Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών

12 Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών Περιεχόμενα Κεφαλαίου 12.1 Ορισμός Προβλήματος και Αλγόριθμος Ωμής Βίας... 348 12.2 Αλγόριθμος Rabin-Karp................... 350 12.3 Αλγόριθμος Boyer-Moore-Horspool............. 352 12.4 Πολλαπλά Πρότυπα και Προσεγγιστικό Ταίριασμα... 355 12.5 Βιβλιογραφική Συζήτηση.................. 356 12.6 Ασκήσεις............................ 356 347

348 Κεφάλαιο 12. Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών Ένα από τα κλασικότερα προβλήματα σχετικά με τη διαχείριση κειμένου είναι αυτό του ταιριάσματος συμβολοσειρών (string matching). Στην απλούστερη έκφανση του προβλήματος ένας αλγόριθμος ταιριάσματος συμβολοσειρών λαμβάνει ως είσοδο μια συμβολοσειρά και ένα πρότυπο και επιστρέφει Αληθές, αν το πρότυπο εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά μέσα στη συμβολοσειρά και Ψευδές σε αντίθετη περίπτωση. Εναλλακτικά, ο αλγόριθμος είναι δυνατό να επιστρέψει τη θέση μιας ταύτισης μέσα στη συμβολοσειρά, το πλήθος των συνολικών ταυτίσεων ή να πραγματοποιήσει αναζήτηση με πολλαπλά πρότυπα. Το ταίριασμα συμβολοσειρών βρίσκει εφαρμογή σε ένα πλήθος πεδίων και αντικειμένων, όπως επεξεργαστές κειμένου, βιοπληροφορική, υπολογιστική βιολογία, συστήματα εντοπισμού εισβολών κ.α. Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο, θα δώσουμε αρχικά έναν τυπικό ορισμό του προβλήματος συνοδευόμενο από έναν απλοϊκό αλγόριθμο που το επιλύει. Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε δύο χαρακτηριστικούς αλγορίθμους: τον αλγόριθμο Rabin-Karp και τον αλγόριθμο Horspool. Τέλος, θα συνοψίσουμε με μια αναφορά σε τεχνικές ταύτισης για πολλαπλά πρότυπα και σε τεχνικές προσεγγιστικής ταύτισης. 12.1 Ορισμός Προβλήματος και Αλγόριθμος Ωμής Βίας Αρχικά, ορίζουμε ως αλφάβητο ένα σύνολο Σ μεγέθους σ = Σ το οποίο αποτελείται από ένα πεπερασμένο πλήθος συμβόλων και συμβολίζουμε με Σ το σύνολο όλων των πεπερασμένων συμβολοσειρών που σχηματίζονται με βάση τα σύμβολα του Σ. Παραδείγματα αλφάβητων αποτελούν το ελληνικό αλφάβητο {α, β, γ,..., ω}, το δυαδικό αλφάβητο {0, 1}, το αλφάβητο των αζωτούχων βάσεων των νουκλετιδίων {A, G, C, T } κ.α. Στη συνέχεια, παραθέτουμε έναν τυπικό ορισμό για το πρόβλημα του ταιριάσματος συμβολοσειρών. Ορισμός 12.1. Έστω T [1..n], T Σ ένα κείμενο (text) μεγέθους n = T και P [1..m], P Σ ένα πρότυπο (pattern) μεγέθους m = P. Στο πρόβλημα του ταιριάσματος συμβολοσειρών σκοπός είναι να βρεθούν όλες οι θέσεις s, 0 s n m στο T, έτσι ώστε να ισχύει T [s + 1..s + m] = P [1..m]. Για παράδειγμα, για το κείμενο T = abrarabraba και το πρότυπο P = bra υπάρχουν δύο ταυτίσεις και συγκεκριμένα στις θέσεις 2 και 7 του T. Ίσως ο πιο απλός τρόπος για να επιλυθεί το πρόβλημα είναι με έναν αλγόριθμο Ωμής Βίας ο οποίος λειτουργεί ως εξής: Πρώτα από όλα, η αρχή του προτύπου τοποθετείται στην ίδια θέση με την αρχή του κειμένου και συγκρίνονται ένας-ένας οι χαρακτήρες του κειμένου και του προτύπου για να διαπι-

