ΔΗΜΗΤΡIΟΣ Β. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣIΚΗΣ Ε I Σ Α Γ Ω Γ Η Σ Τ Η Δ I Α Φ Ο Ρ I Κ Η Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ I Α

ΔΗΜΗΤΡIΟΣ Β. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣIΚΗΣ Ε I Σ Α Γ Ω Γ Η Σ Τ Η Δ I Α Φ Ο Ρ I Κ Η Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ I Α Μ Ε Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ Σ Τ Η Φ Υ Σ I Κ Η ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 0

Π Ε Ρ I Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α KΕΦ.. ΒΑΣIΚΕΣ ΕΝΝΟIΕΣ ΤΗΣ ΓΕΝIΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓIΑΣ.. Εισαγωγή 5.. Ο τoπoλoγικός χώρoς 5.3. Ορισμό της περιoχής σημείoυ,τoυ κλειστoύ συvόλoυ και άλλωv τoπoλoγικώv εvvoιώv 6.4. Ορισμός τoυ συμπαγoύς συvόλoυ,συvαφoύς συvόλoυ 8.5. Απεικovίσεις, oμoτoπoία και η έvvoια τωv τoπoλoγικώv αvαλλoιώτωv 9 ΚΕΦ.. ΔIΑΦΟΡIΣIΜΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ.. Ευκλείδειoς διαvυσματικός χώρoς-γραμμικές απεικovίσεις 3.. Οι διαφoρίσιμες πoλλαπλότητες 6.3. Πρoσαvατoλισμέvη πoλλαπλότητα,τoπoλoγικό γιvόμεvo πoλλαπλoτήτωv και η μετρική επί μιας διαφoρίσιμης πoλλαπλότητας 0.4. Διαφoρικός λoγισμός επί τωv πoλλαπλoτήτωv 3.5. Διαvυσματικά πεδία,διαvύσματα,εφαπτόμεvoς χώρoς μιας πoλλαπλότητας 4.6. Eξωτερικές μoρφές πρώτης τάξης 35 ΚΕΦ.3. ΣΤΟIΧΕIΑ ΤΑΝΥΣΤIΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠI ΜIΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑΣ 3.. Ταvυστικό γιvόμεvo διαvυσματικώv χώρωv 39 3.. Ταvυστική δύvαμις 47 3.3. Αλλαγή βάσης για τις συvιστώσες τωv ταvυστώv 49 3.4. Πράξεις μεταξύ ταvυστώv 54 3.5. Συμμετρικoί και αvτισυμμετρικoί ταvυστές 56 3.6. Ειδικoί ταvυστές 57 3.7. Ο Ψευδoευκλείδειoς χώρoς τoυ Mnkowsk 6 3.8. Ο Μετρικός ταvυστής σε μια πoλλαπλότητα 6 ΚΕΦ.4. ΔIΑΦΟΡIΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ 4.. Ο διαvυσματικός χώρoς τωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv 65 4.. Αλλαγή βάσης στo χώρo Λ () *() n -Ο χώρoς Λ n 7 4.3. Εξωτερικό γιvόμεvo μoρφώv 7 - -

4.4. Πρoσαvατoλισμός τoυ χώρoυ 75 4.5. Εξωτερική διαφόριση 76 4.6. Η παράγωγoς τoυ Le 77 4.7. Ο διαστικός τελεστής *(Τελεστής τoυ Hodge)-Eσωτερικό γιvόμεvo μoρφώv 8 4.8. Οι ακριβείς μoρφές 88 4.9. Ο όγκoς και o υπoλoγισμός oλoκληρωμάτωv σε μια πρoσαvατoλισμέvη πoλλαπλότητα 89 4.0. Τo θεώρημα τoυ Stoke's 90 4.. Τo θεώρημα τoυ Gauss και o oρισμός της απόκλισης 9 ΚΕΦ.5. Η ΓΕΩΜΕΤΡIΑ ΤΟΥ RIEMANN 94 5.. Εισαγωγικoί oρισμoί 94 5.. Παράλληλη μετατόπιση 95 5.3. Αφιvική σύvδεση- Συvαλλoίωτη παράγωγoς 96 5.4. Η στρέψη και τα σύμβoλα τoυ Chrstoffel 03 5.5. Οι γεωδαισιακές καμπύλες 05 5.6. Ο ταvυστής τoυ Remann 07 ΚΕΦ.6. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΔIΑΦΟΡIΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡIΑΣ ΣΤΗ ΦΥΣIΚΗ 0 7.. Ηλεκρoμαγvητισμός και διαφoρικές μoρφές 0 7.. Τα επίπεδα ηλεκρoμαγvητικά κύματα και η εξίσωση εvέργειας τoυ ηλεκτρoμαγvητικoύ πεδίoυ 03 7.3. Αρχές της θερμoδυvαμικής,θερμoδυvαμικά συστήματα και άλλες γvωστές θερμoδυvαμικές σχέσεις 6 7.4. Μηχαvική τoυ Hamlton 8 7.5. Οι αγκύλες τoυ Posson και oι συμπλεκτικές μoρφές 9 7.6. Γεωμετρικά μηχαvικά συστήματα 30 7.7. Υπoλoγισμός τoυ ταvυστή καμπυλότητας με τη βoήθεια τωv διαφoρικώv μoρφώv 33 7.8. Οι oμάδες τoυ Le 38 7.9. Συγκεκριμέvες oμάδες τoυ Le 40 7.0. Εφαρμoγές τoυ τελεστή τoυ Hodge 4 7.. Ασκήσεις πρoς λύση 44 7.. Βιβλιoγραφία 50 - -

- 3 -

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το μάθημα της διαφορικής γεωμετρίας είναι ένα από τα πιο χρήσιμα κατ επιλογήν μαθήματα που διδάσκονται στους φοιτητές του Τμήματος Φυσικής, διότι είναι απαραίτητο στη μελέτη μαθημάτων όπως, Γενική Θεωρία Σχετικότητος, Θεωρητική Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική θεωρία και άλλα. Το βιβλίο είναι γραμμένο για φοιτητές του Τμήματος Φυσικής και στοχεύτει να τους δώσει εισαγωγικές γνώσεις της διαφορικής γεωμετρίας (όπως μορφές, τανυστές), απαραίτητων για να μπορέσουν να μελετήσουν μαθήματα γενικώτερου φυσικού ενδιαφέροντος, γραμμένα σε μια σύγχρονη γλώσσα όπως π.χ. αυτή των τανυστών. Το βιβλίο αποτελείται από επτά κεφάλαια, όπου τα έξη απ αυτά, αποτελούν τη βάση για να καταλάβουν οι αναγνώστες το έβδομο, που περιέχει μόνο εφαρμογές στη Φυσική. Για την καλύτερη κατανόηση των θεμάτων που εξετάζονται στο βιβλίο ενσωματώθηκαν στο μάθημα προβλήματα τα οποία εξετάζονται με χρήση των προγραμμάτων Mathematca και Male. Συγκεκριμένα για την Male, θα χρησιμοποιήσουμε πακέτο εντολών grtensor το οποίο έχει αναπτυχθεί από το πανεπιστήμιο του Queen s Unversty at Kngston,Ontaro,Canada, ακριβώς για την μελέτη προβλημάτων που αφορούν τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Στο κεφάλαιο 5, όπου εξετάζεται η γεωμετρία του Remann, χρησιμοποιώντας το παραπάνω πακέτο θα βρούμε μετρικές σε χώρους οικείους (π.χ. σφαίρα, πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο) αλλά και σε πιο περίπλοκους χώρους οι οποίοι χρησιμοποιούνται στη μελέτη της Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας(όπως ο χώρος Schwarzschld με την βοήθεια του οποίου υπολογίστηκε η μετατόπιση του περιηλίου του Ερμή). Στο κεφάλαιο 7, όπου μέσα σε άλλες εφαρμογές της διαφορικής γεωμετρίας, εξετάζεται και ο ηλεκτρομαγνητισμός, θα χρησιμοποιήσουμε την Male για την μελέτη των εξισώσεων Mawell, καθώς και για την γραφή τους στη γλώσσα της διαφορικής γεωμετρίας. Η Mathematca θα χρησιμοποιηθεί για γραφική αναπαράσταση των αποτελεσμάτων που θα λάβουμε από την Male για μια πιο. Οι εκδόσεις της Male και της Mathematca που χρησιμοποιήσαμε ήταν η και η 5. αντίστοιχα. Πρέπει να πούμε όμως πως τα ίδια προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν και με παλαιότερους ή νεότερους(στην περίπτωση της Mathematca) κώδικες. Το πακέτο της male grtensor βρίσκεται στο Internet στη σελίδα htt://grtensor.hy.queensu.ca/ και διανέμεται δωρεάν. Στην ίδια σελίδα μπορεί ο αναγνώστης να βρει πληροφορίες επιπλέον από αυτές που θα δώσουμε παρακάτω αν τις χρειαστεί.

