Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
|
|
- Παραμονος Ιωαννίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16
2 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις σε σειρά αύξουσας τάξης. n + (log n) 2, n n, n + (log n) 100, 2 n + n!, n n, 2 4n + n n2, n(log n) 2 + n 2 log n, n n + (log n) 10 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 2 / 16
3 Αλγόριθµοι «Ορισµός» Αλγόριθµος είναι µια πεπερασµένη ακολουθία σαφών οδηγιών (ϐηµάτων) για την εκτέλεση ενός υπολογισµού ή την επίλυση ενός προβλήµατος. ιόλου µαθηµατικός «ορισµός», µε υποκειµενικά και αναδροµικά στοιχεία: «σαφείς»: όχι αντικειµενικά σαφές. «οδηγίες»: είναι η οδηγία αλγόριθµος; είναι ο αλγόριθµος οδηγία; «υπολογισµός»: τί είναι; είναι η εκτέλεση αλγορίθµου; (που µε τη σειρά του είναι η εκτέλεση του υπολογισµού;) Επισήµως δεν έχουµε ορθό και πλήρη µαθηµατικό ορισµό του αλγορίθµου ιαθέτουµε ικανοποιητικό (µη πλήρη) ορισµό: Μηχανή ( Alan) Turing Η µελέτη του είναι αντικείµενο της Θεωρίας Υπολογισµού. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 3 / 16
4 Επιθυµητά Χαρακτηριστικά Αλγορίθµων Είσοδος: από ένα προδιαγεγραµµένο σύνολο τιµών εισόδου. Εξοδος: από ένα προδιαγεγραµµένο σύνολο τιµών εξόδου. Πληρότητα Περιγραφής: πλήρης και σαφής προδιαγραφή ϐηµάτων. Ορθότητα: παραγωγή ορθής εξόδου για δεδοµένη είσοδο. Πεπερασµένο Πλήθος Βηµάτων: εκτελέσιµων σε πεπερασµένο χρόνο. Γενικότητα: Ενας αλγόριθµος επιλύει ορθά όλα τα «στιγµιότυπα» ενός προβλήµατος και όχι µόνο ένα συγκεκριµένο (για συγκεκριµένη είσοδο). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 4 / 16
5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγορίθµου Ανω φράγµα πλήθους στοιχειωδών πράξεων που εκτελεί ο αλγόριθµος Χειρότερη περίπτωση χρόνου εκτέλεσης, για όλες τις δυνατές εισόδους. Η πολυπλοκότητα (χρόνος χειρότερης περίπτωσης) του αλγορίθµου: είναι συνάρτηση f(n) του µεγέθους n των δεδοµένων εισόδου, εκφράζεται από την τάξη O(f(n)) της συνάρτησης αυτής. Λέµε ότι ο αλγόριθµος: έχει πολυπλοκότητα O(f(n)), ή είναι χρόνου O(f(n)) ή έχει χρόνο (εκτέλεσης) χειρότερης περίπτωσης O(f(n)). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 5 / 16
6 Αλγόριθµος Εύρεσης Μεγίστου findmax(a 1, a 2,..., a n : ακέραιοι) 1. max := a 1 2. για i := 2 έως n 1. αν max < a i τότε max := a i 3. επίστρεψε max. Περιγραφή µε Ψευδοκώδικα int find_max(int a[],int n) { int max, i; max = a[0]; for(i = 1; i < n; i++) if (max < a[i]) max = a[i]; return max; } Υλοποίηση σε γλώσσα C Ενδεικτικές Στοιχειώδεις Πράξεις: Προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασµοί, διαιρέσεις. Αναθέσεις / Αναγνώσεις / Επιστροφές τιµών µεταβλητών. Συγκρίσεις (π.χ. σε if... else, σε while και σε do... while). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 6 / 16
7 Παραδείγµατα 1. t := 0 2. για i := 1 έως για j := 1 έως t := t + i j 1. Χρόνος: O(1) 1. t := 0 2. για i := 1 έως n 2.1. για j := 1 έως n t := t + i + j 2. Χρόνος: O(n 2 ) 1. m := 0 2. για i := 1 έως n 2.1. για j := i + 1 έως n m := max(ai aj, m) 3. Χρόνος: O(n 2 ) 1. i := 1 2. t := 0 3. όσο i n 3.1. t := t + i 3.2. i := 2 i 4. Χρόνος: O(log n) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 7 / 16
