ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ. ΜΞΖΟΙΜΟ ΙΖΓΑΔΖΗΩΚ Μηγαδηθμί είκαη μη ανηζμμί ηεξ μμνθήξ. όπμο, θαη Τμ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ημ ζομβμιίδμομε με. Δειαδή: { :, } Τμοξ μηγαδηθμύξ ημοξ ζομβμιίδμομε ζοκήζςξ με Τμ γηα ημ μπμίμ ηζπύεη: Τμ ζύκμιμ ηςκ ανηζμώκ ηεξ μμνθήξ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ θαη ημ ζομβμιίδμομε με. Δειαδή: { : }. Ακ ηόηε: Re( ) (πναγμαηηθό μένμξ ημο ) Im( ) (θακηαζηηθό μένμξ ημο ), v,w,, ημ μκμμάδμομε θακηαζηηθή μμκάδα., ημ μκμμάδμομε ζύκμιμ ηςκ Κάζε πναγμαηηθόξ ανηζμόξ είκαη μηγαδηθόξ, δηόηη γνάθεηαη ζηε μμνθή: 0. (Δειαδή ). ΖΟΜΠΕΠΑ-ΝΞΑΛΓΖΟ ΙΖΓΑΔΖΗΩΚ Ακ θαη w ηόηε: w θαη w ( ) ( ) w ( ) ( ) w ( ) ( ) w w (ηζόηεηα) (πνόζζεζε) (αθαίνεζε) (πμιιαπιαζηαζμόξ) (ακηίζηνμθμξ) (δηαίνεζε) ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 3. ΙΖΓΑΔΖΗΜ ΓΝΖΝΓΔΜ Κάζε μηγαδηθόξ απεηθμκίδεηαη ζημ ζεμείμ M(, ) ημο μηγαδηθμύ επηπέδμο, ημ μπμίμ μκμμάδεηαη εηθόκα ημο θαη ζομβμιίδεηαη με M (). β M() O α Ο άλμκαξ x x ιέγεηαη άλμκαξ ηςκ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ ή πναγμαηηθόξ y y ιέγεηαη άλμκαξ ηςκ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ ή άλμκαξ θαη μ άλμκαξ θακηαζηηθόξ άλμκαξ. Οη εηθόκεξ ηςκ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ βνίζθμκηαη πάκς ζημκ άλμκα Οη εηθόκεξ ηςκ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ βνίζθμκηαη πάκς ζημκ άλμκα x x. y y. Ακ () είκαη ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ θαη (w) μηγαδηθμύ w θαη αζνμίζμαημξ, ηόηε ( w) w. είκαη ε εηθόκα ημο είκαη ε εηθόκα ημο A() M(+w) O B(w) ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 4. ΔΡΚΑΙΓΖΟ ΠΜΡ Ακ θαη 4 0,,, 3 ηόηε:. Γηα κα οπμιμγίζμομε ημ, αθμιμοζμύμε ηεκ ελήξ δηαδηθαζία: Δηαηνμύμε ημκ εθζέηε με ημ 4 θαη ορώκμομε ημ εηξ ημ οπόιμηπμ ηεξ δηαίνεζεξ. Γηα κα οπμιμγίζμομε παναζηάζεηξ πμο πενηέπμοκ δοκάμεηξ ημο, π.π ( ), δηαθνίκμομε πενηπηώζεηξ γηα ημ. Ακ 4k ηόηε 4k ηόηε 4k ηόηε 4k ηόηε Ακ Ακ Ακ 3 5. ΔΓΡΠΓΞΜΒΑΘΙΖΑ ΓΛΖΟΩΟΕ Η ελίζςζε 0,,, 0 έπεη δηαθνίκμοζα: 4. Ακ 0 ηόηε ε ελίζςζε έπεη δύμ πναγμαηηθέξ ιύζεηξ (νίδεξ): θαη Ακ 0 ηόηε ε ελίζςζε έπεη δύμ ίζεξ πναγμαηηθέξ ιύζεηξ (νίδεξ): Ακ 0 ηόηε ε ελίζςζε έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ (νίδεξ): ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 5 θαη. Iζπύμοκ μη γκςζημί ηύπμη ημο Veta:. Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε έπεη νίδα θαη ημκ. Νανάδεηγμα Να ιοζεί ζημ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ ε ελίζςζε: 5 0. Θύζε Υπμιμγίδμομε ηε δηαθνίκμοζα ( ) 4 5 6 0. Γθόζμκ 0 ε ελίζςζε έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ: ( ) ( ) ( 6) 4 ( 6) 4 Νανάδεηγμα Να ιοζεί ζημ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ ε ελίζςζε: 5 0. Θύζε Η