ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

Transcript

1 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό δ) Λάζνο ε) Σωζηό Z Z Z Z Z ΘΔΜΑ Β : (Β1) Z Z 1 Άξα z (απνξξίπηεηαη, δηόηη z ) ή z 1, δειαδή ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ z είλαη θύθινο κε θέληξν, θαη αθηίλα 1 θαη έρεη εμίζωζε y 1 (1) Από ηξηγωληθή αληζόηεηα έρνπκε Άξα z 1 1 z 1 1 z 1 z z1 z z z z 1 z.. Σπλεπώο 1 z 3 (Β) Αθνύ z 1, z είλαη ξίδεο ηεο εμίζωζεο w w, ζα είλαη ζπδπγείο κηγαδηθνί θαη έηζη αλ z 1 1 y 1 i, κε 1, y 1, ηόηε z 1 y1i. Άξα Im z1 Im z y1 y1 1, δειαδή y1 1 ή y1 1. Σε θάζε πεξίπηωζε y1 1. Τόηε (1) νπόηε 1 1. Άξα ( z 1 i θαη z i) ή ( z 1 i θαη z i). Σε θάζε πεξίπηωζε z1z i i zz 1 i i 5 (Β3) Γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο a, a1, a ηζρύνπλ a 3, a1 3, a 3 θαη ε δνζείζα ζρέζε δίλεη: 3 3 v a v a v a v a v a v a. Άξα 1 1 1

2 v a v a v a v a v a v a v a v a v a 3 3 v v1 v 3 v 3 v 3 v 1 3 v v 1 1 v 1 v v 1 3 v v v 1 3 v v v 1 v v 1 Σπλεπώο v ΘΔΜΑ Γ : (Γ1) 1 1 f c, c 1 1 Άξα f f 1 f Γηα έρνπκε 1 c c 1, νπόηε f f 1 (1) 1 Επεηδή γηα θάζε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη f γηα θάζε, νπόηε αθνύ ε f ζπλερήο, δηαηεξεί πξόζεκν θαη έηζη ε ζρέζε (1) δίλεη f 1 ή f 1 ( απνξξίπηεηαη δηόηη ηόηε f 1, άηνπν). Άξα f 1 f 1, (Γ) Ιζρύεη όηη: Η f ζπλερήο θαη παξαγωγίζηκε ζην κε Έρνπκε όηη f 1. Είλαη πξνθαλέο όηη αλ ηόηε f. Αλ ηόηε έρνπκε f g 1 f g f () 1 f Άξα θαη πάιη f. Σπλεπώο έρνπκε όηη f, γηα θάζε, πνπ ζεκαίλεη όηη ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, άξα θαη 1-1.Σπλεπώο ε () είλαη ηζνδύλακε κε ηελ g Η ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ωο πνιπωλπκηθή θαη παξαγωγίζηκε κε g Είλαη πξνθαλέο όηη g, όηαλ ή 1

3 -1 g g 3 lim g lim lim g g lim g g 1 3 lim g lim Άξα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο g είλαη g g, 1 g 1, g, lim g, lim g g, g 1 lim g, lim g 1 1 1, 1, 1, 1, g, Επεηδή, ε g έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ζην, θαη επεηδή ε g γλεζίωο αύμνπζα ζην δηάζηεκα απηό, ε πξνεγνύκελε ξίδα είλαη κνλαδηθή. Τέινο αθνύ κόλν ξίδα. 1, θαη 1 1, (Γ3) Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε ε εμίζωζε g έρεη κία κε h f t dt,. Η ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην,, ωο παξαγωγίζηκε, ην,, νπόηε ε ζπλάξηεζε f tdt παξαγωγίζηκε γηα θάζε,, άξα θαη ζπλερήο. Σπλεπώο θαη ε ζπλάξηεζε παξαγωγίζηκε ζην, f tdt ζπλερήο θαη ωο ζύλζεζε ηέηνηωλ ζπλαξηήζεωλ. Τέινο 3

