Αλληλεπίδραση Φωτονίου-Φωτονίου

Αλληλεπίδραση Φωτονίου-Φωτονίου 4 4.1 Βασικές έννοιες Οπως αναφέραμε στο προηγούμενο Κεφάλαιο, η αλληλεπίδραση φωτονίουφωτονίου προς παραγωγή ζεύγους ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου αποτελεί μία από τις βασικές διαδικασίες της Αστροφυσικής Υψηλών Ενεργειών. Παρακάτω δίνουμε, ως παράδειγμα, μία πληρέστερη ανάλυση αυτής της διαδικασίας ώστε να εφαρμοστούν οι έννοιες της ενέργειας κατωφλίου, της ενεργού διατομής και του οπτικού βάθους, βλ. παράγραφο 3.1.2. Για να βρούμε το ενεργειακό [ κατώφλι παραγωγής του ζεύγους εργαζόμαστε ως εξής: Εστω hν1 K 1 = c, hν ] [ 1 hν2 c ê1 και K 2 = c, hν ] 2 c ê2 τα τετρανύσματα ορμής των φωτονίων πριν από τη σύγκρουση. Εάν P 1 = [γ 1 m e c, γ 1 m e u 1 ] και P 2 = [γ 2 m e c, γ 2 m e u 2 ] είναι τα τετρανύσματα ορμής των δύο παραγόμενων σωματίων, τότε από τη διατήρηση των μεγεθών αυτών έχουμε: K 1 + K 2 = P 1 + P 2 (4.1) Η ελάχιστη ενέργεια με την οποία μπορεί να παραχθεί το ζεύγος είναι όταν u 1 = u 2 = 0 και συνεπώς P 1 = [m e c, 0], P 2 = [m e c, 0]. Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης και χρησιμοποιώντας τις γνωστές σχέσεις K 1 K 1 = K 2 K 2 = 0 και P 1 P 1 = P 2 P 2 = P 1 P 2 = 2m e c 2 παίρνουμε K 1 K 2 = 2(m e c 2 ) 2 η οποία, μετά από μερικές πράξεις, γράφεται ϵ 2,min = 2m e 2 c 4 ϵ 1 (1 cos θ) (4.2) 31

32 Αλληλεπίδραση Φωτονίου-Φωτονίου ϵ 1 (ev) ϵ 2,min (ev) Κοσμικό υπόβαθρο μικροκυμάτων 6 10 4 4 10 14 Αστέρες 2 10 11 Πηγές ακτίνων Χ 10 3 3 10 8 Πίνακας 4.1: Οι τιμές ενεργειών για ζεύγη φωτονίων προκειμένου να ικανοποιείται η συνθήκη κατωφλίου. όπου ϵ 1 = hν 1 και ϵ 2 = hν 2 είναι οι ενέργειες των δύο φωτονίων και θ η γωνία που σχηματίζουν οι διευθύνσεις τους. Η σχέση (4.2) δίνει την ελάχιστη ενέργεια ϵ 2 που απαιτείται να έχει ένα φωτόνιο ώστε να δημιουργήσει ζεύγος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου όταν αλληλεπιδρά υπό γωνία θ με άλλο φωτόνιο ενέργειας ϵ 1. Αυτό είναι και το ενεργειακό κατώφλι της παραπάνω φυσικής διαδικασίας. Η διαδικασία αυτή δεν δρα μόνον ως μηχανισμός παραγωγής ζευγών αλλά και ως μηχανισμός απορρόφησης ακτίνων γ. Θα μπορούσαμε λοιπόν, ξαναγυρίζοντας προς στιγμή στην Αστροφυσική, να θεωρήσουμε μερικές χαρακτηριστικές ενέργειες χαμηλοενεργειακών φωτονίων (ϵ 1 ) και με τη βοήθεια της σχέσης (4.2) να βρούμε την απαιτούμενη ελάχιστη ενέργεια (ϵ 2,min ) που πρέπει να έχουν οι ακτίνες γ ώστε να αλληλεπιδράσουν με αυτά. Τα σχετικά αποτελέσματα δίνονται στον πίνακα 4.1 όπου για χάρη απλότητας θεωρήσαμε θ = π (δηλαδή μετωπικές συγκρούσεις). Καταρχήν παρατηρούμε ότι οι ενέργειες των φωτονίων που θα μπορούσαν να απορροφηθούν βρίσκονται όντως στην περιοχή των ακτίνων γ. Ωστόσο για να είναι η απορρόφηση των ακτίνων γ σημαντική πρέπει αυτά να έχουν και μεγάλο οπτικό βάθος ως προς απορρόφηση. Η έννοια του οπτικού βάθους είναι γνωστή από άλλους τομείς της Αστροφυσικής (πχ. αστρικές ατμόσφαιρες) αλλά και της Φυσικής γενικότερα - βλ. σχέση 3.12. Στην περίπτωση της απορρόφησης φωτονίου-φωτονίου, αυτό δίνεται από τη σχέση: τ γγ (E γ ) = l2 l 1 ϵmax dl dϵ n(ϵ) ϵ min σ γγ (S)(1 cos θ)dω, (4.3) όπου E γ η ενέργεια της ακτίνας γ, l 1 και l 2 τα όρια της περιοχής την οποία αυτή διασχίζει και n(ϵ) η διαφορική αριθμητική πυκνότητα [μονάδες: αριθμός φωτονίων/όγκο/ενέργεια (ή συχνότητα) φωτονίου] των χαμηλοενεργειακών φωτονίων-στόχων τα οποία έχουν κατανομή μεταξύ των ενεργειών ϵ min < ϵ < ϵ max. Τέλος, σ γγ η ενεργός διατομή της διαδικασίας και S = E γ ϵ(1 cos θ). Η ενεργός διατομή υπολογίζεται από την Κβαντική Ηλεκτροδυναμική και παριστάνεται γραφικά στο σχήμα 4.1. Παρατηρούμε ότι για τιμές του γινομένου S = ϵ 1 ϵ 2 (1 cos θ) < 2(m e c 2 ) 2 η ενεργός διατομή σ γγ είναι μηδέν, σε