ελίζςζε γίκεηαη δηαδμπηθά: 5 0 Θέημκηαξ () () 5 0. w, ε ελίζςζε παηνκεη ηε μμνθή: w w 5 0 w w 5 0. ( ) 4 5 6 Υπμιμγίδμομε ηε δηαθνίκμοζα 0. Γθόζμκ 0 ε ελίζςζε έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ w w ( ) ( 6) 4 ( ) ( 6) 4 w w w.. Γπεηδή όμςξ, ε ανπηθή ελίζςζε ζα έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ: 6. ΟΡΔΡΓΓΖΟ ΙΖΓΑΔΖΗΜΖ Οοδογήξ ημο μηγαδηθμύ, είκαη μ μηγαδηθόξ. Re() Im( ) ακ θαη μόκμ ακ πναγμαηηθόξ ακ θαη μόκμ ακ θακηαζηθόξ Οη εηθόκεξ δύμ ζοδογώκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ είκαη ζεμεία ημο μηγαδηθμύ επηπέδμο ζομμεηνηθά ςξ πνμξ ημκ άλμκα x x. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 7 Α() O Β( ) 7. ΙΓΠΞΜ ΙΖΓΑΔΖΗΜΡ Ιέηνμ ημο μηγαδηθμύ, είκαη μ πναγμαηηθόξ ανηζμόξ. ακ θαη μόκμ ακ πναγμαηηθόξ ακ θαη μόκμ ακ θακηαζηηθόξ Τμ μέηνμ μηγαδηθμύ εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηεξ εηθόκαξ ημο ζημ μηγαδηθό επίπεδμ από ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Τμ μέηνμ ηεξ δηαθμνάξ δύμ μηγαδηθώκ εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηςκ εηθόκςκ ημοξ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ. Α() O Β(w) ( AB) w Ακ 0 εηθόκα ημο 0 θαη αθηίκα., ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζε θύθιμ με θέκηνμ ηεκ Ακ, ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζηε μεζμθάζεημ ημο εοζογνάμμμο ημήμαημξ πμο μνίδμοκ μη εηθόκεξ ηςκ θαη. Ακ, ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζηεκ έιιεηρε με εζηίεξ ηηξ εηθόκεξ ηςκ θαη θαη μήθμξ μεγάιμο εμηάλμκα. Ακ, ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζηεκ οπενβμιή θαη απόζηαζε θμνοθώκ. με εζηίεξ ηηξ εηθόκεξ ηςκ θαη Με ηε βμήζεηα ηςκ ηδημηήηςκ ημο μέηνμο μηγαδηθώκ, πμιιά γεςμεηνηθά πνμβιήμαηα ακάγμκηαη ζηε ιύζε πνμβιεμάηςκ μηγαδηθώκ θαη ακηίζηνμθα. Νανάδεηγμα Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ (ζημ μηγαδηθό επίπεδμ), γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 3 0. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9 Θύζε Τμ 3 εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηεξ εηθόκαξ ημο μηγαδηθμύ από ηεκ εηθόκα ημο μηγαδηθμύ 3. Τμ 3 εηθόκα ημο μηγαδηθμύ 3. εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηεξ εηθόκαξ ημο μηγαδηθμύ από ηεκ M() -3 O 3 Άνα ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ζα θηκείηαη ζε έιιεηρε με ελίζςζε ηεξ x y μμνθήξ:. Πνμθακώξ 5, 3 4. θαη από ηε ζπέζε, έπμομε: Τειηθά ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ζα θηκείηαη ζηεκ έιιεηρε με ελίζςζε: Ναναηήνεζε x 5 y. 4 Η πνμεγμύμεκε απόδεηλε ζηενίδεηαη ζημκ μνηζμό ηεξ έιιεηρεξ: Οκμμάδμομε έιιεηρε με εζηίεξ ηα ζεμεία θαη, ημ γεςμεηνηθό ηόπμ ηςκ ζεμείςκ M ημο επηπέδμο () πμο ημ άζνμηζμα ηςκ απμζηάζεςκ ημοξ από ηηξ εζηίεξ, είκαη ζηαζενό. (μη εζηίεξ ακήθμοκ ζημ επίπεδμ ()). Υπάνπεη θαη άιιμξ (ανθεηά πμηό δύζθμιμξ) ηνόπμξ, γηα ηε ιύζε ηεξ άζθεζεξ: Θέημομε 3 3 θαη ζηε ζοκέπεηα x y ζηεκ ελίζςζε 0 εθηειμύμε πνάλεηξ. