ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ προς το Β ώστε ΒΖ=ΓΕ. Α. Να αποδειχτεί ότι ΔΕ=ΑΖ. Β. Αν η προέκταση του ΔΕ τέμνει τηναζ στο Η, να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΗΖΕ είναι ισοσκελές. Γ. Αν ˆ 20 να υπολογιστεί η γωνία ˆ. 2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΔ και την πλευρά ΑΓ προς το μέρος του Γ κατά τμήμα ΓΕ, έτσι ώστε ΒΔ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΕΒ είναι ίσα. Β. Το τρίγωνο ΗΒΓ είναι ισοσκελές, όπου Η το σημείο τομής των ΒΕ, ΔΓ. Γ. Η ευθεία ΑΗ είναι μεσοκάθετη του ΒΓ. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο ώστε ΑΒ<ΑΓ. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΓΑ προς το Α παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι, ώστε ΑΔ=ΑΓ και ΑΕ=ΑΒ. Αν οι ευθείες ΔΕ και ΓΒ τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι: Α. ΔΕ=ΒΓ Β. τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΕΓ είναι ίσα. Γ. Η ΜΑ είναι διχοτόμος της γωνίας BM ο 4. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ = 90 ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε την ΑΜ προς το Μ, κατά τμήμα ΜΔ έτσι ώστε ΜΔ = ΑΜ. Να δείξετε οτι: Α. Τα τρίγωνα ΜΒΔ, ΑΜΓ είναι ίσα Β. ΑΒ=ΓΔ Γ. Η ΒΔ είναι κάθετη στην ΓΔ. 5. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ ( ΑΒ<ΑΓ ) προς το μέρος του Α και στις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα ΑΕ=ΑΓ και ΑΔ=ΑΒ. α) Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. β) Αν οι ευθείες ΒΓ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο Ρ να δείξετε ότι
2 ι) Τα τρίγωνα ΡΒΕ και ΡΔΓ είναι ίσα. ιι) Η ΡΑ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΡΔ. 6. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ<ΑΓ, και η διχοτόμος του ΑΔ. Φέρνουμε τη BE A και η προέκτασή της τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Α) Να δείξετε ότι ΑΓ-ΑΒ=ΓΖ Β) Αν και να δείξετε ότι ΒΗ=ΖΘ Γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΖ είναι ισοσκελές. ************************************************* 7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία ˆ είναι τριπλάσια της ˆ και η ˆ 144. Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Έστω ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. Να υπολογίσετε την γωνία ˆ. 8. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ. Να αποδείξετε ότι : Α. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. Β. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Γ. Το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο με τη ΒΓ ****************************************** 9. Δίνεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΔ αντίστοιχα. Φέρνουμε ΒΚ κάθετη στην ΑΕ η οποία τέμνει την ΓΖ στο Λ. Να δείξετε ότι Α. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. Β. Το τρίγωνο ΒΛΓ είναι ορθογώνιο. Γ. Το τετράπλετρο ΑΕΛΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
3 10. Δίνονται κύκλος (Ο, R) και σημείο Σ εξωτερικό με ΟΣ = 2 R. Αν ΣΑ και ΣΒ τα εφαπτόμενα τμήματα από το Σ προς τον κύκλο και Μ η τομή ΟΣ και κύκλου, να αποδείξετε : Α. ΜΑΣ ˆ = ΜΒΣ ˆ Β. ΑΟΣ ˆ = ΒΟΣ ˆ = 60 Γ. το τρίγωνο ΣΑΒ είναι ισόπλευρο 11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με. Αν Μ,Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα και ΑΗ ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: Α.. Β.. Γ.. 12. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ προς το μέρος του Δ κατά τμήμα ΔΕ=ΒΔ. Έστω Ζ το μέσο της ΑΔ και Η το σημείο τομής των ευθειών ΑΕ και ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: Α.. Β. ΓΖ=ΑΗ. Γ. ΓΖ κάθετη στην ΑΕ. 13. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με κέντρο το σημείο Ο. Στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο, ώστε ΒΕ=ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: Α. οι ευθείες ΓΕ και ΒΔ είναι παράλληλες. 1 Β.. 2 Γ. η γωνία είναι ορθή. 14. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Έστω Ε η προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ, Μ το μέσο της ΓΔ και Ζ το σημείο στο οποίο η ευθεία ΕΜ τέμνει την προέκταση της ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: Α. τα τρίγωνα ΔΜΖ και ΓΜΕ είναι ίσα Β. το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ορθογώνιο Γ. το τρίγωνο ΑΜΖ είναι ισοσκελές Δ.
