i, ημ μκμμάδμομε ζύκμιμ ηςκ



Σχετικά έγγραφα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύζεηξ αζθήζεςκ ζενμόηεηαξ

1 η Ε π α ν α λ η π τ ι κ ή Ά σ κ η σ η

Επακαιεπηηθό ζέμα ζημ 1 0 θεθάιαημ

Multiple Choice Examination

Καηακμώκηαξ ηα Νέα Μέζα. Εογεκία Σηαπένα

ΙΑΘΕΙΑ Β1.1 Μ ΝΘΑΚΕΠΕΟ ΓΕ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ AΡΙΘΜΟΥΣ

Οδεγόξ Φνήζεξ Webmail

ΩΤΟΣΚΛΗΡΥΝΣΗ. Δρ Εμμανουθλ Χατζημανώλης. Ωτορινολαρυγγολόγος-Χειρουργός Κεφαλής και Τραχήλου. Δ/τής της Κλινικής Κεφαλής και Τραχήλου νοσ.

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

Φνήζημεξ Λεηημονγίεξ ηςκ. Windows 7

Π α ζ ο κ ζ ή μ α η α μ ε κ ύ μ α η α ή η α κ ή δ ε γ κ ς ζ η ά : Γ ι ε ο ζ ε ν ί α, Δ ε μ μ θ ν α η ί α, α δ μ ύ ι ς η ε Γ ι ι ά δ α.

Μέηνα Αημμηθήξ Πνμζηαζίαξ

Η ΠΡΟΝΟΟΚΟΜΔΙΑΚΗ ΦΡΟΝΣΙΓΑ. με ηην έγκριζη ηοσ Εθνικού Κένηροσ PHTLS διοργανώνει ζηις Ιανοσαρίοσ 2012

Κα ακαγκςνίζμομε ημ ηηηάκημ ένγμ (όιςκ) ηςκ ενγαδμμέκςκ ζημ CERN. Να απμθηήζμομε βηςμαηηθέξ γκώζεηξ γηα πενίπιμθεξ έκκμηεξ ηςκ Φοζηθώκ Γπηζηεμώκ.

Δηαπείνηζε πμιιαπιώκ ειεθηνμκηθώκ δηεοζύκζεωκ

1. Camtasia. 2. Audacity. 3. Movie Maker

Θμγμηεπκία γηα Παηδηά Ζ

ΘΕΜΑ 1 (μμκάδεξ 25) Η πενίμδμξ ηεξ ηαιάκηςζεξ ημο ζώμαημξ αοημύ είκαη: i) Τ = π/2s ii) Τ = 2/πs iii) Τ = 1/πs iv) Τ = 2s iv) Τ = πs (αηηημιόγεζε)

Πνμθόπημξ Mαγηάηεξ,

Μελέηη Ηλεκηοικήπ Εγκαηάζηαζηπ. Δκπαιδεςηήρ: αββίδεο Μηράιεο. Σερληθή ρνιή Απγόξνπ. Μάθημα: Σερλνινγία Ηιεθηξηθώλ Εγθαηαζηάζεσλ

Κοιμό Γεωγραφικό Υπόβαθρο για το WISE

Μυοπάθεια και τατίνες

ΓΑΣΡΟΟΙΟΦΑΓΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΝΓΤΣΙΚΟ ΤΣΗΜΑ. Δν. Δεμήηνεξ Καπεηάκμξ Γπημειεηήξ A Γαζηνεκηενμιμγηθή Κιηκηθή Γ.Ν. «Γεώνγημξ Παπακηθμιάμο»

Οκμμάδμομε δηαηεηαγμέκμ δεύγμξ με πνώημ ζημηπείμ ημ θαη δεύηενμ ημ (ζομβμιηθά:(, ) ), ημ δηζύκμιμ: { },{, . Δειαδή:

ΓΤΡΩΠΗ. 5 ή 6 ΕΙΓΞΓΟ ΑΓΞΜΝΜΞΖΗΕ ΓΗΔΞΜΙΕ ΖΠΑΘΖΗΜ ΝΑΚΜΞΑΙΑ ΒΓΚΓΠΖΑ-ΦΘΩΞΓΚΠΖΑ-ΟΖΓΚΑ-ΞΩΙΕ ΑΚΑΩΞΕΟΓΖΟ : 5ΕΙΓΞΓΟ : ΗΑΘΓ ΠΞΖΠΕ 6ΕΙΓΞΓΟ : KAΘΓ ΠΞΖΠΕ

Tνόπμη δηαθοηηανηθήξ επηθμηκςκίαξ

Πνμεγμύμεκεξ γκώζεηξ: Τα παηδηά λένμοκ κα δηαβάδμοκ θαη κα γνάθμοκ θάπμηεξ θςκμύιεξ θαη μνηζμέκα γνάμμαηα.