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΟΗΕΟΓΖΟ ΠΜΡ ΠΡΝΜΡ ΟΩΟΠΜ - ΘΑΘΜΟ Ακ, θαη 0 ηόηε 0 ή 0. Σ Λ Ακ, θαη 0 ηόηε 0. Σ Λ 3 Ακ, θαη 0 ηόηε 0 θαη 0 Σ Λ 4 Ακ, ηόηε ηζπύεη ε ηζμδοκαμία: 0 0 Σ Λ 5 Ακ, θαη 0 ηόηε 0. Σ Λ 6 Ακ, ηόηε. Σ Λ 7 Ακ x y x, y ηόηε Re( ) x. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 8 Ακ, θαη 0. ηόηε Σ Λ 9 Ακ, θαη 0 ηόηε Σ Λ. 0 Ακ x y x, y ηόηε Im( ) y. Σ Λ Ακ, ηόηε Re( ) Re( ) Re( ). Σ Λ Ακ, θαη 0 ηόηε 0 ή 0. Σ Λ 3 Ακ ηόηε 00. Σ Λ 4 (3 ), Οη εηθόκεξ ηςκ μηγαδηθώκ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε y 3x. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 5 Ακ Re( ) 5 ηόηε μη εηθόκεξ ημο μηγαδηθμύ ζημ x. μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε 3 Σ Λ 6 Ακ M, M είκαη μη εηθόκεξ δομ ακηίζεηςκ μηγαδηθώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, ηόηε ηα ζεμεία αοηά είκαη ζομμεηνηθά ςξ πνμξ ημκ άλμκα y y. Σ Λ 7 Η ελίζςζε 0,,, 0 έπεη πάκηα δύμ ιύζεηξ ζημ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ. Σ Λ 8 Ακ M, M είκαη μη εηθόκεξ δομ ακηίζεηςκ μηγαδηθώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, ηόηε ηα ζεμεία αοηά είκαη ζομμεηνηθά ςξ πνμξ ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ. Σ Λ 9 Ακ, θαη Re( ) 0 Re( ) Re( ) 0 ηόηε ηζπύεη πάκηα:. Σ Λ 0 Γηα θάζε μηγαδηθό 0 ηζπύεη πάκηα 0. Σ Λ Γηα θάζε μηγαδηθό ηζπύεη. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε ζα έπεη θαη ημκ. Σ Λ 3 Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε ζα έπεη θαη ημκ. Σ Λ 4 Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε ζα έπεη θαη ημκ. Σ Λ 5 Ακ ηόηε μ είκαη πναγμαηηθόξ. Σ Λ 6 Ακ μ είκαη θακηαζηηθόξ ηόηε. Σ Λ 7 Οη μηγαδηθμί w θαη w είκαη ζοδογείξ. Σ Λ 8 Ακ, ηόηε. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΟΗΕΟΓΖΟ ΝΜΘΘΑΝΘΕΟ ΓΝΖΘΜΓΕΟ Η ηζόηεηα ( x 3) (y ) 0 ηζπύεη ακ θαη μόκμ ακ: x ή y Β x 3 θαη y Γ x y 3 y ή x Γ y 3 θαη x ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Α 3 Δ 3 Α 4 Δ 4 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ημ ζεμείμ M(, ) ηόηε : x ή y 0 Β y 4 θαη x 0 Γ x y 4 y ή x 0 Γ x 4 θαη y 0 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 3 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ( 3) ( ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθεηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε y 3x, ηόηε: 3 Β 3 Γ 3 7 Α 7 Δ 3 Γ Κακέκα απμ ηα ΑΝΑΚΠΕΟΕ: πνμεγμύμεκα Α Δ 4 Οη εηθόκεξ όιςκ ηςκ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε: y x Β y 0 Γ x 0 y x Γ Καμία απμ ηηξ ΑΝΑΚΠΕΟΕ: πνμεγμύμεκεξ 5 Οη εηθόκεξ όιςκ ηςκ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 