ΘΕΩΡIΑ 2. ΕΙ Η ΚΥΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΘΕΩΡIΑ 1. ΟΡIΣΜΟΣ Καείται o µηχαvισµός διάδoσης µιας διαταραχς, µέσα σ' έvα εαστικό µέσo, µε oρισµέvη ταχύτητα, έτσι ώστε vα µεταφέρεται εvέργεια και oρµ από σηµείo σε σηµείo τoυ εαστικoύ µέσoυ. Με τo κύµα δεv µεταφέρεται ύη (µάζα). Στο κύµα όα τα σηµεία του εαστικού µέσου εκτεούν την ίδια ακριβώς ταάντωση, αά όχι ταυτόχρονα. Το εαστικό µέσο πρέπει να είναι οµογενές και ισότροπο (=ίδια ταχύτητα διάδοσης προς όες τις κατευθύνσεις).. ΕΙ Η ΚΥΜΑΤΩΝ Ανάογα µε τη διεύθυνση ταάντωσης (των µορίων του εαστικού µέσου) σε σχέση µε τη διεύθυνση διάδοδης τα κύµατα διακρίνονται σε εγκάρσια και διαµκη. (i) Εγκάρσια: είναι τα κύµατα στα οποία η διεύθυνση ταάντωσης των µορίων του εαστικού µέσου είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης. Για τη διάδοση των εγκαρσίων κυµάτων πρέπει το µέσο να παρουσιάζει εαστικότητα σχµατος. Γι αυτό τα εγκάρσια κύµατα διαδίδονται στα στερεά και κατά προσέγγιση στην επιφάνεια των υγρών. (ii) ιαµκη: είναι τα κύµατα στα οποία η διεύθυνση ταάντωσης των µορίων του εαστικού µέσου είναι παράηη (ταυτίζεται) µε τη διεύθυνση διάδοσης. Για τη διάδοση των διαµκων κυµάτων πρέπει το µέσο να παρουσιάζει εαστικότητα όγκου. Γι αυτό τα διαµκη κύµατα διαδίδονται στα στερεά, υγρά και αέρια. Στο εατριο δηµιουργούνται πυκνώµατα και αραιώµατα, τα οποία διαδίδονται κατά τον άξονα του εατηρίου. 1

2 3. ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ () α) Καείται η απόσταση πoυ διαδίδεται τo κύµα σε χρόvo µιας περιόδoυ (µέχρις ότου δηαδ η πηγ της διαταραχς να εκτεέσει µια πρη ταάντωση). β) Είvαι η πησιέστερη απόσταση δύo σηµείωv τoυ εαστικoύ µέσoυ, τα oπoία βρίσκονται σε συµφωvία φάσης µεταξύ τoυς (δηαδ φ=π, όπου γενικά: φ=kπ, k=1,,3,...). 4. ΘΕΜΕΛIΩ ΗΣ ΕΞIΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤIΚΗΣ Το κύµα διαδίδεται µε σταθερ ταχύτητα. Έτσι αν: υ = ταχύτητα διάδoσης κύµατoς f = συχvότητα κύµατoς (ταάvτωσης πηγς κύµατoς) T = περίoδoς κύµατoς ( = 1/f ) τότε ισχύει: υ= t (για t=t είvαι =) υ= υ= f Τ Στιγµιότυπα εγκάρσιου κύµατος, µε χρονικ διαφορά (Τ/8). 4. ΕΞIΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Η πηγ τoυ κύµατoς (σηµείo Π) κάvει α.α.τ. µε εξίσωση: y = A ηµ ( ω t) (1) (t) Έvα σηµείo Σ, πoυ απέχει κατά από τo Π, εκτεεί α.α.τ. χρovικά καθυστερηµέvη ως πρoς τη στιγµ εκκίvησης της α.α.τ. τoυ Π κατά τo χρovικό διάστηµα (τ) πoυ χρειάζεται τo κύµα vα φτάσει από τo Π στo Α, δη. (δύο στιγµιότυπα του κύµατος τ= () για τα σηµεία Π και Σ) υ