12.1. Ορισμός Προβλήματος και Αλγόριθμος Ωμής Βίας 349 PLACEHOLDER FOR ch12_bruteforcestring Σχήμα 12.1: Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου ταιριάσματος συμβολοσειρών Ωμής Βίας, όπου T = abbrrab και P = br. στωθεί αν υπάρχει ταύτιση. Αν υπάρχει ταύτιση, επιστρέφεται η θέση του T στην οποία αυτή συνέβη και ο αλγόριθμος συνεχίζει μετατοπίζοντας το πρότυπο κατά μία θέση δεξιά. Σε περίπτωση που κατά τις συγκρίσεις διαπιστωθεί μία ασυμφωνία χαρακτήρων ο αλγόριθμος μετατοπίζει το πρότυπο κατά μία θέση δεξιά και επαναλαμβάνει τα ίδια βήματα. Η διαδικασία τερματίζεται όταν έχουν ελεγχθεί όλοι οι χαρακτήρες του κειμένου με το πρότυπο. Παρακάτω παρουσιάζεται ο ψευδοκώδικας του αλγορίθμου, ενώ ένα παράδειγμα εκτέλεσης βρίσκεται στο Σχήμα 12.1. Προσέξτε ότι με το συγκεκριμένο ψευδοκώδικα επιστρέφεται η θέση του κειμένου που συμβαίνει μόνο το πρώτο ταίριασμα και -1 αν δεν υπάρχει κάποιο ταίριασμα. Με τις κατάλληλες αλλαγές (γραμμές 5-6) είναι δυνατό ο ψευδοκώδικας να επιστρέφει τις θέσεις όλων των ταιριασμάτων. Algorithm BruteForceSM(T[1..n], P[1..m]) 1. for (i=1; i<=n-m+1; i++) 2. j=1; 3. while (j<=m && T[i+j-1]==P[j]) 4. j++; 5. if (j==m+1) 6. return i; 7. return -1; Ο αλγόριθμος Ωμής Βίας απαιτεί O(nm) συνολικό χρόνο, καθώς υπάρχουν O(n) πιθανές μετακινήσεις του προτύπου σε σχέση με το κείμενο και σε κάθε μια μετακίνηση πραγματοποιούνται O(m) συγκρίσεις χαρακτήρων. Ως εκ τούτου, η επίδοση του δεν είναι ιδιαίτερα γρήγορη και γι αυτό το λόγο η χρήση του συνίσταται, όταν το μέγεθος του κειμένου και του προτύπου είναι σχετικά μικρά. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε αλγορίθμους που είτε επιταχύνουν τη σύγκριση μεταξύ προτύπου και κειμένου είτε μετακινούν το πρότυπο με πιο αποδοτικό τρόπο.