8 Επεξηγήσεις 1. 3 «εξωτερικές» επαναλήψεις, έκαστη αποτελούµενη από 4 «εσωτερικές»: σταθερός χρόνος σε κάθε «εσωτερική» επανάληψη. 2. n «εξωτερικές» επαναλήψεις, έκαστη αποτελούµενη από n «εσωτερικές» σταθερός χρόνος σε κάθε «εσωτερική» επανάληψη. 3. Η i-οστή «εξωτερική» επανάληψη έχει n i «εσωτερικές» επαναλήψεις: (n 1) = n(n 1) 2 = O(n 2 ) 4. Στο τέλος της k-στής επανάληψης ϑα είναι i = 2 k : τερµατισµός όταν 2 k = n + 1 = k = log(n + 1) = O(log n). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 8 / 16
9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα: Κάτω Φράγµατα Εχει νόηµα ένα κάτω ϕράγµα Ω(g(n)) στην πολυπλοκότητα αλγορίθµων: είναι το κάτω ϕράγµα του χρόνου χειρότερης περίπτωσης. Ενας αλγόριθµος έχει πολυπλοκότητα Ω(g(n)) αν: υπάρχει οικογένεια εισόδων µεγέθους n τέτοια ώστε: ο χρόνος εκτέλεσης για αυτή την οικογένεια εισόδων να είναι Ω(g(n)). Αλγόριθµος µε πολυπλοκότητα O(f(n)) και Ω(f(n)), έχει πολυπλοκότητα Θ(f(n)). Ενα κάτω φράγµα για την πολυπλοκότητα του findmax: Εκτελεί πάντα τουλάχιστον n 1 επαναλήψεις ανεξάρτητα εισόδου. Επίσης σε κάθε επανάληψη εκτελεί πάντα µία σύγκριση (ανεξάρτητα εισόδου). Εποµένως ο αλγόριθµος έχει πολυπλοκότητα Ω(n) και, άρα, Θ(n). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 9 / 16
10 Κι άλλος αλγόριθµος εύρεσης µεγίστου Παράδειγµα Εκτέλεσης findmax2(a 1, a 2,..., a n : ακέραιοι) 1. για i := 1 έως n αν a i > a i+1 τοτε tmp := a i+1 a i+1 := a i a i := tmp 2. επίστρεψε a n. Είσοδος: a 1 a 2 a 3 a 4 a η Επαν.: η Επαν.: η Επαν.: 4η Επαν.: Εξετάζει τα στοιχεία στη σειρά i = 1,..., n 1: Αν a i > a i+1, ανταλλάσσει τα περιεχόµενα των a i και a i+1 Τελικά, προωθεί το µεγαλύτερο όλων στο τέλος (στη ϑέση a n ). Πολυπλοκότητα: Θ(n). n 1 επαναλήψεις O(1) χρόνου ανεξάρτητα εισόδου. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 10 / 16
11 Ταξινόµηση Φυσαλίδας (BubbleSort) BubbleSort(a 1, a 2,..., a n : ακέραιοι) 1. για i := n έως findmax2(a 1,..., a i ) findmax2(a 1, a 2,..., a n : ακέραιοι) 1. για i := 1 έως n αν a i > a i+1 τοτε tmp := a i+1 a i+1 := a i a i := tmp 2. επίστρεψε a n. Είσοδος: 1η Επαν.: 2η Επαν.: 3η Επαν.: 4η Επαν.: a 1 a 2 a 3 a 4 a n 1 κλήσεις στον findmax2, µε είσοδο πίνακα µήκους n, n 1, n 2,..., 2. Αντίστοιχα ο findmax2 εκτελεί n 1, n 2,..., 1 επαναλήψεις O(1) χρόνου. Συνολικός χρόνος: (n 2) + (n 1) = n(n 1)/2 = Θ(n 2 ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 11 / 16
12 Ταξινόµηση Παρεµβολής (InsertionSort) InsertionSort( a 1, a 2,..., a n : ακέραιοι ) 1. για i := 2 έως n: 1.1. tmp := a i 1.2. j := i 1.3. όσο j > 1 και a j 1 tmp: a j := a j j = j a j := tmp 2. επίστρεψε a Είσοδος: 1η Επαν.: 2η Επαν.: 3η Επαν.: 4η Επαν.: a 1 a 2 a 3 a 4 a Για κάθε ϑέση i = 2,..., n της ακολουθίας µπορεί να «σπρώξει» το a i το πολύ µέχρι i 1 ϑέσεις προς την αρχή της. εκτελεί το πολύ µέχρι i 1 επαναλήψεις «όσο» (O(1) χρόνου έκαστη). Χρόνος: το πολύ n 1, άρα O(n 2 ) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 12 / 16