3 Ετσι, αv t o χρόvoς κίvησης τoυ Π, o χρόvoς κίvησης τoυ Α είvαι: t' = t - τ = t - υ (3) Αρα η εξίσωση πoυ περιγράφει τηv ταάvτωση τoυ Α είvαι: y (Σ) = Α ηµω t υ (4) Αά: π ω= Τ ===(4)==> y (Σ) = π Α ηµ t Τ υ t y (Σ) = Α ηµ π T υ Τ (5) Αά: υ.t = oπότε: t y( Σ) =Α ηµ (6) Η εξίσωση (6) απότεεί τηv εξίσωση τoυ κύµατoς και δίvει τηv απoµάκρυvση εvός σηµείoυ Σ τoυ εαστικoύ µέσoυ, πoυ απέχει κατά από τηv πηγ τoυ κύµατoς και µετά από χρόvo t από τη στιγµ πoυ άρχισε η πηγ τηv ταάvτωσ της (δηαδ η αποµάκρυνση y παρουσιάζει χρονικ και τοπικ περιοδικότητα). Αv τo κύµα διαδίδεται αvτίθετα, δη. από τo Σ πρoς τo Π, τότε η εξίσωση (6) γράφεται: t y (Σ) = Α ηµ + * Η φάση τoυ σηµείoυ Σ στην εξίσωση (6) είvαι: t φ (Σ) = (8) (παρατηρούµε ότι η φάση είναι συνάρτηση και του χρόνου t και της απόστασης ). (t=0) (7) Π Σ φ( Σ) εφθ= π T 0 T = υ t 3

4 (i) Για = σταθερό (δη. / = Λ), τότε: (έvα σηµείo, διάφoρες χρovικές στιγµές) φ (Σ) = t Λ T (ii) Για t = σταθερό (δη. t/t = K) (µία χρovικ στιγµ, πoά σηµεία) φ( Σ) π εφθ= φ (Σ) = Κ t π T Η κατάσταση αυτ απoτεεί έvα στιγµιότυπo τoυ κύµατoς. Σηµείωση: Από τη σχέση (φ-) παρατηρούµε ότι τη µεγαύτερη φάση την έχει η πηγ της διαταραχς, ενώ όα τα άα σηµεία κατά τη φορά διάδοσης του κύµατος έχουν µικρότερη φάση (δη. από τη σύγκριση των φάσεων δύο σηµείων µπορούµε να βρούµε τη φορά διάδοσης του κύµατος π.χ. φ Α >φ Β σηµαίνει φορά διάδοσης από το Α στο Β). 0 t T T 8 T 3T 8 8 4T (T) 8 5T 7T 8 8 6T 8 4

5 Το µόριο 1 τη στιγµ t o =0 αρχίζει κατακόρυφη ταάντωση. Σε χρόνο Τ η διαταραχ έχει φτάσει στο µόριο 9. Η απόσταση αυτ είναι ίση µε ένα µκος κύµατος. Η χρονικ διαφορά, εκκίνησης της ταάντωσης, των µορίων 1,, 3, είναι ί- ση µε (Τ/8). Παράδειγµα 1 Η πηγ διαταραχς Π αρχίζει τη χρονικ στιγµ µηδέν να εκτεεί α.α.τ. πάτους Α=6 cm και συχνότητας f=5 Hz. Το κύµα που δηµιουργεί διαδίδεται κατά µκος γραµµικού οµογενούς εαστικού µέσου µε ταχύτητα υ=10 m/s. Να υποογίσετε: α) Την εξίσωση της αποµάκρυνσης της πηγς Π. β) Το µκος κύµατος (). γ) Την εξίσωση του κύµατος. δ) Μετά από πόσο χρόνο (t 1 ) αρχίζει να τααντώνεται ένα σηµείο Σ, το οποίο α- πέχει από την πηγ Π κατά =3 m; ε) Την αποµάκρυνση y ενός σηµείου Ρ, το οποίο απέχει από την πηγ Π κατά 1 = 3 m τη χρονικ στιγµ t =0,4 s. στ) Τη φάση (φ) ενός σηµείου Κ, το οποίο απέχει από την πηγ Π κατά =5 m τη χρονικ στιγµ t 3 =1 s. ζ) Την απόσταση () από την πηγ Π των σηµείων, τα οποία τη στιγµ t 4 =1 s έ- χουν ταχύτητα υ= 0, 6 π (m/ s). η) Τη διαφορά φάσης µεταξύ δύο σηµείων του εαστικού µέσου, τα οποία απέχουν µεταξύ τους απόσταση d=4 m. Απάντηση 1 α) Η κυκικ συχνότητα της α.α.τ. είναι: ω= π f = π 5(s ) = 10 π (r / s). Το πάτος είναι: Α=0,06 m. Άρα η εξίσωση της αποµάκρυνσης της πηγς Π είναι: 5

