Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ Α

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ Α"

Transcript

1 37

2 38 Α. Να αποδείξετε ότι: «Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας» Μονάδες 15 Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε να είναι αληθείς: α. Κάθε σημείο της... ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. β. Κάθε σημείο της... μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της. γ. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει τις διαγωνίους του ίσες είναι. δ. Η διάμεσος του τραπεζίου είναι.. προς τις βάσεις του και ίση με το τους. ε. Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, τότε οι απέναντι γωνίες του είναι.. α. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια της γωνίας Β. Αν είναι Γ εξ = 144 να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου και να χαρακτηρίσετε το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του Μονάδες 1 β. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 90 ) με Β = 30. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΕΖ = ΑΓ Μονάδες 13 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, η διχοτόμος του ΑΔ και Μ το μέσον της ΒΓ. Από το Β φέρνουμε κάθετη στην ΑΔ που τέμνει την ΑΔ στο Ε και την ΑΓ στο Ζ. Δείξτε ότι: α. ΖΓ = ΑΓ ΑΒ Μονάδες 9 β. ΑΓ ΑΒ ΕΜ = Μονάδες 6 γ. ΒΕΜ = 90 + Α Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 90 ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α. Από το Δ φέρνουμε κάθετη στη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. Να δείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΑΒΔΕ είναι εγγράψιμο Μονάδες 1 β. ΔΒ = ΔΕ Μονάδες 13

3 39 Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας Μονάδες 13 Β. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λανθασμένη καθεμία από τις επόμενες προτάσεις: α. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι ίσες β. Εάν ένας ρόμβος έχει τις διαγωνίους του ίσες, τότε είναι τετράγωνο γ. Όταν η διάμεσος ενός τριγώνου είναι και ύψος του, τότε αυτό είναι ισοσκελές δ. Οι διχοτόμοι εφεξής γωνιών είναι κάθετες Μονάδες 1 Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα: ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ. Να δείξετε: α. ΔΕ // ΒΓ Μονάδες 1 β. Η προέκταση της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τη ΔΕ στο μέσο της Μονάδες 13 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = ΒΓ. Θεωρούμε Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα και το τμήμα ΑΕ κάθετο στο ΒΓ. Να δείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΜΒΓΝ είναι ρόμβος Μονάδες 1 β. Το τρίγωνο ΜΕΝ είναι ισοσκελές Μονάδες 13 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α=Δ= 90 και Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν ΒΓ = ΓΔ = ΑΒ να δείξετε ότι: α. το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι ορθογώνιο Μονάδες 4 β. το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 4 γ. η γωνία Γ = 60 Μονάδες 5 δ. ΔΖ κάθετη στη ΒΓ Μονάδες 6 ε. το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο Μονάδες 6

4 40 Α. Να δείξετε ότι, αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο τότε η απέναντι πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 18 Β. Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραμμο ; (Ορισμός) Μονάδες 7 Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ προς το μέρος του Α και στις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα τμήματα ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ. α. Να συγκρίνετε τα τμήματα ΔΕ και ΒΓ β. Αν η προέκταση του ύψους ΑΗ τέμνει τη ΔΕ στο Ζ, να δείξετε ότι το τμήμα ΑΖ είναι ύψος του τριγώνου ΑΔΕ. γ. Είναι η προέκταση της διχοτόμου ΑΝ του τριγώνου ΑΒΓ διχοτόμος του τριγώνου ΑΔΕ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 5 Σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ) φέρνουμε το ύψος ΑΔ και τη διχοτόμο ΒΕ της γωνίας Β. Να αποδείξετε ότι α. AEB = 45 + Γ β. το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές (όπου Ζ το σημείο τομής των ΑΔ και ΒΕ) Μονάδες 15 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ (ΒΓ > ΑΒ) με γωνία Β = 45. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρνουμε κάθετη πάνω στη ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΔΓ (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α. Το ΕΒΖΓ είναι τετράγωνο. Μονάδες 13 β. Το ΕΑΖΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 1

5 41 Α. Πότε ένα παραλληλόγραμμο ονομάζεται ορθογώνιο; Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες; Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : α. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. β. Αν ένα σημείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχει από τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ,τότε η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου. γ. Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του. δ. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του είναι 60 τότε η προσκείμενη σ αυτήν κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας. B Γ Α ε. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : + = 90 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ =ΑΓ) με ΒΓ < ΑΒ. Αν το Δ είναι σημείο της προέκτασης της ΒΓ προς το μέρος του Γ τέτοιο ώστε να είναι ΒΔ = ΒΑ και το Ε σημείο της προέκτασης της ΑΒ προς το μέρος του Β τέτοιο ώστε να είναι ΒΕ = ΓΔ: α. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΔΒΕ Μονάδες 15 β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ισοσκελές. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και ΑΒ < ΓΔ με Δ =30. Από το μέσο Ν της ΒΓ φέρνουμε παράλληλη στην ΑΔ που τέμνει την ΓΔ στο σημείο Ε και την προέκταση της ΑΒ στο σημείο Ζ. α. Να αποδείξετε ότι ΝΕΓ = ΝΓΕ Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΒΓ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 5 γ. Να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΕΒΖΓ. Μονάδες 5 ΑΔ δ. Να αποδείξετε ότι: ΕΒ =. Μονάδες 5 ΔΓ ΑΒ ε. Να αποδείξετε ότι: ΕΓ=. Μονάδες 5 Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ στη προέκταση της διαγωνίου ΒΔ παίρνουμε σημείο Ε ώστε να είναι ΔΕ = ΒΔ. Αν Ζ είναι το μέσο της ΑΔ και Η η τομή των ΑΕ και ΓΔ, να αποδείξετε ότι: ΑΒ α. ΔΗ = Μονάδες 8 β. Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΖΓΔ είναι ίσα. Μονάδες 8 γ. ΓΖ ΑΕ Μονάδες 9 Ε Β Α Γ Δ

6 4 Α. Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές παραλληλόγραμμου είναι ίσες. Μονάδες 13 Β. Να χαρακτηρίσετε στη κόλα σας ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις: α. Κάθε παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. Μονάδες 03 β. Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει ίσες διαγώνιους είναι ορθογώνιο. Μονάδες 03 γ. Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου διχοτομούνται. Μονάδες 03 δ. Αν ένα τετράπλευρο έχει τρεις γωνίες ορθές τότε είναι πάντοτε τετράγωνο. Μονάδες 03 Δίνεται γωνία xoy και Οz η διχοτόμος της. Αν Α, Β σημεία των Οχ και Οψ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΟΑ = ΟΒ και Μ τυχαίο σημείο της Οz να αποδείξετε ότι: Α. ΜΑ = ΜΒ Μονάδες 13 Β. Η ΟΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Μονάδες 1 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ = 90 ) με ˆΒ = 30. Στο μέσον Μ της ΒΓ φέρνουμε κάθετο στη ΒΓ η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Δ. Να αποδείξετε ότι: Α. Η ΓΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Γ Μονάδες 1 Β. ΒΔ = ΑΔ Μονάδες 13 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ˆΑ = ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: Δ = 90 και ΒΓ = ΓΔ = ΑΒ. Αν Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών Α. Το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 05 Β. Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Γ. Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές.