5 Α Δ y x Β y 0 Γ x 0 y x Γ Καμία απμ ηηξ πνμεγμύμεκεξ ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Α Δ 6 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ζεμείμ ηεξ εοζείαξ με ελίζςζε : 3x 4y, ηόηε μ δεκ μπμνεί κα είκαη: 9 8 Β 4 Γ 8 3 3 3 Γ 4 6 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Α Δ 7 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ημ ζεμείμ M(, ) ηόηε μ w x y ηζμύηαη με: 3 Β 3 Γ 4 4 4 4 Γ 4 4 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 8 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ είκαη ημ ζεμείμ (, ) Α M (3, ) Δ M (4, 4) (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ M ηόηε μ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ w x y ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ημ ζεμείμ: Β M (, 3) Γ M (4,4) Γ M ( 4, 4) ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 9 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ είκαη ημ ζεμείμ (, ) Α y 3x Δ (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ M ηόηε μ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ w x y ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ζεμείμ ηεξ εοζείαξ: Β y 3x Γ y x y x Γ y 3x ΑΝΑΚΠΕΟΕ: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 0 Ακ θαη 6, ηόηε ε μηθνόηενε ηημή ημο θοζηθμύ ανηζμμύ είκαη: Α Β 3 Γ 5 Δ Γ 6 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Ακ θαη ηόηε ε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ, 4 4 4 43 είκαη: Α 0 Β Γ Δ Γ ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Η ελίζςζε 0 0, Α Δ μπμνεί κα έπεη νίδα ημκ 5 Β Γ 3 Γ 3 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 3 Η ελίζςζε 5 0, Α Δ μπμνεί κα έπεη νίδα ημκ: 3 Β Γ 3 Γ 3 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 7 ΑΟΗΕΟΓΖΟ ΑΚΑΝΠΡΛΕΟ Να γναθμύκ ζηε μμνθή (3 )( 3), α β μη μηγαδηθμί:, 3, 3 4. x Να ιοζμύκ ζημ μη εληζώζεηξ: 0 4, 5 4 0. x 5, 0 3 Γ Να οπμιμγηζημύκ μη ηημέξ ηςκ παναζηάζεςκ: ν ν ν ν3 B A, ν 4ν 4ν 4ν 4ν 3, ν 4κ 4λ 4μ 4ν3, κ,λ,μ,ν 4 Γηα ηηξ δηάθμνεξ ηημέξ ημο ν παναζηάζεςκ:,, κα οπμιμγηζημύκ μη ηημέξ ηςκ 3 ( ). 5 6 Να βνεζμύκ μη ζοδογείξ ηςκ παναθάης μηγαδηθώκ: 3, 3 3, 4 3, 3, 5 3, 3, 6. Να βνεζμύκ ηα μέηνα ηςκ παναθάης μηγαδηθώκ: 4 3 4, 3 4 3 4, 5,, 5 6. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 7 Να βνεζμύκ ηα μέηνα ηςκ παναθάης μηγαδηθώκ: (3 4)( 3),, 3. 8 9 Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη, 3. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 4. 0 Ακ, κα βνεζεί μ μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ w 3 4. 3 Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 t όηακ t α) Ακ γηα ημ μηγαδηθό ηζπύεη, απμδείληε όηη,, β) Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ ηζπύεη:, απμδείληε μηη a) Απμδείληε όηη:, t..,, Δίκμκηαη μη μηγαδηθμί 3 9. β) Απμδείληε όηη μ ανηζμόξ με 3 3 είκαη πναγμαηηθόξ. 