Ακτινοβολία Σύγχροτρον

Transcript

1 Ακτινοβολία Σύγχροτρον 6 Η ακτινοβολία σύγχροτρον αποτελεί αναμφίβολα τον πιο συχνά απαντώμενο μηχανισμό μη θερμικής ακτινοβολίας στην Αστροφυσική. Οπως αναφέραμε και στο Κεφάλαιο 2 πολλές παρατηρήσεις αποδίδονται σε αυτή: Ακτινοβολία από υπολείμματα υπερκαινοφανών, από pulsars, από τον δίσκο τόσο του Γαλαξία μας όσο και αυτού άλλων γαλαξιών καθώς και από πυρήνες, πίδακες και ραδιολοβούς Ενεργών Γαλαξιών. Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τα κυριότερα γνωρίσματα του μηχανισμού όπως τις ενεργειακές απώλειες των σωματίων που ακτινοβολούν και το δημιουργούμενο φάσμα εκπομπής. Επίσης θα δώσουμε μια σειρά αστροφυσικών εφαρμογών. 6.1 Ενεργειακές Απώλειες Ο μηχανισμός σύγχροτρον, σε αντίθεση με τον σκεδασμό Compton, αποτελεί έναν «γνήσιο» μηχανισμό εκπομπής φωτονίων 1. Η ακτινοβολία αυτή δημιουργείται από την κίνηση σχετικιστικών ηλεκτρονίων μέσα σε μαγνητικά πεδία. Τα ηλεκτρόνια επιταχύνονται καθώς διαγράφουν ελικοειδείς τροχιές και αποτέλεσμα αυτής της επιτάχυνσης είναι η ακτινοβολία σύγχροτρον. Μία πλήρης παρουσίαση της σχετικής θεωρίας ξεφεύγει των ορίων του παρόντος. Εδώ θα παρουσιάσουμε μόνο τα αναγκαία εκείνα στοιχεία που είναι απαραίτητα για μια πρώτη κατανόηση του μηχανισμού αυτού. Το σημείο αφετηρίας είναι η σχέση Larmor γενικευμένη κατάλληλα ώστε να περιλαμβάνει και την περίπτωση ακτινοβολίας σχετικιστικών σωματίων. Αυτή γράφεται: P = 2q2 3c 3 γ4 (α 2 + γ 2 α 2 ), (6.1) 1 Υπενθυμίζουμε ότι ο αντίστροφος σκεδασμός Compton δεν παράγει φωτόνια αλλά σκεδάζει ήδη υπάρχοντα φωτόνια χαμηλών ενεργειών σε υψηλές ενέργειες. 63

2 64 Ακτινοβολία Σύγχροτρον όπου P η ακτινοβολούμενη ισχύς του φορτίου q που κινείται με παράγοντα Lorentz γ και α, α οι συνιστώσες της επιτάχυνσης κάθετα και παράλληλα στο άνυσμα της ταχύτητας (βλ. και Άσκηση 6.1). Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (6.1) απαιτείται να υπολογίσουμε την επιτάχυνση του σωματίου καθώς αυτό κινείται σε μαγνητικό πεδίο έντασης B [βλ. Σχήμα 6.1]. Από τη σχετικιστική μορφή της εξίσωσης του Νεύτωνα έχουμε d dt (γmv) = q c v B (6.2) η οποία στη συγκεκριμένη περίπτωση γράφεται γm dv dt = q c v B (6.3) Επειδή η κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης δίνεται από τη σχέση α = Σχήμα 6.1: Ελικοειδής κίνηση φορτισμένου σωματίου σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. ω B v, αντικαθιστώντας στην (6.1) παίρνουμε με τη βοήθεια της (6.3) q 4 P = 2 3 m 2 c 3 B2 β γ 2 2, (6.4) όπου β = v /c = v sin α/c. Η γωνία α είναι η γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στη διεύθυνση της έντασης του μαγνητικού πεδίου και της ταχύτητας. Για ισοτροπική κατανομή των ηλεκτρονίων μπορούμε να υπολογίσουμε