350 Κεφάλαιο 12. Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών 12.2 Αλγόριθμος Rabin-Karp Μια πρώτη βελτίωση σε σχέση με τον αλγόριθμο Ωμής Βίας είναι ο αλγόριθμος Rabin-Karp ο οποίος και πάλι μεταφέρει το πρότυπο κατά μία θέση δεξιά σε κάθε επανάληψη, αλλά φιλοδοξεί επίσης να εκτελέσει τις συγκρίσεις κειμένου και προτύπου με έξυπνο τρόπο. Για να το πετύχει αυτό, ο αλγόριθμος εκμεταλλεύεται το γεγονός ότι κάθε συμβολοσειρά είναι δυνατό να αναπαρασταθεί ως ένας αριθμός (τιμή) με τη χρήση μιας συνάρτησης κατακερματισμού και ότι δύο ίδιες συμβολοσειρές έχουν ίσους αριθμούς για την ίδια συνάρτηση κατακερματισμού. Πιο συγκεκριμένα, ο αλγόριθμος ακολουθεί την ίδια διαδικασία με τον αλγόριθμο Ωμής Βίας αλλά αντί να συγκρίνει αυτούσιες συμβολοσειρές, συγκρίνει τους αριθμούς που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της εφαρμογής μιας συνάρτησης κατακερματισμού. Αρχικά, υπολογίζει έναν αριθμό για τη συμβολοσειρά του προτύπου και σε κάθε βήμα υπολογίζει έναν αριθμό για την υποσυμβολοσειρά του κειμένου που εξετάζεται εκείνη τη στιγμή. Αν οι δύο αριθμοί είναι ίσοι, τότε οι δύο συμβολοσειρές εξετάζονται χαρακτήρα προς χαρακτήρα καθώς είναι δυνατό και δύο διαφορετικές συμβολοσειρές να αντιστοιχηθούν στον ίδιο αριθμό. Αν οι δύο συμβολοσειρές είναι ίδιες, τότε ο αλγόριθμος αναφέρει την ταύτιση, ενώ σε αντίθετη περίπτωση η διαδικασία επαναλαμβάνεται στο υπόλοιπο μέρος του κειμένου. Ο ψευδοκώδικας του αλγορίθμου Rabin-Karp αναγράφεται παρακάτω. Algorithm RabinKarpSM(T[1..n], P[1..m]) 1. hash_pattern = hash(p[1..m]); 2. hash_string = hash(t[1..m]); 3. for (i=1; i<=n-m+1; i++) 4. if hash_string == hash_pattern then 5. j=1; 6. while (j<=m && T[i+j-1]==P[j]) 7. j++; 8. if (j==m+1) then 9. return i; 10. hash_string = hash(t[i+1..i+m]); 11. return -1; Για την εφαρμογή μιας συνάρτησης κατακερματισμού σε μια συμβολοσειρά μήκους m χαρακτήρων απαιτείται O(m) χρόνος. Παρατηρείστε ότι και αυτός ο αλγόριθμος έχει O(nm) πολυπλοκότητα στη χειρότερη περίπτωση κα-

12.2. Αλγόριθμος Rabin-Karp 351 θώς, αν επιλέξουμε μια «κακή» συνάρτηση κατακερματισμού η οποία αντιστοιχίζει συμβολοσειρές σε ένα μικρό σύνολο αριθμών 1, η γραμμή 4 θα επαληθεύεται συχνά με αποτέλεσμα οι γραμμές 5-9, που έχουν συνολικό κόστος O(m), να εκτελεστούν πολλές φορές. Στη πράξη, αυτό μπορεί να αποφευχθεί με τη χρήση συναρτήσεων κατακερματισμού οι οποίες προσφέρουν ικανοποιητική διακριτική ικανότητα μεταξύ των συμβολοσειρών. Προτού μελετήσουμε το είδος των συναρτήσεων κατακερματισμού που μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τον αλγόριθμο, πρέπει να αναφερθούμε στη γραμμή 10 και στην εφαρμογή της συνάρτησης κατακερματισμού στην εκάστοτε υποσυμβολοσειρά T [i + 1..m + i]. Αν σε κάθε επανάληψη υπολογίζεται εκ νέου η τιμή για κάθε συμβολοσειρά, αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου να είναι ίση με O(nm). Αυτό μπορούμε να το αποφύγουμε, παρατηρώντας ότι ανά πάσα στιγμή η τιμή hash_string για τη συμβολοσειρά T [i + 1..i + m] μπορεί να βασιστεί στη τιμή hash_string της συμβολοσειράς T [i..m + i 1], η οποία έχει ήδη υπολογιστεί στο προηγούμενο βήμα της επανάληψης. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα είδος κυλιόμενης συνάρτησης κατακερματισμού (rolling hash function), η οποία αντιστοιχίζει σε κάθε χαρακτήρα της συμβολοσειράς μια τιμή που εξαρτάται από τη θέση του μέσα στη συμβολοσειρά. Για παράδειγμα, η συμβολοσειρά S= abra μπορεί να αναπαρασταθεί από την τιμή hash(abra) = (97 7 3 ) + (98 7 2 ) + (114 7 1 ) + (97 7 0 ) = 38968, όπου 97, 98, 114 είναι οι ASCII αναπαραστάσεις των χαρακτήρων a, b, r αντίστοιχα και ο αριθμός 7 αντιστοιχεί σε μια βάση στην οποία εκφράζεται η τιμή hash(abra) 2. Έστω ότι στην επόμενη επανάληψη του αλγορίθμου προκύπτει η συμβολοσειρά brab. Τότε, για να υπολογίσουμε την τιμή hash(brab), θα αφαιρέσουμε από την τιμή hash(abra) την ποσότητα που αντιστοιχεί στο πρώτο a, θα πολλαπλασιάσουμε το υπόλοιπο με τη βάση και τέλος θα προσθέσουμε τη ποσότητα που αντιστοιχεί στο τελευταίο b. Αναλυτικότερα: hash(brab) = [38968 (97 7 3 )] 7 + (98 7 0 ) = 39977 Με αυτό τον τρόπο, η γραμμή 10 απαιτεί O(1) χρόνο σε κάθε επανάληψη, καθώς η τιμή hash(t [i+1..i+m]) θα υπολογιστεί με βάση την τιμή hash(t [i..i+ m 1]) που έχει υπολογιστεί στο αμέσως προηγούμενο βήμα της επανάληψης. 1 Ένα ακραίο παράδειγμα θα ήταν μια συνάρτηση hash(string) = c, c R η οποία αποδίδει σε κάθε συμβολοσειρά string την ίδια σταθερά c. 2 Συνήθως ως βάση επιλέγεται ένας πρώτος αριθμός

