ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

4 Δομή Διάλεξης Γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενο μέρος Χαμιλτονιανής. Εύρεση πιθανότητας μετάβασης Απλό παράδειγμα με ακριβή λύση: Σύστημα δύο καταστάσεων Ειδική περίπτωση συστήματος δύο καταστάσεων: Μαγνητικός συντονισμός Γενική περίπτωση: Σύστημα Ν καταστάσεων με μικρό χρονοεξαρτώμενο τμήμα Χαμιλτονιανή: Περιγραφή χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογές: α. Σταθερή διαταραχή και β. Αρμονικά ταλαντούμενες διαταραχές Διαταραχή σε υδρογόνο με την μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας: Πιθανότητα εξαναγκασμένης εκπομπής απορρόφησης. Αυθόρμητη εκπομπή. Κανόνες επιλογής.

5 Χρονοεξαρτώμενη Διαταραχή Έστω σύστημα με Χαμιλτονιανή: Χρονοεξαρτώμενη διαταραχή Ιδιοκαταστάσεις αδιατάρχατης Χαμιλτονιανής: Χρονική εξάρτηση Χαμιλτονιανής Πιθανότητα μετάβασης του συστήματος από αρχική αδιατάραχτη κατάσταση σε άλλη τελική Ε: Ποια είναι η πιθανότητα μετάβασης ως συνάρτηση του χρόνου;

6 Εύρεση Πιθανότητας Μετάβασης Έστω αρχική κατάσταση συστήματος: Ιδιοκαταστάσεις αδιατάραχτης Η 0 Αν δεν υπήρχε η διαταραχή (H 1 =0): Πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση n την στιγμή t: +10a Eυρεση c m (t):

7 Εύρεση Πιθανότητας Μετάβασης Eυρεση c m (t): +10b expie t n n +10c όπου

8 Εύρεση Πιθανότητας Μετάβασης Eυρεση c m (t): όπου Eυρεση c n (t): Επίλυση συστήματος N συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων Γενικά δύσκολο πρόβλημα (απαιτείται προσέγγιση) Ειδική περίπτωση: Σύστημα δύο καταστάσεων Ν=2 (ακριβής λύση)

9 Σύστημα Δύο Καταστάσεων Έστω αδιατάραχτο σύστημα δύο καταστάσεων: Θεωρούμε για απλότητα ότι τα διαγώνια στοιχεία πίνακα της διαταραχής μηδενίζονται: Έστω ότι τα μη-διαγώνια στοιχεία πίνακα της διαταραχής (υπεύθυνα για τις μεταβάσεις) είναι της μορφής: +10d +10e

10 Σύστημα Δύο Καταστάσεων Έστω αδιατάραχτο σύστημα δύο καταστάσεων: i 4 i i 21 / c t Ae t +10f c2 t Aexp i t sin t Bexp i t cost 2 2 c c2 t Aexpi t sin t 2

11 Σύστημα Δύο Καταστάσεων Έστω αδιατάραχτο σύστημα δύο καταστάσεων: c2 t Aexp i t sin t Bexp i t cost 2 2 c Όμοια για το c 1 (t): 21 c2 t Aexpi t sin t c1 t C expi t sin t Dexpi t cost c1 t C expi t sin t expi t cost 2 2 c f

12 Πιθανότητα Μετάβασης c1 t C expi t sin t expi t cost c2 t Aexpi t sin t 2 +10g Πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση 1: Πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση 2:

13 Πιθανότητα Μετάβασης Σχέση Rαbi Συντονισμός (ω=ω 21 ) Συντονισμός (ω=ω 21 ): Το σύστημα ταλαντώνεται μεταξύ των καταστάσεων 1 (αρχική) και 2 με γωνιακή συχνότητα γ. Άρα έχουμε διαδοχική απορρόφηση και εκπομπή ενέργειας προς την πηγή της διαταραχής. Εκτός συντονισμού η μέγιστη πιθανότητα μετάβασης από 1 σε 2 μειώνεται (P 2max <1).