4.1 Βασικές έννοιες 33 Σχήμα 4.1: Γραφική παράσταση της ενεργού διατομής σ γγ για τη φυσική διαδικασία γγ e e + (σε μονάδες της ενεργού διατομής Thomson σ T = 6.65 10 25 cm 2 ) ως συνάρτηση του γινομένου ϵ 1 ϵ 2 (1 cos θ) όπου ϵ 1 και ϵ 2 είναι οι ενέργειες των δύο αλληλεπιδρώντων φωτονίων εκφρασμένες σε μονάδες της ενέργειας ηρεμίας του ηλεκτρονίου m e c 2 και θ είναι η γωνία που σχηματίζουν οι διευθύνσεις τους. συμφωνία με τα όσα αναφέραμε για το ενεργειακό κατώφλι της συγκεκριμένης φυσικής αλληλεπίδρασης. Για τιμές του S λίγο πάνω από το ενεργειακό κατώφλι η ενεργός διατομή αυξάνεται απότομα μέχρι μία μέγιστη τιμή σγγ max 0.22σ T, όπου σ T είναι η ενεργός διατομή Thomson (βλ. κεφάλαιο 5) και από εκεί και πέρα φθίνει περίπου ως S 1. Παρατηρούμε ότι η σχέση (4.3) αποτελεί γενίκευση της σχέσης (3.12), καθώς οι στόχοι, επειδή είναι φωτόνια, έχουν και κατανομή ως προς ενέργειες και διεύθυνση. Επιβάλλεται λοιπόν να ολοκληρώσουμε το οπτικό βάθος ως προς ενέργεια των φωτονίων-στόχων και ως προς στερεά γωνία. Τέλος, σημειώνουμε ότι ο όρος (1 cos θ) στο παραπάνω ολοκλήρωμα είναι κινηματικής προέλευσης και υποδηλώνει ότι οι πιο πιθανές αλληλεπιδράσεις της ακτίνας γ είναι με φωτόνια που έχουν αντίθετη διεύθυνση (θ = π). Αντίθετα, η αλληλεπίδραση είναι αδύνατη εάν η διεύθυνση των δύο φωτονίων έχει την ίδια φορά.

34 Αλληλεπίδραση Φωτονίου-Φωτονίου Σχήμα 4.2: Μήκος απορρόφησης ακτίνων γ ενέργειας Ε (σε GeV) από το κοσμικό μικροκυματικό υπόβαθρο. 4.2 Εφαρμογές Ενα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η απορρόφηση φωτονίων υψηλών ενεργειών από τα φωτόνια του κοσμικού μικροκυματικού υπόβαθρου. Επειδή αυτά περιγράφονται από κατανομή μέλανος σώματος η αριθμητική τους πυκνότητα ως προς ενέργεια εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία της ακτινοβολίας και δίνεται από τη σχέση: n(ϵ)dϵ = 1 ϵ 2 π 2 ( c) 3 dϵ. (4.4) e ϵ/kt 1 Σε αυτήν την περίπτωση έχει μεγαλύτερη φυσική σημασία να υπολογίσουμε τη μέση ελεύθερη διαδρομή που μας δίνει κατά μέσο όρο την απόσταση που έχει διανύσει έως τη Γη κάποιο φωτόνιο υψηλών ενεργειών χωρίς να έχει απορροφηθεί από τα φωτόνια του υπόβαθρου. Το σχήμα 4.2 παριστάνει