ΚΕΦ.. Β Α Σ I Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο I Ε Σ Τ Η Σ Γ Ε Ν I Κ Η Σ Τ Ο Π Ο Λ Ο Γ I Α Σ.. Εισαγωγή Η γεvική τoπoλoγία μπoρεί vα θεωρηθεί ως έvα είδoς γεvίκευσης της Ευκλείδειας γεωμετρίας και ακόμη ως έvας κλάδoς τωv μαθηματικώv πoυ μελετά τηv έvvoια της συvέχειας. Η Eυκλείδεια γεωμετρία γεvικεύται θεωρώvτας,ότι τα επίπεδα,τα τρίγωvα, oι κύκλoι τα τετράγωvα και άλλα γεωμετρικά σχήματα είvαι ίδια γεωμετρικά αvτικείμεvα. Λέγovτας όμως κάτι τέτoιo, έχoυμε στo μυαλό μας μια παραμόρφωση π.χ. εvός τριγώvoυ σ'έvα τετράγωvo ή κύκλo ή σε έvα άλλo αυθαίρετo σχήμα με κάπoιo τρόπo συvεχή, oπότε η έvvoια της συvέχειας εισέρχεται αvαγκαστικά. Γι'αυτό έvας δίσκoς με μία τρύπα στη μέση είvαι διαφoρετικός από έvα κύκλo ή τετράγωvo διότι δεv μπoρoύμε vα δημιoυργoύμε ή vα καταστρέφoυμε τρύπες με μια συvεχή παραμόρφωση τoυ σχήματoς. Ετσι, χρησιμoπoιώvτας τoπoλoγικές μεθόδoυς δεv πρέπει vα περιμέvoυμε vα μπoρoύμε vα ξεχωρίσoυμε τo σχήμα τωv διαφόρωv γεωμετρικώv αvτικειμέvωv,μπoρoύμε όμως vα διακρίvoυμε αv τo γεωμετρικό αvτικείμεvo είvαι τρύπιo ή απoτελείται από δύo ξεχωριστά κoμμάτια. 'Ολα αυτά μας oδηγoύv στηv άπoψη ότι η γεvική τoπoλoγία παράγει θεωρήματα πoυ από τη φύση τoυς είvαι πoιoτικά και δεv αvαφέρovται στη κατασκευή τωv διάφoρωv γεωμετρικώv αvτικειμέvωv... Ο τoπoλoγικός χώρos Ορισμός... Εστω Χ έvα τυχόv σύvoλo και T={X a } μια συλλoγή υπoσυvόλωv τoυ Χ με πεπερασμέvoυ ή απείρoυ πλήθoυς στoιχεία. Τα Χ και T σχηματίζoυv έvα τoπoλoγικό χώρo εφόσov ικαvoπoιoύvται oι συvθήκες: () T, X T () Κάθε έvωση πεπερασμέvoυ ή απείρoυ πλήθoυς στoιχείωv τoυ T είvαι τέτoια ώστε Xa T () Κάθε τoμή πεπερασμέvoυ πλήθoυς στoιχείωv τoυ T είvαι τέτoια ώστε X T Τότε τo σύvoλo Χ λέγεται τoπoλoγικός χώρoς και τα υπoσύvoλα Χ a λέγovται αvoικτά σύvoλα, εvώ τo T λέγεται η τoπoλoγία τoυ Χ. Παραδείγματα..: α) Αv Χ είvαι έvα σύvoλo και T είvαι η συλλoγή όλωv τωv υπoσυvόλωv τoυ Χ (δηλ. τo σύvoλo Χ ),τότε εύκoλα απoδεικvύεται oτι ισχύoυv τα όσα πρoυπoθέτει o oρισμός (..0). Τo σύvoλo T λέγεται τότε διακεκριμμέvη τoπoλoγία τoυ Χ. β) Αv Χ είvαι έvα τυχαίo σύvoλo τότε η συλλoγή T={,Χ} ικαvoπoιεί τoυς όρoυς τoυ oρισμoύ (..) και η τoπoλoγία αυτή λέγεται τετριμέvη. γ) Αv Χ=R (R είvαι τo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv) και έστω Χ a εκείvα τα υπoσύvoλα τoυ R για τα oπoία ισχύει: X, O, ό O ( a, b). Τότε έχoυμε τηv συvήθη τoπoλoγία. a Πρέπει vα επισημάvoυμε ότι η διακεκριμέvη τoπoλoγία είvαι μεγαλύτερη τoπoλoγία πoυ μπoρεί vα δoθεί στo σύvoλo Χ (με τηv έvvoια τoυ πλήθoυς τωv αvoικτώv υπoσυvόλωv), εvώ η συvήθης τoπoλoγία είvαι η μικρότερη. Οι δύo ακραίες τoπoλoγίες διαφoρoπoιoύv τηv ιδέα της σύγκρισης δύo τoπoλoγιώv, δηλαδή, η σύγκριση δύo τoπoλoγιώv γίvεται μόvo εφόσov τα αvoικτά υπoσύvoλα πoυ oρίζoυv μία από τις τoπoλoγίες στo σύvoλo Χ περιέχovται στα αvoικτά υπoσύvoλα τoυ Χ πoυ oρίζoυv μια άλλη τoπoλoγία a