14 Ειδική περίπτωση: Μαγνητικός Συντονισμός Έστω αδιατάραχτη Χαμιλτονιανή για ηλεκτρόνιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (εκτός ατόμου): όπου Διαταράσσουμε το μαγνητικό πεδίο με χρονοεξαρτώμενη περιστρεφόμενη συνιστώσα x-y: Η Χαμιλτονιανή γίνεται: όπου Οι ιδιοκαταστάσεις της αδιατάραχτης Χαμιλονιανής είναι οι ιδιοκαταστάσεις του S z χ ± : Στην βάση αυτή η διαταραχή γράφεται: +10h όπου S S is x y

15 Μαγνητικός Συντονισμός Στην βάση αυτή η διαταραχή γράφεται: Επομένως: αφού +10i Σύγκριση με σύστημα δυο καταστάσεων:

16 Μαγνητικός Συντονισμός Σύγκριση με σύστημα δυο καταστάσεων: Άρα ουσιαστικά έχουμε σύστημα δύο καταστάσεων και ισχύουν οι ίδιες σχέσεις για την πιθανότητα μετάβασης (πιθανότητα αναστροφής της z-συνιστώσας του spin): Χωρίς την διαταραχή (Β 1 =0) η πιθανότητα μετάβασης είναι 0 αλλά εξακολουθούμε να έχουμε μετάπτωση του spin γύρω από την διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου (z- αξονας).

17 Χωρίς Διαταραχή: Απλή Μετάπτωση του spin Έχουμε δει στην διάλεξη 5 ότι χωρίς την διαταραχή (Β 1 =0) η πιθανότητα μετάβασης είναι 0 αλλά εξακολουθούμε να έχουμε μετάπτωση του spin γύρω από την διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου (z- αξονας).

18 Σύστημα N-καταστάσεων: Εφαρμογή Προσέγγισης Διαταραχών Ανασκόπηση βασικού προβλήματος: Η 1 (t)=0 Η 1 (t) 0 +10j όπου

19 Σύστημα N-καταστάσεων: Εφαρμογή Προσέγγισης Διαταραχών Προσεγγιστική εύρεση c n (t) με αρχική συνθήκη: Αδιατάραχτη λύση: Λύση με χρήση διαταραχών:

20 Βασική Σχέση Χρονοεξαρτώμενης Θεωρίας Διαταραχών Προσεγγιστική εύρεση c n (t) σε 1 η τάξη θεωρίας διαταραχών: Πιθανότητα μετάβασης σε κατάσταση f: Αυτή είναι η βασική σχέση για χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών. Στα επόμενα θα δούμε εφαρμογές αυτής της σχέσης.

21 Σταθερή Διαταραχή Έστω σταθερός όρος V διαταραχής που εμφανίζεται την t 0 και μηδενίζεται την στιγμή t. Έχουμε: +10k

22 Σύστημα Δύο Καταστάσεων: Ρυθμός Μετάβασης Πιθανότητα μετάβασης: Για σύστημα δύο καταστάσεων έχουμε για την ολική πιθανότητα μετάβασης: Ρυθμός μετάβασης: Ο ρυθμός μετάβασης ταλαντώνεται με τον χρόνο για σύστημα δύο καταστάσεων με σταθερή διαταραχή Για σύστημα πολλών καταστάσεων έχουμε για την ολική πιθανότητα μετάβασης άθροιση σε όλες τις τελικές καταστάσεις: όπου

23 Συνεχής Κατανομή Καταστάσεων Για σύστημα πολλών καταστάσεων έχουμε για την ολική πιθανότητα μετάβασης άθροιση σε όλες τις τελικές καταστάσεις: όπου Για συνεχή κατανομή τελικών καταστάσεων έχουμε: Πυκνότητα καταστάσεων Αριθμός καταστάσεων στο διάστημα [Ε k,e k +de k ] +10l ρ(ε k )=σταθερή ισχύει