Σ Ο Ξ Υ Η Φ Θ Ω Μ Ι Α Α Π Θ Ζ Ξ Λ Ε Μ Ω Μ

H ΑΞΙΑ ΣΗ ΓΛΙΑ ΚΑΙ ΣΟΤ ΓΛΑΙΟΛΑΔΟΤ ΜΤΘΟΙ & ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΣΗΣΑ. << Γιηά & Λάδη >>

ΜΑΘΗΜΑ Β 5.1 ΟΡΓΑΝΙΜΩΝ Η ΓΓΩΓΡΑΦΙΚΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ ΣΩΝ. Ελέμη Γ. Παλούμπα, Χημικός, Πειραματικό Γυμμάσιο Σπάρτης

Η Άιμτα. Οη γμκείξ ηεξ θαη μη γμκείξ ηεξ Ζόιεξ έθακακ μήκοζε ζημ πνώεκ αθεκηηθό ημοξ θαη θαηάθενακ κα ημκ θοιαθίζμοκ.

HY-335 : Δίθηοα Υπμιμγηζηώκ

Αμαμεώζιμες πηγές εμέργειας

Γοθεμία Παπαδμπμύιμο-Αιαηάθε

ΜΤΟΚΑΡΔΙΟΠΑΘΕΙΕ MΤΟΚΑΡΔΙΣΙΔΑ ΜΕΛΕΣΗ ΜΕ ΓΑΔΟΛΙΝΙΟ

ΣΖΛΔΠΗΚΟΗΝΩΝΗΑΚΟ ΓΗΚΣΤΟ ΟΗΚΟΓΟΜΩΝ. Δθπαηδεπηήο: αββίδες Μιτάλες. Σετνική τολή Ασγόροσ. Μάζεκα: Σετνολογία Ηλεκηρικών Εγκαηαζηάζεων

GANODERMA LUCIDUM «μακηηάνη ηςκ ζεώκ» Τμ θαζμιηθό θάνμαθμ ηεξ θύζεξ

Τα αμηκμλέα ζημ πνάζηκμ ηζάη

Παραγωγή Τελικού Κώδικα. Γιώργος Μανής

ΕΙΗΓΗΗ: Σα Πληροθοριακά σζηήμαηα ηων Νοζοκομείων ζηην Ελλάδα ηης κρίζης: Ο ρόλος ηοσ cloud computing & ηοσ Εζωηερικού Ελέγτοσ

Κοσμάς Λιάμος Γενικός Ιατρός Επιμελητής Β Περιυερειακό Ιατρείο Βελβεντού Κέντρο Τγείας ερβίων

ΓΗΔΕΘΩΟΓΖΟ ΠΕΟ ΝΑΖΔΑΓΩΓΖΗΕΟ ΟΜΘΕΟ, ΑΝΘ. Αθαδεμασθό έημξ: (πνμκμιμγηθή ζεηνά)

ΜΑΘΕΜΑ Β2.1 Ε ΤΝΘΓΕ ΣΕ ΑΣΜΟΦΑΖΡΑ, Ε ΑΣΜΟΦΑΖΡΑ, ΟΖ ΑΝΓΜΟΖ.

ΔΩΚΠΑΟ ΙΓ ΠΜΚ Η. ΟΓΘ

Τβοιδικό Ιζξδύμαμξ Μξμηέλξ transistor BJT & εκηζποηέξ. Ειεθηνμκηθή Γ Σάλε /Β ελάμεκμ Γπίθ. Ηαζεγήηνηα Γ. Ηαναγηάκκε

ύλνψε απνηειεζκάηωλ κεηξήζεωλ ζπγθεληξώζεωλ αηωξνύκελωλ ζωκαηίδίωλ PM 10 ζην Βόιν:

4ε Γξαπηή Εξγαζία. Θέκα 1 ν : Μειέηε Πεξίπησζεο Α

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΓΡΙΓΥΟΜΓΝΑ ΓΙΑΓΩΓΗ...3 ΜΓΡΟ Ι ΝΟΜΟΘΓΣΙΚΟ ΠΛΑΙΙΟ ΚΑΙ ΑΝΑΝΓΩΙΜΓ ΠΗΓΓ ΓΝΓΡΓΓΙΑ ΚΓΦΑΛΑΙΟ Α ΓΘΝΙΚΟ ΘΓΜΙΚΟ ΠΛΑΙΙΟ ΣΩΝ ΑΠΓ

Γπημέιεηα: Ιανία Παπαιεμκηίμο, Φηιόιμγμξ

Ση είλαη ιύζζα. Γενικζσ πληροφορίεσ

r 1 Π 1 r 2 Π 2 πέτασμα στισμή μομοτρωματικό υως στισμή

ΜΑΘΗΜΑ Β3.2 Β ΥΠΟΘΑΛΑΣΣΙΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ

Μηα θμνά θη έκακ θαηνό ζε έκα μηθνό, μαθνηκό πςνηό δμύζακ δομ

ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ. Χάρτινες ταινίες, γυάλινα βιβλία

ΤΝΔΡΟΜΟ ΑΡΡΩΣΟΤ ΚΣΙΡΙΟΤ

Τα έλη παηδηά γεμίδμοκ με πανά ηηξ θηωπέξ μηθμγέκεηεξ.