352 Κεφάλαιο 12. Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών 12.3 Αλγόριθμος Boyer-Moore-Horspool Οι αλγόριθμοι που παρουσιάστηκαν μέχρι αυτό το σημείο είχαν ως κοινό γνώρισμα τη μετατόπιση του προτύπου μία θέση δεξιά κατά τις διαδοχικές συγκρίσεις με το κείμενο. Στη συγκεκριμένη ενότητα θα αναλύσουμε τον αλγόριθμο Boyer-Moore-Horspool, ο οποίος κάνει χρήση ενός κανόνα για τη μετακίνηση του προτύπου σε σχέση με το κείμενο κατά περισσότερες από μία θέσεις. Ο αλγόριθμος τοποθετεί την αρχή του προτύπου στην ίδια θέση με την αρχή του κειμένου και συγκρίνει διαδοχικά τους χαρακτήρες τους. Αν διαπιστωθεί ταύτιση τότε αυτή αναφέρεται, ενώ σε αντίθετη περίπτωση το πρότυπο μετατοπίζεται κάτα ένα πλήθος θέσεων δεξιότερα. Σκοπός του αλγορίθμου είναι να μετατοπίσει το πρότυπο κατά όσο το δυνατόν περισσότερες θέσεις χωρίς να παραλειφθεί κάποιο ενδεχόμενο ταίριασμα. Οι μετατοπίσεις πραγματοποιούνται από τα αριστερά προς τα δεξιά, ενώ οι συγκρίσεις των συμβολοσειρών του προτύπου και του κειμένου από τα δεξιά προς τα αριστερά (δηλαδή από το τέλος του προτύπου προς την αρχή). Έστω ότι κατά τη διάρκεια των συγκρίσεων μεταξύ των υποσυμβολοσειρών του προτύπου και του κειμένου διαπιστωθεί μια ασυμφωνία χαρακτήρων. Τότε, αν με το σύμβολο c συμβολίζουμε τον χαρακτήρα του κειμένου που είναι ευθυγραμμισμένος με τον τελευταίο χαρακτήρα του προτύπου, διακρίνουμε τέσσερις περιπτώσεις: Περίπτωση 1 Η ασυμφωνία προκύπτει στον χαρακτήρα c και δεν υπάρχουν χαρακτήρες με την τιμή του c στο πρότυπο. Σε αυτή την περίπτωση μετακινούμε το πρότυπο κατά m θέσεις. c T[1].. W..T[n] EXAMPLE EXAMPLE Περίπτωση 2 Η ασυμφωνία προκύπτει στον χαρακτήρα c και υπάρχουν χαρακτήρες με την τιμή του c στο πρότυπο. Σε αυτή την περίπτωση μετακινούμε το πρότυπο, έτσι ώστε να ευθυγραμμιστεί η δεξιότερη εμφάνιση του c στο πρότυπο με το c του κειμένου.