24 Χρυσός Κανόνας Fermi 1 ρ(ε k )=σταθερή Αλλαγή μεταβλητής στο ολοκλήρωμα +10m +10n Ο ρυθμός μετάπτωσης είναι σταθερός για σταθερή διαταραχή (Χρυσός Kανόνας Fermi 1)

25 Αρμονικές Διαταραχές I Έστω ταλαντούμενη διαταραχή της μορφής: Για απλότητα θεωρούμε (απορρόφηση ω mi >0): κυριαρχεί ο 2 ος όρος +10o

26 Αρμονικές Διαταραχές I Για απορρόφηση θεωρούμε ω mi >0: (για εκπομπή κρατάμε τον άλλο όρο αφού τότε ω mi <0 και μόνο ο άλλος όρος μπορεί να δώσει συντονισμό) κυριαρχεί ο 2 ος όρος αφού ω>0 +10o Ο ρυθμός μετάβασης ταλαντώνεται με τον χρόνο για σύστημα δύο καταστάσεων (όπως και για σταθερή διαταραχή) +10p 0 mi Σύστημα δύο καταστάσεων 0 mi +10q: Εξηγείστε το σχήμα (ποσοτικά)

27 Αρμονικές Διαταραχές I Ο ρυθμός μετάβασης ταλαντώνεται με τον χρόνο για σύστημα δύο καταστάσεων (όπως και για σταθερή διαταραχή) Για σύστημα πολλών καταστάσεων με σταθερή πυκνότητα καταστάσεων έχουμε: ρ(ε k )=σταθερή Αλλαγή μεταβλητής:

28 Χρυσός Κανόνας Fermi 2 Αλλαγή μεταβλητής: Ο ρυθμός μετάπτωσης είναι σταθερός για αρμονική διαταραχή (Χρυσός Kανόνας Fermi 2)

29 Σύστημα 2 καταστασεων: Μελέτη με θεωρία διαταραχών Αδιατάραχτο σύστημα: Ορθογωνιότητα: Αρχική συνθήκη: Χρονική Εξέλιξη: Κανονικοποίηση: Διαταραχή Η (t) E: Ποια είναι η χρονική εξάρτηση των c a (t), c b (t) στα πλαίσια της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών;

30 Σύστημα 2 καταστασεων: Μελέτη με θεωρία διαταραχών Αρχικά: E: Ποια είναι η χρονική εξάρτηση των c a (t), c b (t) στα πλαίσια της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών;

31 Σύστημα 2 καταστασεων: Μελέτη με θεωρία διαταραχών Όμοια προκύπτει ότι: +10r Σε συμφωνία με την γενική σχέση: που έχουμε αποδείξει

32 Σύστημα 2 καταστασεων: Μελέτη με θεωρία διαταραχών Αρχική συνθήκη: Διαταραχή μηδενικής τάξης (Η =0): Διαταραχή 1ης τάξης: Διαταραχή 2ης τάξης: +10s

33 Σύστημα 2 καταστάσεων: Μελέτη με Διαταραχή μηδενικής τάξης (Η =0): θεωρία διαταραχών Διαταραχή 1ης τάξης: Διαταραχή 2ης τάξης: Συνεισφορά μηδενικής τάξης ++10t: Βρείτε τις εκφράσεις για 3 ης τάξης διαταραχές Συνέχεια για κάθε τάξη. To c a ανανεώνεται σε κάθε άρτια τάξη και το c b σε κάθε περιττή τάξη.