13 Κάτω Φράγµα Πολυπλοκότητας InsertionSort Αν η είσοδος είναι ήδη ταξινοµηµένη (σε αύξουσα σειρά): η εσωτερική δοµή επανάληψης «όσο» δεν εκτελείται. ο συνολικός χρόνος του αλγορίθµου είναι O(n). Οικογένεια Εισόδων Χειρότερης Περίπτωσης: ακολουθία µήκους n σε «ανάποδη» σειρά (ϕθίνουσα). Ο αλγόριθµος υποχρεώνεται να «σπρώχνει» το a i µέχρι την αρχή της. Τότε εκτελεί ακριβώς (άρα και τουλάχιστον): n 1 = Ω(n 2 ) ϕορές τις στοιχειώδεις πράξεις εντός της δοµής επανάληψης όσο. Εποµένως ο αλγόριθµος έχει χρόνο χειρότερης περίπτωσης Θ(n 2 ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 13 / 16
14 Γραµµική Αναζήτηση LinearSearch {x : ακέραιος, a 1, a 2,..., a n : διαφορετικοί ακέραιοι} 1. i := 1 2. όσο i n και x a i 2.1. i := i αν i n τότε pos := i διαφορετικά pos := 0 4. επίστρεψε pos Ο αλγόριθµος εξετάζει το πολύ όλα τα στοιχεία της ακολουθίας εισόδου Χρόνος χειρότερης περίπτωσης: O(n). Είσοδοι χειρότερης περίπτωσης: ακολουθίες µήκους n µε a n = x και a i x για i = 1,..., n 1. ακολουθίες µήκους n µε a i x για i = 1,..., n. Εποµένως ο αλγόριθµος έχει χρόνο χειρότερης περίπτωσης Θ(n). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 14 / 16
15 Υπολογισµός Τιµής Πολυωνύµου Πολυώνυµο n-οστού ϐαθµού: p(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a n 0 Ενας «κακός» αλγόριθµος: Poly( x, a 0, a 1,..., a n 1, a n ) 1. p := a 0 2. για i := 1 έως n 2.1 y := για k := 1 έως i y := y x 2.3 p := p + a i y 3. επίστρεψε p Στην i-οστή «εξωτερική» επανάληψη: i «εσωτερικές» επαναλήψεις, για τον υπολογισµό του x i. Συνολικός χρόνος n i=1 i = Θ(n2 ) Ανεξάρτητος εισόδου. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 15 / 16
16 Υπολογισµός Τιµής Πολυωνύµου ύο αλγόριθµοι χρόνου Θ(n) (ανεξάρτητα εισόδου): Poly1( x, a 0, a 1,..., a n 1, a n ) 1. power := 1 2. y := a 0 3. για i := 1 έως n 3.1. power := power x 3.2. y := y + a i power 4. επίστρεψε y Horner( x, a 0, a 1,..., a n 1, a n ) 1. y := a n 2. για i := 1 έως n 2.1. y := y x + a n i 3. επίστρεψε y Poly1: 3n αριθµητικές πράξεις. Σχήµα Horner: 2n αριθµητικές πράξεις. Σχήµα Horner: p(x) = ( ( (a n x + a n 1 )x + a n 2 )x + )x + a 0 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 16 / 16
Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 5) 1 / 17 Απόδοση προγραμμάτων Συχνά χρειάζεται να εκτιμηθεί η απόδοση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διαβάστε περισσότεραΑνω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n
Διαβάστε περισσότεραΕξαντλητική Απαρίθµηση
Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου Ως µέτρο ϑεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 25 Φεβρουαρίου 2015 1 / 53 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραοµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη 0. Εισαγωγή Αντικείμενο μαθήματος: Η θεωρητική μελέτη ανάλυσης των αλγορίθμων. Στόχος: επιδόσεις των επαναληπτικών και αναδρομικών αλγορίθμων.