3 6.2 Το φάσμα της παραγόμενης ακτινοβολίας: Μονοενεργητικά ηλεκτρόνια 65 τη μέση τιμή του β : < β 2 >= β2 sin 2 αdω α = 2 4π 3 β2, (6.5) όπου dω α η στοιχειώδης στερεά γωνία στον χώρο των ταχυτήτων. Στην περίπτωση όπου το φορτισμένο σωμάτιο είναι ηλεκτρόνιο, τότε χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.7), (5.8) και (6.5) βρίσκουμε P = 4 3 σ T cβ 2 γ 2 u B, (6.6) όπου u B = B 2 /8π είναι η ενεργειακή πυκνότητα του μαγνητικού πεδίου. Η σχέση (6.6) δίνει τη συνολική ισχύ της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας και κατά συνέπεια τις ενεργειακές απώλειες των σχετικιστικών ηλεκτρονίων. Χρησιμοποιώντας την μπορούμε να βρούμε τον χρόνο ζωής των ηλεκτρονίων (βλ. ανάλογη περίπτωση με τον αντίστροφο σκεδασμό Compton σχέση 5.29) τ syn = E e P = γmc2 4 σ = 6πmc2 3 T cγ 2 u B σ T cγb = γ 1 B 2 sec, (6.7) δηλαδή τα ηλεκτρόνια υψηλών ενεργειών χάνουν γρηγορότερα την ενέργειά τους από ότι αυτά που έχουν χαμηλές ενέργειες. Σημείωση: Μία ενδιαφέρουσα ερώτηση αφορά την ακτινοβολία σύγχροτρον από φορτισμένα σωματίδια που δεν είναι ηλεκτρόνια. Με τη βοήθεια της σχέσης (6.6) είναι εύκολο να δειχτεί ότι, εάν αυτά είναι π.χ. πρωτόνια ίδιου παράγοντα Lorentz με τα ηλεκτρόνια, τότε ισχύει P e P p = ( mp m e ) 2, (6.8) όπου P e και P p η ακτινοβολούμενη ισχύς των ηλεκτρονίων και των πρωτονίων, αντίστοιχα. Συνεπώς η ακτινοβολία των ηλεκτρονίων είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από την ακτινοβολία των πρωτονίων. Εάν λοιπόν μία πηγή περιέχει σχετικιστικά ηλεκτρόνια και πρωτόνια ίδιου παράγοντα Lorentz, η ακτινοβολία των πρωτονίων μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα σε σχέση με αυτή που παράγουν τα ηλεκτρόνια και κατά συνέπεια μη ανιχνεύσιμη. Αυτός είναι και ο λόγος που δεν γνωρίζουμε το ποσό των σχετικιστικών πρωτονίων που περιέχουν οι διάφορες πηγές υψηλών ενεργειών. 6.2 Το φάσμα της παραγόμενης ακτινοβολίας: Μονοενεργητικά ηλεκτρόνια Η μέθοδος εύρεσης του συντελεστή εκπομπής της ακτινοβολίας σύγχροτρον ξεφεύγει των ορίων του παρόντος μαθήματος (για μία πλήρη απόδειξη βλ.

4 66 Ακτινοβολία Σύγχροτρον Rybicki & Lightman, παράγραφος 6.4). Θα αρκεστούμε λοιπόν στη σκιαγράφηση μερικών βασικών νόμων και αρχών που τη διέπουν. Ας ξεκινήσουμε από τη μη σχετικιστική περίπτωση. Το ηλεκτρόνιο διαγράφει κυκλική τροχιά με συχνότητα ω cycl = eb/m e c και η ακτινοβολία του είναι όλη σε αυτήν τη συχνότητα. Αυτή είναι η γνωστή ακτινοβολία κύκλοτρον που αποτελεί τη μη σχετικιστική εκδοχή της σύγχροτρον, η δε συχνότητα ω cycl ονομάζεται συχνότητα κύκλοτρον. Ποιοτικά θα μπορούσαμε να εξηγήσουμε τη μετάβαση από την ακτινοβολία κύκλοτρον στη σύγχροτρον ως εξής: Από τις σχέσεις για την αποπλάνηση του φωτός (5.11) και (5.12) μπορεί να δειχθεί ότι καθώς αυξάνει η ταχύτητα του ηλεκτρονίου, η ακτινοβολία που εκπέμπεται με μορφή δίπολου στο σύστημα ηρεμίας του (σύστημα Κ ) αρχίζει σταδιακά να παραμορφώνεται για ακίνητο παρατηρητή (σύστημα Κ) βλ. σχήμα 6.2. Εάν λοιπόν θεωρήσουμε Σχήμα 6.2: Γωνιακή κατανομή της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας στην περίπτωση όπου η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι κάθετες μεταξύ τους. Το πάνω διάγραμμα είναι όπως αυτή παρουσιάζεται στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου Κ ενώ το κάτω διάγραμμα είναι στο σύστημα του παρατηρητή Κ. μία πρώτη διόρθωση στο ηλεκτρικό πεδίο (και κατά συνέπεια στο πεδίο ακτινοβολίας) λόγω της μη αμελητέας ταχύτητας του ηλεκτρονίου, τότε είναι δυνατόν να δειχθεί ότι το ηλεκτρόνιο αρχίζει να ακτινοβολεί σε μια σειρά αρμονικές της βασικής γυροσυχνότητας ω B. Οσο αυξάνεται η ταχύτητα του