7 43 Θέμα 1 Α. Πότε ένα τραπέζιο λέγεται ισοσκελές; Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ισχύουν: α. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες. Μονάδες 6 β. Οι γωνίες διαγώνιοι του είναι ίσες. Μονάδες 6 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις προτάσεις που ακολουθούν: α. Οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές. β. Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες. γ. Το παραλληλόγραμμο που έχει δύο πλευρές ίσες είναι ρόμβος. α. Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο. Μονάδες 8 Θέμα Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε α- ντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΔ = ΓΕ. Αν οι ΒΕ, ΓΔ τέμνονται στο Ο, να αποδείξετε ότι: α. ΟΒΓ = ΟΓΑ Μονάδες 13 β. ΒΟΓ = 10 Μονάδες 1 Θέμα 3 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ). Από το μέσο Ε της ΑΒ φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές του ΑΔ, ΒΓ που τέμνουν την ΔΓ στα σημεία Ζ, Η αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΔΗ = ΖΓ (ΑΒ: μικρή βάση του τραπεζίου) Θέμα 4 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 90 ) με Β = 30. Αν ή κάθετος στο μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ, να αποδείξετε ότι: Μονάδες 5 α. ΜΔ = ΑΔ Μονάδες 13 β. ΜΔ = ΑB 4 Μονάδες 1

8 44 Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. Μονάδες 15 Β. Γράψτε τα 4 κριτήρια ώστε ένα τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Α Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: i. Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το.. του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. ii. Κάθε επίκεντρη γωνία είναι από την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο. iii. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι και. iv. Το τμήμα που ενώνει τα μέσα των.. ενός τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των.. Β. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και στις προεκτάσεις της ΒΓ παίρνουμε τα σημεία Ε, Ζ έτσι ώστε ΒΕ = ΓΖ. Μονάδες 08 Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. Μονάδες 17 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με A = Δ = 90 ο, ΑΒ // ΓΔ και ισχύει ΑΒ = ΓΔ = ΒΓ. Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι: i. το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι ορθογώνιο Μονάδες 05 ii. το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 05 iii. η γωνία Γ = 60 ο Μονάδες 05 iv. ΔZ BΓ Μονάδες 05 v. το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 05) Στο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ το σημείο Μ είναι μέσο της ΒΓ και η ΑΔ διχοτόμος. Φέρνουμε την κάθετη από το Β στην ΑΔ, που τέμνει την ΑΔ στο σημείο Ε και την ΑΓ στο Ζ. Να δείξετε ότι: i. το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές Μονάδες 06 ii. ΕΜ // ΑΓ και ΕΜ = ΑΓ ΑΒ Μονάδες 15 iii. ΔΕΜ = 1 A Μονάδες 04

9 45 α. Να αποδείξετε ότι: Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ΑΒΓ είναι ορθές, δηλαδή Α+Β +Γ =180 β. Να γράψετε τα 3 κριτήρια ισότητας τριγώνων. Μονάδες 5 Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της (Β): Στήλη (Α) τετράπλευρα 1. Ορθογώνιο. Τετράγωνο 3. Ρόμβος Στήλη (Β) ιδιότητες α. Δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και άνισες β. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και τέμνονται κάθετα γ. Είναι παραλληλόγραμμο και όλες οι πλευρές του είναι ίσες δ. Το άθροισμα των γωνιών του είναι 300 ε. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες Β. Να απαντήσετε με σωστό ή λάθος: α. Κάθε σημείο της διχοτόμου γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της. β. Αν παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. γ. Η διάμεσος προς την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. δ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι ίσες. ε. Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Μονάδες 5 Να βρείτε το x στα παρακάτω σχήματα: A 3x Γ χ ε x 10 B Γ A x B 35 δ Α. Β. Α= 90 Γ. ε // δ Μονάδες 5 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 70cm, Δ 30cm Γ ΓΔ = 30 cm και ΑΔ = ΒΓ = cm Να βρεθεί: Ε Ζ α. η περίμετρος Π του τραπεζίου και β. η διάμεσος ΕΖ. A 70cm Μονάδες 5 B

10 46 α. Δείξατε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές Μονάδες 15 β. Αναφέρατε τα κριτήρια που εξασφαλίζουν ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ. Αν Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ α- ντίστοιχα να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της βάσης του ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 5 α. το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου Μονάδες 15 β. η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές μεταξύ τους Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρουμε το ύψος ΑΔ και τη διχοτόμο ΑΕ. Να αποδείξετε ότι Β Γ ΔΑΕ = Μονάδες 5

11 47 Θέμα 1 o Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου από την κορυφή της ορθής Β 1. γωνίας, είναι το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 9 Τι ονομάζεται βαρύκεντρο ενός τριγώνου και τι ιδιότητα έχει. Β. Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ και τι ιδιότητα έχει. Μονάδες 6 Γ. Να γράψετε το (Σ) ή (Λ) στις προτάσεις : α. Oι διαγώνιες ενός ρόμβου είναι ίσες β. To άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν - γώνου είναι (ν ) 180 γ. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει Αεξ+ Βεξ + Γεξ = 360 δ. Δυο γωνίες με πλευρές παράλληλες είναι ίσες. ε. Σ ένα τραπέζιο η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων. Θέμα o Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και προεκτείνω την ΒΑ κατά τμήμα ΑΔ = ΑΒ και την ΓΑ κατά τμήμα ΑΕ = ΑΓ και τη διάμεσο ΜΑ του τριγώνου ΑΒΓ, η οποία τέμνει τη ΔΕ στο Κ. Να αποδείξετε ότι : Α. ΔΕ = ΒΓ Μονάδες 7 Β. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΔΚ είναι ίσα. Μονάδες 8 Γ. Η ΑΚ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΔΕ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ) με Γ ΑΒ < ΑΓ η διάμεσος ΑΜ και το ύψος του ΑΔ. Αν η γωνία ΑΜΒ είναι 60, να αποδείξετε ότι: Α. Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΔ. Δ Β. ΑΜ ΜΔ = Γ. ΒΓ ΒΔ = 4 60 M A B Μονάδες 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Δ,Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Α. Η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι διπλάσια από την περίμετρο του τριγώνου ΔΕΖ. Μονάδες 7 Β. Τα τμήματα ΑΔ, ΖΕ διχοτομούνται. Μονάδες 8 Γ. Τ α τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο.