Διαβάστε περισσότεραΤηλ , Fax: , URL:
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Παναγιώτα Φατούρου faturu@cs.uoi.gr Σεπτέµβριος, 2005 Τµήµα Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Τ.Θ. 1186, Γραφείο Α26, Τηλ. +30 26510 98808, Fax:
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση. 1. Ταξινόμηση του Shell. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη
Ταξινόμηση. Ταξινόμηση του Shell Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ταξινόμηση του Shell Η μέθοδος που προτάθηκε από τον Shell έχει βασικό χαρακτηριστικό ότι χρησιμοποιεί µία ακολουθία ακεραίων
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση: Εισαγωγικά. Ταξινόμηση (Sor ng) Αλγόριθμοι Απλής Ταξινόμησης. Βασικά Βήματα των Αλγορίθμων
Ταξινόμηση: Εισαγωγικά Ταξινόμηση (Sor ng) Ορέστης Τελέλης Βασικό πρόβλημα για την Επιστήμη των Υπολογιστών. π.χ. αλφαβητική σειρά, πωλήσεις ανά τιμή, πόλεις με βάση πληθυσμό, Μπορεί να είναι ένα πρώτο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης
Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
Διαίρει-και-Βασίλευε Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2 Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική µέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων: Διαίρεση σε ( 2) υποπροβλήµατα (σηµαντικά) µικρότερου µεγέθους.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος
Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραQuicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1
Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες:
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 1 Εισαγωγικές έννοιες Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 1 1 / 57 Περιεχόµενα 1.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;
5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Διαίρει-και-Βασίλευε Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούμενου. Πίνακες (Arrays) Πίνακες (Arrays): Βασικές Λειτουργίες. Πίνακες (Arrays) Ορέστης Τελέλης
Σύνοψη Προηγούμενου Πίνακες (Arrays Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαδικαστικά θέματα. Aντικείμενο Μαθήματος. Aντικείμενα, Κλάσεις, Μέθοδοι, Μεταβλητές.
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Πρόβλημα Ταξινόμησης. Μέθοδοι Ταξινόμησης. Συγκριτικοί Αλγόριθμοι
Πρόβλημα Ταξινόμησης Quicksort Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1, α 2,..., α n
Διαβάστε περισσότερα1o Φροντιστήριο ΗΥ240
1o Φροντιστήριο ΗΥ240 Άσκηση 1 Αποδείξτε τη μεταβατική και τη συμμετρική ιδιότητα του Θ Μεταβατική Ιδιότητα (ορισμός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)) Για να ισχύει f(n)= Θ(h(n))
Διαβάστε περισσότεραΠοιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);
Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές
Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 2.0 Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αναδρομικές Σχέσεις Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 6] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot),
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 23 Μαρτίου 2017 1 / 20 Επιλογή Το πρόβληµα
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Quicksort ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Απόδοση Αλγορίθμων Πληροφορικής 1 Απόδοση Αλγορίθμων Συνήθως υπάρχουν πολλοί τρόποι (αλγόριθμοι) για την επίλυση ενός προβλήματος. Πώς επιλέγουμε μεταξύ αυτών; Πρέπει να ικανοποιηθούν δύο (αντικρουόμενοι)
Διαβάστε περισσότερα- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N.