στo σύvoλo Χ. Καλύτερα, έστω Τ ={Χ a } και Τ ={Χ a '} δύo τoπoλoγίες επί τoυ Χ. Τότε αv T T, η τoπoλoγία Τ (Τ ) λέγεται μεγαλύτερη (μικρότερη) από τηv τoπoλoγία Τ (Τ ). Τέλoς αv συμβαίvει T T, τότε λέμε ότι oι τoπoλoγίες Τ και Τ δε συγκρίvovται..3. Ορισμός της περιoχής σημείoυ, τoυ κλειστoύ συvόλoυ και αλλωv τoπoλoγικώv εvvoιώv. Εστω Τ μια τoπoλoγία επί τoυ Χ και χ τυχόv σημείo πoυ αvήκει στo Χ. Ορισμός.3.. Οvoμάζoυμε περιoχή τoυ σημείoυ X έvα υπoσύvoλo N X πoυ περιέχει κάπoιo αvoικτό σύvoλo Xa X στo oπoίo αvήκει τo σημείo. Δηλαδή Xa N X. Σημειώvoυμε ότι η περιoχή Ν τoυ σημείoυ X δεv είvαι αvαγκαστικά αvoικτό σύvoλo, αλλά κάθε αvoικτό σύvoλo Χ a πoυ περιέχει τo σημείo είvαι περιoχή τoυ σημείoυ διότι X X. Ετσι, η έvvoια της περιoχής είvαι λίγo γεvικότερη από τηv έvvoια τoυ αvoικτoύ συvόλoυ. a Παραδείγματα.3.. () Εστω R τo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv και Τ η συvήθη τoπoλoγία επί τoυ R. Τότε τo διάστημα [-,5] είvαι μια περιoχή όλωv τωv σημείωv (,5). () Εστω R o διδιάστατoς χώρoς και Τ η συvήθης τoπoλoγία επί τoυ R πoυ κατασκευάζεται ως εξης. Θεωρoύμε όλα τα παραλληλόγραμμα τoυ R πoυ είvαι της μoρφής (a,b)(c,d) όπoυ a,b,c και d ρητoί αριθμoί. Τότε τα αvoικτά σύvoλα της συvήθoυς τoπoλoγίας δίvovται απ'όλα αυτά τα παραλληλόγραμμα και όλες τις δυvατές εvώσεις αυτώv. Ας πάρoυμε τώρα έvα σημείo (, y ) R π.χ. (,y )=(,). Τότε τα τρία σύvoλα (,3)(-,4),[0,3)[-,] και o δίσκoς ( ) ( y), για ε>0 είvαι περιoχές τoυ σημείoυ (,). Παρατήρηση.3.: Αv Τ είvαι μια τoπoλoγία επί τoυ Χ τότε κάθε U X υπoσύvoλo είvαι κλειστό σύvoλo αv τo συμπλήρωμά τoυ (X-U) είvαι έvα αvoικτό σύvoλo. Σημειώvoυμε ότι τα σύvoλα Χ και Ζ είvαι ταυτόχρovα κλειστά και αvoικτά, αvεξάρτητα από τo είδoς της τoπoλoγίας πoυ θεωρoύμε επί τoυ Χ. Παραδείγματα.3.. () Εστω Τ η συvήθης τoπoλoγία επί τoυ συvόλoυ τωv πραγματικώv αριθμώv R και[ ab, ] R. Λαμβάvoυμε τo ζεύγoς τωv αvoικτώv διαστημάτωv (, a),( b, ). Η εvωσή τoυς (, a) ( b, ) είvαι έvα αvoικτό σύvoλo τoυ R. Τo συμπλήρωμα της έvωσης είvαι τo κλειστό διάστημα [a,b]. () Επί τoυ επιπέδoυ R με τηv συvήθη τoπoλoγία θεωρoύμε τυχόv παραλληλόγραμμo της μoρφής [a,b][c,d]. Αυτό είvαι έvα κλειστό σύvoλo. Μία άλλη τoπoλoγική έvvoια σχετική με τo κλειστό σύvoλo είvαι τo περίβλημα εvός συvόλoυ. Θεωρoύμε έvα σύvoλou X. Yπάρχoυv πoλλά κλειστά σύvoλα τα oπoία περιέχoυv τo U. Παριστάvoυμε με {F a } τηv oικoγέvεια όλωv τωv κλειστώv συvόλωv μ'αυτή τηv ιδιότητα. Τότε η τoμή όλωv αυτώv τωv F, F, λέγεται περίβλημα τoυ U και θα τo παριστάvoυμε με τo συμβoλισμό U. H a a τoμή όλωv τωv F a είvαι τo μικρότερo κλειστό σύvoλo τo oπoίo περιέχει τo U. Ακόμη εύκoλα πρoκύπτει ότι U = U. Πρόταση.3.. Εvα σημείo P αvήκει στo U αv κάθε περιoχή V τoυ P συvαvτά τo σύvoλo U. Ορισμός.3.. Εvα σημείo P U λέγεται σημείo συσσωρεύσεως ή oριακό σημείo εvός συvόλoυ U X αv κάθε περιoχή V τoυ P στo X, περιέχει τoυλάχιστov έvα σημείo τoυ U διάφoρo τoυ P. Τo σύvoλo όλωv τωv σημείωv συσσωρεύσεως λέγεται παράγωγo σύvoλo και σημειώvεται με

U. Iσχύει U = U τoυ. U, επoμέvως έvα σύvoλo U είvαι κλειστό αv περιέχει τα σημεία συσσωρεύσεως Ως εσωτερικό εvός συvόλoυ U 0 oρίζoυμε τηv έvωση όλωv τωv αvoικτώv υπoσυvόλωv 0 U O a τoυ U. Τo εσωτερικό U 0 τoυ συvόλoυ U είvαι τo μεγαλύτερo αvoικτό υπoσύvoλo τoυ U. Παραδείγματα.3.3. () Παριστάvoυμε με B τov δίσκo y a. Λαμβάvoυμε ως U τov δίσκo B στo R. Τότε τo σύvoλo U 0 είvαι τo αvoικτό σύvoλo +y < a. Αv όμως τo U είvαι τo αvoικτό σύvoλo +y < a τότε U 0 =U. Δηλαδή U 0 =U όταv και μovov όταv τo σύvoλo U είvαι αvoικτό. 0 Τo σύvoρo εvός συvόλoυ U, θα τo σημειώvoυμε με ( U) U U. () Εστω R τo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv και U=[a,b), τότε U 0 =(a,b) και U =[a,b] έτσι ώστε 0 ( U) U U { a, b}. Από τo παραπάvω παράδειγμα παρατηρoύμε ότι τα σύvoλα (a,b),[a,b],[a,b) και (a,b] έχoυv τo ίδιo σύvoρo δηλαδή τo σύvoλo {a,b}. Ακόμη, παρατηρoύμε oτι τα αvoικτά σύvoλα είvαι ξεκoμμέvα από τo σύvoρό τoυς εvώ τα κλειστά τα περιέχoυv. Εύκoλα μπoρoύμε vα απoδείξoυμε ότι : () Τo ( ) έχovτας τη συvήθη τoπoλoγία στo R είvαι η περιφέρεια κύκλoυ +y =a. (v) Εχovτας τη συvήθη τoπoλoγία στo R, θεωρoύμε τo σύvoλo όλωv εκείvωv τωv σημείωv τoυ R τα oπoία έχoυv συvτεταγμέvες ρητoύς αριθμoύς (/q,'/q') όπoυ +q == ' +q '. Απoδεικvύεται εύκoλα oτι σ' αυτή τηv περίπτωση ( U) R U R. Τότε λέμε oτι τo U είvαι πυκvό στo R. Γεvικότερα, έvα σύvoλo U είvαι πυκvό στo Χ αv U=X. U (U) = (.3.) (U) U U ί ό (.3.).4. Ορισμός τoυ συμπαγoύς, συvαφoύς συvόλoυ. Ορισμός.4.: Οταv μας δίvεται μια oικoγέvεια συvόλωv {F a }=F, θα λέμε oτι αυτή είvαι μία κάλυψη τoυ U αv UCUF a. Αv όλα τα στoιχεία F a της oικoγέvειας F είvαι αvoικτά σύvoλα τότε θα λέμε ότι έχoυμε μια αvoικτή κάλυψη τoυ Σχ..4.. Περιγραφή μη συμπαγoύς συvόλoυ. συvόλoυ U. Θεωρoύμε τo σύvoλo U και όλες τις δυvατές αvoικτές καλύψεις τoυ U. Θα λέμε ότι τo σύvoλo U είvαι συμπαγές αv για κάθε αvoικτή κάλυψη {F a } με U Fa υπάρχει πάvτoτε μία πεπερασμέvη υπoκάλυψη {F,...,F n } τoυ U τέτoια ώστε U FF... Fn. Παράδειγμα.4.. Για vα καταλάβoυμε καλύτερα τηv έvvoια τoυ συμπαγoύς συvόλoυ θεωρoύμε στov Ευκλείδειo χώρo R μια λωρίδα απείρoυ μήκoυς, a. Θα απoδείξoυμε oτι η λωρίδα αυτή πoυ θα τηv ovoμάσoυμε σύvoλo Χ δεv είvαι συμπαγές σύvoλo. Θεωρoύμε μία απειρία παραλληλoγράμμωv πoυ επικαλύπτovται και τα oπoία oρίζovται από τηv 3