5 6.2 Το φάσμα της παραγόμενης ακτινοβολίας: Μονοενεργητικά ηλεκτρόνια 67 ηλεκτρονίου τόσο αυξάνεται το πλάτος αυτών των αρμονικών και το φάσμα από γραμμικό γίνεται σταδιακά συνεχές. Αυτό φαίνεται στο σχήμα 6.3 όπου παρουσιάζεται το φάσμα των αρμονικών τις οποίες εκπέμπει ένα σχετικιστικό ηλεκτρόνιο. Σχήμα 6.3: Ανάλυση του φάσματος αρμονικών για την περίπτωση u c. Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη μέγιστη συχνότητα που μπορεί να εκπέμψει ηλεκτρόνιο ενέργειας γm e c 2 κινούμενο σε μαγνητικό πεδίο έντασης B. Οπως αποδεικνύεται από τη θεωρία της ακτινοβολίας, με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Fourier (βλ. Rybicki & Lightman, παράγραφος 2.3), εάν ένας ηλεκτρομαγνητικός παλμός έχει χρονική διάρκεια t, τότε η εκπομπή φτάνει μέχρι συχνότητες της τάξης ω max t 1, δηλαδή οι αρμονικές εκτείνονται σε υψηλότερες συχνότητες για βραχύβιους παλμούς. Εστω θ το άνοιγμα του κώνου μέσα στον οποίο ακτινοβολεί το ηλεκτρόνιο. Ο παρατηρητής θα λαμβάνει εκπομπή όσο αυτό βρίσκεται ανάμεσα στις θέσεις 1 και 2 [βλ. σχήμα 6.4]. Ζητάμε λοιπόν τη διάρκεια του παλμού όπως την μετράει ένας ακίνητος παρατηρητής. Αυτή προφανώς είναι διαφορετική από τον χρόνο t που χρειάζεται το ηλεκτρόνιο να φτάσει από τη θέση 1 στη θέση 2. Η εξίσωση (6.3) γράφεται κατά μέτρο και για μικρές διαφορές v, t γm v t = q vb sin α c Χρησιμοποιώντας τη γνωστή σχέση v = v = v θ και τον ορισμό της γυροσυχνότητας, σχέση (6.29), βρίσκουμε t = θ ω B sin α. Οπως όμως προκύπτει από την σχέση (5.12), για την περίπτωσή μας ισχύει ότι θ 2/γ, οπότε η παραπάνω σχέση γράφεται: t = t 2 t 1 2 γω B sin α. (6.9)

6 68 Ακτινοβολία Σύγχροτρον Σχήμα 6.4: Ελικοειδής κίνηση φορτισμένου σωματίου σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Ωστόσο η διαφορά t εξαρτάται από τις χρονικές στιγμές t 1 και t 2 που αποτελούν τις χρονικές στιγμές εκπομπής του παλμού. Η χρονική διαφορά που θα μετρήσει ο παρατηρητής θα είναι σημαντικά μικρότερη γιατί το σωματίδιο κινείται προς τη διεύθυνση του παρατηρητή και με ταχύτητα σχεδόν ίση με την ταχύτητα του φωτός 2. Αφήνεται ως άσκηση να δειχτεί ότι εάν t η χρονική διαφορά των χρόνων άφιξης, τότε ισχύει: t = t ( 1 v ) c t 2γ 2 (6.10) Συνεπώς, σύμφωνα με τα όσα αναφέραμε προηγουμένως για τη μέγιστη συχνότητα, έχουμε ω max t 1 γ 3 ω B sin α. Εάν επιπλέον χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (6.29) και θέσουμε ω = 2πν, βρίσκουμε ν max qb 2πmc γ2 sin α (6.11) που αποτελεί και μία πρώτη ποιοτική προσέγγιση της μέγιστης συχνότητας εκπομπής. Οπως λεπτομερείς υπολογισμοί αποδεικνύουν 3 το φάσμα που ακτινοβολείται από μονοενεργητικά ηλεκτρόνια δίνεται από τη σχέση 3q 3 ( ) B sin α ν j syn (ν) = F. (6.12) mc 2 ν c 2 Στην (μη φυσική) οριακή περίπτωση όπου το σωματίδιο κινείται με την ταχύτητα του φωτός η χρονική διάρκεια του παλμού θα ήταν μηδέν. 3 Βλ. Rybicki & Lightman, παράγραφος 6.4.

7 6.2 Το φάσμα της παραγόμενης ακτινοβολίας: Μονοενεργητικά ηλεκτρόνια 69 Η συχνότητα ν c ονομάζεται κρίσιμη και δίνεται από τη σχέση: ν c 3 4π γ3 ω B sin α = 3 qb 4π mc γ2 sin α. (6.13) Η συνάρτηση F (x) είναι μία από τις λεγόμενες ειδικές συναρτήσεις και για λόγους πληρότητας δίνουμε τον ορισμό της F (x) x x K 5/3 (ξ)dξ, όπου K 5/3 (ξ) είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι ασυμπτωτικές μορφές της F (x): F (x) x 1/3 για x 1 F (x) e x x 1/2 για x 1, ενώ αυτή παρουσιάζει μέγιστο για x 0.3. Το σχήμα 6.5 παρουσιάζει τη γραφική παράσταση του εκπεμπόμενου φάσματος [ή, ισοδύναμα, της συνάρτησης F (x)]. Παρατηρούμε ότι το φάσμα της ακτινοβολίας σύγχροτρον, σχέση (6.12), παρουσιάζει ένα μέγιστο που περιγράφεται κατά προσέγγιση από τη σχέση (6.13). Και οι δύο αυτές συναρτήσεις εξαρτώνται από τρεις παραμέτρους, δηλαδή τον παράγοντα Lorentz του σωματιδίου, την ένταση του μαγνητικού πεδίου και τη γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα του σωματιδίου με το μαγνητικό πεδίο. Στις αστροφυσικές εφαρμογές αυτές οι παράμετροι είναι άγνωστες. Είναι φανερό ότι απαιτούνται, τουλάχιστον σε πρώτη προσέγγιση, μερικές υποθέσεις για να τις απαλείψουμε. Η πρώτη υπόθεση είναι προφανής και μπορεί να εφαρμοσθεί στην πλειοψηφία των αστροφυσικών πηγών. Θεωρούμε λοιπόν ότι τα ηλεκτρόνια έχουν ισοτροπική κατανομή, και συνεπώς μπορούμε να ολοκληρώσουμε το φάσμα εκπομπής (6.12) ως προς dω α. Προσεγγιστικά μπορούμε να θεωρήσουμε ως συχνότητα της μέγιστης εκπομπής που είναι ανεξάρτητη της γωνίας α, τη συχνότητα ν 0 1 qb 2π mc 2 γ2. (6.14) Για την περίπτωση όπου τα σωματίδια είναι ηλεκτρόνια, η παραπάνω σχέση γράφεται ν Bγ 2 Hz, (6.15) όπου το B δίνεται σε Gauss. Αυτή η σχέση, αν και προσεγγιστική, επιτρέπει μία εύκολη εκτίμηση της ενέργειας των ηλεκτρονίων που ακτινοβολούν, εάν γνωρίζουμε βέβαια την ένταση του μαγνητικού πεδίου. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτήν τη σχέση στην παράγραφο όπου θα εξετάσουμε τις εφαρμογές της ακτινοβολίας σύγχροτρον.

