(r 1, r 2 ) θα μπορεί πάντα να γραφεί υπό τη μορφή της άπειρης επαλληλίας για κατάλληλους συντελεστές c αβ. Το ουσιώδες μήνυμα από τα παραπάνω είναι ότι : Από κυματοσυναρτήσεις που έχουν τη μορφή γινομένου μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων μπορούμε να δημιουργήσουμε με κατάλληλη επαλληλία τους την τυχούσα κατάσταση του σωματιδίων. συστήματος των δύο 5

6 11 12 Αν λοιπόν συμβολίσουμε με α> το αφηρημένο διάνυσμα ket που αντιστοιχεί στη μονοσωματιδιακή κατάσταση ψ α (r 1 ) και με β> το αντίστοιχο για την ψ β (r 2 ) τότε Να υπολογίσουμε τη μέση τιμή των τελεστών στην κατάσταση πάνω στον άξονα x. τανυστικό γινόμενο και ενός συστήματος δύο σωματιδίων που κινούνται 6

7 13 14 Η μήτρα πυκνότητας Στατιστικά μίγματα: π.χ. ένα αέριο ατόμων υδρογόνου σε θερμοδυναμική ισορροπία με θερμοκρασία T. Η συλλογή των ατόμων αυτού του αερίου θα είναι μια μικτή συλλογή στην οποία ένα ποσοστό των ατόμων θα βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση ψ 1 >, ένα άλλο θα βρίσκεται στην πρώτη διεγερμένη ψ 2 > και ούτω καθεξής. Και βεβαίως αυτά τα ποσοστά θα δίνονται από τον τύπο του Boltzmann Αν έχουμε ένα στατιστικό μίγμα κβαντικών συστημάτων εκ των οποίων ένα ποσοστό p 1 περιγράφεται από το ket ψ 1 >, ένα ποσοστό p 2 από το ψ 2 > κ.ο.κ. ο θεμελιώδης κβαντικός τύπος της μέσης τιμής επεκτείνεται ως εξής: Η μέση τιμή ενός φυσικού μεγέθους πάνω σε μια μικτή συλλογή κβαντικών συστημάτων δεν είναι παρά ο σταθμισμένος μέσος όρος των κβαντομηχανικών μέσων τιμών που αντιστοιχούν στις καθαρές κβαντικές καταστάσεις της συλλογής. 7

8 15 16 Ιδιότητες της μήτρας πυκνότητας Στην ειδική περίπτωση μιας καθαρής συλλογής που δεν είναι παρά ο προβολικός τελεστής πάνω στην κατεύθυνση του διανύσματος ψ> θα ισχύει καθώς και η Παίρνοντας τα διαγώνια στοιχεία πάνω σε μια τυχούσα βάση n> και αθροίζοντας πάνω σε όλα τα n> θα είναι θα ισχύει επίσης αφού 8

9 17 18 Παράδειγμα Α: Η μήτρα πυκνότητας μιας θερμοδυναμικής συλλογής Ένα ατομικό αέριο ας πούμε αέριο ατόμων υδρογόνου σε θερμοκρασία T. Το χαρακτηριστικό αυτού του μίγματος είναι ότι συμμετέχουν σε αυτό θεωρητικά όλες οι ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις του ατόμου με αντίστοιχες πιθανότητες όπου E n οι ενεργειακές ιδιοτιμές, και η συνάρτηση επιμερισμού του συστήματος. Ας δείξουμε ότι ο τελεστής πυκνότητας ενός τυχόντος στατιστικού μίγματος θερμοκρασίας T γράφεται σε συμπαγή μορφή ως όπου H η χαμιλτονιανή του ατόμου. Με βάση τον ορισμό του ρ θα είναι διαδοχικά Ας δείξουμε τώρα ότι η μέση ενέργεια συνάρτησης Z = Z(β) ως έχουμε του μίγματος εκφράζεται μέσω της 9

10 19 20 Παράδειγμα Β: Η μήτρα πυκνότητας σε ένα κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων Ας πάρουμε ένα κβαντικό σύστημα με δύο μόνο καταστάσεις, οπότε και η μήτρα πυκνότητας θα έχει αντίστοιχα απλή μορφή. Θα είναι μια 2 2 ερμιτιανή μήτρα με ίχνος μονάδα. Δικαταστασιακά κβαντικά συστήματα προκύπτουν αβίαστα στην πράξη είτε ως προσέγγιση ενός πολυπλοκότερου συστήματος είτε κατά τη μελέτη σωματιδίων με σπιν ½ που θα δούμε αργότερα. Έστω λοιπόν ότι έχουμε ένα τέτοιο δικαταστασιακό σύστημα με βασικές καταστάσεις τις 1> και 2> που μπορούμε να υποθέσουμε επιπλέον ότι είναι και ορθογώνιες. Η τυχούσα κατάσταση ψ> του συστήματος θα γράφεται τότε ως Η μήτρα πυκνότητας για την καθαρή συλλογή θα είναι ή Η οποία είναι ερμιτιανή με ίχνος μονάδα 10

11 22 21 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Δείξτε ότι τα παρακάτω διανύσματα είναι ορθογώνια Είναι η κανονικοποιημένη; 2. Αποδείξτε την ανισότητα του Schwartz Υπόδειξη: Υπολογίστε το με 3. Για ορθοκανονική βάση και Γράψτε το διάνυσμα στήλης που αντιπροσωπεύει το και το. 11

12 23 24 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4. Για ορθοκανονική βάση ο τελεστής Α δρα ως εξής: Υπολογίστε τη μήτρα του Α. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 5. θεωρήστε τον 2-διάστατο διανυσματικό χώρο με βάση. Θεωρήστε ένα σύνολο σωματίων που βρίσκονται σε δυο δυνατές καταστάσεις με κατανομές ¾ και ¼ αντίστοιχα α) Υπολογίστε της μήτρες πυκνότητας για τις καθαρές καταστάσεις και β) Υπολογίστε τη μήτρα πυκνότητας για την πλήρη κατανομή. γ) Γράψτε τη μήτρα πυκνότητας σε μορφή μήτρας. δ) Υπολογίστε το ίχνος της μήτρας πυκνότητας. ε) Για ένα σωματίδιο της κατανομής ποια η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση και αντίστοιχα; ζ) Για μια άλλη βάση και ποια η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο στην κατάσταση και αντίστοιχα; 12

13 25 α) β) γ) δ) ε) ζ) 13