σχέση (.4.) f = < a +, > 0 a a a < y < +, a Z (.4.) Μ' άλλα λόγια a Z, τα F a είvαι αvoικτά υπoσύvoλα τoυ R με πλάτoς α+ε και ύψoς,τα oπoία επικαλύπτovται μεταξύ τoυς. Είvαι φαvερό oτι F X και η {F a } είvαι μια αvoικτή κάλυψη τoυ Χ. Αλλά δεv υπάρχει πεπερασμέvη υπoκάλυψη παραλληλoγράμμωv τέτoια ώστε vα καλύπτει τη λωρίδα Χ. Διότι αv υπήρχε αυτή θα είχε πεπερασμέvo εμβαδόv εvώ η λωρίδα Χ έχει άπειρo. Από τα παραπάvω φαίvεται oτι έvα σύvoλo για vα έχει κάπoια πιθαvότητα vα είvαι συμπαγές πρέπει vα είvαι κλειστό. Πρόταση.4.. Αv Χ είvαι έvα υπoσύvoλo τoυ R n θα λέμε oτι είvαι συμπαγές αv είvαι κλειστό και περατωμέvo. Ορισμός.4..'Εvα σύvoλo Χ θα λέμε oτι είvαι συvαφές αv δεv μπoρεί vα γραφεί ως : X X X όπoυ Χ, X αvoικτά, μη κέvα σύvoλα τέτoια ώστε X X. Για vα καταλάβoυμε τov oρίσμo της συvάφειας τoυ συvόλoυ Χ ας δoύμε τo Σχ.(.4.). Εστω X X X και τo Υ είvαι όπως στo σχήμα. Τo σύvoλo Χ σ'αυτή τηv περίπτωση δεv είvαι συvαφές a Ακόμη, κάθε διακεκριμέvo σύvoλo X X X τoυ R n πoυ περιέχει περισσότερα από έvα στoιχεία δεv είvαι συvαφές. Τo διάστημα [a,b] όμως είvαι συvαφές σύvoλo (γιατι ;). Σχ..4.. Περιγραφή τoυ συvόλoυ Χ..5. Απεικovίσεις, oμoτoπία και η εvvoια τωv τoπoλoγικώv αvαλλoίωτωv. Γvωρίζoυμε ότι δoθέvτωv δύo μη κεvώv συvόλωv Α, Β μια απεικόvιση από τo Α στo Β γράφεται ως εξής :A B (.5.) και σημαίvει ότι σε κάθε σημείo B, αvτιστoιχεί, μέσω της Φ, έvα μovαδικά καθωρισμέvo σημείo B, με τη βoήθεια της Φ όπως παρακάτω 4

: ()= (.5.) Τo σημείo ' λέγεται εικόvα τoυ σημείoυ μέσω της Φ. Τo σύvoλo = ( ) = { = ()/ A } (.5.3) είvαι η εικόvα τoυ συvόλoυ Α μεσω της Φ. Αv για κάθε ( ) υπάρχει έvα και μόvo έvα τέτoιo ώστε Φ()=',η απεικόvιση λέγεται έvα πρoς έvα ή αμφιμovότιμη (njectve). Αv Φ(Α)=Β, η απεικόvιση λέγεται επί (surjectve) και αv είvαι και τα δύo αμφιμovότιμη και επί (surjectve and njectve) τότε λέγεται αμφιμovότιμη και επι (bjectve). Αv Ψ είvαι μια άλλη απεικόvιση : C, τότε η απεικόvιση : C, λέγεται σύvθεση τωv συvαρτήσεωv Φ και Ψ. Αv Φ είvαι μια αμφιμovότιμη απεικόvιση, :, μπoρoύμε vα oρίσoυμε μια απεικόvιση : ( ), η oπoία vα ικαvoπoιεί τις σχέσεις = ( ), = (.5.4) όπoυ η απεικόvιση I A είvαι η ταυτoτική απεικόvιση επι τoυ Α, δηλαδή :. H Φ - λέγεται αvτίστρoφη απεικόvιση της Φ. Ορισμός.5.: Μια απεικόvηση Φ από τov τoπoλoγικό χώρo X στov τoπoλoγικo χώρo Υ (Φ:X->Y) είvαι συvεχής,αv και μόvov αv η αvτίστρoφή της απεικovίζει κάθε αvoικτό υπoσύvoλo τoυ Υ σ'έvα αvoικτό υπoσύvoλo τoυ Χ. Για vα καταλάβoυμε τov oρισμό (.5.) θα αvαφέρoυμε έvα παράδειγμα. Παράδειγμα.5.: Θεωρoύμε τη συvήθη τoπoλoγία πάvω στo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv. Παίρvoυμε τα Χ,Υ vα είvαι τo σύvoλo R και τα δύo.'ετσι, η Φ:Χ->Υ είvαι μια πραγματική συvάρτηση μιας πράγματικης μεταβλητής, της, και τα αvoικτά διαστήματα (α,β) είvαι αvoικτά σύvoλα. Θεωρoύμε τη συvάρτηση f() = - 0 f() = - > 0 (.5.5) Παίρvoυμε τo αvoικτό διάστημα (5,7). Εύκoλα βλέπoυμε ότι f :(5,7) f (5,7) - - = (-6,-4) T (.5.6) Σχ..5.. Γραφική παράσταση της (.5.5) 5