4 15. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ=ΑΔ. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τη ΒΔ στο σημείο Μ και τη ΔΓ στο σημείο Ε. Α. Να δείξετε ότι: i. H ΒΔ είναι κάθετη στην ΑΕ. ii. Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας. iii. Το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι ρόμβος. Β. Από το σημείο Μ φέρνουμε παράλληλη προς την ΓΔ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ν. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι ΓΔ=3ΑΒ να δείξετε ότι ΜΝ=ΑΒ. 16. Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = 2 ΑΔ. Έστω Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι : Α. Το τετράπλευρο ΑΜΝΔ είναι παραλληλόγραμμο. Β. Η ΔΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΔΓ. Γ. Η γωνία ΓΜΔ είναι ορθή. Δ. Αν η γωνία Α είναι ίση με 120 ο, τότε το τρίγωνο ΜΓΝ είναι ισόπλευρο. 17. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ( ΑΒ// ΓΔ) και Μ το μέσο της πλευράς ΑΔ. Στο σημείο Μ φέρνουμε ευθεία κάθετη προς τη ΒΜ, η οποία τέμνει την ΔΓ στο Ε και την ΑΒ στο Ζ. Αποδείξτε ότι: Α. ΜΕ = ΜΖ Β. Το τρίγωνο ΕΖΒ είναι ισοσκελές. Γ. ΕΒ = ΔΕ +ΔΓ 18. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με,, το ύψος του ΑΔ και το μέσο Μ της πλευράς του ΑΓ. Α. Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας Β. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΔΒΜ είναι ισοσκελές. Γ. Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου ΔΒΜ. 19. Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι : Α = x+40 0, Β = 2x-30 0, Γ = x και Δ = 70 0. Α. Να βρείτε το x.
5 Β. Να δικαιολογήσετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Γ. Αν η περίμετρος του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι 30 και ΑΔ = ΒΓ = 7 να υπολογίσετε την διάμεσο του. 20. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε, Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των τμημάτων ΕΜ και ΔΓ τέμνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΕΒΜ και ΓΜΖ είναι ίσα. Β. Το τετράπλευρο ΑΕΖΓ είναι παραλληλόγραμμο. Γ. Αν η ΑΖ τέμνει τη ΒΓ στο Θ τότε: ι) Το Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΕΓΖ. ιι) 3 21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Φέρνουμε τις διαγώνιες ΑΓ, ΒΔ που τέμνονται στο Ο. Έστω Ε, Ζ τα μέσα των τμημάτων ΟΑ, ΟΓ αντίστοιχα. Α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΟΕ και ΒΟΖ είναι ίσα. Β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο. 22. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΓ >ΑΒ και ΑΗ το ύψος του. Αν Μ και Ρ είναι τα μέσα των ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι: α. ΡΜ // ΑΒ β. το τρίγωνο ΡΗΓ είναι ισοσκελές γ. = 23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ. Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Ν το μέσο της ΔΕ να δείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές β. ΜΝ ΔΕ 24. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90 ). Αν ΑΔ ύψος και ΒΕ διχοτόμος της γωνίας Β, να αποδείξετε ότι: 2 0 α. 45 β. το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές
6 25. Αν Κ, Μ, Ν είναι μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ ορθογωνίου τριγ. ΑΒΓ, να δείξετε ότι : ΚΝ = ΑΜ 26. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ θεωρούμε αντίστοιχα τα ίσα τμήματα ΑΔ και ΑΕ. Αν η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές. 0 27. Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με 90, ΔΓ = 2ΑΒ και 3 Φέρνουμε τη ΒΕ ΔΓ, που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Κ και την ΑΕ που τέμνει την ΒΔ στο σημείο Λ. Να δείξετε ότι: α) 0 45, β) ΒΔ = ΑΕ, γ) ΚΛ = 4 *********************************************** 28. Δίνεται κύκλος (Ο,R), μια διάμετρος ΑΒ και χορδή ΑΓ=R. Φέρνουμε ΟΚ κάθετη στη ΒΓ που η προέκταση της τέμνει τον κύκλο στο Δ. Α. Να δείξετε ότι ΑΓ = 2.ΟΚ Β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΟΔΓ είναι ρόμβος. 29. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και μία διάμετρος του ΑΒ. Φέρουμε τη μεσοκάθετο του ΟΑ που τέμνει την ΟΑ στο Μ και τον κύκλο στο Γ. Να αποδείξετε ότι: Α. Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισόπλευρο. Β. Η ΟΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΓΒ. Γ. ΓΒ = 2ΓΜ.
7
8