34 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας Μήκος κύματος μεγαλύτερο από διαστάσεις ατόμου Αγνοούμε χωρική μεταβολή κύματος (διπολική προσέγγιση) Διαταραχή: Στοιχεία πίνακα: όπου Διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται αν η αδιατάραχτες καταστάσεις είναι άρτιες ή περιττές! Έχουμε μελετήσει σύστημα δύο καταστάσεων με τέτοια αρμονική διαταραχή και έχουμε δείξει ότι για Ε b -E a =ћω 0 >0 (απορρόφηση φωτονίου) και διαταραχή V cosωt έχουμε i, m a, b

35 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας Έχουμε μελετήσει σύστημα δύο καταστάσεων με τέτοια αρμονική διαταραχή και έχουμε δείξει ότι για Ε b -E a =ћω 0 >0 (απορρόφηση φωτονίου) και διαταραχή V cosωt έχουμε i, m a, b Αν Ε b -E a =-ћω 0 <0 (εξαναγκασμένη εκπομπή φωτονίου) και διαταραχή V cosωt κρατάμε το όρο ω mi +ω γιατί αυτός ο όρος δίνει συντονισμό. Το αποτέλεσμα έχει την ίδια μορφή +10u Δυνατές αλληλεπιδράσεις ακτινοβολίας με άτομα: Προκαλείται από κβαντικές διαταραχές ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (κβαντική ηλεκτροδυναμική)

36 Μη μονοχρωματική ασύμφωνη ακτινoβολία Μέση πυκνότητα ενέργειας ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας: B E / c μέση τιμή +10v μονοχρωματική Πολυχρωματική ασύμφωνη Αν ήταν σύμφωνη θα υπήρχαν όροι μίξης φάσεων +10w Μεγάλο εύρος Μικρό εύρος (για μεγάλα t)

37 Μη μονοχρωματική ασύμφωνη ακτινoβολία +10x Η ταλαντούμενη μορφή της πιθανότητας παύει να υπάρχει όταν η προσπίπτουσα ακτινοβολία είναι μη μονοχρωματική και ασύμφωνη! Ο ρυθμός μετάβασης είναι τώρα σταθερός:

38 Μη πολωμένη σφαιρικά συμμετρική ακτινοβολία Για πόλωση στην διεύθυνση z: Γενίκευση για πόλωση στην διεύθυνση ˆn : μέση τιμή σε διευθύνσεις πόλωσης και σε διευθύνσεις πρόσπτωσης μέση τιμή σε διευθύνσεις πόλωσης Ας υποθέσουμε αρχικά πρόσπτωση από την διεύθυνση z. Τότε έχουμε δυο δυνατές διευθύνσεις πόλωσης (x,y): +10y sin cos sin sin sin 2 Θα πάρουμε τώρα και την μέση τιμή σε κάθε διεύθυνση διάδοσης: nˆ sin cos iˆ +sin sin ˆj ˆn r θ είναι η γωνία μεταξύ διεύθυνσης διάδοσης z. z και +10z

39 Αυθόρμητη Εκπομπή: Οι συντελεστές Einstein A, B Απλή θερμοδυναμική ανάλυση (πλήρης ανάλυση σε κβαντική ηλεκτροδυναμική) Έστω σύστημα Ν ατόμων με Ν α άτομα σε κατώτερη ενεργειακή κατάσταση ψ α και Ν b άτομα σε ανώτερη ενεργειακή κατάσταση ψ b. Έστω dp sp /dt=α ό ρυθμός μετάβασης που αντιστοιχεί σε αυθόρμητη εκπομπή, dp st /dt=β ba ρ(ω 0 ) o ρυθμός εξαναγκασμένης εκπομπής (ανάλογος της πυκνότητας ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας) και dp abs /dt=b ab ρ(ω 0 ) o ρυθμός απορρόφησης. Άρα: Σε θερμική ισορροπία: Λόγω θερμικής ισορροπίας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παράγοντα Boltzmann: +10α

40 Αυθόρμητη Εκπομπή: Οι συντελεστές Einstein A, B Μέλαν σώμα (κατανομή θερμικής ακτινοβολίας): +10β όπως έχουμε δείξει ήδη +10γ Νέο αποτέλεσμα! +10δ

41 Χρόνος Ζωής Διεγερμένης Κατάστασης Αριθμός διεγερμένων ατόμων που αποδιεγείρονται σε χρόνο dt: Χρόνος ζωής διεγερμένης κατάστασης (lifetime) Για πολλαπλές τελικές καταστάσεις (1, 2, 3, ) έχουμε: +10δ Διότι οι ρυθμοί μετάβασης προστίθενται για να δώσουν τον ολικό ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής.