8 70 Ακτινοβολία Σύγχροτρον Σχήμα 6.5: Φάσμα ακτινοβολίας σύγχροτρον που παράγεται από μονοενεργητικά ηλεκτρόνια σε μαγνητικό πεδίο έντασης B. Η παράμετρος x ισούται με x = ν/ν c όπου ν c είναι η κρίσιμη συχνότητα και δίνεται από τη σχέση (6.12). 6.3 Το φάσμα της παραγόμενης ακτινοβολίας: Ηλεκτρόνια με νόμο δύναμης Οπως θα δείξουμε για την ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου τα ηλεκτρόνια έχουν κατανομή που είναι νόμος δύναμης, δηλαδή N e (γ) = { ke γ p για γ min γ γ max 0 για γ < γ min ή γ > γ max (6.16) το παραγόμενο φάσμα της ακτινοβολίας σύγχροτρον έχει πολλά κοινά με αυτό του αντίστροφου σκεδασμού Compton (βλ. παράγραφο 5.3.4). Οπως και σε εκείνη την περίπτωση, το φάσμα εκπομπής των φωτονίων που παράγεται βρίσκεται αν ολοκληρώσουμε το φάσμα ενός ηλεκτρονίου (σχέση 6.12) ως προς όλες τις ενέργειες που αυτό μπορεί να έχει. Για να κρατήσουμε μια αναλογία με τη σχέση (5.39) χρησιμοποιούμε την ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου αντί της συχνότητάς του. Εχουμε λοιπόν I pl syn(ϵ) = γmax γ min dγn e (γ)j syn (ϵ). (6.17)

9 6.4 Ακτινοβολία σύγχροτρον και αντίστροφος σκεδασμός Compton71 Παρόλο που το ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικά 4, σε μία πρώτη προσέγγιση θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε, όπως και στην ανάλογη περίπτωση του αντίστροφου σκεδασμού Compton, ότι όλη η ακτινοβολία μονοενεργητικών ηλεκτρονίων εκπέμπεται σε ενέργεια ϵ 0 = hν 0 (σχέση 6.14), οπότε γράφουμε j syn (ϵ) Aϵ 0 δ(ϵ ϵ 0 ). (6.18) Η σταθερά A υπολογίζεται από την απαίτηση ο ρυθμός της ακτινοβολούμενης ενέργειας να ισούται με τον ρυθμό απώλειας ενέργειας των ηλεκτρονίων που δίνεται από τη σχέση (6.6). Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να γράψουμε A = σ T mc 2 B και η σχέση (6.17) γράφεται 3 q Isyn(ϵ) pl = 1 σ T mc 2 [ ] p 1 q 2 B p 1 p 1 2 ϵ 2 για ϵ min 1 ϵ 1 ϵ max 1 (6.19) 6 qh mc όπου ϵ min qb mc γ2 min και ϵ max qb mc γ2 max Η σχέση (6.19) φανερώνει ότι, όπως και στην περίπτωση του αντίστροφου σκεδασμού Compton, ηλεκτρόνια με κατανομή νόμο δύναμης εκθέτη p δημιουργούν φωτόνια με δείκτη (p 1)/2, ισχύει δηλαδή και πάλι η σχέση (5.43). Τον ίδιο νόμο δύναμης θα βρίσκαμε εάν χρησιμοποιούσαμε τη σχέση (6.12) αντί της συνάρτησης δέλτα. Αυτό φαίνεται στο σχήμα 6.6 που δείχνει τη συνέλιξη του συντελεστή εκπομπής με την κατανομή των ηλεκτρονίων. Το πρώτο (από αριστερά) είναι το φάσμα εκπομπής που δημιουργούν ηλεκτρόνια με παράγοντα Lorentz γ min, το αμέσως επόμενο αυτό που δημιουργούν ηλεκτρόνια με παράγοντα γ min + γ, κ.ο.κ. μέχρι το τελευταίο που δημιουργείται από ηλεκτρόνια με παράγοντες Lorentz γ max. Στο σχήμα φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο αυτός ο αλγόριθμος δημιουργεί έναν νόμο δύναμης. 6.4 Ακτινοβολία σύγχροτρον και αντίστροφος σκεδασμός Compton Τόσο η ακτινοβολία σύγχροτρον, όσο και ο αντίστροφος σκεδασμός Compton, αποτελούν πολύ σημαντικές φυσικές διαδικασίες καθώς όλες οι αστροφυσικές πηγές υψηλών ενεργειών περιέχουν σχετικιστικά ηλεκτρόνια, μαγνητικά πεδία και φωτόνια χαμηλών ενεργειών. Το πρώτο ερώτημα είναι ποια διαδικασία θα επικρατήσει καθώς οι δύο ανταγωνίζονται για τις ενεργειακές απώλειες των σχετικιστικών ηλεκτρονίων. Μία απλή σύγκριση των ενεργειακών 4 Βλ. Longair, παράγραφο 8.4.