12.3. Αλγόριθμος Boyer-Moore-Horspool 353 c T[1].. P..T[n] PROPOSAL PROPOSAL Περίπτωση 3 Η ασυμφωνία προκύπτει αριστερότερα του c και το c δεν υπάρχει στους m 1 πρώτους χαρακτήρες του προτύπου. Αυτή η περίπτωση είναι αντίστοιχη με την Περίπτωση 1 και το πρότυπο θα μετακινηθεί κατά m θέσεις. c T[1].. ASAL..T[n] PROPOSAL PROPOSAL Περίπτωση 4 Η ασυμφωνία προκύπτει αριστερότερα του c και το c υπάρχει στους m 1 πρώτους χαρακτήρες του προτύπου. Αυτή η περίπτωση είναι αντίστοιχη με την Περίπτωση 2 και το πρότυπο θα μετακινηθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε να ευθυγραμμιστεί η δεξιότερη εμφάνιση του c στο πρότυπο με το c του κειμένου. c T[1].. VER..T[n] STRANGER STRANGER Οι παραπάνω περιπτώσεις μπορούν να κωδικοποιηθούν εύκολα με ένα προεπεξεργαστικό βήμα κατά το οποίο υπολογίζεται το πλήθος των θέσεων μετατόπισης ανάλογα με τον χαρακτήρα c του κειμένου. Αναλυτικότερα, δημιουργούμε έναν πίνακα μετατοπίσεων σ θέσεων, στον οποίο το κάθε κελί αντιστοιχεί σε έναν χαρακτήρα από το αλφάβητο. Έπειτα, αρχικοποιούμε κάθε κελί με την τιμή m και για κάθε χαρακτήρα που εμφανίζεται στις m 1 πρώτες θέσεις του προτύπου, τοποθετούμε στο κελί του το πλήθος των θέσεων που απέχει η δεξιότερη εμφάνισή του από τον τελευταίο χαρακτήρα του προτύπου. Για παράδειγμα για το αλφάβητο {A, G, C, T } και το πρότυπο AAGATATTAG έχουμε τον Πίνακα 12.1. Ο αλγόριθμος κατασκευής του πίνακα μετατοπίσεων αναγράφεται παρακάτω.

354 Κεφάλαιο 12. Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών Algorithm GenerateShiftTable(P[1..m]) 1. for (i=1; i<=m; i++) do 2. table[i] = m; 3. for (j=1; j<=m-1; j++) do 4. table[p[j]] = m-j; 5. return table; A G C T 1 7 10 2 Πίνακας 12.1: Πίνακας μετατοπίσεων για το αλφάβητο {A, G, C, T } και το πρότυπο AAGATATTAG Με βάση όλα τα παραπάνω ο αλγόριθμος Boyer-Moore-Horspool παίρνει την ακόλουθη μορφή: Algorithm Boyer-Moore-HorspoolSM(T[1..n], P[1..m]) 1. table = GenerateShiftTable(P[1..m]); 2. i = m; 3. while i<=n do 4. k=0; 5. while k<=m-1 and P[m-k]=T[i-k] do 6. k=k+1; 7. if k==m then 8. return i-m+1; 9. else 10. i = i+table[t[i]] 11. return -1; Αρχικά δημιουργείται ο πίνακας μετατοπίσεων σε O(σ + m) χρόνο και ευθυγραμμίζεται η αρχή του προτύπου με την αρχή του κειμένου. Στη συνέχεια, εκτελούνται οι συγκρίσεις από τα δεξιά στα αριστερά και όποτε διαπιστωθεί ασυμφωνία η μετατόπιση γίνεται με βάση τον πίνακα μετατοπίσεων (γραμμή 10). Ένα παράδειγμα εκτέλεσης για Σ = {a, b, r}, T = abbrrab και P = rab παρουσιάζεται στο Σχήμα 12.2. Ο αλγόριθμος Boyer-Moore-Horspool απαιτεί O(nm) χρόνο στη χειρότερη περίπτωση, ωστόσο είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι ο μέσος αριθμός συγκρίσεων για ένα χαρακτήρα είναι μεταξύ 1/σ και 2/(σ + 1).