ΔΖΑΠΞΜΦΕ ΗΑΖ ΑΚΠΖΜΛΓΖΔΩΠΖΗΑ:Μ ΞΜΘΜΟ ΠΜΡΟ ΟΠΜ ΟΔ. Δν. ΙΑΞΖΑ ΙΝΜΡΓΜΡΘΖΑ ΓΚΔΜΗΞΖΚΜΘΜΓΜΟ-ΔΖΑΒΕΠΜΘΜΓΜΟ

ΥΟΛΙΚΟ ΕΣΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΓΡΙΒΑΛΛΟΝΣΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΙΣΛΟ: <<ΣΑ ΠΡΟΪΟΝΣΑ ΣΟΤ ΣΟΠΟΤ ΜΟΤ ΜΓΑ ΑΠΟ ΣΗΝ ΠΑΡΑΔΟΗ ΚΑΙ ΣΟΝ ΠΟΛΙΣΙΜΟ>>

ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο. Ηιεθηξνληθά ΙΙ. Μέξνο Β (Ύιε Β Λπθείνπ) Υξνλνκέηξεο 555

1 ΛΓΞΙΛΟΓΙΟ BIΒΛΙΟΥ Δ ΤΑΞΗΣ LESSON

ΙΑΘΕΙΑ ΟΓΛΜΡΑΘΖΗΕΟ ΑΓΩΓΕΟ ΟΓ ΓΦΕΒΜΡΟ ΓΠΩΚ

ΑΓΠΠ 2o Γπαμαληπηικό Διαγώμιζμα

ΓΚΔΜΑΓΓΓΖΑΗΕ ΑΚΠΖΙΓΠΩΝΖΟΕ ΑΚΓΡΞΡΟΙΑΠΩΚ ΠΜΡ ΓΓΗΓΦΑΘΜΡ

Ιαιιηένγεηα βαθηενίςκ

H XHMEIA EINAI ΙΑΓΖΗΕ

Δείγμαηα γεκκεηηθμύ ζοζηήμαημξ. ηαονμύια Ιπάθα Γπ. Ηαζεγήηνηα Ανεηαίεημ Κμζμθμμείμ

ΣΧΕΤ. : Η αριθ. πρωτ. Δ 17 Ε ΕΞ 2013/ Δ.Υ.Ο.

Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στη Θεωρία και Ανάλυση Αλγορίθμων

Winmail.dat. Υπηρεζία Πληροθορικώμ Σσζηημάηφμ Τομέας Διατείριζης Σσζηημάηφμ και εθαρμογώμ ΥΠΣ-ΕΔ ΕΔ23 10/12/2009 1

ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ Ο.Π. ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΛΑΣΙΝΙΚΑ

ΜΓΛΓΣΗ ΣΩΝ ΓΠΙΠΓΔΩΝ ΦΤΙΚΩΝ ΑΝΣΙΜΙΚΡΟΒΙΑΚΩΝ ΠΓΠΣΙΔΙΩΝ ΚΑΙ ΔΓΙΚΣΩΝ ΒΑΚΣΗΡΙΔΙΑΚΗ ΑΛΛΟΘΓΗ Γ ΚΙΡΡΩΣΙΚΟΤ ΑΘΓΝΓΙ

ΠΙΝΑΚΑ ΣΩΝ ΘΔΜΑΣΩΝ ΠΟΤ ΤΕΖΣΖΘΖΚΑΝ ΣΖΝ ΤΝΔΓΡΙΑΖ 20/ ΣΟΤ ΓΖΜΟΣΙΚΟΤ ΤΜΒΟΤΛΙΟΤ ΓΖΜΟΤ ΓΡΑΜΑ

Τπμιμγηζμόξ ηεξ ηαπύηεηαξ ηεξ πεμηθήξ ακηίδναζεξ ημο Mg με HCl

«Σα κάζηοα, ηα μμημεία και ηα ηξπία ηηπ Εροώπηπ ζωμηαμεύξρμ μέζα από ηξμ θαρμαζηό κόζμξ διάζημωμ παοαμρθιώμ»

Οι ςδπαςλικέρ κονίερ για σπήζη ζηην οδοποιία και ηο ππόηςπο ΕΝ Δ. Τζαμαηζούληρ Δπ. Φημικόρ Μησανικόρ ΦΑΛΥΧ Δομικά Υλικά Α.Ε.