Αναδροµικές Σχέσεις Αναδροµικές Σχέσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµική Σχέση για την ακολουθία a n } είναι: - εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 2
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Θέματα Απόδοσης Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 8β: Ταξινόμηση-Ταξινόμηση του Shell Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις
Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι 5.1 Η έννοια του αλγορίθµου 5.2 Αναπαράσταση αλγορίθµων 5.3 Επινόηση αλγορίθµων 5.4 Δοµές επανάληψης 5.5 Αναδροµικές δοµές 1 Αλγόριθµος: Ορισµός Ένας αλγόριθµος είναι ένα διατεταγµένο
Διαβάστε περισσότεραιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικό Μέρος. int rec(int n) { int n1, n2; if (n <= 5) then return n; else { n1 = rec(n-5); n2 = rec(n-3); return (n1+n2); } }
Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Τµήµα Πληροφορικής 2 Νοεµβρίου 2005 Η/Υ 432: οµές εδοµένων Χειµερινό Εξάµηνο Ακαδηµαϊκού Έτους 2005-2006 Παναγιώτα Φατούρου Ηµεροµηνία Παράδοσης 1 ο Σετ Ασκήσεων Θεωρητικό Μέρος:
Διαβάστε περισσότερα5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα
5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραεισαγωγικές έννοιες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και
Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα ενθετική ταξινόμηση ανάλυση αλγορίθμων σχεδίαση αλγορίθμων 2 ενθετική ταξινόμηση 3 ενθετική ταξινόμηση Βασική αρχή: Επιλέγει ένα-έναταστοιχείατηςμηταξινομημένης ακολουθίας
Διαβάστε περισσότεραΟρθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1
Ανάλυση Αλγορίθμων Θέματα Θέματα: Ορθότητα Χρονική αποδοτικότητα Χωρική αποδοτικότητα Βελτιστότητα Προσεγγίσεις: Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I
Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectionSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. InsertionSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού
Διαβάστε περισσότεραΟυρές Προτεραιότητας: Υπενθύμιση. Σωροί / Αναδρομή / Ταξινόμηση. Υλοποίηση Σωρού. Σωρός (Εισαγωγή) Ορέστης Τελέλης
Ουρές Προτεραιότητας: Υπενθύμιση Σωροί / Αναδρομή / Ταξινόμηση Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς (Abstract Data Type) με μεθόδους: Μπορεί να υλοποιηθεί με
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες)
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικό Πρόβληµα
Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240: οµές εδοµένων
ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα Επιλογής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1
Πρόβληµα Επιλογής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1 Πρόβληµα Επιλογής Πίνακας Α[ Αριθµός k, 1 k n. ] µε n στοιχεία (όχι ταξινοµηµένος). Υπολογισµός του k-οστού µικρότερου στοιχείου (στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ας ξεκινήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων & Αναζήτηση & Ταξινόμηση 1 Αναζήτηση Έχω έναν πίνακα Α με Ν στοιχεία. Πρόβλημα: Βρες αν το στοιχείο x ανήκει στον πίνακα Αν ο πίνακας είναι αταξινόμητος τότε μόνη λύση σειριακή αναζήτηση
Διαβάστε περισσότεραΑναδροµή (Recursion) ύο παρεξηγήσεις. Σκέψου Αναδροµικά. Τρίγωνο Sierpinski Μη αναδροµικός ορισµός;
Αναδροµή (Recursion) Πώς να λύσουµε ένα πρόβληµα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί µε τον ίδιο τρόπο. Πού χρειάζεται; Πολλές µαθηµατικές συναρτήσεις ορίζονται αναδροµικά. εν είναι
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ AM: Δοµές Δεδοµένων Πτυχιακή Εξεταστική Ιούλιος 2014 Διδάσκων : Ευάγγελος Μαρκάκης 09.07.2014 ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΠΟΠΤΗ: Διάρκεια εξέτασης : 2 ώρες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων
Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Τα πρωταρχικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι: 1. πώς υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 2. πώς μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους οι διάφοροι
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων. Εφαρµογές. Παράδειγµα 1.
Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.g Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς A B C = A + B + C A B B C A C +
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1
Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240: οµές εδοµένων. ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2
ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότεραΜια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.
Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[ ] με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ
ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ Πληροφορική I "Προγραμματισμός" B. Φερεντίνος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 1η: Εισαγωγή Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 1η: Εισαγωγή Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ240: Δομές Δεδομένων Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθημα 2ου
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων
Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Παράδειγμα: Υπολογισμός του παραγοντικού Ορισμός του n! n! = n x (n - 1) x x 2 x 1 Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να γραφεί ως n! = 1 αν n = 0 n x (n -1)! αλλιώς Παράδειγμα (συνέχ).