12.4. Πολλαπλά Πρότυπα και Προσεγγιστικό Ταίριασμα 355 PLACEHOLDER FOR ch12_horspool Σχήμα 12.2: Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου ταιριάσματος συμβολοσειρών Boyer-Moore-Horspool, όπου Σ = {a, b, r}, T = abbrrab και P = rab. 12.4 Πολλαπλά Πρότυπα και Προσεγγιστικό Ταίριασμα Στη συγκεκριμένη ενότητα θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά σε παραλλαγές και επεκτάσεις του προβλήματος ταιριάσματος συμβολοσειρών το οποίο εξετάσαμε μέχρι τώρα. Μια επέκταση στο αρχικό πρόβλημα είναι η ύπαρξη πολλαπλών προτύπων αντί ενός. Πιο συγκεκριμένα, στο πρόβλημα της ταύτισης πολλαπλών προτύπων δίνεται ένα κείμενο και ένα σύνολο προτύπων και ζητείται να επιστραφούν οι θέσεις του κειμένου στις οποίες πραγματοποιείται ταύτιση με κάποιο από τα πρότυπα. Ένας απλοϊκός τρόπος επίλυσης θα ήταν να εκτελεστεί ένας αλγόριθμος ταιριάσματος συμβολοσειρών για κάθε πρότυπο και στο τέλος να συγκεντρωθούν και να επιστραφούν όλες οι λύσεις. Ωστόσο, μπορούμε να προσαρμόσουμε τον αλγόριθμο Rabin-Karp, για να πετύχουμε το ίδιο αποτέλεσμα με τον εξής τρόπο: Αντί, αρχικά, να εφαρμόζουμε την συνάρτηση κατακερματισμού σε μία συμβολοσειρά-πρότυπο, την εφαρμόζουμε σε κάθε ένα από τα πολλαπλά πρότυπα και συλλέγουμε όλες τις τιμές σε μια δομή συνόλου. Έτσι, σε κάθε βήμα ο αλγόριθμος ελέγχει αν η τιμή για το τμήμα του κειμένου που εξετάζει εκείνη τη στιγμή είναι ίση με κάποια από τις τιμές μέσα στο σύνολο και συνεχίζει τη διαδικασία κατά το γνωστό τρόπο. Μια παραλλαγή στο κλασικό πρόβλημα είναι αυτή του προσεγγιστικού ταιριάσματος συμβολοσειρών κατά το οποίο σκοπός είναι να βρεθούν συμβολοσειρές σε ένα κείμενο οι οποίες ταιριάζουν προσεγγιστικά με ένα πρότυπο. Μια μετρική για το πόσο ταιριάζουν δύο συμβολοσειρές είναι η Απόσταση Μετασχηματισμού (edit distance) η οποία μετράει το πλήθος των ενεργειών (εισαγωγή χαρακτήρα, διαγραφή χαρακτήρα, αλλαγή χαρακτήρα) που πρέπει να εφαρμοστούν στη μία συμβολοσειρά, έτσι ώστε να προκύψει η άλλη. Για παράδειγμα, η απόσταση μετασχηματισμού μεταξύ των συμβολοσειρών example και excellent είναι 5. Τότε ένας τυπικός ορισμός για το πρόβλημα είναι: Για ένα κείμενο T [1..n] και ένα πρότυπο P [1..m] να βρεθεί η υποσυμβολοσειρά T [i..j] η οποία έχει την ελάχιστη απόσταση μετασχηματισμού από το P σε σχέση με όλες τις υποσυμβολοσειρές του T. Τη λύση στο πρόβλημα μπορεί να τη δώσει ένας αλγόριθ-