Τι είναι θ βουλιμία. Επανειλημμένη αππόζθοπη ανηιζηαθμιζηική ζςμπεπιθοπά πποκειμένος να αποηπαπεί η αύξηζη βάποςρ

Λογοηεσνική πποζέγγιζη ηος βιβλίος ΤΑ ΦΡΙΣΤΟΥΓΔΝΝΙΑΤΙΚΑ ΓΨΡΑ ΤΗΣ ΓΑΒΡΙΔΛΑΣ για ηιρ ππώηερ ηάξειρ ηος Γημοηικού Σσολείος

wewe ManosP Wewe wsdd sfsf sfsf sfsfsf sfsfsfs sfsf sf sf sf sf s

2 ο Δημοτικό Σχολείο Βρομτάδου. Συμτελεστές: Σαργιώτη Βίκυ - Κριμιζής Γιάμμης

ΜΗΦΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Κύμα μκμμάδεηαη ε δηάδμζε μηαξ δηαηαναπήξ ζημ πώνμ με μνηζμέκε ηαπύηεηα, ε μπμία μκμμάδεηαη ηαςύηηηα διάδξζηπ.

Copyright Fonderie Sime S.p.A.

Πολσμερή και πολσμερισμός. Εργαςία Χθμείασ Β Τετραμινου

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΙΑΘΕΙΑ Α1.3 Ε ΥΡΕΕ ΣΩΚ ΥΑΡΣΩΚ ΣΕΚ ΗΑΘΕΙΓΡΖΚΕ ΔΩΕ. Ελένη Παλούμπα, Χημικός, Πειραματικό Γσμνάσιο Σπάρτης

Ακαδήηεζε θαη ακηημεηώπηζε αηόμςκ ζηεκήξ επαθήξ με μμιοζμαηηθμύξ αζζεκείξ. Σηαονμύια Μπμοζμμοθίιηα Δ/κηνηα Β Πκεομμκμιμγηθήξ θιηκηθήξ Γ.Ν.

Ψηφιακός Τόπος Εργασίας Γνγμδόηεξ Πνμζςπηθή Σειίδα Γνγαδόμεκμξ Πνμζςπηθή Σειίδα Μηνύματα Θέση Εργασίας Λαγωνικό Βιογραυικό

Βήςαπ απόςοεμση Αιμόπηρζη πληκηοξδακηρλία ΑΝΑΣΑΙΑ ΑΝΣΧΝΙΑΓΟΤ

Σύνδρομο εύθραυζηων ονύχων

«Πξαθηηθέο Έληαμεο ζηνλ Επξσπατθό Χώξν»

Μαθηματικά: Φτιάχνω ρομπότ με τον ηλεκτρονικό γεωπίνακα

Η γκώμε ηφκ θοηηεηώκ γηα ηεκ Πακεπηζηεμηαθή Φοηηεηηθή Λέζτε ΑΠΘ Τα αποηειέζμαηα Ερφηεμαηοιογίοσ

Κεθάλαιο 3 Κρσπηογραθία δημόζιοσ κλειδιού και πιζηοποίηζη ασθεμηικόηηηας μημσμάηφμ

ΓΞΙΕΚΓΡΠΖΗΕ ΓΓΗΡΗΘΖΜΟ

Η ΤΛΗ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΓΡΗΙΟΤ ΓΓΛ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΓΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΚΑΙ ΠΟΤΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Γ 62 ΜΑΘΗΜΑΣΑ

