3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

Transcript

1 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1

2 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι συνδέεται στενά με την πιο «παράξενη» απ όλες τις κβαντικές συμπεριφορές της ύλης την αρχή του Pauli. Τα σωματίδια με ημιακέραιο σπιν συμπεριφέρονται με δραματικά διαφορετικό τρόπο απ ό,τι τα σωματίδια με ακέραιο σπιν. Και αυτή η διαφορά αποτελεί το θεμέλιο στήριγμα του κόσμου στον οποίο ζούμε. Για παράδειγμα η ύπαρξη ατομικών στιβάδων καθορισμένης χωρητικότητας σε ηλεκτρόνια, είναι μια προφανής εκδήλωση της απαγορευτικής αρχής του Pauli. Εντούτοις η συγκεκριμένη τιμή αυτής της χωρητικότητας δύο για τη στιβάδα με n = 1, οκτώ για τη στιβάδα με n = 2 κ.λπ. δεν μπορεί να εξηγηθεί παρά μόνο με την υπόθεση του ηλεκτρονιακού σπιν. Ότι δηλαδή το ηλεκτρόνιο είναι φορέας και μιας εσωτερικής στροφορμής με κβαντικό αριθμό s = 1/2 και επομένως με δύο δυνατές τιμές προβολής στον άξονα z : s z = /2 (σπιν πάνω) και s z = /2 (σπιν κάτω). Η διπλή χωρητικότητα της στιβάδας με n = 1 η οποία χωρίς το σπιν θα είχε μόνο μία «θέση» αφού για n = 1 είναι υποχρεωτικά l = 0 και m = 0 εξηγείται έτσι τελείως αβίαστα αφού το ηλεκτρόνιο έχει πλέον τη δυνατότητα να την εποικίσει με σπιν πάνω ή κάτω. Τα εμπειρικά πειστήρια Tο ηλεκτρονιακό σπιν με κβαντικό αριθμό s δεν είναι μια μεταβλητή ιδιότητα του ηλεκτρονίου όπως π.χ. η τροχιακή στροφορμή που μπορεί να «διεγερθεί» σε ψηλότερες τιμές ή να «αποδιεγερθεί» σε χαμηλότερες αλλά ένα πάγιο χαρακτηριστικό του, όπως είναι η μάζα ή το φορτίο του. Το ίδιο ισχύει και για όλα τα σωματίδια της φύσης. Το καθένα έχει μια συγκεκριμένη τιμή του κβαντικού αριθμού s (s = 0, s = 1, s = 1/2, s = 3/2 κ.λπ.). Το ποιό γνωστό πείραμα που αποδεικνύει την ύπαρξη του σπιν είναι εκείνο των Stern και Gerlach. Η βασική ιδέα του πειράματος είναι η εξής: Να στείλουμε μια δέσμη ατόμων υδρογόνου στη θεμελιώδη τους κατάσταση, να περάσει μέσα από ένα ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο και να μετρήσουμε τον αριθμό των συνιστωσών της δέσμης κατά την έξοδό της από τη συσκευή. 2

3 5 6 Μαθηματική περιγραφή: Διανύσματα σπιν Η μαθηματική περιγραφή του σπιν θα βασιστεί στην αλγεβρική θεωρία αφού το σπιν είναι και αυτό στροφορμή με μόνο διακριτικό γνώρισμα τις ημιακέραιες τιμές των σχετικών κβαντικών αριθμών και ότι το μέτρο του σπιν είναι σταθερό. Η θεωρία για το σπιν λοιπον θα βασιστεί μόνο στις μεταθετικές σχέσεις μεταξύ των συνιστωσών του διανύσματος s, δηλαδή τις σε συνδυασμό με τη συνθήκη η δράση των τελεστών s x, s y, s z ή s 2, πάνω στις ιδιοκαταστάσεις sμ> του σπιν, θα περιγράφεται από τις εξισώσεις ιδιοτιμών ( = 1) ενώ για τους τελεστές αναβίβασης και καταβίβασης και θα είναι Αν περιοριστούμε τώρα στην περίπτωση των σωματιδίων με s = 1/2 Τα διανύσματα αυτά αποτελούν μια ορθομοναδιαία βάση ενός διδιάστατου διανυσματικού χώρου που περιλαμβάνει όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς της μορφής Με πιθανότητες 3