4 επεηδή θαη ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγωγίζηκε ζην, ωο ηξηγωλνκεηξηθή, έρνπκε όηη ε ζπλάξηεζε h είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγωγίζηκε ζην, κε h f tdt f f tdt f Επίζεο h έλα, h ηέηνην ώζηε. Άξα από ζεώξεκα Rolle ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ h f tdt f, f f f tdt f t dt f f tdt ΘΔΜΑ Γ : (Γ1) f 1 5h f 1 h f 1 5h f 1 f 1 f 1 h L lim lim h h h f 1 5h f 1 f 1 h f 1 lim h h h h f 1 5h f 1 5h y f 1 y f 1 f 1 y f 1 lim lim 5lim 5 f 1 h h y y y y 5 f 1 h f 1 hy f 1 y f 1 f 1 y f 1 lim lim lim f 1 h h y y y y L 5 f 1 f 1 6 f 1 L 6 f 1 f 1 Άξα θαη επνκέλωο Επίζεο αθνύ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην, έρνπκε: 1 f f 1 f 1 f f 1 f Άξα ε f παξνπζηάδεη ειάρηζην ζην 1

5 (Γ) Η ζπλάξηεζε 1 είλαη ζπλερήο ζην,1 1, f t t 1 θαη επεηδή a 1 ε ζπλάξηεζε g νξίδεηαη ζην 1, όπνπ είλαη παξαγωγίζηκε, άξα θαη ζπλερήο. f 1 Ιζρύεη g, 1 1 Σην (Γ1) έρεη απνδεηρζεί όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην 1, θαη άξα 1 f f 1 f 1 f 1. Άξα g, γηα 1 νπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην 1, 1 Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε h g udu, 1. a 1 1 Έρνπκε h g u du g u du g u du g u du a a a Η g ζπλερήο ζην 1,, ην a 1 νπόηε ε ζπλάξηεζε παξαγωγίζηκε, άξα θαη ζπλερήο. Άξα θαη ε ζπλάξηεζε a g u du 1 g udu είλαη παξαγωγίζηκε, νπόηε θαη ζπλερήο ωο ζύλζεζε ηέηνηωλ ζπλαξηήζεωλ. Σπλεπώο ε h ζπλερήο θαη παξαγωγίζηκε ζην 1, κε h g g g g g Ιζρύεη 1 g 1 g g 1 g h, δειαδή ε ζπλάξηεζε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην 1,. Επίζεο γηα θάζε έρνπκε όηη 8 5, 8 6, 5, 61,, νπόηε h g u du g u du h h 8 Επεηδή όκωο γηα ε δνζείζα αλίζωζε δελ επαιεζεύεηαη, έρνπκε ηειηθά όηη,, (Γ3) Η g είλαη ζπλερήο ζην 1, ωο πειίθν ζπλερώλ θαη παξαγωγίζηκε κε f 1 f 1 f 1 f 1 f g g (1) a 5

6 Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 1,, παξαγωγίζηκε ζην 1, νπόηε από Θ.Μ.Τ. ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα 1, ηέηνην ώζηε f f 1 f f g () 1 f Άξα f f g f f g, νπόηε από ηε ζρέζε (1) πξνθύπηεη g, γηα θάζε 1,, δειαδή ε ζπλάξηεζε g είλαη θπξηή. Πξνθαλώο ga. Η δνζείζα εμίζωζε γξάθεηαη f a 1 a 1 g f a 1 a g a g ga a a 1 θαη είλαη πξνθαλέο όηη ε a είλαη κηα ιύζε ηεο εμίζωζεο. Επίζεο ε πξνεγνύκελε ηζόηεηα γξάθεηαη g g a ga a g g a ga a Όκωο ε ζπλάξηεζε g είλαη θπξηή θαη ε εθαπηνκέλε ηεο C g ζην ζεκείν a, g a έρεη εμίζωζε : y g a ga a y g a ga a. Ιζρύεη g θαη γλωξίδνπκε από ζεωξία όηη ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν ζην ζεκείν επαθήο. Άξα απνδείρηεθε ην δεηνύκελν. 6