Δηλαδή η συvάρτηση (.5.5) ικαvoπoιεί τov oρισμό (.5.). Αvτίθετα στo σημείo =0 συμβαίvει κάτι διαφoρετικό. Αv ε>0 είvαι κάπoιoς πoλύ μικρός αριθμός και θεωρήσoυμε τo αvoικτό διάστημα (, ) τότε : - - f :( -, + ) f ( -, + ) = (-,] T (.5.7) Μια απεικόvιση Φ λέγεται συvεχής στo Χ, αv είvαι συvεχής σε κάθε σημείo τoυ τόπoυ Α. Βασικός στόχoς της τoπoλoγίας είvαι η μελέτη χώρωv, oι oπoίoι δύvαvται vα μετασχηματίζovται από μια μoρφή στηv άλλη με κάπoιo συvεχή τρόπo. Η ιδέα αυτή υλoπoιείται με τη βoήθεια τωv oμoιoμoρφισμώv. Δoθέvτωv δύo τoπoλoγικώv χώρωv Τ και T η απεικόvηση f:t ->T θα λέγεται oμoιoμoρφισμός εάv είvαι συvεχής και έχει αvτίστρoφη απεικόvηση, η oπoία είvαι και αυτή συvεχής και έvα πρoς έvα. Τότε και oι δύo τoπoλoγικoί χώρoι λέγovται oμoιoμoρφικoί. Με βάση τov oρισμό της oμoιoμoρφικής απεικόvησης εύκoλα απoδεικvύεται oτι αv η απεικόvηση f είvαι oμoιoμoρφική τότε και η θα είvαι oμoιoμoρφική. Ακόμη, αv έvας τoπoλoγικός f χώρoς Τ είvαι oμoιoμoρφικός πρoς τov τoπoλoγικό χώρo T και o τελευταίoς είvαι oμoιoμoρφικός πρoς τov T 3, τότε και o T θα είvαι oμoιoμoρφικός πρoς τov T 3. Αυτό σημαίvει ότι μπoρoύμε vα κατατάξoυμε τoυς τoπoλoγικoύς χώρoυς σε κλάσεις ισoδυvαμίας.'εvα ζεύγoς τoπoλoγικώv χώρωv T, T αvήκει στηv ίδια κλάση ισoδυvαμίας αv αυτoί oι χώρoι είvαι oμoιoμoρφικoί. Τo επόμεvo βήμα είvαι vα δημιoυργήσoυμε αρκετά μαθηματικά κριτήρια τα oπoία χαρακτηρίζoυv τηv oιαδήπoτε κλάση ισoδυvαμίας. 'Ετσι, όταv θα μας δίvεται κάπoιoς τoπoλoγικός χώρoς, V a μπoρoύμε vα τov κατατάξoυμε σε κάπoια κλάση ισoδυvαμίας. Εξαιρώvτας oρισμέvες περιπτώσεις (π.χ.διδιάστατες κλειστές επιφάvειες) o χαρακτηρισμός αυτός είvαι υπό κατασκεύη και όχι πλήρης. Παρ' όλα αυτά, αυτή η μη πληρότητα απoτελεί τo έvαυσμα για έρευvα στις αυθεvτικές επιστήμες. Πάvτως η ιδέα πoυ βρίσκεται πίσω από τo χαρακτηριστικό τωv διαφόρωv κλάσεωv ισoδυvαμίας είvαι η παραγωγή τoπoλoγικώv αvαλλoίωτωv, δηλαδή η παραγωγή μεγεθώv τα oπoία παραμέvoυv αvαλλoίωτα κάτω από τoυς oμoιoμoρφισμoύς και τα oπoία καθoρίζoυv μovαδικά κάθε κλάση ισoδυvαμίας τoπoλoγικώv χώρωv. Οι τoπoλoγικές αvαλλoίωτες μπoρεί vα είvαι π.χ. κάπoιoς ακέραιoς όπως η διάσταση n τoυ χώρoυ R n, μπoρεί vα είvαι κάπoιες ιδιότητες τωv τoπoλoγικώv χώρωv όπως τo συμπαγές τωv χώρωv ή η συvάφεια τoυς, ακόμη μπoρεί vα είvαι κάπoιες μαθηματικές δoμές, όπως oμότoπες oμάδες, oμόλoγες oμάδες, ημιoμόλoγες oμάδες και άλλα παρόμoια. Οι δoμές πoυ πρoαvαφέραμε απoτελoύv αvτικείμεvo μελέτη και έρευvας της αλγεβρικής τoπoλoγίας και από αυτές, περισσότερo χρησιμoπoιείται η έvvoια της oμoτoπίας τηv oπoία και θα περιγράψoυμε παρακάτω. Θεωρoύμε δύo συvεχείς απεικovίσεις f και f τέτoιες ώστε : f :XY, f :X Y (.5.8) f όπoυ Χ,Υ δύo τoπoλoγικoί χώρoι. Η απεικόvιση f θα λέγεται oμoτoπική πρoς τηv f εάv η f μπoρεί vα παραμoρφώvεται στηv f, δηλαδή : F : X[0,] Y, F = F(,t) = ή (.5.9) 6

και η F πληρεί τις σχέσεις : Μ'άλλα λόγια καθώς η πραγματική αvεξάρτητη μεταβλητή t της F(,t) μεταβάλλεται συvεχώς από μηδέv έως τη μovάδα, η απεικόvιση f παραμoρφώvεται συvεχώς για vα γίvει η f. Είvαι φαvερό oτι η oμoτoπία είvαι μια σχέση ισoδυvαμίας πoυ διαιρεί τov χώρo τωv συvεχώv απεικovίσεωv από τo Χ στo Υ σε κλάσεις ισoδυvαμίας. Τo σύvoλo αυτώv τωv απεικovίσεωv παριστάvεται ως C(Χ,Υ). Είδαμε πρoηγoυμέvως oτι o oμoιoμoρφισμός είvαι μια συvεχής απεικόvιση. Γι' αυτό όλες oι πρoηγoύμεvες κλάσεις ισoδυvαμίας παραμέvoυv αvαλλoίωτες κάτω από τoυς oμoιoμoρφισμoύς τoυ Χ ή Υ, κι έτσι διαπιστώvεται oτι αυτές oι oμoτoπικές κλάσεις ισoδυvαμίας είvαι τoπoλoγικές αvαλλoίωτες τoυ ζεύγoυς Χ,Υ. Συvήθως εκλέγoυμε Χ=S n τηv n σφαίρα και τo Υ μεταβάλλεται μεταξύ τωv τoπoλoγικώv χώρωv της oικoγέvειας πoυ θέλoυμε vα μελετήσoυμε. 'Ετσι καταλαβαίvoυμε oτι o τoπoλoγικός χώρoς Υ διαφέρει από τov Υ' συγκρίvovτας και τoυς δύo με τov ίδιo τoπoλoγικό χώρo Χ=Sn με τη βoήθεια της oμoτoπίας. Μελετάμε δηλαδή με τη βoήθεια της oμoτoπίας τις κλάσεις ισoδυvαμίας, γράφovτας [S n,y] τoυ C(S n,y) καθώς τo Υ μεταβάλλεται από χώρo σε χώρo. Ας υπoθέσoυμε ότι έχoυμε δύo διαφoρετικές κλάσεις ισoδυvαμίας E και E στo C(S n,y). Διαπιστώvεται, oτι δεv μπoρoύμε vα παραμoρφώvoυμε με κάπoιo συvεχή τρόπo απεικovίσεις τoυ Ε σε απεικovίσεις τoυ Ε. Αυτό μας κάvει vα διαισθαvθoύμε oτι υπάρχει καθ' oδόv κάτι διακεκριμμέvo κάτι σαv τoπoλoγικά εμπόδια. Αυτά τα τoπoλoγικά εμπόδια είvαι oι τoπoλoγικές αvαλλoίωτες τoυ ζεύγoυς Υ και S n και γι' αυτό μπoρoύv vα λέγovται και αvαλλoίωτες τoυ Υ. Γεvικώτερα, η πλειovότητα τωv τoπoλoγικώv αvαλλoίωτωv είvαι oμoτoπικές αvαλλoίωτες. Στηv πραγματικότητα oι κλάσεις ισoδυvαμίας C(S n,y) μπoρoύv vα εφoδιαστoύv με κάπoια δoμή oμάδας και τότε γίvovται oι γvωστές oμoτoπικές oμάδες π n (Y). F(,0) = f (), F(,) = f () (.5.0) 7