42 Παράδειγμα Μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής βρίσκεται στην κατάσταση n>. Βρείτε τον χρόνο ζωής ως προς αυθόρμητη εκπομπή και την ακτινοβολούμενη ισχύ συναρτήσει της αρχικής ενέργειας. Πρώτα τα υπολογίσουμε την ποσότητα. Αφού το σύστημα κινείται σε μία διάσταση, μπορούμε να αγνοήσουμε τις y και z συνιστώσες. Άρα έχουμε Χρησιμοποιώντας τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής βρίσκουμε: +10ε όπου είναι η φυσική συχνότητα ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή. Για εκπομπή πρέπει να έχουμε n <n. Άρα: Η συχνότητα εκπομπής (συντονισμού) είναι:

43 Παράδειγμα Για εκπομπή πρέπει να έχουμε n <n. Άρα: Η συχνότητα εκπομπής (συντονισμού) είναι: Εκπεμπόμενη ισχύς : ισχύς: επιτάχυνση Κλασσικός υπολογισμός (εκπομπή ακτινοβολίας από επιταχυνόμενο φορτίο): +10ζ +10η μέση τιμή σε μια περίοδο

44 Κανόνες Επιλογής Βασικό ρόλο στον υπολογισμό του ρυθμού αυθόρμητης αποδιέγερσης παίζει το στοιχείο πίνακα: Ε: Πότε (δεν) μηδενίζεται αυτό το στοιχείο πίνακα; Για υδρογονοειδή άτομα έχουμε: Κανόνες επιλογής για m, m : Άρα είτε m=m είτε Όμοια για το στοιχείο πίνακα <x> έχουμε: +10θ

45 Κανόνες Επιλογής m, m Βασικό ρόλο στον υπολογισμό του ρυθμού αυθόρμητης αποδιέγερσης παίζει το στοιχείο πίνακα: Άρα είτε m=m είτε Είδαμε ακόμα ότι: Ακόμα ισχύει ότι: +10ι +10κ Άρα είτε (m-m ) 2 =1 είτε Άρα για να έχει το στοιχείο πίνακα ή μη μηδενικές συνιστώσες θα πρέπει

46 Κανόνες Επιλογής l, l Βασικό ρόλο στον υπολογισμό του ρυθμού αυθόρμητης αποδιέγερσης παίζει το στοιχείο πίνακα: Ισχύει η παρακάτω σχέση μετάθεσης: +10λ Εργαζόμαστε όπως στην περίπτωση m, m και έχουμε: Άρα είτε είτε

47 Κανόνες Επιλογής l, l Βασικό ρόλο στον υπολογισμό του ρυθμού αυθόρμητης αποδιέγερσης παίζει το στοιχείο πίνακα: Άρα είτε είτε ++10μ Αναμενόμενο αποτέλεσμα αφού το φωτόνιο έχει spin 1

48 Κανόνες Επιλογής l, l Επιτρεπόμενες αυτοδιεγέρσεις στις 4 πρώτες ενεργειακές καταστάσεις του υδρογόνου:

49 Σύνοψη Όταν υπάρχει χρονικά εξαρτώμενο τμήμα (διαταραχή) σε Χαμιλονιανή τότε δημιουργείται μη μηδενική πιθανότητα μετάβασης από μια αδιατάραχτη κατάσταση σε άλλη μεσα σε χρόνο t. Η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται με επίλυση Ν 1 ης τάξης διαφορικών εξισώσεων με Ν αγνώστους όπου Ν ο αριθμός των αδιατάραχτων ιδιοκαταστάσεων. Όταν Ν=2 (πχ ηλεκτρόνιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με περιστρεφόμενη διαταραχή) το σύστημα μπορεί να επιλυθεί χωρίς προσέγγιση. Η πιθανότητα αναστροφής του spin μεγιστοποιείται όταν η συχνότητα της περιστρεφόμενης διαταραχής συμπίπτει με την ενεργειακή απόσταση των καταστάσεων της αδιατάραχτης Χαμιλτονιανής. Για αυθαίρετο Ν απαιτείται προσεγγιστική μέθοδος για την εύρεση της πιθανότητας μετάβασης: η χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών που υποθέτει Η 1 <<Η 0. Η πιθανότητα μετάβασης που προκύπτει είναι: Βασική εφαρμογή της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας μετάβασης ατομικού ηλεκτρονίου σε υψηλοτερη ή χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη (αποροφηση, εκπομπή) λόγω παρουσίας διαταραχής που οφείλεται σε προσπίπτουσα ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία ή απουσία αυτής (αυθόρμητη εκπομή).