10 72 Ακτινοβολία Σύγχροτρον Σχήμα 6.6: Σχηματική παράσταση του φάσματος που δημιουργείται από ηλεκτρόνια με νόμο δύναμης. απωλειών στην περίπτωση της ακτινοβολίας σύγχροτρον και του αντίστροφου σκεδασμού Compton (σχέσεις 5.29 και 6.6) δίνει P syn P ics = u B u φωτ (6.20) που είναι ανεξάρτητη της ενέργειας των ηλεκτρονίων. Εάν ο λόγος αυτός είναι μεγαλύτερος της μονάδας θα επικρατήσει η ακτινοβολία σύγχροτρον, ενώ εάν μικρότερος θα επικρατήσει ο αντίστροφος σκεδασμός Compton. Ενα δεύτερο ερώτημα αφορά τη σύγκριση των ενεργειών που αυτοί οι μηχανισμοί δημιουργούν/σκεδάζουν φωτόνια. Από τις σχέσεις (5.35) και (6.14) παρατηρούμε ότι αυτά είναι ανάλογα του τετράγωνου της ενέργειας του ηλεκτρονίου. Εστω τώρα μία πηγή, π.χ. ένας ενεργός γαλαξίας, που περιέχει μαγνητικό πεδίο έντασης B, υπόβαθρο μονοχρωματικών φωτονίων χαμηλής ενέργειας ϵ 0 και σχετικιστικά ηλεκτρόνια ενέργειας γm e c 2. Για να συγκρίνουμε καλύτερα τις ενέργειες εκπομπής/σκεδασμού των φωτονίων τις μετατρέπουμε καταρχάς στις ίδιες μονάδες και μια καλή επιλογή είναι να τις εκφράσουμε σε μονάδες της μάζας ηρεμίας του ηλεκτρόνιου m e c 2. Για την περίπτωση του αντίστροφου σκεδασμού Compton έχουμε από τη σχέση (5.35) ότι το μέσο φωτόνιο σκεδάζεται σε ενέργεια < ϵ ics > ϵ 0 mc 2 γ2, (6.21)

11 6.5 Εφαρμογές 73 όπου έχουμε παραλείψει τον παράγοντα 4/3 για λόγους απλότητας. Από την άλλη, η ενέργεια ενός μέσου φωτονίου (σχέση 6.4) που παράγεται κατά την ακτινοβολία σύγχροτρον είναι < ϵ syn > hν 0 mc 2 B B cr γ 2 (6.22) όπου B cr = m e 2 c 3 /e = Gauss είναι η κρίσιμη ένταση του μαγνητικού πεδίου. Σημείωση: Η κρίσιμη ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι εκείνη η ένταση για την οποία ένα μη σχετικιστικό σωμάτιο ακτινοβολεί τη μάζα ηρεμίας του. Πράγματι εάν αντικαταστήσουμε στη συχνότητα κύκλοτρου το B με το B cr βρίσκουμε ω cycl = mc 2. Επειδή για τη συντριπτική πλειοψηφία των αστροφυσικών πηγών ισχύει B/B cr ϵ 0 /mc 2 διαπιστώνουμε ότι ο αντίστροφος σκεδασμός Compton παράγει πολύ πιο ενεργητικά φωτόνια από ότι η ακτινοβολία σύγχροτρον παρόλο που τα ηλεκτρόνια έχουν την ίδια ενέργεια και στις δύο περιπτώσεις. Σχετικά παραδείγματα θα δοθούν αμέσως πιο κάτω στις εφαρμογές. 6.5 Εφαρμογές Εφαρμογή 1: Από ραδιοπαρατηρήσεις σε συχνότητες από 10 MHz έως 10 GHz οι Αστροφυσικοί διαπίστωσαν ότι υπάρχει εκπομπή που είναι διάχυτη σε όλο τον Γαλαξία. Αυτή προέρχεται από ακτινοβολία σύγχροτρον ηλεκτρονίων καθώς αυτά κινούνται στον δίσκο και την άλω του Γαλαξία που περιέχει μαγνητικό πεδίο έντασης B 3 μgauss. Η σχέση (6.15) μας επιτρέπει να βγάλουμε μερικά συμπεράσματα για την ενέργεια των ηλεκτρονίων εάν γνωρίζουμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου μέσα στο οποίο αυτά ακτινοβολούν. Μία απλή εφαρμογή της αποδεικνύει ότι τα ηλεκτρόνια που ακτινοβολούν σε αυτές τις συχνότητες έχουν ενέργειες από 500 MeV έως 15 GeV. Αυτές οι παρατηρήσεις αποτελούν απόδειξη ότι τουλάχιστον τα ηλεκτρόνια της κοσμικής ακτινοβολίας βρίσκονται παντού στον Γαλαξία και δεν είναι απλώς ένα τοπικό φαινόμενο. Ο χρόνος ζωής των ηλεκτρονίων αυτών υπολογίζεται, ανάλογα με την ενέργειά τους, από 80 έως εκατομμύρια χρόνια. Ωστόσο υπάρχει ακόμα μία ενδιαφέρουσα συνέπεια των παραπάνω συμπερασμάτων. Τα ηλεκτρόνια που παράγουν τη ραδιοεκπομπή θα σκεδάσουν επίσης τα φωτόνια του μικροκυματικού υπόβαθρου σε ενέργειες από ϵ min (4/3)(2.7kT b )γmin kev σε ϵ max (4/3)(2.7kT b )γmax MeV (σχέση 5.35), που βρίσκονται στην περιοχή των ακτίνων Χ/γ εδώ φαίνεται και αυτό που αναφέραμε στην προηγούμενη