6 y = 0, 06 ηµ (10 π t) (y σε m) (1) (t) β) Η θεµειώδης εξίσωση της κυµατικς είναι: υ= f 1 υ 10(m s ) 1 f 5(s ) = = = m. t γ) Η εξίσωση του κύµατος είναι: y( Σ)(t) =Α ηµ π 1 1 όπου: T = = = 0, (s), 1 f 5(s ) () άρα: ( Σ)( t) y = 0, 06 ηµ π 5t (σε m) (3) δ) Ο ζητούµενος χρόνος είναι αυτός που χρειάζεται η διαταραχ να φτάσει στο σηµείο Σ, δηαδ: 3(m) t1 = t1 = = 0, 3(s). υ 10(m / s) ε) Από την εξίσωση () βρίσκουµε: 3 y( Σ) = 0, 06 ηµ π 5 0, 4 = 0, 06 ηµ ( π 0, 5) = 0, 06 ηµπ= 0(m) Σηµείωση: Η απόσταση 1 =3 m είναι ίση µε 1,5 (= m). O χρόνος που απαιτείται για να φτάσει η διαταραχ στο σηµείο Σ είναι τ=1,5τ=0,3 s (T=0, s). Άρα το σηµείο Σ τααντώνεται για χρόνο: τ =(0,4-0,3) s=0,1 s. ηαδ έχει περάσει χρόνος ίσος µε (Τ/) από τη στιγµ που άρχισε η ταάντωσ του µε αποτέεσµα η αποµάκρυνσ του να είναι µηδέν (y (Σ) =0). t στ) Η φάση του σηµείου Κ δίνεται από τη σχέση: φ (K ) = (4) (K ) 1(s) 5(m) φ = = π, 5 = 5 π (rad) 0, (s) (m). ζ) Η εξίσωση της ταχύτητας προκύπτει ως εξς: Από την εξίσωση (1) της αποµάκρυνσης προκύπτει ότι: 6

7 υ= ( ω A) συν ( ω t) υ= (10 π 0,06) συν (10 π t) = 0,6 π συν (10 π t) Από την εξίσωση () της αποµάκρυνσης του τυχαίου σηµείου Σ προκύπτει ότι: t υ= ( ω A) συν π και µε βάση την εξίσωση (3) έχουµε: υ= 0, 6 π συν π 5t. Οπότε για 0,6 (m/ s) υ= π έχουµε: 0,6 π= 0,6 π συν π 5t συν π 5 1 = 1 π 5 = (k + 1) π (k=0,1,,3, ) 10 = k + 1 = 9 k (5) Για k=0 = 9(m), για k=1 = 7(m), για k= = 5(m), για k=3 = 3(m), για k=4 = 1(m). Σηµείωση: Σε χρόνο t=1 s (=5T) η διαταραχ έχει διαδοθεί σε απόσταση d=5(=10 m). 7

8 t η) Η φάση κάθε σηµείου δίνεται από τη σχέση: φ=. t 1 Έτσι: φ 1 = και t φ =. Αρα: ( 1) φ=φ 1 φ = π Παράδειγµα d φ= π 4(m) φ= π = 4 π (rad). (m) Μια πηγ τααντώνεται µέσα σε οµογενές εαστικό µέσο παράγοντας αρµονικά κύµατα. Η ε- ξίσωση της α.α.τ. της πηγς είναι: y = 0, 05 ηµ ( π t) (y σε m). Τη χρονικ στιγ- (t) µ t= s η φάση ενός σηµείου Σ του εαστικού µέσου, σε συνάρτηση µε την απόσταση από φ (r) ( Σ) 8

9 την πηγ φαίνεται στο διπανό σχµα. α) Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. β) Να γίνουν στο ίδιο διάγραµµα οι γραφικές παραστάσεις: (i) για την φάση της πηγς σε συνάρτηση µε το χρόνο, (ii) για τη φάση ενός ση- µείου Ρ του εαστικού µέσου, το οποίο απέχει από την πηγ 1 = m, σε συνάρτηση µε το χρόνο. Απάντηση α) Από την εξίσωση: y(t) = 0, 05 ηµ ( π t) προκύπτει ότι: A=0,05 m και ω=π (r/s). Η περίοδος Τ του κύµατος είναι: π π (r) T π ω= = = = sec T ω π (r / s) t Η φάση του σηµείου Σ είναι: φ ( Σ) =. Για t= s και T= s έχουµε: φ = π π. Για φ ( ) = 0 είναι =. Από το διάγραµµα φ (Σ) =f() παρατη- ( Σ) Σ ρούµε ότι: =4 m. Άρα =4 m. Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος είναι: 4(m) υ= υ= υ= m/s. T (s) β) Η φάση της πηγς είναι: π π (r) φ ( Π) =ω t = t = t(s) T (s) φ ( ) =π t(r) (1) Π φ( Π) φ( Ρ) και παριστάνεται από τη γραµµ (α). Η φάση του σηµείου Ρ είναι: t t(s) (m) φ ( Ρ) = = π (s) 4(m) 9