50 Άσκηση 1 1. Μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής βρίσκεται στην θεμελιώδη κατάσταση. Την t=0 εφαρμόζεται διαταραχή ηλεκτρικού πεδίου για χρόνο τ. για άλλους χρόνους Βρείτε την πιθανότητα μετάπτωσης στην κατάσταση n=1 και στην n=2 Για μετάβαση στην κατάσταη με n=1 έχουμε: όπου οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις n=0 και n=1 για τον αρμονικό ταλαντωτή είναι: όπου

51 Άσκηση 1 Για μετάβαση στην κατάσταη με n=1 έχουμε: Με αντικατάσταση των αντίστοιχων ιδιοκαταστάσεων n=0 και n=1 για τον αρμονικό ταλαντωτή έχουμε: όπου m 0 e x 2 dx Αλλά Με αντικατάσταση και υπολογισμό του ολοκληρώματος βρίσκουμε: +10ν

52 Άσκηση 1 Για μετάβαση στην κατάσταση με n=2 έχουμε: για άλλους χρόνους Άρα:

53 Άσκηση 2 Σύστημα έχει δύο ιδιοκαταστάσεις 1> και 2> με διαφορά ενεργειών Την t=0 το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση 1> και εφαρμόζεται μια διαταραχή H με στοιχεία πίνακα: Βρείτε τις πιθανότητες να βρεθεί το σύστημα στις καταστάσεις 1> και 2> α. Εφαρμόζοντας θεωρία διαταραχών σε 1 η τάξη β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger. Συγκρίνετε και σχολιάστε τα αποτελεσματα. α. Εφαρμόζοντας θεωρία διαταραχών σε 1 η τάξη έχουμε:

54 Άσκηση 2 α. Εφαρμόζοντας θεωρία διαταραχών σε 1 η τάξη έχουμε: Για να ισχύει η προσέγγιση θα πρέπει: β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger έχουμε:

55 Άσκηση 2 β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger έχουμε: Εξίσωση ιδιοτιμών: Οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις είναι: +10ξ Άρα για την κατάσταση ψ(t)> έχουμε: +10ο

56 Άσκηση 2 β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger έχουμε: Άρα για την κατάσταση ψ(t)> έχουμε: +10π Σε συμφωνία με την θεωρία διαταραχών που βρήκαμε: 0t 1 P t t sin 0 0 2

57 Άσκηση 3 3. Σωμάτιο με spin ½ και γυρομαγνητικό λόγο γ βρίσκεται σε σταθερό ομογενές μαγνητικό πεδίο Β=Β 0 k και το spin μεταπίπτει γύρω από το μαγνητικό πεδίο με συχνότητα ω 0 =γβ 0. Την t=0 δημιουργείται εγκάρσιο χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο ώστε το ολικό μαγνητικό πεδίο να είναι της μορφής: Α. Βρείτε τον πινακα Χαμιλτονιανής του συστήματος Β. Αν είναι η κατάσταση του συστήματος την στιγμή t δείξτε ότι όπου

58 Άσκηση 3 Γ. Δείξτε ότι όπου Δ. Αν δείξτε ότι η πιθανότητα μετάβασης σε spin κάτω είναι