Επιθεώρηςη αξιολόγηςη μζτρων προςταςίασ από ηλεκτροπληξία

Ρομαντιςμόσ. Συνθέτεσ του Ρομαντιςμού

ΕΝΟΡΙΑ... Κατηχητικό έτος

Transcript:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ. ΜΞΖΟΙΜΟ ΙΖΓΑΔΖΗΩΚ Μηγαδηθμί είκαη μη ανηζμμί ηεξ μμνθήξ. όπμο, θαη Τμ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ημ ζομβμιίδμομε με. Δειαδή: { :, } Τμοξ μηγαδηθμύξ ημοξ ζομβμιίδμομε ζοκήζςξ με Τμ γηα ημ μπμίμ ηζπύεη: Τμ ζύκμιμ ηςκ ανηζμώκ ηεξ μμνθήξ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ θαη ημ ζομβμιίδμομε με. Δειαδή: { : }. Ακ ηόηε: Re( ) (πναγμαηηθό μένμξ ημο ) Im( ) (θακηαζηηθό μένμξ ημο ), v,w,, ημ μκμμάδμομε θακηαζηηθή μμκάδα., ημ μκμμάδμομε ζύκμιμ ηςκ Κάζε πναγμαηηθόξ ανηζμόξ είκαη μηγαδηθόξ, δηόηη γνάθεηαη ζηε μμνθή: 0. (Δειαδή ). ΖΟΜΠΕΠΑ-ΝΞΑΛΓΖΟ ΙΖΓΑΔΖΗΩΚ Ακ θαη w ηόηε: w θαη w ( ) ( ) w ( ) ( ) w ( ) ( ) w w (ηζόηεηα) (πνόζζεζε) (αθαίνεζε) (πμιιαπιαζηαζμόξ) (ακηίζηνμθμξ) (δηαίνεζε) ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 3. ΙΖΓΑΔΖΗΜ ΓΝΖΝΓΔΜ Κάζε μηγαδηθόξ απεηθμκίδεηαη ζημ ζεμείμ M(, ) ημο μηγαδηθμύ επηπέδμο, ημ μπμίμ μκμμάδεηαη εηθόκα ημο θαη ζομβμιίδεηαη με M (). β M() O α Ο άλμκαξ x x ιέγεηαη άλμκαξ ηςκ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ ή πναγμαηηθόξ y y ιέγεηαη άλμκαξ ηςκ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ ή άλμκαξ θαη μ άλμκαξ θακηαζηηθόξ άλμκαξ. Οη εηθόκεξ ηςκ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ βνίζθμκηαη πάκς ζημκ άλμκα Οη εηθόκεξ ηςκ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ βνίζθμκηαη πάκς ζημκ άλμκα x x. y y. Ακ () είκαη ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ θαη (w) μηγαδηθμύ w θαη αζνμίζμαημξ, ηόηε ( w) w. είκαη ε εηθόκα ημο είκαη ε εηθόκα ημο A() M(+w) O B(w) ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 4. ΔΡΚΑΙΓΖΟ ΠΜΡ Ακ θαη 4 0,,, 3 ηόηε:. Γηα κα οπμιμγίζμομε ημ, αθμιμοζμύμε ηεκ ελήξ δηαδηθαζία: Δηαηνμύμε ημκ εθζέηε με ημ 4 θαη ορώκμομε ημ εηξ ημ οπόιμηπμ ηεξ δηαίνεζεξ. Γηα κα οπμιμγίζμομε παναζηάζεηξ πμο πενηέπμοκ δοκάμεηξ ημο, π.π ( ), δηαθνίκμομε πενηπηώζεηξ γηα ημ. Ακ 4k ηόηε 4k ηόηε 4k ηόηε 4k ηόηε Ακ Ακ Ακ 3 5. ΔΓΡΠΓΞΜΒΑΘΙΖΑ ΓΛΖΟΩΟΕ Η ελίζςζε 0,,, 0 έπεη δηαθνίκμοζα: 4. Ακ 0 ηόηε ε ελίζςζε έπεη δύμ πναγμαηηθέξ ιύζεηξ (νίδεξ): θαη Ακ 0 ηόηε ε ελίζςζε έπεη δύμ ίζεξ πναγμαηηθέξ ιύζεηξ (νίδεξ): Ακ 0 ηόηε ε ελίζςζε έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ (νίδεξ): ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 5 θαη. Iζπύμοκ μη γκςζημί ηύπμη ημο Veta:. Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε έπεη νίδα θαη ημκ. Νανάδεηγμα Να ιοζεί ζημ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ ε ελίζςζε: 5 0. Θύζε Υπμιμγίδμομε ηε δηαθνίκμοζα ( ) 4 5 6 0. Γθόζμκ 0 ε ελίζςζε έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ: ( ) ( ) ( 6) 4 ( 6) 4 Νανάδεηγμα Να ιοζεί ζημ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ ε ελίζςζε: 5 0. Θύζε Η ελίζςζε γίκεηαη δηαδμπηθά: 5 0 Θέημκηαξ () () 5 0. w, ε ελίζςζε παηνκεη ηε μμνθή: w w 5 0 w w 5 0. ( ) 4 5 6 Υπμιμγίδμομε ηε δηαθνίκμοζα 0. Γθόζμκ 0 ε ελίζςζε έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ w w ( ) ( 6) 4 ( ) ( 6) 4 w w w.. Γπεηδή όμςξ, ε ανπηθή ελίζςζε ζα έπεη δύμ μηγαδηθέξ ιύζεηξ: 6. ΟΡΔΡΓΓΖΟ ΙΖΓΑΔΖΗΜΖ Οοδογήξ ημο μηγαδηθμύ, είκαη μ μηγαδηθόξ. Re() Im( ) ακ θαη μόκμ ακ πναγμαηηθόξ ακ θαη μόκμ ακ θακηαζηθόξ Οη εηθόκεξ δύμ ζοδογώκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ είκαη ζεμεία ημο μηγαδηθμύ επηπέδμο ζομμεηνηθά ςξ πνμξ ημκ άλμκα x x. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 7 Α() O Β( ) 7. ΙΓΠΞΜ ΙΖΓΑΔΖΗΜΡ Ιέηνμ ημο μηγαδηθμύ, είκαη μ πναγμαηηθόξ ανηζμόξ. ακ θαη μόκμ ακ πναγμαηηθόξ ακ θαη μόκμ ακ θακηαζηηθόξ Τμ μέηνμ μηγαδηθμύ εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηεξ εηθόκαξ ημο ζημ μηγαδηθό επίπεδμ από ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Τμ μέηνμ ηεξ δηαθμνάξ δύμ μηγαδηθώκ εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηςκ εηθόκςκ ημοξ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ. Α() O Β(w) ( AB) w Ακ 0 εηθόκα ημο 0 θαη αθηίκα., ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζε θύθιμ με θέκηνμ ηεκ Ακ, ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζηε μεζμθάζεημ ημο εοζογνάμμμο ημήμαημξ πμο μνίδμοκ μη εηθόκεξ ηςκ θαη. Ακ, ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζηεκ έιιεηρε με εζηίεξ ηηξ εηθόκεξ ηςκ θαη θαη μήθμξ μεγάιμο εμηάλμκα. Ακ, ηόηε ε εηθόκα ημο βνίζθεηαη ζηεκ οπενβμιή θαη απόζηαζε θμνοθώκ. με εζηίεξ ηηξ εηθόκεξ ηςκ θαη Με ηε βμήζεηα ηςκ ηδημηήηςκ ημο μέηνμο μηγαδηθώκ, πμιιά γεςμεηνηθά πνμβιήμαηα ακάγμκηαη ζηε ιύζε πνμβιεμάηςκ μηγαδηθώκ θαη ακηίζηνμθα. Νανάδεηγμα Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ (ζημ μηγαδηθό επίπεδμ), γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 3 0. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9 Θύζε Τμ 3 εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηεξ εηθόκαξ ημο μηγαδηθμύ από ηεκ εηθόκα ημο μηγαδηθμύ 3. Τμ 3 εηθόκα ημο μηγαδηθμύ 3. εθθνάδεη ηεκ απόζηαζε ηεξ εηθόκαξ ημο μηγαδηθμύ από ηεκ M() -3 O 3 Άνα ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ζα θηκείηαη ζε έιιεηρε με ελίζςζε ηεξ x y μμνθήξ:. Πνμθακώξ 5, 3 4. θαη από ηε ζπέζε, έπμομε: Τειηθά ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ζα θηκείηαη ζηεκ έιιεηρε με ελίζςζε: Ναναηήνεζε x 5 y. 4 Η πνμεγμύμεκε απόδεηλε ζηενίδεηαη ζημκ μνηζμό ηεξ έιιεηρεξ: Οκμμάδμομε έιιεηρε με εζηίεξ ηα ζεμεία θαη, ημ γεςμεηνηθό ηόπμ ηςκ ζεμείςκ M ημο επηπέδμο () πμο ημ άζνμηζμα ηςκ απμζηάζεςκ ημοξ από ηηξ εζηίεξ, είκαη ζηαζενό. (μη εζηίεξ ακήθμοκ ζημ επίπεδμ ()). Υπάνπεη θαη άιιμξ (ανθεηά πμηό δύζθμιμξ) ηνόπμξ, γηα ηε ιύζε ηεξ άζθεζεξ: Θέημομε 3 3 θαη ζηε ζοκέπεηα x y ζηεκ ελίζςζε 0 εθηειμύμε πνάλεηξ. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΟΗΕΟΓΖΟ ΠΜΡ ΠΡΝΜΡ ΟΩΟΠΜ - ΘΑΘΜΟ Ακ, θαη 0 ηόηε 0 ή 0. Σ Λ Ακ, θαη 0 ηόηε 0. Σ Λ 3 Ακ, θαη 0 ηόηε 0 θαη 0 Σ Λ 4 Ακ, ηόηε ηζπύεη ε ηζμδοκαμία: 0 0 Σ Λ 5 Ακ, θαη 0 ηόηε 0. Σ Λ 6 Ακ, ηόηε. Σ Λ 7 Ακ x y x, y ηόηε Re( ) x. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 8 Ακ, θαη 0. ηόηε Σ Λ 9 Ακ, θαη 0 ηόηε Σ Λ. 0 Ακ x y x, y ηόηε Im( ) y. Σ Λ Ακ, ηόηε Re( ) Re( ) Re( ). Σ Λ Ακ, θαη 0 ηόηε 0 ή 0. Σ Λ 3 Ακ ηόηε 00. Σ Λ 4 (3 ), Οη εηθόκεξ ηςκ μηγαδηθώκ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε y 3x. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 5 Ακ Re( ) 5 ηόηε μη εηθόκεξ ημο μηγαδηθμύ ζημ x. μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε 3 Σ Λ 6 Ακ M, M είκαη μη εηθόκεξ δομ ακηίζεηςκ μηγαδηθώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, ηόηε ηα ζεμεία αοηά είκαη ζομμεηνηθά ςξ πνμξ ημκ άλμκα y y. Σ Λ 7 Η ελίζςζε 0,,, 0 έπεη πάκηα δύμ ιύζεηξ ζημ ζύκμιμ ηςκ μηγαδηθώκ ανηζμώκ. Σ Λ 8 Ακ M, M είκαη μη εηθόκεξ δομ ακηίζεηςκ μηγαδηθώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, ηόηε ηα ζεμεία αοηά είκαη ζομμεηνηθά ςξ πνμξ ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ. Σ Λ 9 Ακ, θαη Re( ) 0 Re( ) Re( ) 0 ηόηε ηζπύεη πάκηα:. Σ Λ 0 Γηα θάζε μηγαδηθό 0 ηζπύεη πάκηα 0. Σ Λ Γηα θάζε μηγαδηθό ηζπύεη. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε ζα έπεη θαη ημκ. Σ Λ 3 Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε ζα έπεη θαη ημκ. Σ Λ 4 Ακ ε ελίζςζε 0,,, 0 έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό ανηζμό ηόηε ζα έπεη θαη ημκ. Σ Λ 5 Ακ ηόηε μ είκαη πναγμαηηθόξ. Σ Λ 6 Ακ μ είκαη θακηαζηηθόξ ηόηε. Σ Λ 7 Οη μηγαδηθμί w θαη w είκαη ζοδογείξ. Σ Λ 8 Ακ, ηόηε. Σ Λ ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΟΗΕΟΓΖΟ ΝΜΘΘΑΝΘΕΟ ΓΝΖΘΜΓΕΟ Η ηζόηεηα ( x 3) (y ) 0 ηζπύεη ακ θαη μόκμ ακ: x ή y Β x 3 θαη y Γ x y 3 y ή x Γ y 3 θαη x ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Α 3 Δ 3 Α 4 Δ 4 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ημ ζεμείμ M(, ) ηόηε : x ή y 0 Β y 4 θαη x 0 Γ x y 4 y ή x 0 Γ x 4 θαη y 0 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 3 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ( 3) ( ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθεηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε y 3x, ηόηε: 3 Β 3 Γ 3 7 Α 7 Δ 3 Γ Κακέκα απμ ηα ΑΝΑΚΠΕΟΕ: πνμεγμύμεκα Α Δ 4 Οη εηθόκεξ όιςκ ηςκ θακηαζηηθώκ ανηζμώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε: y x Β y 0 Γ x 0 y x Γ Καμία απμ ηηξ ΑΝΑΚΠΕΟΕ: πνμεγμύμεκεξ 5 Οη εηθόκεξ όιςκ ηςκ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία με ελίζςζε: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 5 Α Δ y x Β y 0 Γ x 0 y x Γ Καμία απμ ηηξ πνμεγμύμεκεξ ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Α Δ 6 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ζεμείμ ηεξ εοζείαξ με ελίζςζε : 3x 4y, ηόηε μ δεκ μπμνεί κα είκαη: 9 8 Β 4 Γ 8 3 3 3 Γ 4 6 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Α Δ 7 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ημ ζεμείμ M(, ) ηόηε μ w x y ηζμύηαη με: 3 Β 3 Γ 4 4 4 4 Γ 4 4 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 8 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ είκαη ημ ζεμείμ (, ) Α M (3, ) Δ M (4, 4) (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ M ηόηε μ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ w x y ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ημ ζεμείμ: Β M (, 3) Γ M (4,4) Γ M ( 4, 4) ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 9 Ακ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ είκαη ημ ζεμείμ (, ) Α y 3x Δ (x 3) (y ) ζημ μηγαδηθό επίπεδμ M ηόηε μ ε εηθόκα ημο μηγαδηθμύ w x y ζημ μηγαδηθό επίπεδμ είκαη ζεμείμ ηεξ εοζείαξ: Β y 3x Γ y x y x Γ y 3x ΑΝΑΚΠΕΟΕ: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 0 Ακ θαη 6, ηόηε ε μηθνόηενε ηημή ημο θοζηθμύ ανηζμμύ είκαη: Α Β 3 Γ 5 Δ Γ 6 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Ακ θαη ηόηε ε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ, 4 4 4 43 είκαη: Α 0 Β Γ Δ Γ ΑΝΑΚΠΕΟΕ: Η ελίζςζε 0 0, Α Δ μπμνεί κα έπεη νίδα ημκ 5 Β Γ 3 Γ 3 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: 3 Η ελίζςζε 5 0, Α Δ μπμνεί κα έπεη νίδα ημκ: 3 Β Γ 3 Γ 3 ΑΝΑΚΠΕΟΕ: ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 7 ΑΟΗΕΟΓΖΟ ΑΚΑΝΠΡΛΕΟ Να γναθμύκ ζηε μμνθή (3 )( 3), α β μη μηγαδηθμί:, 3, 3 4. x Να ιοζμύκ ζημ μη εληζώζεηξ: 0 4, 5 4 0. x 5, 0 3 Γ Να οπμιμγηζημύκ μη ηημέξ ηςκ παναζηάζεςκ: ν ν ν ν3 B A, ν 4ν 4ν 4ν 4ν 3, ν 4κ 4λ 4μ 4ν3, κ,λ,μ,ν 4 Γηα ηηξ δηάθμνεξ ηημέξ ημο ν παναζηάζεςκ:,, κα οπμιμγηζημύκ μη ηημέξ ηςκ 3 ( ). 