12 48 Α. Να αποδείξετε ότι, αν δυο ευθείες ε 1 και ε τέμνονται από τρίτη (ε) και σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Β. Δώστε τον ορισμό του παραλληλογράμμου. Γ. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση: α. Οι διαγώνιοι οποιουδήποτε ισοσκελούς τραπεζίου i. είναι κάθετες ii. είναι ίσες iii. διχοτομούνται iv. είναι διχοτόμοι των γωνιών του β. Δύο κύκλοι (Ο, R), (Κ, R) με ΟΚ = R i. τέμνονται ii. Δεν έχουν κοινά σημεία iii. εφάπτονται εξωτερικά iv. εφάπτονται εσωτερικά Δ. Χαρακτηρίστε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τα παρακάτω α. Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής β. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 γ. Το ίχνος της διαμέσου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, ισαπέχει από τις τρεις κορυφές του τριγώνου Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 90 ) του διπλανoύ 5 σχήματος είναι ΔΕ ΑΒ, ΑΔ =ΔΒ = 4, ΑΓ = 6 και ΓΕ = 5, Αν το σημείο Μ είναι το μέσο του ΕΒ, να υπολογιστούν τα τμήματα x, y. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ΑΜ η διάμεσος του : α. Να υπολογίσετε τη γωνία Γ β. Να αποδείξτε ότι ΒΓ = 4ΑΔ. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει Α = Α = 90 ) είναι 6 Γ x E A 4 4 Δ Γ = 5Β. Αν το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου και Δ = 90, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και Β = 60. Φέρνουμε την ΓΜ ΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε, Ζ των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α. Το ΑΒΓΔ είανι τραπέζιο β. ΗΒ = ΕΖ γ. Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. y M B

13 49 Α. Να αποδείξετε ότι: «Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους». Μονάδες 11 Β. Να αντιστοιχίσετε τη Στήλη Α (Τετράπλευρα) στη Στήλη Β (Ιδιότητες τετραπλεύρων) Στήλη Α: Στήλη Β: 1. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τραπέζιο 3. Ρόμβος α. Δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και άνισες. β. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και τέμνονται κάθετα. γ. Είναι παραλληλόγραμμο και όλες οι πλευρές του είναι ίσες. δ. Το άθροισμα των γωνιών του είναι 400 ε. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Μονάδες 6 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο γραπτό σας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό ή Λάθος. 1. Οι εντός, εκτός και εναλλάξ γωνίες είναι παραπληρωματικές.. Τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου και τα μέσα των μη-παραλλήλων πλευρών είναι συνευθειακά σημεία 3. Το περίκεντρο είναι σημείο τομής των υψών του τριγώνου. 4. Η διάμεσος προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου διαιρεί το τρίγωνο σε δύο ισοσκελή τρίγωνα. Μονάδες 8 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ=ΑΓ) και Κ, Λ τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Στο Κ φέρνουμε κάθετη στην ΑΒ που τέμνει την ευθεία ΒΓ στο Δ και στο Λ φέρνουμε κάθετη στην ΑΓ που τέμνει την ευθεία ΓΒ στο Ε. Να αποδείξετε ότι: α. ΚΔ = ΕΛ. Α β. ΕΒ=ΔΓ. Μονάδες 6 γ. Το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) η διχοτόμος της γωνίας του Β τέμνει τη διάμεσό του ΕΖ στο Η και τη ΔΓ στο Θ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΓΘΒ είναι ισοσκελές. β. Το Η είναι το μέσο του ΒΘ. γ. ΓΗ ΒΘ ΑΒ + ΔΓ ΒΓ δ. ΕΗ = Μονάδες Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Έστω τυχαίο σημείο Ε της πλευράς του ΓΔ και η διχοτόμος της γωνίας ΒΑΕ τέμνει την ΒΓ στο Ζ. Από το Δ φέρνουμε κάθετη στην ΑΖ, που τέμνει την ΑΖ στο σημείο Θ,την ΑΕ στο σημείο Η και την ΑΒ στο Ι. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΗΔΕ είναι ισοσκελές β. Τα τρίγωνα ΑΔΙ και ΒΑΖ είναι ίσα. γ. ΑΕ = ΒΖ+ΔΕ Μονάδες Δ Ε Ε Α Θ Β Κ Η Λ Γ Β 1 Ζ Γ Δ

14 50 Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου, την οποία φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Β. Να αναφέρετε τα κριτήρια βάσει των οποίων καθορίζεται ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις: (Σωστό ή Λάθος) α. Εάν οι διαγώνιοι ενός κυρτού τετραπλεύρου διχοτομούνται και είναι κάθετες τότε είναι υποχρεωτικά τετράγωνο. β. Εάν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες. γ. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Μονάδες Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του ΑΔ και η διάμεσός του ΑΜ. Προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ κατά ίσο τμήμα ΔΚ = ΑΔ και τη διάμεσο κατά ίσο τμήμα ΜΝ = ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΑΒΝΓ είναι παραλληλόγραμμο. β. Το τετράπλευρο ΒΚΝΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο Δίνεται μία γωνία ΑΟΒ. Κατασκευάζουμε την εσωτερική διχοτόμο ΟΕ και την εξωτερική διχοτόμο ΟΖ της γωνίας και στην αντικείμενη της ημιευθεία της ΟΑ θεωρούμε τυχαίο σημείο Γ. Από το Γ φέρνουμε παράλληλη προς την ΟΕ, η οποία τέμνει την ΟΒ στο σημείο Δ.. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ισοσκελές, β. ΓΔ ΟΖ + 15 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο σημείο Δ. Προεκτείνουμε επίσης τη ΔΑ προς το μέρος της κορυφής Α κατά τμήμα ΑΕ = ΔΒ. Να αποδείξετε ότι: α. Tο τρίγωνο ΔΑΓ είναι ισοσκελές. β. ΓΕ = ΓΔ γ. ΒΓΕ = Γ Α

15 51 Θέμα 1 o A. Να γράψετε, χωρίς να αποδείξετε, τις τρεις ιδιότητες που ισχύουν σε κάθε παραλληλόγραμμο. B. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Θέμα o Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(AB = AΓ) και το Ι σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β, Γ. Να αποδείξετε ότι : Α. Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. Β. Η AI είναι διχοτόμος της γωνίας Α. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ. Αν Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ α- ντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Θέμα 4 o Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΕ = ΒΖ. Α. ΑΖ = ΔΕ. Β. ΑΖ ΔΕ

16 5 Θέμα 1 A. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μια από τις προτάσεις. α. Aν δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες τότε τα αντίστοιχα αποστήματα είναι ίσα. β. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η A εξ είναι μεγαλύτερη από τη Β γ. Κάθε ρόμβος είναι τετράγωνο. δ. Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ δύο αμβλείες γωνίες ε. Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιες είναι ίσες Β. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 τότε η απέναντι πλευρά της Θέμα είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. Μονάδες 15 Δίνεται γωνία xαy και τυχαίο σημείο Δ της διχοτόμου της. Από το Δ φέρνουμε κάθετο στη διχοτόμο στο σημείο Δ η οποία τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία Β και Γ. α. Να δεχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β. Αν xay = 60 Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. γ. Να δειχθεί ότι η ΑΔ είναι μεσοκάθετος στην ΒΓ. Μονάδες 5 Θέμα 3 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε το ύψος του ΑΔ και στην προέκταση του προς το μέρος το Δ παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ = ΑΔ. Αν το σημείο Μ είναι μέσο της ΒΕ, το Κ μέσο της ΒΜ και το Λ μέσο της ΑΔ, να αποδείξετε ότι: α. Το ΑΔΜΒ είναι τραπέζιο. Μονάδες 1 β. Το ΚΛ = 3ΑΒ 4 Θέμα 4 Μονάδες 13 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = ΑΓ και το σημείο Μ μέσο της πλευράς ΒΓ. Αν η ΑΜ προεκτεινόμενη προς το Μ τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο σημείο Ε Να αποδείξετε ότι: α. ΑΜ ΒΓ Μονάδες 6 β. ΑΜ = ΜΕ Μονάδες 7 γ. ΑΒΕΓ είναι ρόμβος. Μονάδες 6 δ. Το σημείο Γ είναι μέσο του τμήματος ΔΕ. Μονάδες 6