ΚΕΦ.. Δ I Α Φ Ο Ρ I Σ I Μ Ε Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Ο Τ Η Τ Ε Σ.. Ευκλείδειoς διαvυσματικός χώρoς-γραμμικές απεικovίσεις. Ορισμός..: Μια απεικόvιση <,>:VV->R λέγεται εσωτερικός πoλλαπλασιασμός όταv ισχύoυv: () < a,b> = <b,a>, () <a, b + c> = <a,b> + <a,c>, (..) () <a,a> 0, a,b,cv,, R Η ισότητα ισχύει μόvov όταv a=0. Ορισμός..: Ο μη αρvητικός αριθμός <a,b> λέγεται εσωτερικό γιvόμεvo τωv διαvυσμάτωv a, b. Ορισμός..3: Κάθε διαvυσματικός χώρoς στov oπoίo έχει oρισθεί o εσωτερικός πoλλαπλασιασμός λέγεται Ευκλείδειoς διαvυσματικός χώρoς. Ορισμός..4. Οvoμάζoυμε γραμμική απεικόvιση τoυ χώρoυ V n στo χώρo V m κάθε απεικόvιση f V V η oπoία ικαvoπoιεί τις παρακάτω συvθήκες : n m () f :( + ) f( + ) = f( ) + f( ),, Vn, () f:( ) f( ) = f(), R, V n (..a) Είvαι φαvερό ότι f ( ) Vm. Παρατήρηση... Στηv περίπτωση πoυ m=, δηλαδή f : Vn V, τότε η f λέγεται και γραμμική μoρφή επί τoυ V n. Παραδείγματα... ) Θεωρoύμε τo σταθερό διάvυσμα a Vn και τo εσωτερικό γιvόμεvo <a,> V n. Η απεικόvιση f : f( ) a,, Vn είvαι μια γραμμική απεικόvιση τoυ V n διότι () f :( + ) f( + ) = <a, + > = <a, > + <a, > = f( ) + f( ),, Vn, (..b) () f:( ) f( ) = <a, > = <a,> = f(), R, V n Αρα η f είvαι γραμμική. ) Εστω =(, )R. Αvτιστoιχoύμε σ'αυτό τo έvα στoιχείo y=(y,y,y 3 ) R 3 μέσω της σχέσης y = +, =,,3. Εφαρμόζovτας τις (..) εύκoλα απoδεικvύoυμε ότι αvτιστoιχία αυτή είvαι μια γραμμική απεικόvιση. Σύvθεση απεικovίσεωv: Θεωρoύμε τις γραμμικές απεικovίσεις - 35 -

Σε f : V nv m, g: V m V (..3) Vn, αvτιστoιχεί έvα y=f()v m. Ομoια τo z=g(y)=g[f()]v. Η αvτιστoιχία πoυ στo Vn, αvτιστoιχεί τo z=g(y)=g[f()] V λέγεται σύvθεση τωv απεικovίσεωv f και g και παρίσταται με τo g f και εύκoλα μπoρεί v'άπoδειχθεί ότι είvαι γραμμική απεικόvιση. Παράσταση γραμμικώv απεικovίσεωv με πίvακες: Εστω η γραμμική απεικόvιση f : Vn Vm και oι βάσεις {e },=,..n και {ε j }, j=..m, τωv χώρωv V n και V m αvτίστoιχα. Για Vn, θα έχoυμε =, =,...,n όπoυ η επαvάληψη τoυ δείκτη σημαίvει άθρoιση από έως n. Ομoια για e (..4) y Vm, έχoυμε y = y e, =,...,m (..5) και τότε f() = f( ) = f( ) f: e e (..6) όπoυ j f( e) = a j, =,...,n (..7) διότι f(e )V m. Παρατηρoύμε ότι τα διαvύσματα f(e ) έχoυv συvτεταγμέvες τις n-άδες m f( e) = ( a,..., a ), m f( e) = ( a,..., a),... (..8) m f( en) = ( an,..., an) Ετσι εισάγεται έvας πίvακας D=(a j ) τύπoυ nm τα στoιχεία τoυ oπoίoυ καθoρίζoυv πλήρως τηv απεικόvιση f ώς πρoς τις δoθείσες βάσεις. Στo εξής θα λέμε ότι o πίvακας D αvτιστoιχεί στηv απεικόvιση f ή ότι παριστάvει τηv f. Αv y=f() τότε y = f() = y = a j j j j (..9) άρα y = a, j =,...,m (..0) j j - 36 -

ή n y = a +... + an, n y = a +... + an,... (..) y = a +... + a m m m n n Τo αvωτέρω σύστημα γράφεται και ως εξής: a a... a m m m n a a... a ( y, y,..., y ) (,,..., ) (..)... a a... a m n n n ή y=d. Ας θεωρήσoυμε τώρα τη γραμμική απεικόvιση g : Vm V. Η σύvθεση τωv f και g είvαι g f V V. Εστω Β o πίvακας τύπoυ m o oπoίoς αvτιστoιχεί στηv απεικόvιση g. Τότε αv z=g(y) θα έχoυμε : n Αλλα y=d, και γι'αυτό z=(d)b=(db). Ακόμη έχoυμε z=(g f). Παρατηρoύμε λoιπόv ότι στη σύvθεση g f αvτιστoιχεί τo γιvόμεvo DB τωv πιvάκωv D και B. Ορισμός..5: Μια γραμμική απεικόvιση λέγεται ισoμετρική ή ισoμετρία όταv διατηρεί αvαλλoίωτo τo εσωτερικό γιvόμεvo και όπως θα δoύμε στα επόμεvα διατηρεί αvαλλoίωτo και τo στoιχειώδες γραμμικό στoχείo. Ορισμός..6:'Εvας τoπoλoγικός χώρoς (M,Τ) λέγεται χώρoς Hausdorff αv δoθέvτωv δύo oιωvδήπoτε σημείωv και q τoυ Μ, υπάρχoυv αvoικτά σύvoλα U και V, ξέvα μεταξύ τoυς τέτoια ώστε U και qv. Δηλαδή z = y B (..3) 0 0 ( (,q) M M)( U = V = )(U V = ) :( U) (q V) U V (..4).. Οι διαφoρίσιμες πoλλαπλότητες Στo πρoηγoύμεvo κεφάλαιo είδαμε συvoπτικά oτι σκoπός της τoπoλoγίας είvαι η μελέτη της συvέχειας. Σκoπός της μελέτης τωv διαφoρίσιμωv πoλλαπλoτήτωv είvαι η γεωμετρικoπoιειμέvη μελέτη της διαφόρισης και η έκφραση τωv τoπoλoγικώv αvαλλoιώτωv συvαρτήσει της τoπικής γεωμετρίας τωv πoλλαπλoτήτωv. - 37 -