Διαβάστε περισσότερα1 Ανάλυση αλγορίθµων. 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ. 3 Αναδροµικές εξισώσεις
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα 1 Ανάλυση αλγορίθµων Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 3
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 27/11/2008 1 / 55 Γενικό πλάνο 1 Ανάλυση αλγορίθµων 2 Συµβολισµοί
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 5: Ασκήσεις Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k, 1 k n. Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα.0 Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 06-7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Ταξινόμηση Selection-Sort Bubble-Sort και
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
- Πίνακες 1 Πίνακες Οι πίνακες έχουν σταθερό μέγεθος και τύπο δεδομένων. Βασικά πλεονεκτήματά τους είναι η απλότητα προγραμματισμού τους και η ταχύτητα. Ωστόσο δεν παρέχουν την ευελιξία η οποία απαιτείται
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»
Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 2 ιαίρει και Βασίλευε Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 2 1 / 24 Επιλογή Το πρόβληµα
Διαβάστε περισσότερα5. Απλή Ταξινόμηση. ομές εδομένων. Χρήστος ουλκερίδης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 5. Απλή Ταξινόμηση 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 11/11/2016 Εισαγωγή Η
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 03 - EXAMPLES ALG & COMPL 1 Example: GCD συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις
Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Αλγορίθμων -Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο
Πολλαπλασιασμός μεγάλων ακεραίων (1) Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ακεραίους με n 1 και n 2 ψηφία με το χέρι, θα εκτελέσουμε n 1 n 2 πράξεις πολλαπλασιασμού Πρόβλημα ρβημ όταν έχουμε πολλά ψηφία: A = 12345678901357986429
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος.
Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες () ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εισαγωγή: Υπολογισιµότητα και Πολυπλοκότητα. Βασικές
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑν ένα πρόβλημα λύνεται από δύο ή περισσότερους αλγόριθμους, ποιος θα είναι ο καλύτερος; Με ποια κριτήρια θα τους συγκρίνουμε;
Αν ένα πρόβλημα λύνεται από δύο ή περισσότερους αλγόριθμους, ποιος θα είναι ο καλύτερος; Με ποια κριτήρια θα τους συγκρίνουμε; Πως θα υπολογίσουμε το χρόνο εκτέλεσης ενός αλγόριθμου; Για να απαντήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθµων. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 2 Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθµων Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 2.1 Υπολογιστική Επιλυσιµότητα "For me, great algorithms are the poetry of computation.
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 1 Εισαγωγή. ΗΥ240: Δοµές Δεδοµένων. Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου
ΗΥ240: Δοµές Δεδοµένων Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 1
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 1 Μανόλης Κουμπαράκης 1 Το Πρόβλημα της Ταξινόμησης Το πρόβλημα της ταξινόμησης (sorting) μιας ακολουθίας στοιχείων με κλειδιά ενός γνωστού τύπου (π.χ., τους ακέραιους ή τις
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα Αλγορίθµων
Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ AM: Δοµές Δεδοµένων Εξεταστική Ιανουαρίου 2014 Διδάσκων : Ευάγγελος Μαρκάκης 20.01.2014 ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΠΟΠΤΗ: Διάρκεια εξέτασης : 2 ώρες και
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ (ΤΛ2007 )
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.Ι. Κρήτης Προγραμματισμός Η/Υ (ΤΛ2007 ) Δρ. Μηχ. Νικόλαος Πετράκης (npet@chania.teicrete.gr) Ιστοσελίδα Μαθήματος: https://eclass.chania.teicrete.gr/ Εξάμηνο: Εαρινό 2014-15
Διαβάστε περισσότερα1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/20 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 2 3 4 5 2/20
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης 1 Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 4: Αναδρομικές σχέσεις και ανάλυση αλγορίθμων Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Πρόβλημα Επιλογής. Μέγιστο / Ελάχιστο. Εφαρμογές
Επιλογή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός
Διαβάστε περισσότερα