4.2 Εφαρμογές 35 ακριβώς αυτό ως συνάρτηση της ενέργειας της ακτίνας γ. Παρατηρούμε ότι για ενέργειες E γ 10 5 GeV = 10 14 ev το Σύμπαν είναι διαφανές. Για μεγαλύτερες όμως ενέργειες οι ακτίνες γ απορροφώνται από τα φωτόνια του υπόβαθρου και για ενέργειες E γ = 10 15 ev η μέση ελεύθερη διαδρομή είναι της τάξης των 10 kpc, κάτι που πρακτικά σημαίνει ότι εάν ποτέ παρατηρηθούν ακτίνες γ τέτοιων ενεργειών αυτές πρέπει να προέρχονται από πηγή του Γαλαξία μας και όχι από κοσμολογικές πηγές (όπως π.χ. οι quasars). Για ακόμα μεγαλύτερες ενέργειες η μέση ελεύθερη διαδρομή αυξάνεται και αυτό οφείλεται στην πτώση της ενεργού διατομής [βλ. και σχήμα 4.1] αλλά και στη συγκεκριμένη μορφή (4.4) του πεδίου των φωτονίων. Το παραπάνω αποτελεί ένα μόνο παράδειγμα της απορρόφησης ακτίνων γ από φωτόνια χαμηλότερης ενέργειας. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν αστροφυσικές πηγές ακτίνων γ όπως pulsars, ενεργούς γαλαξίες, κλπ. Σε αυτές τις περιπτώσεις εξετάζουμε την πιθανότητα που έχει μία ακτίνα γ να απορροφηθεί μέσα στην ίδια την πηγή από άλλα φωτόνια χαμηλότερης ενέργειας. Τέτοιου είδους υπολογισμοί αποτελούν πολύτιμα διαγνωστικά για τις ιδιότητες των πηγών αυτών.

36 Αλληλεπίδραση Φωτονίου-Φωτονίου 4.3 Ασκήσεις Άσκηση 4.1: Ξεκινώντας από τη σχέση (4.1) να καταλήξετε στη σχέση (4.2). Άσκηση 4.2: Το κατώφλι για αλληλεπιδράσεις φωτονίου-φωτονίου δίνεται από τη σχέση ϵ 2 = 2m 2 ec 4 ϵ 1 (1 cos θ) όπου θ είναι η γωνία που σχηματίζουν οι διευθύνσεις των δύο σωματιδίων. Α. Θεωρώντας κατά μέτωπο αλληλεπιδράσεις, να αντιστοιχίσετε τις παρακάτω ενέργειες σε ζεύγη που μπορούν να παράγουν ζεύγη ηλεκτρονίωνποζιτρονίων. α) Μικροκυματική ακτινοβολία υποβάθρου, ενέργειας 600 μev β) Υπέρυθρη εκπομπή γαλαξιακής σκόνης, ενέργειας 10 mev γ) Υπεριώδης ακτινοβολία αστέρα, ενέργειας 10 ev δ) Μαλακές ακτίνες Χ ενέργειας 1 kev ε) Σκληρές ακτίνες Χ ενέργειας 0.05 MeV στ) Ακτίνες γ ενέργειας 1 GeV ζ) Ακτίνες γ ενέργειας 4 TeV η) Ακτίνες γ ενέργειας 1 PeV 1) Ακτίνες γ ενέργειας 1 PeV 2) Ακτίνες γ ενέργειας 4 TeV 3) Ακτίνες γ ενέργειας 1 GeV 4) Σκληρές ακτίνες Χ ενέργειας 0.05 MeV 5) Μαλακές ακτίνες Χ ενέργειας 1 kev 6) Υπεριώδης ακτινοβολία αστέρα, ενέργειας 10 ev 7) Υπέρυθρη εκπομπή γαλαξιακής σκόνης, ενέργειας 10 mev 8) Μικροκυματική ακτινοβολία υποβάθρου, ενέργειας 600 μev Β. Οταν υπερκαλύπτεται η συνθήκη κατωφλίου κατά πολλές τάξεις μεγέθους, η αλληλεπίδραση είναι το ίδιο εύκολη με όταν η συνθήκη κατωφλίου οριακά καλύπτεται, περισσότερο εύκολη ή λιγότερο εύκολη; Ποιοι παράγοντες το καθορίζουν;