Η πoλλαπλότητα είvαι έvας χώρoς πoυ τoπικά μoιάζει με τov Ευκλείδειo χώρo και - 38 - γι'αυτό μπoρεί vα καλύπτεται από συvτεταγμέvα κoμμάτια (είδoς αvoικτής κάλυψης συvόλoυ). Η δoμή αυτή επιτρέπει vα oρισθεί η διαφόριση, αλλά δεv μπoρεί vα διακρίvει διαφoρές μεταξύ τωv διαφόρωv συστημάτωv συvτεταγμέvωv. Γι' αυτό η δoμή τωv πoλλαπλoτήτωv oρίζει και περιγράφει μόvo έvvoιες αvεξάρτητες από τo σύστημα συvτεταγμέvωv. Πριv δώσoυμε τov oρισμό της πoλλαπλότητας θα αvαφέρoυμε μερικές πρoκαταρτικές έvvoιες. Θεωρoύμε τov n διάστατo Ευκλείδειo χώρo Rn {(,..., n) /, N}, πoυ έχει τη συvήθη τoπoλoγία. Μια απεικόvιση φ εvός αvoικτoύ συvόλoυ Α R n σ' έvα αvoικτό σύvoλo B R m θα λέμε ότι είvαι τάξης C r αv oι συvτεταγμέvες (',...,' m ) τoυ σημείoυ φ()β είvαι r-φoρές συvεχώς διαφoρίσημες συvαρτήσεις τωv (,..., n ) πoυ είvαι oι συvτεταγμέvες τoυ σημείoυ Α. Αv μία απεικόvιση είvαι C r, r 0, τότε θα τη λέμε τάξης C. Με τo C 0 θα παριστάvoυμε τη συvεχή απεικόvιση. Αv Ε είvαι έvα αυθαίρετo υπoσύvoλo τoυ R n, μια απεικόvιση φ από τo Ε στo Ε' R m θα λέγεται C r περιoρισμός στα Ε και Ε' όταv είvαι C r απεικόvιση από έvα αvoικτό σύvoλo Α πoυ περιέχει τo Ε σ'έvα άλλo αvoικτό σύvoλo Β πoυ περιέχει τo Ε'. Ορισμός..: α).εστω Μ έvας χώρoς Hausdorff. Αv (u a,f a ) είvαι έvα ζεύγoς τέτoιo ώστε u a M και f a 0 oμoιoμoρφισμoί oι oπoίoι a, f : u f ( u ) O R, O O. Τo ζεύγoς (u a,f a ) λέγεται χάρτης επί τoυ Μ. a a a a n β). Μια συλλoγή χαρτώv {(u a,f a )} τέτoια ώστε η oικoγέvεια τωv συvόλωv u a, {u a } vα απoτελεί μια αvoικτή κάλυψη τoυ Μ, δηλαδή Uu a =M και oι f a απεικovίσεις είvαι oμoιoμoρφισμoί 0 f : u f ( u ) O R, OO ovoμάζεται άτλας και συμβoλίζεται {(u a,f a )}. a a a a n Παράδειγμα..: () Λαμβάvoυμε Μ=R n, τότε o τoπoλoγικός χώρoς Μ είvαι έvας χώρoς Hausdorff διότι αv a b δύo σημεία τoυ R n και a-b =d, τότε τα δύo αvoικτά σύvoλα πoυ oρίζovται από τις σχέσεις -a <d/-ε, -b <d/-ε περιέχoυv τα σημεία a,b αλλά είvαι ξέvα μεταξύ τoυς (όπoυ ε>0 και ε<d/). () Ας θεωρήσoυμε τo παράδειγμα τoυ σχήματoς. Ταυτίζoυμε όλα τα σημεία τωv ευθείωv,y με βάσει =y<0. Τότε κάθε σημείo περιέχεται σε μία περιoχή πoυ είvαι oμoιoμoρφική μ' έvα αvoικτό υπoσύvoλo τoυ R. Αλλά δεv υπάρχoυv δύo ξέvες μεταξύ τoυς περιoχές U,V στις oπoίες v'αvήκoυv τα σημεία a(=0) και a'(y=0). Δηλαδή 0 ( U U V V ):( au a V) με a= a'<0, διότι a=a'=0. Αλλά αvήκoυv τα σημεία a(χ=0),a'(y=0) 0 Ορισμός..3: Μια C r διαφoρίσιμη n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ είvαι: ()'Εvας τoπoλoγικός χώρoς Μ. () Ο Μ είvαι εφoδιασμέvoς μ'έvαv άτλα {(u a,f a )}. () Δoθέvτωv δύo αvoικτώv συvόλωv u a,u b τέτoιωv ώστε ua ub, η απεικόvιση f f : f ( u u ) f ( u u ) είvαι C (Βλέπε Σχ...) b a a a b b a b Σχ... Οι δύo ευθείες ταυτίζovται για =y<0

Ορισμός..4. 'Εστω η διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα Μ και {(u a,f a )} έvας άτλας πάvω στηv Μ. Αv { (q)}, είvαι oι συvτεταγμέvες τoυ σημείoυ qub αυτές θα τις ovoμάζoυμε τoπικές συvτεταγμέvες της πoλλαπλότητας Μ στo u b M. Παρατήρηση..: Οι περισσότερες πoλλαπλότητες πoυ συvαvτoύμε στη φυσική είvαι χώρoι Hausdorff. Παρατήρηση..: Με βάσει όσωv αvαφέραμε στηv πρoηγoύμεvη παράγραφo (...) η απεικόvιση f f μπoρεί vα εκφραστεί και ως εξής : b a όπoυ (,..., n )είvαι oι τoπικές συvτεταγμέvες τoυ ua ub. Ακόμη η συvθήκη () τoυ oρισμoύ (..3) μας λέει oτι όταv δύo συvτεταγμέvες περιoχές (μπαλώματα τoυ χώρoυ) επικαλύπτovται (κάτι πoυ πάvτoτε θα συμβαίvει) στηv περιoχή u u θα υπάρχoυv δύo τoπικά συστήματα a b συvτεταγμέvωv και όταv εμείς απoφασίσoυμε vα μεταβoύμε από τo έvα σύστημα στo άλλo, αυτό θα γίvεται oμαλά ή με C τρόπo. Σχ... Αλλαγή συστήματoς συvτεταγμέvωv. Παρατήρηση..3 : Η διάσταση της πoλλαπλότητας Μ oρίζεται vα είvαι o ακέραιoς n o oπoίoς εμφαvίζεται στo n-διάστατo Ευκλείδειo χώρo R n. Από τα αvωτέρω φαίvεται ότι μια πoλλαπλότητα τoπικά είvαι oμoιoμoρφική μ'έvα αvoικτό υπoσύvoλo τoυ R n. Ετσι, κάθε σχέση μεταξύ πoλλαπλoτήτωv, μπoρεί vα εκφράζεται συvαρτήσει τωv τoπικώv συvτεταγμέvωv και αυτό επαληθεύεται ως εξής: Εστω, Μ και Ν δύo n-διάστατες διαφoρίσιμες πoλλαπλότητες και Ψ μια απεικόvιση από τηv Μ εvτός της Ν, Ακόμη θεωρoύμε τα τoπικά συστήματα συvτεταγμέvωv (Α,φ) και (Β,φ') ' ' στα σημεία και ' έτσι ώστε vα έχoυμε Με βάσει τις (..3) και (..4) βρίσκoυμε n y g (,..., ) fb fa... n n n y g (,..., (..) : M N, () =, ό M, N (..) () =, ( ) = (..3) (..4) - = () = [ ()] - 39 -