17 53 Α. Να αποδείξετε την πρόταση : Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. B. Να χαρακτηρίσετε σωστές (Σ) η λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της είναι σημείο της διχοτόμου. Σ Λ β. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει μία γωνία οξεία. Σ Λ γ. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της Σ Λ δ. Οι διαγώνιες του ρόμβου τέμνονται κάθετα Σ Λ ε. Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με την ημιδιαφορά τους. Σ Λ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ το μέσον της βάσης του ΒΓ. Αν Δ, Ε σημεία στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ώστε ΑΔ=ΑΕ, να αποδείξετε ότι: A Μονάδες 15 α. Τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΜΕ είναι ίσα Μονάδες 9 β. ΑΜ διχοτόμος της γωνίας ΔΜΕ Μονάδες 7 γ. Τα τρίγωνα ΔΒΜ και ΕΜΓ είναι ίσα Μονάδες 9 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ =ΑΔ N και Μ,Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ Δ Γ αντίστοιχα. Αν είναιδε ΒΓ να δείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΒΓΝΜ είναι ρόμβος B Δ E Γ E β. Το τρίγωνο ΜΕΝ είναι ισοσκελές. A B M γ. Η ΕΜ διχοτομεί τη γωνία ΒΕΝ Μονάδες Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 90 ) και Β = 60. Η κάθετη στο μέσον Μ της ΒΓ τέμνει την παράλληλη από το Γ προς την ΑΒ στο Κ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΚΒΓ είναι ισόπλευρο. β. Αν η προέκταση της ΚΜ τέμνει την ευθεία ΒΑ στο Ρ να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΓΚΒΡ είναι ρόμβος. Μονάδες P Γ A M B K

18 54 Α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180. Β. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις: α. Η κοινή χορδή δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της διακέντρου. β. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες. γ. Δύο κύκλοι που έχουν διαφορά ακτίνων μικρότερη από τη διάκεντρο, δεν έχουν κοινά σημεία. δ. Κάθε τετράπλευρο που έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες είναι ρόμβος. ε. Κάθε τετράπλευρο που έχει τρεις ορθές γωνίες είναι ορθογώνιο. Μονάδες 15 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ) και στις προεκτάσεις της ΒΓ τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Αν είναι ΔΖ ΑΒ και ΕΗ ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΕΓΗ είναι ίσα. Μονάδες 15 β. ΓΖ = ΒΗ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ότι: Α= 60 και ΑΓ = ΑΒ. Αν Δ είναι το μέσο της ΑΓ να αποδειχτεί α. το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισόπλευρο β. το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές Μονάδες 5 γ. ΑΒΓ = 90 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Δ, Ε, Ζ μέσα αντίστοιχα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και ΑΗ ύψος του τριγώνου. α. Να δείξετε ότι το ΔΗΖΕ είναι τραπέζιο β. Να δείξετε ότι το ΔΗΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 15

19 55 Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). α. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν μία γωνία του είναι οξεία. β. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές γ. Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο πλευρές ίσες. δ. Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30, τότε η απέναντι από αυτή την γωνία πλευρά του, είναι το μισό της υποτείνουσας ε. Η εξωτερική γωνία Α εξ του τριγώνου ΑΒΓ είναι μικρότερη από τη γωνία Β του τριγώνου. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και η διάμεσος του ΑΜ. Από το Γ φέρουμε την ημιευθεία Γx ΒΓ προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το σημείο Α (όπως φαίνεται στο σχήμα) και παίρνουμε σε αυτή τμήμα ΓΔ = ΑΒ. Να δείξετε ότι: A B M Γ Δ α. Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές Μονάδες 8 β. ΑΜ // ΓΔ Μονάδες 8 γ. Η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑΓ Μονάδες 9 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A =1 ) και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το σημείο Δ φέρουμε ΔΕ ΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α. ΑΔ = ΔΕ Μονάδες 8 β. ΖΔΒ = ΒΔΓ Μονάδες 8 γ. Το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισοσκελές Μονάδες 9 Z Θέμα 4 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Β = 45 ο και ΑΚ το ύψος του τριγώνου. Επιπλέον Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα. Οι ευθείες ΚΖ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΖΕΔΒ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 7 β. Ισχύει ΔΕ = ΚΖ Μονάδες 8 γ. Το τρίγωνο ΜΖΕ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο Δ Γ A E B x

20 56 Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με τις λέξεις Σωστό ή Λάθος α. Το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των 180º β. Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος γ. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της δ. Κάθε ρόμβος είναι τετράγωνο ε. Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου τέμνονται κάθετα Σε ευθεία ε παίρνουμε τρία ίσα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ. Στο ίδιο ημιεπίπεδο σχηματίζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΒΚΔ και ΔΛΕ. Να αποδείξετε ότι: α. Η γωνία ΓΛΕ είναι ορθή Μονάδες 15 β. Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΛ είναι κάθετο στο ΚΔ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ και η διχοτόμος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α. ΑΔΓ ΑΔΒ = Β Γ β. Β Γ ΑΔΒ = 90 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με 3 ΓΔ = ΑΒ Μονάδες 15 α. Αν Ε, Ζ, Η είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ και ΔΕ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι το ΑΒΖΗ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 15 β. Αν η προέκταση της ΑΗ τέμνει τη ΓΔ στο Θ, τότε ΘΔ = ΔΓ ΑΒ

21 57 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Β. Να γράψετε συμπληρωμένες τις παρακάτω προτάσεις στην κόλλα σας: α. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δυο πλευρών τριγώνου είναι... και ίσο με... β. Αν από το μέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλη προς τη πλευρά ΑΒ, αυτή θα περάσει και από. γ. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α= 90 και Μ μέσο της ΒΓ, τότε η διάμεσος ΑΜ ισούται με δ. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο μη παράλληλων πλευρών τραπεζίου είναι.. και ισούται με. ε. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται και.. τις γωνίες του. Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ) το Δ είναι τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ. Το Ε είναι το σημείο στο οποίο ο κύκλος με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΒ τέμνει τη ΒΓ. A Μονάδες 15 α. Να δείξετε ότι ΔΕΒ = B E Γ Β β. Να δείξετε ότι η ΔΕ είναι παράλληλη στην ΑΓ. γ. Να δείξετε ότι ΒΔΕ =Α Μονάδες 5 Δ Γ Το διπλανό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ = ΒΓ και Ε μέσο της ΑΒ. A E B α. Να δείξετε ότι οι ΔΕ και ΓΕ είναι διχοτόμοι των Γ, Δ αντίστοιχα β. Να δείξετε ότι ΔΕΓ = 90 Μονάδες 15 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ ισχύει Α = Δ = 90, ΓΔ = α, ΑΒ = α και Γ = 10. α. Αν ΓΚ είναι το ύψος του τραπεζίου, να δείξετε ότι το ΑΚΓΔ είναι ορθογώνιο Μονάδες 5 β. Να υπολογιστεί η πλευρά ΒΓ σαν συνάρτηση του α. γ. Να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο Δ A Δ α Γ α 60 B