5 6 Να βνεζμύκ μη ζοδογείξ ηςκ παναθάης μηγαδηθώκ: 3, 3 3, 4 3, 3, 5 3, 3, 6. Να βνεζμύκ ηα μέηνα ηςκ παναθάης μηγαδηθώκ: 4 3 4, 3 4 3 4, 5,, 5 6. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 7 Να βνεζμύκ ηα μέηνα ηςκ παναθάης μηγαδηθώκ: (3 4)( 3),, 3. 8 9 Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη, 3. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 4. 0 Ακ, κα βνεζεί μ μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ w 3 4. 3 Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 t όηακ t α) Ακ γηα ημ μηγαδηθό ηζπύεη, απμδείληε όηη,, β) Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ ηζπύεη:, απμδείληε μηη a) Απμδείληε όηη:, t..,, Δίκμκηαη μη μηγαδηθμί 3 9. β) Απμδείληε όηη μ ανηζμόξ με 3 3 είκαη πναγμαηηθόξ. 3. γ) Απμδείληε όηη: 3 3 3. ΝΑΚΓΘΘΕΚΖΓΟ 005 ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9 4 5 6 7 8 9 0 Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 4 4. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 3 3 0. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 0 3. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 0 3. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ θαη πμηόξ ημ μεγαιύηενμ μέηνμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη: 5 5. Σηε ζοκέπεηα κα βνεζεί πμηόξ από αοημύξ έπεη ημ μηθνόηενμ μέηνμ. Ακ 5 3 κα βνεζμύκ μη μηγαδηθμί γηα ημοξ μπμίμοξ ε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A γίκεηαη μέγηζηε θαη ειάπηζηε. Ακ 5 3 κα βνεζμύκ μη μηγαδηθμί γηα ημοξ μπμίμοξ ε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A γίκεηαη μέγηζηε θαη ειάπηζηε. Ακ 5 3, κα βνεζεί ε μέγηζηε θαη ε ειάπηζηε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A. Ακ 3 5, κα βνεζεί ε μέγηζηε θαη ε ειάπηζηε ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 4 Γηα θάζε θοζηθό ανηζμό απμδείληε όηη: 3 α) 0 β) ( ) 4 ( ) 4 Γηα ηηξ δηάθμνεξ ηημέξ ημο θοζηθμύ ανηζμμύ κα οπμιμγηζημύκ μη ηημέξ ηςκ A ( ) 5 ( ) παναζηάζεςκ: 5 B 5 Απμδείληε όηη: 3 3. 6 7 8 9 30 3 Ακ ε ελίζςζε: 0,,, 0, έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό w, απμδείληε μηη έπεη νίδα θαη ημκ w. Ακ ε ελίζςζε: 0,, 0, έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό w, απμδείληε μηη έπεη νίδα θαη ημκ w. Ακ ε ελίζςζε: 0,, 0, έπεη νίδα ημκ μηγαδηθό w, απμδείληε μηη w. Ακ, θαη απμδείληε όηη: 0 0 ) ( ) ( ) 0 4 4 ) ( ) ( ) 0. ( ) ( ) 0 Γηα πμηέξ ηημέξ ημο Γηα πμηέξ ηημέξ ημο, ηζπύεη ε ζπέζε: ( 7 5) (5 7) 0, ηζπύεη ε ζπέζε:.. ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 3 33 34 35,, Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ 3 ηζπύμοκ μη ζπέζεηξ: 0 3 θαη 3, απμδείληε όηη μη εηθόκεξ ημοξ, ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, μνίδμοκ ηζόπιεονμ ηνίγςκμ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ημο μηγαδηθμύ, ζημ μηγαδηθό επίπεδμ, ακ γκςνίδμομε όηη μη εηθόκεξ ηςκ μηγαδηθώκ ζοκεοζεηαθά ζεμεία.,, είκαη Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ,,3, 4 ηζπύμοκ μη ζπέζεηξ 3 4 θαη 3, απμδείληε όηη (ζημ μηγαδηθό επίπεδμ) ε εηθόκα ημο 4, είκαη ε εηθόκα ημο μνζμθέκηνμο ημο ηνγώκμο πμο μνίδμοκ μη εηθόκεξ ηςκ,, 3. a) Ακ, είκαη μηγαδηθμί γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη 4 4 θαη 5 5, κα βνείηε ημοξ,. β) Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ, w ηζπύμοκ 3 θαη w 3. κα δείλεηε όηη οπάνπμοκ μμκαδηθμί μηγαδηθμί ανηζμμί, w έηζη ώζηε w θαη.. κα βνείηε ηε μέγηζηε ηημή ημο w ΝΑΚΓΘΘΕΚΖΓΟ 005 (ΓΝΑΚΑΘΕΝΠΖΗΓΟ) ΒΑΓΓΓΛΗΣ ΧΥΦΑΣ 6946-98358