59 Άσκηση 3 Α. Β. Γ. Με παραγώγιση της εξίσωσης για το b παίρνουμε

60 Άσκηση 3 Β. Γ. Με παραγώγιση της εξίσωσης για το b παίρνουμε Αντικαθιστούμε το Αντικαθιστούμε το α(t) στην αρχική εξίσωση Schrodinger

61 Άσκηση 3 Αντικαθιστούμε το Αντικαθιστούμε το α(t) από την αρχική εξίσωση Schrodinger

62 Άσκηση 3

63 Άσκηση 3 Οι οριακές συνθήκες είναι b(0)=b 0, a(0)=a 0. Άρα Η παράγωγος του b(t) στο t=0 προκύπτει από την εξίσωση Schrodinger:

64 Άσκηση 3 Οι οριακές συνθήκες είναι b(0)=b 0, a(0)=a 0. Άρα Η παράγωγος του b(t) στο t=0 προκύπτει από την εξίσωση Schrodinger: Άρα

65 Καμπύλη συντονισμού: Άσκηση 3

66 Άσκηση 3 Καμπύλη συντονισμού: Μέτρηση g από μετρούμενα ω 0 και Ω

67 Άσκηση 4 4. Άτομο υδρογόνου τοποθετείται σε χρονικά μεταβαλόμενο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε=Ε(t) k (στην διεύθυνση z). Υπολογίστε τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής Η 1 =e E(t) z μεταξύ της θεμελιώδους κατάστασης n=1 και της τετραπλά εκφυλισμένης n=2. Δείξτε ακόμα ότι H1ii = 0 για όλες τις αδιατάραχτες ιδιοκαταστάσεις n=1 και n=2. Από συμμετρία προκύπτει εύκολα ότι υπάρχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο πίνακα το

68 Άλυτες Ασκήσεις 1. Άτομο υδρογόνου τοποθετείται σε ηλεκτρικό πεδίο της μορφής E E tk ˆ Βρείτε τα 4 στοιχεία πίνακα H ij για την διαταραχή Η =-eez μεταξύ της βασικής κατάστασης (n=1) και της τετραπλά εκφυλισμένης 1 ης διεγερμένης κατάστασης. Δείξτε ακόμα ότι Η ii =0 για όλες τις παραπάνω 5 καταστάσεις. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε επιχειρήματα συμμετρίας για να δείξετε ότι σχεδόν όλα τα ολοκληρώματα μηδενίζονται) 2. Έστω διαταραχή της μορφής Η =U δ(t-t 0 ) με U aa =U bb =0 και U ab =a. Αν c a (- )=1 και c b (- )=0, βρείτε τα c a (t) και c b (t) και επαληθεύστε ότι Ποια είναι η πιθανότητα P a->b να γίνει μετάβαση; Απάντηση: 3. Λύστε το σύστημα: για την γενική περίπτωση c a (0)=α και c b (0)=b

69 Άλυτες Ασκήσεις 4. Λύστε επακριβώς το σύστημα: για χρονικά ανεξάρτητη διαταραχή που εμφανίζεται την t=0 με c a (0)=1 και c b (0)=0. Επαληθεύεστε ότι 5. Λύστε το σύστημα: σε 2 η τάξη θεωρίας διαταραχών για χρονικά ανεξάρτητη διαταραχή που εμφανίζεται την t=0 με c a (0)=1 και c b (0)=0. Συγκρίνετε με το ακριβές αποτέλεσμα της προηγούμενης άσκησης.