12 74 Ακτινοβολία Σύγχροτρον παράγραφο σχετικά με τη διαφορά στις ενέργειες των φωτονίων που παράγουν οι δύο μηχανισμοί. Το ερώτημα που τίθεται είναι εάν αυτά τα φωτόνια υψηλών ενεργειών θα έχουν κάποια αξιόλογη λαμπρότητα. Η σχέση (6.20) μας παρέχει μία άμεση απάντηση. Πράγματι η ενεργειακή πυκνότητα του μαγνητικού πεδίου του Γαλαξία είναι u B = B 2 /8π erg/cm ev/cm 3, ενώ η ενεργειακή πυκνότητα των φωτονίων του μικροκυματικού υπόβαθρου είναι u fwt = αt 4 = (4σ/c)T 4 = erg/cm ev/cm 3. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα ηλεκτρόνια θα χάσουν περίπου το ίδιο ποσό της ενέργειάς τους ακτινοβολώντας φωτόνια σύγχροτρον και σκεδάζοντας φωτόνια του μικροκυματικού υπόβαθρου. Συνεπώς η ακτινοβολούμενη ισχύς των φωτονίων στις δύο αυτές περιοχές θα είναι περίπου ίδια, παρόλο που οι ενέργειες των παραγόμενων φωτονίων από τους δύο μηχανισμούς απέχουν πολλές τάξεις μεγέθους η μία από την άλλη. Εφαρμογή 2: Στο προηγούμενο παράδειγμα μπορέσαμε και βρήκαμε την ενέργεια των ηλεκτρονίων γιατί είναι γνωστό το μαγνητικό πεδίο του Γαλαξία μας από διάφορα άλλα δεδομένα. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, η ένταση του μαγνητικού πεδίου διαφόρων κοσμικών πηγών δεν είναι γνωστή και αυτό αφήνει δύο ελεύθερες παραμέτρους στη σχέση (6.14). Για αυτό οι αστροφυσικοί υιοθετούν την υπόθεση ισοκαταμερισμού της ενέργειας που περικλείεται στο μαγνητικό πεδίο και αυτής που περικλείεται στα σωματίδια. Οπως θα δείξουμε αυτή η υπόθεση ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση της ενέργειας που υπάρχει στην πηγή. Η ενέργεια που εμπεριέχεται στο μαγνητικό πεδίο σφαιρικής πηγής όγκου V δίνεται από τη σχέση και συνεπώς Ολική ενέργεια μαγνητικού πεδίου = = Ενεργειακή πυκνότητα μαγνητικού πεδίου Ογκος πηγής U B = u B V = B2 V. (6.23) 8π Εάν η πηγή παρουσιάζει λαμπρότητα L σε κάποια συχνότητα παρατήρησης ν, τότε σε πρώτη προσέγγιση το ενεργειακό της περιεχόμενο σε σχετικιστικά ηλεκτρόνια δίνεται από τη σχέση U e L τ syn, όπου τ syn ο χρόνος ζωής των ηλεκτρονίων με παράγοντα Lorentz γ που εκπέμπουν στη συχνότητα ν (βλ. σχέση 6.7). Χρησιμοποιούμε στη συνέχεια τη σχέση (6.14) για να συνδέσουμε τη συχνότητα ν με τον παράγοντα Lorentz του ηλεκτρονίου και το μαγνητικό πεδίο, υποθέτοντας μονοενεργητική εκπομπή για τα ηλεκτρόνια. Εχουμε λοιπόν: U e CL ν 1/2 B 3/2, (6.24)