22 58 Θέμα 1 o Α. Τι λέγεται παραλληλόγραμμο; (ορισμός) Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. Μονάδες 1 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λάθος. α. Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες. β. Η διάκεντρος δυο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής τους χορδής. γ. Δύο τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και μια γωνία ίση. δ. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο, όταν μια γωνία του είναι οξεία. Μονάδες 8 Θέμα o Σε μια χορδή ΑΒ ενός κύκλου με κέντρο το σημείο Ο παίρνουμε δυο εσωτερικά σημεία Γ και Δ για τα οποία ισχύει ότι ΑΓ = ΒΔ. Να αποδείξετε ότι : α. Οι γωνίες ΑΟΓ και ΒΟΔ είναι ίσες. Μονάδες 15 β. Το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. Θέμα 3 o Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Γ εξ = 150, Α = 4Β. Να δείξετε ότι : α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β. Αν η ΑΔ είναι κάθετη στη ΒΓ (Δ σημείο της ΒΓ) τότε : Θέμα 4 o ΑΔ = Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τις διαμέσους ΒΜ και ΓΝ και στις προεκτάσεις τους παίρνουμε ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ = ΒΜ, ΝΕ = ΓΝ. Να δείξετε ότι : α. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 5 β. ΑΔ = ΑΕ γ. Τα σημεία Α, Δ, Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. ΑΓ

23 59 Θέμα 1 o α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε. από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 15 β. Τι ονομάζεται κέντρο βάρους τριγώνου και ποιες οι ιδιότητές του ; Θέμα o Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι αν οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο σημείο Δ, τότε το τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές. Μονάδες 5 Από το έγκεντρον Ι τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη της ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΒΔ + ΓΕ. Μονάδες 5 Θέμα 4 o Να αποδείξετε ότι αν δυο κάθετα τμήματα έχουν τα άκρα τους στις απέναντι πλευρές τετραγώνου, τότε είναι ίσα. Μονάδες 5

24 60 Α. Να αποδείξετε ότι: η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 15 Β. Συμπληρώστε τα κενά, αντιγράφοντας στην κόλλα σας ολόκληρες τις προτάσεις. α. Ορθόκεντρο τριγώνου λέγεται. β. Βαρύκεντρο τριγώνου λέγεται.. γ. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με. δ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου έχουν τις εξής ιδιότητες α, β. ε. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 τότε η απέναντι πλευρά του είναι ίση με. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A = 60 και ΑΓ = ΑΒ. Αν Δ είναι το μέσο της ΑΓ, να δείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισόπλευρο Μονάδες 9 β. Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές Μονάδες 8 γ. Η ABΓ = 90 Μονάδες 8 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρνουμε το ύψος του ΑΔ και προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά τμήμα ΓΜ = ΒΓ. Αν Κ είναι το μέσο της ΑΜ και η ΔΚ τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο σημείο Ε, να δειχθεί ότι: α. ΚΓ//ΑΒ Μονάδες 5 β. Τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΔΚΓ είναι ίσα. Μονάδες 7 γ. Το ΒΚΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 8 δ. ΑΜ ΕΔ = Μονάδες 5 Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα ΔΕ = ΒΔ. Αν Ζ είναι το μέσο της ΑΔ και Η το σημείο τομής των ΑΕ και ΓΔ, να δείξετε ότι: α. ΑΒ ΔΗ = Μονάδες 7 β. Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΖΓΔ είναι ίσα. Μονάδες 8 γ. Η ΓΖ είναι κάθετη στην ΑΕ.

25 61 Α. Να δείξετε ότι: «Η απόλυτη τιμή του γινομένου δυο αριθμών ισούται με το γινόμενο των απόλυτων τιμών τους». Μονάδες 15 Β. Να συμπληρώσετε τα κενά ν ν α. α β =..., όταν α, β θετικοί. β. α + β. α + β γ. α β α β = δ. Αν x 1, x είναι οι ρίζες του τριωνύμου αx + βx + γ, α 0, τότε αx + βx + γ = α(x...)(x...). ε. Το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, γίνεται ετερόσημο του α όταν Δ και το x βρίσκεται Μονάδες 5 =10 Α. Να μετατρέψετε την παράσταση σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή: Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( 1) 5( 1)( +1 ) + ( +1) Α. Να λυθούν οι ανισώσεις: Μονάδες 15 α. x 1 x 1 x < 3 3 β. x 1> + 10 Β. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων Μονάδες 5 Δίνεται η εξίσωση x λx + λ 1= 0, όπου λ πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές β. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ρίζες x 1, x της εξίσωσης ικανοποιούν τη σχέση: ( x+ x+ 3) ( xx ) = 7 Μονάδες

26 6 Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι, αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με 30, τότε η πλευρά του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία αυτή είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Β. Να δώσετε τον ορισμό του τραπεζίου και τον ορισμό του ισοσκελούς τραπεζίου. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μια από τις προτάσεις που α- κολουθούν: α. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι ίσες. β. Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μία αμβλεία γωνία. γ. Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. δ. Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. ε. Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν οι δύο πλευρές του είναι ίσες. Θέμα Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Στις προεκτάσεις της πλευράς ΒΓ παίρνουμε σημεία Δ και Ε έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Μονάδες 13 β. Η διχοτόμος ΑΖ του τριγώνου ΑΒΓ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΔΕ. Μονάδες 1 Θέμα 3 Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και οι ίσες χορδές του ΑΒ και ΓΔ, όπως στο διπλανό σχήμα. Οι προεκτάσεις των ΒΑ και ΔΓ τέμνονται στο σημείο Κ. Αν ΟΛ και ΟΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΚΟΛ και ΚΟΜ είναι ίσα. B Μονάδες 9 β. ΚΑ = ΚΓ Δ Μονάδες 9 γ. Το τρίγωνο ΚΒΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 Θέμα 4 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΔΓ) είναι A = Δ = 90, ΔΓ = ΑΒ και Γ = 45. Φέρνουμε τη ΒΕ ΔΓ, που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Κ. Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΑΒΕΔ τέμνονται στο σημείο Λ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 β. Το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι τετράγωνο. Μονάδες 6 γ. ΒΔ = ΑΕ. Μονάδες 6 δ. Το τετράπλευρο ΛΚΓΔ είναι τραπέζιο με ΛΚ = 1 ΔΓ Μονάδες 7 4 A Δ A O K Γ B Ε 45 Γ