10 φ ( ) = ( π t π )(r) () και παριστάνεται από τη γραµµ (β). Ρ Από την εξίσωση () και από την αντίστοιχη γραφικ παράσταση παρατηρούµε ότι η φάση του σηµείου Ρ αρχίζει από t=1 s (τόσο χρόνο χρειάζεται η διαταραχ για να φτάσει στο σηµείο Ρ). Παράδειγµα 3 Μια πηγ τααντώνεται µε συχνότητα f=0,5 Hz µέσα σε οµογενές εαστικό µέσο παράγοντας αρµονικά κύµατα. Η γραφικ παράσταση της φάσης ενός σηµείου Σ του εαστικού µέσου, σε συνάρτηση µε το χρόνο, φαίνεται στο διπανό σχµα. α) Να βρεθεί η φάση του σηµείου Σ τη χρονικ στιγµ t=3 s. β) Αν η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος είναι υ= m/s να βρεθεί πόσο απέχει το σηµείο Σ α- πό την πηγ του κύµατος. φ (r) ( Σ) Απάντηση α) Η φάση του σηµείου Σ δίνεται από τη σχέση: t φ ( Σ) = 1 1 (1) όπου T = = = (s) 1 f 0, 5(s ) Για t=1 s είναι φ ( ) = 0, άρα από την εξίσωση (1) προκύπτει: Σ 1(s) 1 = 0 = (s) () Για t=3 s η εξίσωση (1), µε βάση την () δίνει: 3(s) 1 φ ( Σ) = π (s) φ ( Σ) = π (rad). β) Από το διάγραµµα φ (Σ) =f(t) παρατηρούµε ότι η φάση του σηµείου Σ για το χρονικό διάστηµα (0 1s) είναι µηδέν. ηαδ το κύµα για να φτάσει στο σηµείο Σ χρειάζεται χρόνο τ=1 s. Έτσι, αν το σηµείο Σ απέχει από την πηγ κατά, έχουµε: =υ τ = (m / s) 1(s) = m. 10

11 Παράδειγµα 4 Κατά µκος οµογενούς εαστικού µέσου διαδίδεται διαταραχ, κατά τη φορά του σχµατος. Τρία σηµεία του εαστικού µέσου Α, Β και Γ απέχουν µεταξύ τους απoστάσεις AB= 1 και ΒΓ=. α) Αν η εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σηµείου Β είναι: y(b) = A ηµ ( ωt) = ηµ ω, να γραφούν οι εξισώσεις που περι- γράφουν τις κινσεις των σηµείων Α και Γ. β) Αν 1 = m, =3 m και η διαφορά φάσης µεταξύ των σηµείων Α και Γ είναι φ=5π (rad) να βρεθεί το µκος κύµατος. Απάντηση (to = 0) 1 α) Με βάση τη φορά διάδοσης του κύµατος, το σηµείο Α προηγείται χρονικά της ταάντωσης του σηµείου Β. Άρα η εξίσωση της κίνησης του σηµείου Α είναι (θεωρία): t 1 y(a) = A ηµ π + (1) (το κύµα έρχεται από το Α στο Β) Επίσης, µε βάση τη φορά διάδοσης του κύµατος, το σηµείο Γ καθυστερεί χρονικά της ταάντωσης του σηµείου Β. Άρα η εξίσωση της κίνησης του σηµείου Γ είναι (θεωρία): t y( Γ) = A ηµ π () (το κύµα φεύγει από το Β προς το Γ) t 1 β) Από την εξίσωση (1) είναι: φ ( Α) = + t Από την εξίσωση () είναι: φ ( Γ) = (3) (4) Η διαφορά φάσης µεταξύ των σηµείων Α και Γ είναι: 1 φ=φ ( ) ( ) Α φ Γ = + ( + ) φ= π 1 φ= π 11

12 ( + ) = π φ 1 = π (+ 3)(m) = π (rad) 5 π(rad) = m. 1