13 6.5 Εφαρμογές 75 όπου C = 3 2π(em e c) 1/2 /σ T. Η παραπάνω σχέση εξαρτάται από δύο παρατηρησιακά δεδομένα, δηλαδή τη συχνότητα ν και τη λαμπρότητα της πηγής L σε αυτή τη συχνότητα καθώς και από μία άγνωστη ποσότητα, την ένταση του μαγνητικού πεδίου Β. Για να προσδιορίσουμε το συνολικό ενεργειακό περιεχόμενο της πηγής απαιτείται ακόμη να γνωρίζουμε το ενεργειακό της περιεχόμενο σε πρωτόνια U p. Αυτό, σύμφωνα με τα όσα αναφέρθηκαν στην παράγραφο 6.2, είναι άγνωστό γιατί, αφού τα πρωτόνια δεν ακτινοβολούν, δεν γνωρίζουμε κάτι για τα χαρακτηριστικά του πληθυσμού τους. Μπορούμε ωστόσο να διακρίνουμε δύο ακραίες περιπτώσεις ανάλογα με την υπόθεση που κάνουμε για τον μηχανισμό επιτάχυνσης: (α) Τα πρωτόνια επιταχύνονται στην ταχύτητα των ηλεκτρονίων και συνεπώς U p = (m p /m e )U e και (β) τα πρωτόνια επιταχύνονται στην ενέργεια των ηλεκτρονίων, οπότε U p = U e. Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουμε U p = (1 + k)u e με 1 k m p /m e, οπότε το ολικό ενεργειακό περιεχόμενο της πηγής γράφεται U = U e + U p + U B = (1 + k)u e + U B (6.25) και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (6.23) και (6.24) μπορούμε να εκφράσουμε την ολική ενέργεια ως συνάρτηση παρατηρούμενων μεγεθών και του μαγνητικού πεδίου B U = C 1 (1 + k)b 3/2 + C 2 B 2. (6.26) Η ελάχιστη ενέργεια δίνεται για εκείνη την τιμή του μαγνητικού πεδίου για την οποία ισχύει du/db = 0. Αυτή ικανοποιείται όταν U B = 3 4 (1 + k)u e, (6.27) όταν δηλαδή η ενέργεια κατανέμεται (περίπου) εξίσου ανάμεσα στα ενεργητικά σωματίδια και στο μαγνητικό πεδίο. Τα παραπάνω παριστάνονται γραφικά στο σχήμα 6.7. Μία εφαρμογή της παραπάνω αρχής μπορεί να γίνει στα υπολείμματα υπερκαινοφανών. Αυτά αποτελούν τις καλύτερες υποψήφιες πηγές επιτάχυνσης της κοσμικής ακτινοβολίας, τουλάχιστον για ενέργειες μέχρι ev, που είναι η περιοχή του λεγόμενου «γόνατου» στο φάσμα βλ. σχήμα Ανάμεσα στις διάφορες ενδείξεις που έχουμε για αυτό, κεντρική θέση έχουν οι υπολογισμοί του ενεργειακού περιεχομένου τους σε σχετικιστικά ηλεκτρόνια το γεγονός ότι τα υπολείμματα υπερκαινοφανών περιέχουν σχετικιστικά ηλεκτρόνια είναι αδιαμφισβήτητο από τις ραδιοπαρατηρήσεις που τα παρουσιάζουν να έχουν μη θερμική ακτινοβολία σύγχροτρον. Το υπόλειμμα υπερκαινοφανούς Cassiopeia A έχει λαμπρότητα L ν erg/sec/hz σε συχνότητα 1 GHz, ενώ η ακτίνα του είναι 1.6 pc. Με βάση αυτά τα δεδομένα βρίσκουμε από τη σχέση (6.31) χρησιμοποιώντας

14 76 Ακτινοβολία Σύγχροτρον Σχήμα 6.7: Γραφική παράσταση της μεθόδου εύρεσης του μαγνητικού πεδίου που αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια. L νl ν erg/sec ότι B min 0.13(1 +k) 2/7 mgauss. Από τη σχέση (6.15) βρίσκουμε ότι η απαιτούμενη ενέργεια των σχετικιστικών ηλεκτρονίων είναι 800 MeV. Το ενεργειακό περιεχόμενο της πηγής σε σχετικιστικά σωματίδια (ηλεκτρόνια και πρωτόνια) υπολογίζεται σε (1 + k) 4/7 erg. Αυτό είναι ένα σημαντικό ποσό εάν αναλογισθεί κανείς ότι ένας υπερκαινοφανής έχει κατά την έκρηξή του κινητική ενέργεια erg. Συνεπώς η έκρηξη του υπερκαινοφανούς μπορεί να μετατρέψει, κατά κάποιο τρόπο, ένα ποσοστό του αρχικού ενεργειακού του προϋπολογισμού σε μη θερμική ενέργεια. Αυτό εξετάζεται με λεπτομέρεια στο Κεφάλαιο 8. Παρατηρησιακά δεδομένα αλλά και θεωρητικές έρευνες υποδεικνύουν ότι τα σχετικιστικά ηλεκτρόνια επιταχύνονται στα ισχυρά κύματα κρούσης που δημιουργούνται κατά την έκρηξη πράγματι το υλικό του υπερκαινοφανούς κινείται κατά τα πρώτα χρόνια με ταχύτητες km/sec ενώ η ταχύτητα του ήχου στο μεσοαστρικό υλικό είναι μόλις 10 km/sec, συνεπώς το ωστικό κύμα που δημιουργείται έχει υψηλό αριθμό Mach. Σημείωση: Από τους υπολογισμούς που κάναμε παραπάνω φαίνεται ότι η ενέργεια των ηλεκτρονίων που παράγουν τη ραδιοεκπομπή είναι της τάξης GeV. Αυτές οι ενέργειες είναι μεν σχετικιστικές, δεν μπορούν όμως να συγκριθούν με τις ενέργειες της Κοσμικής Ακτινοβολίας στο «γόνατο» που