27 63 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της Β. Να δώσετε τον ορισμό: πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 6 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι σωστή, ή αν η πρόταση είναι λανθασμένη α. Οι διαγώνιοι κάθε παραλληλογράμμου διχοτομούν τις γωνίες του β. Οι γωνίες με πλευρές κάθετες είναι πάντα ίσες γ. Το σημείο τομής των υψών τριγώνου ονομάζεται ορθόκεντρο Μονάδες 9 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στις προεκτάσεις της βάσης ΒΓ προς τα Β και Γ σχεδιάζουμε ευθύγραμμα τμήματα ΓΕ = ΒΔ. α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Μονάδες 1 β. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι ΒΝ = ΓΜ Μονάδες 13 Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είνα ΑΒ = ΒΓ και Β >90. Φέρνουμε την ΑΕ κάθετη στη ΒΓ και έστω Ζ, Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Δ Z Γ A H B E α. Το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος Μονάδες 8 β. ΗΖ = ΗΒ = ΗΕ Μονάδες 8 γ. Το ΕΖ είναι διχοτόμος της ΗΕΓ Μονάδες 9 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α= 90 ) με Γ = 30 η κάθετη στο μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο Ν. M α. Να δείξετε ότι ΓΝ = ΝΜ Μονάδες 5 β. Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΝΒ Μονάδες 5 γ. Να δείξετε ότι N Γ 30 A ΓΝ ΑΝ = Μονάδες 8 B δ. ΑΓ ΜΝ = 3 Μονάδες 7

28 64 Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Μονάδες 13 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν σε παραλληλόγραμμο δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι ορθογώνιο. β. Αν σε τραπέζιο δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι ισοσκελές. γ. Το τετράπλευρο που οι διαγώνιες τέμνονται κάθετα είναι ρόμβος. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια της γωνίας Β. Αν Μονάδες 1 Γ εξ = 144, να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: α. Aπό τη βάση Μονάδες 13 β. Aπό τις ίσες πλευρές Μονάδες 1 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και Μ το μέσο της ΒΓ. Αν η ΔΜ τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Κ, να δείξετε ότι ΚΓΔ = 135. Μονάδες 5

29 65 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α= 90 και Β = 30 ισχύει: ΒΓ ΑΓ = Β. Να γράψετε δίπλα σε κάθε έναν από τους ισχυρισμούς ένα (α), για να δηλώσετε ότι είναι αληθής ή ένα (ψ) στη αντίθετη περίπτωση. α. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι ίσα όταν Α=Δ, ΑΒ = ΕΖ, ΑΓ = ΔΕ Μονάδες 5 β. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α= 90, η ΒΓ είναι διπλάσια της διαμέσου ΑΜ γ. Αν δύο γωνίες φ και ω είναι συμπληρωματικές της γωνίας θ τότε φ = ω Μονάδες 5 Μονάδες 5 α. Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο Ι. Αν Α= 70 να υπολογίσετε τη ΒΙΓ. Μονάδες 15 β. Αν η παράλληλη από το Ι στη ΒΓ τέμνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα στα σημεία Δ,Ε να δειχθεί ότι :ΔΕ = ΔΒ +ΕΓ. α. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τα ύψη ΒΕ, ΓΔ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να δειχθεί ότι: το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές. Μονάδες 0 β. Να δειχθεί ότι: ΑΒΕ = ΑΓΔ. Μονάδες 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο η διάμεσος ΑΜ είναι κάθετη στην πλευρά ΑΒ (ΑΜ ΑΒ). Αν Β = 60 και ΑΔ το ύψος στη ΒΓ α. να δειχθεί ότι: 1 ΒΔ = ΒΓ. Μονάδες 15 8 β. Αν Ε το μέσο της ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΜΕ = ΒΔ.

30 66 Α. Σε τρίγωνο ΑΒΓ τα Δ, Ε είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο στη ΒΓ και ίσο με το μισό της ΒΓ Μονάδες 15 Β. Τι λέγεται τετράγωνο; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Αν ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ΔΒ ΑΒ = ΔΓ ΑΓ β. Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτονται εξωτερικά, αν και μόνο αν ΚΛ = R + ρ γ. Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την επίκεντρη που βαίνει στο τόξο της χορδής Μονάδες 6 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α. Η ΔΕ διχοτομεί τη ΒΓ Μονάδες 15 β. Τα Β, Γ ισαπέχουν από τη ΔΕ Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Φέρουμε από το Γ ευθεία κάθετη στη ΒΓ που τέμνει τον κύκλο στο Δ. α. Να αποδείξετε ότι ΑΒ ΑΔ Μονάδες 13 β. Προεκτείνουμε τη ΒΑ κατά τμήμα ΑΕ = ΑΒ. Να αποδείξετε ότι ΑΓΔ =ΑΕΔ Μονάδες 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 6, ΒΓ=10, ΑΓ= 9, η διχοτόμος του ΑΔ και Μ το μέσο της ΒΓ. Α. Να αποδείξετε ότι ΒΔ = 4 Μονάδες 9 Β. Από το Μ φέρουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΓ που τέμνει την ΑΔ στο Ε α. Να υπολογίσετε το λόγο ΕΔ ΕΑ β. Να υπολογίσετε τα τμήματα που η ευθεία ΒΕ χωρίζει την ΑΓ Μονάδες 6

31 67 : Α. Να δείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Β. Να διατυπώσετε τον ορισμό και τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου. Μονάδες 5 Γ. Να συμπληρώσετε με λέξεις ή προτάσεις τα παρακάτω κενά: α. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση.. β. Το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή λέγεται.. γ. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι.... Μονάδες 6 Δ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ότι: α. Σε κάθε τραπέζιο, τα μέσα των διαγωνίων και τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών είναι συνευθειακά. β. Οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές. Μονάδες 4 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ =ΑΓ) με τέτοιο ώστε ΑΔ = ΒΓ. Α = 100 και σημείο Δ της ημιευθείας ΑΒ α. Να υπολογιστούν οι γωνίες Β και Γ. Μονάδες 8 α. Αν Ε είναι σημείο της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΕ = ΒΔ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΔ. γ. Να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΓΕ. Μονάδες 7 : Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ κατά τμήματα ΔΕ = ΑΔ και ΜΝ = ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: α. ΔΜ//ΕΝ Μονάδες 7 β. Το τρίγωνο ΑΕΝ είναι ορθογώνιο Μονάδες 5 γ. Το ΑΒΝΓ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 5 δ. Το ΒΕΝΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο Μονάδες 8 : α. Να αποδείξετε ότι, αν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ, με ΑΒ//ΓΔ, οι διχοτόμοι των γωνιών του Α και Β τέμνονται κάθετα, τότε είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 15 β. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τραπέζιο του οποίου η διάμεσος να διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του.

32 68 Α. Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Τι ονομάζουμε απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε ; Μονάδες 5 B. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της είναι σημείο της διχοτόμου της. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). α. Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος. β. Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες τέμνονται κάθετα. γ. Σε ορθογώνιο τρίγωνο που μια γωνία του είναι 60, η απέναντι κάθετη πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. δ. Η διάμεσος τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των βάσεών του. ε. Ένα τραπέζιο που έχει τις γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του ίσες, έχει και ίσες διαγώνιους. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΓΔ = ΑΒ. Έστω Μ το μέσον της ΑΒ, Ν το μέσον της ΒΔ και Ρ το μέσον της ΑΓ. Να δείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΜΝΡ είναι ισοσκελές Μονάδες 1 β. ΝΡ = ΑΒ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ( Να δείξετε ότι: Μονάδες 13 Α = 45 ). Φέρνουμε τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ, και έστω Μ το μέσο της ΒΓ. α. ΜΔ = ΜΕ β. ΔΜΕ = 90 Μονάδες 15 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε την ΑΓ ΑΓ με ΑΓ = ΑΓ και την ΑΒ ΑΒ με ΑΒ = ΑΒ. Φέρνουμε επίσης την διάμεσο ΑΜ και στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα ΜΖ =ΑΜ Να αποδείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΑΒΖΓ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 5 β. Τα τρίγωνα Β ΓΆ και ΑΓΖ είναι ίσα γ. ΑΜ Β Γ.