4 7 8 Θα ισχύουν οι σχέσεις και δηλαδή προβολές του καταστασιακού διανύσματος ψ > πάνω στα διανύσματα της βάσης + > και > Μπορούμε, αντί αφηρημένων διανυσμάτων, να χρησιμοποιήσουμε για την περιγραφή των καταστάσεων του σπιν τα συγκεκριμένα διανύσματα στήλης Και οι αντίστοιχες μήτρες s x και s y και 4

5 9 10 Μήτρες του Pauli Για τον τελεστή s z η αναπαράσταση του υπό μορφή μήτρας 2 2 είναι πολύ απλή. Αφού ως βάση στο χώρο έχουν επιλεγεί τα ιδιοδιανύσματά του, + > και >, τότε η σχετική μήτρα θα είναι διαγώνια με στοιχεία επί της διαγωνίου τις ιδιοτιμές της: Για τις μήτρες s x και s y ( = 1) 5

6 11 12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Υπολογίστε τις μέσες τιμές των συνιστωσών του σπιν στην τυχούσα κατάσταση σπιν που περιγράφεται από το διάνυσμα Λύση: Γενικά ισχύει ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Κατασκευάστε τις μήτρες του σπιν που αντιστοιχούν σε σωματίδια με s = 1. Λύση: Θα δράσουμε με τον τελεστή s + πάνω στα βασικά διανύσματα + >, 0 > και > και θα γράψουμε τις στήλες των διανυσμάτων που προκύπτουν ως διαδοχικές στήλες μιας μήτρας. Η μήτρα s z θα έχει τη διαγώνια μορφή (με = 1) με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές της (+1, 0 και 1). 6

7 13 οπότε και 14 Πρόσθεση στροφορμών 7

8 15 16 Οι ιδιοτιμές της ολικής στροφορμής Οι μορφές στροφορμής που υπάρχουν στη φύση είναι λοιπόν δυο: η τροχιακή στροφορμή και το σπιν και προκειμένου να υπολογιστεί η ολική στροφορμή ενός φυσικού συστήματος (π.χ. ένα άτομο) θα πρέπει να προσθέσουμε τις δυο στροφορμές. Τα l και s είναι δυο τυχούσες κβαντικές στροφορμές που υπόκεινται στις σχέσεις μεταθέσεως (με = 1) Για δεδομένα l και s το j παίρνει όλες τις τιμές από l s έως l+s προχωρώντας με βήμα μονάδα. Είναι δηλαδή 8

9 17 18 Οι ιδιοκαταστάσεις της ολικής στροφορμής Οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις θα κατασκευαστούν ως κατάλληλοι συνδυασμοί των ιδιοκαταστάσεων των προστιθέμενων στροφορμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Υπολογίστε τις καταστάσεις καθορισμένης ολικής στροφορμής ενός ατόμου υδρογόνου στη διεγερμένη κατάσταση 2p. Λύση: Με l = 1 και s = 1/2 οι δυνατές τιμές του κβαντικού αριθμού j της ολικής στροφορμής j = l + s του ατόμου θα είναι 9

10

11 22 21 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ένα ηλεκτρόνιο με s=1/2 βρίσκεται στην κατάσταση Δείξτε ότι <s x s y >=0. Δουλέψτε με ( =1) Δίνονται: 2. Βρείτε τους μεταθέτες και. Δίνονται: 11

12 23 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3. Ένα ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου βρίσκεται στην κατάσταση Ψ r, θ, φ = R Y Y 11 α) Ποιές οι τιμές του l 2 και οι αντίστοιχες πιθανότητες τους β) Αντίστοιχα για το l z γ) Αντίστοιχα για το s 2 δ) Αντίστοιχα για το s z ε) Αντίστοιχα για το j 2 ζ) Αντίστοιχα για το j z η) Ποιά η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε μια τυχαία θέση r, θ, φ; Δουλέψτε με ( =1) Δίνονται: 12