356 Κεφάλαιο 12. Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών μος Ωμής Βίας κατά τον οποίον υπολογίζεται η απόσταση μετασχηματισμού του P από κάθε υποσυμβολοσειρά του T και επιλέγεται η ελάχιστη. Ωστόσο, αν δεχθούμε ότι ο υπολογισμός της απόστασης μετασχηματισμού μεταξύ δύο συμβολοσειρών απαιτεί O(nm) χρόνο, ο παραπάνω αλγόριθμος Ωμής Βίας θα απαιτούσε O(n 3 m) χρόνο συνολικά. Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί λύσεις οι οποίες βασίζονται στις γνωστές τεχνικές σχεδίασης (π.χ. δυναμικό προγραμματισμό) και πετυχαίνουν καλύτερη απόδοση. 12.5 Βιβλιογραφική Συζήτηση Ο αλγόριθμος Rabin-Karp προτάθηκε στο [6], ενώ ο αλγόριθμος Boyer-Moore- Horspool, ο οποίος αποτελεί παραλλαγή του αλγορίθμου Boyer-Moore [3], προτάθηκε στο [5]. Άλλοι αλγόριθμοι για ταίριασμα συμβολοσειρών είναι οι αλγόριθμοι των Knuth-Morris-Pratt [7] και των Apostolico-Giancarlo [2]. Πειραματικά αποτελέσματα σχετικά με την απόδοση των αλγορίθμων έχουν παρουσιαστεί από τον Lecroq [8]. Για το ταίριασμα πολλαπλών προτύπων, πέρα από τον αλγόριθμο Rabin- Karp, έχουν προταθεί οι αλγόριθμοι Aho-Corasick [1] και Commentz-Walter [4], ενώ μια καλή αφετηρία στο πρόβλημα του προσεγγιστικού ταιριάσματος είναι η εργασία του Navarro [9]. 12.6 Ασκήσεις 1. Για κείμενο T = 5621718, πρότυπο P = 71 και συνάρτηση κατακερματισμού η οποία αντιστοιχίζει κάθε υποσυμβολοσειρά με το άθροισμα των χαρακτήρων της (π.χ. hash(t [1..2]) = T [1]+T [2] = 5+6 = 11) να εκτελέσετε τον αλγόριθμο Rabin-Karp. Πόσες φορές επαληθεύεται η γραμμή 4 στον ψευδοκώδικα της Ενότητας 12.2 χωρίς πράγματι να υπάρχει ταύτιση; 2. Για αλφάβητο Σ = {A, G, C, T }, κείμενο T = AAGTTACTAAGAGGCTA και πρότυπο P = AGA να εκτελέσετε τον αλγόριθμο Ωμής Βίας και τον αλγόριθμο Horspool. Πόσες μετακινήσεις του προτύπου και πόσες συγκρίσεις χαρακτήρων μέχρι την πρώτη ταύτιση θα γίνουν για κάθε αλγόριθμο; 3. Να δώσετε ένα παράδειγμα εισόδου χειρότερης περίπτωσης για τον αλγόριθμο Horspool.

12.6. Ασκήσεις 357 4. Να προσαρμόσετε τον ψευδοκώδικα του αλγορίθμου Rabin-Karp (Ενότητα 12.2), έτσι ώστε να υποστηρίζει πολλαπλά πρότυπα. Με ποιον τρόπο θα ελέγχατε αποδοτικά την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης τιμής μέσα στη δομή συνόλου;

358 Κεφάλαιο 12. Αλγόριθμοι Συμβολοσειρών

Βιβλιογραφία [1] Alfred V. Aho and Margaret J. Corasick. Efficient string matching: An aid to bibliographic search. Commun. ACM, 18(6):333 340, 1975. [2] Alberto Apostolico and Raffaele Giancarlo. The boyer-moore-galil string searching strategies revisited. SIAM J. Comput., 15(1):98 105, 1986. [3] Robert S. Boyer and J. Strother Moore. A fast string searching algorithm. Commun. ACM, 20(10):762 772, 1977. [4] Beate Commentz-Walter. A string matching algorithm fast on the average. In Automata, Languages and Programming, 6th Colloquium, Graz, Austria, July 16-20, 1979, Proceedings, pages 118 132, 1979. [5] R. Nigel Horspool. Practical fast searching in strings. Softw., Pract. Exper., 10(6):501 506, 1980. [6] Richard M. Karp and Michael O. Rabin. Efficient randomized pattern-matching algorithms. IBM Journal of Research and Development, 31(2):249 260, 1987. [7] Donald E. Knuth, James H. Morris Jr., and Vaughan R. Pratt. Fast pattern matching in strings. SIAM J. Comput., 6(2):323 350, 1977. [8] Thierry Lecroq. Experimental results on string matching algorithms. Softw., Pract. Exper., 25(7):727 765, 1995. [9] Gonzalo Navarro. A guided tour to approximate string matching. ACM Comput. Surv., 33(1):31 88, 2001. 359