33 69 Θέμα 1 o Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο, οι διαγώνιες διχοτομούνται από το σημείο τομής τους. Β. Τι ονομάζεται διάμεσος τραπεζίου και τι ιδιότητες έχει; Μονάδες 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν σ ένα τρίγωνο μια διάμεσος είναι και ύψος τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β. Τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα γ. Οι διαγώνιες του ρόμβου είναι ίσες. δ. Αν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Μονάδες 8 Θέμα o Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΔ. Αν Ε, Ζ και Η είναι τα μέσα των ΒΔ, ΑΔ, και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : α. ΖΗ//ΒΓ Μονάδες 5 ΒΓ β. ΖΗ= 4 γ. Το ΕΖΗΔ είναι παρ/μο. Θέμα 3 o Δίνεται κύκλος (Ο,R), δυο ίσες χορδές του ΑΒ και ΓΔ και τα αποστήματά τους ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των ΒΑ και ΔΓ τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ είναι ίσα. Μονάδες 15 β. ΜΑ = ΜΓ και ΜΒ = ΜΔ Θέμα 4 o Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ˆΑ = ˆΔ = 90 και ΓΔ = μέσα των ΑΒ, ΒΓ, και ΔΕ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι : 3 ΑΒ, (ΑΒ//ΓΔ). Αν Ε, Ζ, και Η είναι τα α. Το τετράπλευρο ΑΒΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. β. Το τετράπλευρο ΕΒΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. γ. Αν οι ΑΓ και ΒΔ τέμνουν την ΗΖ στα σημεία Κ και Λ και τα μήκη των ΑΒ και ΓΔ είναι ΑΒ = 4 και ΓΔ = 6 να βρεθεί το μήκος του ΚΛ. Μονάδες 5

34 70 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες : α. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. β. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος ; 1. Κάθε τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιες είναι ρόμβος.. Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Μονάδες 8 Μονάδες 7 3. Αν σε ένα τρίγωνο μια διχοτόμος του είναι και ύψος, τότε αυτό είναι ισοσκελές. 4. Σε κάθε τρίγωνο μια εξωτερική του γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι γωνιών του. 5. Το κάθετο τμήμα από το κέντρο ενός κύκλου σε μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή. Έστω ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. β. Το τετράπλευρο ΔΕΖΒ είναι ρόμβος. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : α. ΕΖ = ΑΓ A = 90º και β. αν ΑΗ είναι το ύψος προς την υποτείνουσα, τότε ΑΒ = ΑΗ. Μονάδες 5 B= 30º. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ και Μονάδες 5 Στο εξωτερικό ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΔΖ και ΒΓΕ, όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Να αποδείξετε ότι ΖΒ = ΔΕ β. Να αποδείξετε ότι το ΖΒΕΔ είναι παραλληλόγραμμο γ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΓΕ Μονάδες 5

35 71 Α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με ορθές Μονάδες 13 B. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α. Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με β. Κάθε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου ισούται με. γ. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται με. δ. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν γώνου ισούται με.. Μονάδες 1 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΔ και προς το μέρος του Γ κατά τμήμα ΓΕ ώστε να ισχύει ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Μονάδες 5 Α Ε Β Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του διπλανού 10 σχήματος η γωνία Α είναι ίση με 10 και η διχοτόμος της γωνίας Δ τέμνει την ΑΒ στο Ε. Δ Ζ α. Να υπολογίσετε τη γωνία Δ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Μονάδες 8 β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Μονάδες 8 γ. Αν ΕΖ ΔΓ να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΕΖ Μονάδες 9 Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (O, R) και μια διάμετρος ΑΒ. Από ένα τυχαίο σημείο Μ του κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη (ε) του κύκλου και τις προβολές Γ, Δ των σημείων Α, Β αντίστοιχα πάνω στην (ε) α. Να αποδείξετε ότι η ΟΜ είναι διάμεσος του Δ Μ Γ ε Α Β Ο τραπεζίου ΑΒΔΓ Μονάδες 1 β. Να αποδείξετε ότι ΟΓ = ΟΔ Μονάδες 13 Γ

36 7 Θέμα 1 o α. Να αποδείξετε ότι: i. Οι απέναντι πλευρές παραλληλόγραμμου είναι ίσες. Μονάδες 8 ii. Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Μονάδες 8 β. Nα αντιστοιχίσετε κάθε τριάδα αξιοσημείωτων ευθειών του τριγώνου που βρίσκονται στην στήλη Α του πίνακα, στο σημείο της στήλης Β στο οποίο συντρέχει. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α. Διχοτόμοι 1. Περίκεντρο β. Ύψη. Βαρύκεντρο γ. Διάμεσοι 3. Εγκεντρο δ. Μεσοκάθετοι 4. Ορθόκεντρο Μονάδες 4 γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος(λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: i. Αν σε τρίγωνο μια διάμεσος είναι διχοτόμος του, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ii. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία. iii. Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία ίση τότε είναι ίσα. iv. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ˆΒ = Α ˆ + Γˆ τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο ˆΒ v. Αν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση μα το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Μονάδες 5 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ).Προεκτείνουνε τη ΒΓ κατά τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Μονάδες 5 Δύο κύκλοι με ακτίνες ρ και 4ρ έχουν διάκεντρο δ = 30. Να βρεθούν οι τιμές του ρ για τις οποίες οι κύκλοι: i. Εφάπτονται εσωτερικά. Μονάδες 8 ii. Ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου. Μονάδες 8 iii. Τέμνονται. Μονάδες 9 Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Σε κύκλο (Ο,R) φέρομε χορδή ΑΒ = R, την οποία προεκτείνουμε κατά ΒΓ = R. Στην προέκταση της ΟΑ θεωρούμε σημείο Ζ έτσι ώστε ΟΖ = ΟΓ. Η προέκταση της ΓΟ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: i. Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 8 ii. ΕΑ ΖΓ Μονάδες 8 iii. ΕΖ ΑΓ Μονάδες 9

37 73 Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 13 Β. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λανθασμένες. α. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούν τις γωνίες του. β. Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος. γ. Σε κάθε τραπέζιο τα μέσα των διαγωνίων και τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών είναι συνευθειακά. δ. Αν ένας ρόμβος έχει ίσες διαγώνιους, τότε είναι τετράγωνο. Μονάδες 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ. Αν Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 5 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Αν οι κάθετες από τα Α και Γ στη ΒΔ την τέμνουν στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι: α. ΑΕ = ΓΖ Μονάδες 1 β. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 13 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παίρνουμε σημεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ΔΝ. Να αποδείξετε ότι: α. ΝΚ = ΚΛ Μονάδες 1 β. Το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. Μονάδες 13