70 Άλυτες Ασκήσεις 6. Λύστε επακριβώς το σύστημα: για διαταραχή που εμφανίζεται την t=0 με c a (0)=1 και c b (0)=0. Θεωρείστε ερμητειανή διαταραχή Εκφράστε το αποτέλεσμα (c a (t), c b (t)) συναρτήσει της συχνότητας: Ποια είναι η πιθανότητα P a->b να γίνει μετάβαση; Δείξτε ότι η πιθανότητα αυτή αν ανάγεται στο αποτέλεσμα 1 ης τάξης θεωρίας διαταραχών για μικρή διαταραχή. Σε ποια χρονική στιγμή επιστρέφει το σύστημα στην αρχική του κατάσταση;

71 Άλυτες Ασκήσεις 7. Δείξτε ότι σε θερμοκρασία δωματίου Τ=300 ο Κ η θερμική διέγερση ανταγωνίζεται με την αυθόρμητη αποδιέγερση και η πρώτη κυριαρχεί σε συχνότητες κάτω από 5x10 12 Hz ενώ η δεύτερη κυριαρχεί σε συχνότητες πάνω από 5x10 12 Hz. Ποιος μηχανισμός κυριαρχεί για το ορατό φώς; 8. Ο χρόνος ημιζωής t 1/2 μιας διεγερμένης κατάστασης είναι ο χρόνος που χρειάζονται τα μισά από τα άτομα σε μεγάλο δείγμα να μεταβούν σε χαμηλότερη κατάσταση. Βρείτε βρείτε την σχέση μεταξύ χρόνου ζωής τ και χρόνου ημιζωής t 1/2. 9. Βρείτε τον χρόνο ζωής σε sec των τεσσάρων n=2 καταστάσεων του υδρογόνου. Υπόδειξη: Υπολογίστε τα στοιχεία πίνακα <100 x 200> όπου x=rsinθ cosφ κλπ. Απάντηση: 1.6x10-9 για όλες εκτος από την ψ200 που έχει άπειρο (σε 1 η ταξη) χρόνο ζωής. 10. Αποδείξτε την σχέση μετάθεσης Υπόδειξη: Πρώτα δείξτε ότι: και ότι:

72 Άλυτες Ασκήσεις 11. Ηλεκτρόνιο σε άτομο υδρογόνου βρίσκεται στην κατάσταση n=3, l=0, m=0 και αποδιεγείρεται στην βασική κατάσταση με ακολουθία μεταβάσεων. Α. Βρείτε τις δυνατές ακολουθίες με την μορφή Β. Τι ποσοστό ατόμων αποδιεγείρεται σε κάθε ακολουθία. Γ. Ποιός είναι ο χρόνος ζωής αυτής της κατάστασης;

73 Άλυτες Ασκήσεις 13. Θεωρείστε την θεωρία χρονικά εξαρτώμενων διαταραχών για σύστημα πολλών καταστάσεων με αδιατάραχτες εξισώσεις ορθογωνιότητα: Την στιγμή t=0 ενεργοποιούμε χρονικά εξαρτώμενη διαταραχή H (t) ώστε: οπότε η κυματοσυνάρτηση γράφεται: Α. Δείξτε ότι: όπου: Β. Αν το σύστημα ήταν αρχικά στην κατάσταση ψ Ν δείξτε ότι σε 1 η τάξη θεωρίας διαταραχών ισχύει ότι: Γ. Για χρονικά σταθερή διαταραχή H που εμφανίζεται μεταξύ των στιγμών 0 και t, δείξτε ότι η πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση N στην κατάσταση m είναι

74 Άλυτες Ασκήσεις Γ. Για χρονικά σταθερή διαταραχή H που εμφανίζεται μεταξύ των στιγμών 0 και t, δείξτε ότι η πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση N στην κατάσταση m είναι Δ. Για αρμονική διαταραχή H =V cosωt που εμφανίζεται μεταξύ των στιγμών 0 και t, δείξτε ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο σε καταστάσεις με ενέργεια E m =E N ±ћω και η πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση N στην κατάσταση m είναι Ε. Σύστημα πολλών καταστάσεων υφίσταται ασύμφωνη ακτινοβολία. Δείξτε ότι ο ρυθμός μετάβασης για εξαναγκασμένη εκπομπή δίνεται από την σχέση όπως και για σύστημα δύο καταστάσεων.

75 Τέλος Ενότητας

76 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

77 Σημειώματα

78 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

79 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος. «Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

80 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]