3. γ) Απμδείληε όηη: 3 3 3. ΝΑΚΓΘΘΕΚΖΓΟ 005 ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9 4 5 6 7 8 9 0 Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 4 4. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 3 0. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 0 3. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 0 3. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 5 5. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ μέηνμ. Ακ 5 3 κα βνεζμύκ μη μηγαδηθμί γηα ημοξ μπμίμοξ ε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A γίκεηαη μέγηζηε θαη ειάπηζηε. Ακ 5 3 κα βνεζμύκ μη μηγαδηθμί γηα ημοξ μπμίμοξ ε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A γίκεηαη μέγηζηε θαη ειάπηζηε. Ακ 5 3, κα βνεζεί ε μέγηζηε θαη ε ειάπηζηε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A. Ακ 3 5, κα βνεζεί ε μέγηζηε θαη ε ειάπηζηε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 4 Γηα θάζε θοζηθό ανηζμό απμδείληε όηη: 3 α) 0 β) ( ) 4 ( ) 4 Γηα ηηξ δηάθμνεξ ηημέξ ημο θοζηθμύ ανηζμμύ κα οπμιμγηζημύκ μη ηημέξ ηςκ A ( ) 5 ( ) παναζηάζεςκ: 5 B 5 Απμδείληε όηη: 3 3. 6 7 8 9 30 3 Ακ ε ελίζςζε: 0,,, 0, έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό w, απμδείληε μηη έπεη νίδα θαη ημκ w. Ακ ε ελίζςζε: 0,, 0, έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό w, απμδείληε μηη έπεη νίδα θαη ημκ w. Ακ ε ελίζςζε: 0,, 0, έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό w, απμδείληε μηη w. Ακ, θαη απμδείληε όηη: 0 0 ) ( ) ( ) 0 4 4 ) ( ) ( ) 0. ( ) ( ) 0 Γηα πμηέξ ηημέξ ημο Γηα πμηέξ ηημέξ ημο, ηζπύεη ε ζπέζε: ( 7 5) (5 7) 0, ηζπύεη ε ζπέζε:.. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 33 34 35,, Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ 3 ηζπύμοκ μη ζπέζεηξ: 0 3 θαη 3, απμδείληε όηη μη εηθόκεξ ημοξ, ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, μνίδμοκ ηζόπιεονμ ηνίγςκμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ημο μηγαδηθμύ, ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, ακ γκςνίδμομε όηη μη εηθόκεξ ηςκ μηγαδηθώκ ζοκεοζεηαθά ζεμεία.,, είκαη Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ,,3, 4 ηζπύμοκ μη ζπέζεηξ 3 4 θαη 3, απμδείληε όηη (ζημ μηγαδηθό επίπεδμ) ε εηθόκα ημο 4, είκαη ε εηθόκα ημο μνζμθέκηνμο ημο ηνγώκμο πμο μνίδμοκ μη εηθόκεξ ηςκ,, 3. a) Ακ, είκαη μηγαδηθμί γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη 4 4 θαη 5 5, κα βνείηε ημοξ,. β) Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ, w ηζπύμοκ 3 θαη w 3. κα δείλεηε όηη οπάνπμοκ μμκαδηθμί μηγαδηθμί ανηζμμί, w έηζη ώζηε w θαη.. κα βνείηε ηε μέγηζηε ηημή ημο w ΝΑΚΓΘΘΕΚΖΓΟ 005 (ΓΝΑΚΑΘΕΝΠΖΗΓΟ) ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358