38 74 Θέμα 1 o Α. Χαρακτηρίστε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις: α. Δύο γωνίες με τις πλευρές τους κάθετες μία προς μία είναι πάντα ίσες. β. Μία εξωτερική γωνία τριγώνου ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη από κάθε εσωτερική γωνία του τριγώνου. γ. Υπάρχει τετράπλευρο που οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και δεν είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 3 Β. Επιλέξτε συμπληρώστε τις ορθές απαντήσεις στα παρακάτω: α. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος ΑΔ είναι και ύψος του τριγώνου, το τρίγωνο είναι: Ισόπλευρο Ισοσκελές Σκαληνό Ορθογώνιο. β. Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές όταν: Οι διαγώνιοί του είναι κάθετες, Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, Δύο γωνίες του είναι ίσες. γ. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ μία γωνία του ισούται με 30 ο τότε η απέναντι πλευρά του είναι Μονάδες 6 Γ. Τι λέγεται τραπέζιο και τι διάμεσος τραπεζίου; Μονάδες 6 ΒΓ Δ. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος ΑΜ =, να αποδείξετε ότι ˆΑ = 90 Θέμα o Δίνεται σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ,το ύψος του ΑΔ και τα Κ, Λ, Μ μέσα των πλευρών του AB, AΓ, BΓ αντίστοιχα. Να αποδείξτε ότι: α. ΚΛ // = ΒΓ, β. ΚΔ = ΑΒ, γ. ΚΜ = ΛΔ. Μονάδες Δίνεται το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του ΑΔ και ΒΕ, και το ορθόκεντρό του σημείο Η. Στην ΕΓ παίρνουμε το σημείο Ζ τέτοιο ώστε ΑΕ = ΖΕ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές, β. ΔΑΓ = ΕΒΓ γ. Το τετράπλευρο ΒΗΖΓ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Μονάδες Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ = 90 ). Με διάμετρο την ΑΒ γράφουμε κύκλο που τέμνει την ΒΓ στο Μ. Η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ τέμνει την ΑΓ στο Δ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ορθογώνιο, β. Το Δ είναι μέσο του ΑΓ Μονάδες

39 75 Α. Να αποδείξετε ότι αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή και (Λ), αν η πρόταση είναι λανθασμένη, δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι το ένα τρίτο του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. β. Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας, είναι ίση με το μισό της μιας κάθετης πλευράς. γ. Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν γώνου είναι ν 4 ορθές. δ. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι κάθετες Μονάδες 8 Γ. Να συμπληρώσετε την πρόταση: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι.. προ την τρίτη πλευρά και ίσο με. Μονάδες Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) η μεγάλη του βάση ΑΒ είναι διπλάσια της πλευράς ΑΔ και η γωνία Β = 60. Αν δίνεται ότι το μήκος της πλευράς ΑΔ είναι α να υπολογίσετε συναρτήσει του α α. Το μήκος της βάσης ΓΔ του τραπεζίου Μονάδες 15 β. Το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου ΕΖ Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρουμε το ύψος του ΑΗ και ονομάζουμε Μ και Ρ τα μέσα των πλευρών του ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΗΡΓ είναι ισοσκελές Μονάδες 8 β. Η γωνία ΡΜΓ = Β Μονάδες 6 γ. Η γωνία ΗΡΜ = Β Γ Μονάδες 11 H Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις πλευρές ΑΒ και ΓΔ τα σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε να είναι 1 1 Δ Θ Γ ΒΕ = ΑΒ και ΔΖ = ΓΔ. Έστω επίσης Η το σημείο Z 3 3 τομής των ευθειών ΑΔ και ΕΖ. Από το σημείο Ε φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τη ΓΔ στο A σημείο Θ. E B α. Να αποδείξετε ότι το ΕΒΓΘ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι ΖΔ = ΖΘ Μονάδες 5 γ. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΗΖ και ΖΘΕ. δ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΘΗ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 5

40 76 Α. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 να αποδείξετε ότι η απέναντι κάθετη πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 6 Β. Αναφέρετε δύο ομοιότητες και δύο διαφορές που έχουν το ορθογώνιο και ο ρόμβος μεταξύ τους. Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σ ή Λ κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ανάλογα με το αν θεωρείτε την πρόταση Σωστή ή Λάθος. α. Αν τα ύψη ΑΔ και ΒΕ τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο Η τότε η ευθεία ΓΗ είναι κάθετη στην πλευρά ΑΒ. Σ Λ β. Δύο ισοσκελή τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι πάντα ίσα. Σ Λ γ. Κάθε σημείο της διαμέσου ΑΔ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με βάση τηνβγ απέχει εξίσου από τις ίσες πλευρές του τριγώνου Σ Λ δ. Ένα παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγώνιους είναι τετράγωνο. Σ Λ ε. Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με το άθροισμα των εντός και απέναντι γωνιών. Σ Λ Μονάδες 15 Α. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ) με Μ, Ν μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Αν το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου να βρεθεί η περίμετρος του τετραπλεύρου ΑΜΔΝ συναρτήσει των πλευρών ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου. Μονάδες 1 Β. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και από την κορυφή του Α φέρουμε μία ευθεία ε παράλληλη προς την ΒΓ. Φέρνουμε τις διχοτόμους των γωνιών Β και Γ του τριγώνου οι οποίες τέμνουν την ευθεία ε στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΕΔ = ΑΒ + ΑΓ. Μονάδες 13 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και στις πλευρές του ΑΔ και ΔΓ παίρνουμε σημεία Ζ, Ε τέτοια ώ- στε ΑΖ = ΔΕ. Αν Κ το σημείο τομής των ΑΕ και ΒΖ με Μ, Ν τα μέσα των ΚΕ, ΒΕ αντίστοιχα να δείξετε ότι: α. ΑΕ = ΒΖ Μονάδες 8 β. ΑΕ ΒΖ Μονάδες 5 γ. Το τετράπλευρο ΚΒΝΜ είναι τραπέζιο Μονάδες 7 δ. Το τρίγωνο ΚΝΕ είναι ισοσκελές Μονάδες 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ). Φέρουμε την διάμεσο ΑΜ και στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα ΜΝ = ΜΑ. Α. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΝΓ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 9 Β. Στη συνέχεια φέρουμε το ύψος ΑΗ το οποίο προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα ΗΔ = ΗΑ. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές Μονάδες 5 β. Το τετράπλευρο ΒΓΝΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο Μονάδες 11

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Α. Να δείξετε ότι αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30º, τότε η

ΘΕΜΑΤΑ. Α. Να δείξετε ότι αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30º, τότε η ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α 19 Α. Να δείξετε ότι αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30º, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB 2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε

Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε

Διαβάστε περισσότερα

Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Κόλλιας Σταύρος  1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ ΕΘ είναι ίσες 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A τα ύψη του ΒΔ ΓΕ Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β

Διαβάστε περισσότερα