4.3 Ασκήσεις 37 Άσκηση 4.3: Α. Θεωρήστε έναν σφαιρικό όγκο V 0 (ακτίνας r 0 ) ο οποίος περιέχει ακτινοβολία. Υποθέτουμε ότι σε κάθε χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας. Επομένως, η ακτινοβολία ακολουθεί τον νόμο του Planck για δεδομένη θερμοκρασία T 0 : B ν (T 0 ) dw dtdνdadω = 2hν3 c 2 1 e hν/kt 0 1 1. Χρησιμοποιώντας την έκφραση (4.3) για την ένταση ακτινοβολίας του μελανού σώματος βρείτε την έκφραση που περιγράφει την πυκνότητα φωτονίων ανά μονάδα ενέργειας, δηλαδή προσδιορίστε την ποσότητα n(ϵ) dn dv dϵ. 2. Εχοντας προσδιορίσει την κατανομή n(ϵ) από το προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε τη συνολική ενεργειακή πυκνότητα ακτινοβολίας u. Δίνεται ότι: dx x3 0 e x 1 = π4 15. Υπάρχει άλλος τρόπος για τον υπολογισμό της ποσότητας αυτής; Β. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ένα φωτόνιο ενέργειας E γ να απορροφηθεί από την κατανομή φωτονίων του μελανού σώματος n(ϵ). Με άλλα λόγια θέλουμε να υπολογίσουμε το οπτικό βάθος, το οποίο απλοποιείται στην περίπτωση όπου τα χαμηλοενεργειακά φωτόνια έχουν ισοτροπική κατανομή ως εξής: τ γγ (E γ ) = r 0 dϵ n(ϵ)σ γγ (ϵe γ ). 0 1. Να υπολογιστεί το οπτικό βάθος χρησιμοποιώντας την κατανομή n(ϵ) που βρήκατε σε προηγούμενο ερώτημα καθώς και την προσεγγιστική σχέση για την ενεργό διατομή της απορρόφησης φωτονίου-φωτονίου σ γγ (y) σ T 1 Θ(y 1), όπου Θ(x) = 0, x < 0 και Θ(x) = 1, x > 0 (Οι 4 y μεταβλητές x, y είναι αδιάστατες). Σας δίνεται επίσης το ολοκλήρωμα 0 x dx e x 1 = π2 6. 2. Ενα φωτόνιο ενέργειας E γ,2 > E γ έχει μεγαλύτερη ή μικρότερη πιθανότητα να απορροφηθεί; Αν το μελανό σώμα είχε θερμοκρασία μεγαλύτερη από T 0 το οπτικό βάθος θα μειωνόταν. Σωστό ή λάθος;

38 Αλληλεπίδραση Φωτονίου-Φωτονίου Γ. Ας υποθέσουμε ότι ο σφαιρικός όγκος του προηγούμενου ερωτήματος εκτονώνεται αδιαβατικά, δηλαδή με τέτοιο τρόπο ώστε να μην ανταλλάσσει θερμότητα με το περιβάλλον. Η ακτινοβολία κατά την αδιαβατική μεταβολή συμπεριφέρεται ως «αέριο» φωτονίων με αδιαβατικό δείκτη γ = 4/3. Η αρχική ακτίνα r 0 και θερμοκρασία T 0 θεωρούνται γνωστά. 1. Γράψτε τη σχέση, που ισχύει κατά την αδιαβατική μεταβολή, μεταξύ της πίεσης ακτινοβολίας P r και του όγκου V. 2. Δεδομένου ότι η σχέση μεταξύ πίεσης ακτινοβολίας P r και ενεργειακής πυκνότητας u είναι P r = 1 3 u να βρείτε τη θερμοκρασία του μελανού σώματος ως συνάρτηση της ακτίνας, T (r). Εκφράστε το οπτικό βάθος που βρήκατε σε προηγούμενο ερώτημα ως συνάρτηση του r. Υπολογίστε την ακτίνα r 1 στην οποία το οπτικό βάθος γίνεται μονάδα. 4.4 Βιβλιογραφία Longair, M. S., (2011), High Energy Astrophysics. Cambridge University Press (3rd edition). Gould, R. J. & Schreder, G. P. (1967). Opacity of the Universe to High-Energy Photons. Physical Review, vol. 155, Issue 5, pp. 1408-1411. Protheroe, R. J. (1986). Effect of electron-photon cascading on the observed energy spectra of extragalactic sources of ultra-high-energy gamma-rays. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (ISSN 0035-8711), Vol. 221, Aug. 15, 1986, p. 769-788. Gould, R. J. & Schreder, G. (1966). Opacity of the Universe to High-Energy Photons. Physical Review Letters, vol. 16, Issue 6, pp. 252-254.