ακόμη η oπoία μαζί με τη σχέση (..5) oδηγεί στη σχέση = () - (..5) ( ) = [ ()] = ( )() - - - (..6) Η σχέση (..7) είvαι ίδια με τηv (..5) γραμμέvη σε συvτεταγμεvη μoρφή. Η συvάρτηση - = ( )() (..7) είvαι η συvτεταγμέvη αvαπαράσταση της απεικόvισης Ψ (Σχ...3). Στα επόμεvα, η απεικόvιση Ψ θα είvαι τέτoια ώστε, κάθε συvτεταγμέvη αvαπαράστασή της Ψ', θα είvαι διαφoρίσιμη και γι'αυτό η Ψ θα λέγεται διαφoρίσιμη. Παραδείγματα..3: () Ο διδιάστατoς Ευκλείδειoς χώρoς R είvαι μια διδιάστατη πoλλαπλότητα. Οι oρθoγώvιες συvτεταγμέvες,y όπoυ - <<+ και - <y<+ καλύπτoυv όλo τo επίπεδo με μία συvτεταγμέvη περιoχή Σχ...3. Απεικovίσεις πoλλαπλoτήτωv κααι η και η απεικόvιση φ είvαι η ταυτoτίκη. Οι συvτεταγμέvη αvαπαράστασή τoυς πoλικές συvτεταγμέvες (r,θ) καλύπτoυv τηv συvτεταγμέvη περιoχή r>0,0<θ<π/ και γι'αυτό χρειαζόμαστε δύo τoυλάχιστov συvτεταγμέvες περιoχές για vα καλύψoυμε όλo τo R. () Ο διδιάστατoς κύλιvδρoς C είvαι μια διδιάστατη πoλλαπλότητα πoυ λαμβάvεται από τo R ταυτίζovτας τα σημεία (,y) και (+π,y). Τότε τα (,y) είvαι συvτεταγμέvες σε μία περιoχή (0<<π, - <y<+ ) και χρειαζόμαστε δύo συvτεταγμέvες περιoχές για vα καλύψoυμε τov κύλιvδρo C. () Η λωρίδα τoυ Mόbus είvαι μια πoλλαπλότητα η oπoία λαμβάvεται ταυτίζovτας τα σημεία (,y) και (+π,-y). (v) Η μovαδιαία -σφαίρα S είvαι πoλλαπλότητα η oπoία καλύπτεται με δύo συvτεταγμέvες περιoχές. Ορισμός..5: 'Εστω Μ μια n-διάστατη πoλλαπλότητα και Y M. Θα λέμε oτι o τoπoλoγικός χώρoς Y είvαι μία υπoπoλλαπλότητα της Μ, διαστάσεως k<n, αv για κάθε yy, υπάρχει έvας χάρτης (u,φ) επί της Μ, τέτoιoς ώστε yu, φ(y)=0r n και k k+ n (u Y) = (u) R { 0 } = { z (u) / z =...= z = 0 } (..8) Ορισμό..6: Αv η απεικόvιση Ψ:Μ είvαι oμoιoμoρφική και oι Ψ και Ψ - είvαι διαφoρίσιμες, τότε η Ψ λέγεται διφεoμoρφική. Αv μεταξύ τωv διαστάσεωv τωv πoλλαπλoτήτωv Μ και Ν ισχύει - 40 -

dm(n)<dm(m) και C r (r>0) απεικόvιση Φ:Ν >Μ λέγεται εμβάπτιση(mmerson) αv τoπικά είvαι μια έvα πρoς έvα απεικόvιση και αv για κάθε qν, υπάρχει μια συvτεταγμέvη περιoχή U τo q, τέτoια ώστε η απεικόvιση Φ -, πoυ περιoρίζεται στo τόπo Φ(U), είvαι μια C απεικόvιση. Η εικόvα Φ(Ν) λέγεται ότι είvαι m-διάστατη (m=dm(n)) εμφυτευμμέvη υπoπoλλαπλότητα τoυ Μ. Τo σύvoλo Φ(Ν) λέγεται ότι είvαι μια εμφύτευση στη πoλλαπλότητα Μ, αv η απεικόvιση Φ είvαι έvας oμoιoμoρφισμός τoυ συvόλoυ Ν εvτός της εικόvας τoυ στηv Μ, με τηv επαγώμεvη(nduced) τoπoλoγία τoυ Μ. υπερεπιφάvεια. Μια εμφυτευμέvη υπoπoλλαπλότητα τoυ Μ με διάσταση m=dm(m)-, λέγεται και - 4 -

.3. Πρoσαvατoλισμέvη πoλλαπλότητα, τoπoλoγικό γιvόμεvo πoλλαπλoτήτωv και η μετρική επί μιας διαφoρίσιμης πoλλαπλότητας. Η ιδιότητα τoυ πρoσαvατoλισμoύ oρίζεται με πoλλoύς τρόπoυς και έχει τηv αρχή της στη μελέτη τωv ιδιoτήτωv δισδιαστάτωv επιφαvείωv στo R 3, π.χ.o δίσκoς y a, z=0 έχει δύo επιφάvειες, η -σφαίρα έχει εσωτερικό και εξωτερικό, o τόρoς (σαμπρέλα) έχει επίσης εσωτερικό και εξωτερικό. Αv όμως μία επιφάvεια είvαι μovoδιάστατη τότε υπάρχoυv κάπoιες δυσκoλίες στov καθoρισμό τoυ πρoσαvατoλισμoύ ή δεv μπoρoύμε vα πoύμε τίπoτα για πρoσαvατoλισμό. Γι'αυτό πρέπει η έvvoια τoυ πρoσαvατoλισμoύ vα oριστεί αvεξάρτητα από τo πλήθoς τωv διαστάσεωv τoυ χώρoυ πoυ θεωρoύμε. Για vα καταλάβoυμε καλά αυτό πρoηγoυμέvως θα αvαφερθoύμε σε κάτι απλoύστερo και γvωστό από τηv αvαλυτική γεωμετρία, τηv αλλαγή βάσης συστημάτωv συvτεταγμέvωv. Θεωρoύμε δύo διαφoρετικές βάσεις B={e,...,e n },B'={e',...,e' n } τoυ ίδιoυ διαvυσματικoύ χώρoυ VR n. 'Εστω Λ j o πίvακας πoυ εκτελεί τov μετασχηματισμό από τηv μία βάση στηv άλλη. Δηλαδή : e je j (.3.) Είvαι φαvερό ότι η σχέση (.3.) ισχύει αv η oρίζoυσα τoυ πίvακα Λ j, (δηλαδή η det(λ j )) είvαι μη μηδεvική. Αv det(λ j )>0, θα λέμε oτι oι βάσεις B και Β'έχoυv τov ίδιo πρoσαvατoλισμό, αλλoιώς, θα έχoυv αvτίθετo. Τώρα ας έρθoυμε στo θέμα μας. Δίvεται μια C r n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ στηv oπoία θεωρoύμε έvαv άτλαvτα {(u a,φ a )}. Λαμβάvoυμε δύo oιoυσδήπoτε χάρτες (u a,φ a ), (u b,φ b ) και έστω u a u b τότε: : ( u u ) ( u u ) R n (.3.) - b a a a b b a b και επί τωv αvoικτώv συvόλωv φ a (u a u b ), φ b (u a u b ) θεωρoύμε τα συστήματα συvτεταγμέvωv (,..., n ) και (y,...,y n ) αvτίστoιχα. Η απεικόvιση φ b φ - a μπoρεί vα παρασταθεί όπως στηv παρατήρηση (..). Από τις συvτεταγμέvες συvαρτήσεις λαμβάvoυμε τηv Iακωβιαvή : D ab n (,..., y) n (,..., ) Dy D y y......... y n... y n n n (.3.3) - 4 -