15 6.5 Εφαρμογές 77 Σχήμα 6.8: Το φάσμα εκπομπής του Νεφελώματος του Καρκίνου. Αυτό προέρχεται από μη θερμική εκπομπή σχετικιστικών ηλεκτρονίων (σύγχροτρον/αντίστροφος σκεδασμός Compton). Είναι ενδιαφέρον να συγκρίνει κανείς τη φασματική αυτή μορφή με το φάσμα μελανού σώματος που εκπέμπεται στο υπέρυθρο (FIR) από θερμή σκόνη και σημειώνεται στο σχήμα με διακεκομμένη γραμμή. φτάνουν έως ev, βλ. σχήμα Μία νέα διάσταση του προβλήματος έδωσαν το 1996 παρατηρήσεις του ιαπωνικού ανιχνευτή ακτίνων X ASCA. Αυτός ανακάλυψε μη θερμικές 5 ακτίνες Χ από ορισμένα υπολείμματα υπερκαινοφανών που εκτείνονται έως 30 kev. Ολες οι ενδείξεις συγκλίνουν στο ότι η ακτινοβολία αυτή είναι σύγχροτρον. Σε αυτή την περίπτωση μία ακόμα εφαρμογή της σχέσης (6.15) ανεβάζει την ενέργεια των ηλεκτρονίων σε TeV που είναι πολύ κοντά στις ζητούμενες. Εφαρμογή 3: Αναμφίβολα η μη θερμική πηγή με το καλύτερα παρατηρούμενο φάσμα είναι το Νεφέλωμα του Καρκίνου [σχήμα 6.8]. Το φάσμα της εκτείνεται 21 τάξεις μεγέθους, από τα ραδιοκύματα έως τις ακτίνες γ πολύ υψηλών ενεργειών. Η πηγή αυτή είναι το υπόλειμμα της έκρηξης ενός υπερκαινοφανούς το 1054 μ.χ. στον αστερισμό του Ταύρου. Πηγή ενέργειάς του είναι ο Crab pulsar που περιστρέφεται 190 φορές το δευτερόλεπτο. Η ακτινοβολία από συχνότητες 10 8 Hz έως Hz προέρχεται από ακτινοβολία σύγχρο- 5 Τα υπολείμματα υπερκαινοφανών εκπέμπουν στις ακτίνες Χ αλλά η εκπομπή τους αποδίδεται σε θερμική ακτινοβολία πέδης από αέριο που έχει θερμανθεί σε πολλά εκατομμύρια βαθμούς από το κύμα κρούσης του υπερκαινοφανούς. Η μη θερμική ακτινοβολία που ανακαλύφθηκε κατά τη δεκαετία του 1990 αποτελεί μία άλλη συνιστώσα, εντελώς διαφορετικής προέλευσης.

16 78 Ακτινοβολία Σύγχροτρον τρον 6, ενώ οι ακόμα μεγαλύτερες συχνότητες παράγονται από αντίστροφο σκεδασμό Compton. Το μαγνητικό πεδίο του υπολείμματος υπολογίζεται σε 1 mgauss, που σημαίνει ότι η υψηλότερη ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι της τάξης των 3 PeV, ενώ τα ραδιοκύματα δημιουργούνται από ηλεκτρόνια 100 MeV. Παρατηρούμε επίσης ότι το φάσμα του αποτελείται από νόμο δύναμης με μεταβαλλόμενο δείκτη που μάλιστα αυξάνει όσο αυξάνει η ενέργεια. Αυτό οφείλεται πιθανότατα στους διαφορετικούς χρόνους γήρανσης των ηλεκτρονίων που ακτινοβολούν. Πράγματι από τη σχέση (6.7) συνάγουμε ότι για τα χαμηλής ενέργειας ηλεκτρόνια ο χρόνος ζωής είναι περί τα χρόνια, που είναι πολύ μεγαλύτερος της ηλικίας του υπολείμματος ( χρόνια). Αντίθετα τα ηλεκτρόνια υψηλών ενεργειών έχουν χρόνο ζωής περί τη μία ημέρα. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι τα χαμηλής ενέργειας ηλεκτρόνια δεν έχουν προλάβει ακόμα να ακτινοβολήσουν ένα σημαντικό μέρος της ενέργειάς τους, ενώ αντίθετα για τα ηλεκτρόνια υψηλών ενεργειών απαιτείται συνεχής ανανέωση. Αυτές οι διαφορές οδηγούν στο ενδιαφέρον πρόβλημα της εξέλιξης των σχετικιστικών ηλεκτρονίων και προκαλούν τη συγκεκριμένη μορφή του φάσματος εκπομπής του νεφελώματος. 6 Το Νεφέλωμα του Καρκίνου ήταν η πρώτη αστροφυσική πηγή για την οποία εφαρμόστηκε η θεωρία της ακτινοβολίας σύγχροτρον από τον Ρώσο αστροφυσικό Shklovskii.

17 6.6 Ασκήσεις Ασκήσεις Άσκηση 6.1: Ξεκινώντας από τη μη σχετικιστική εξίσωση του Larmor P = 2q2 α 2 (όπου P 3c 3 η ακτινοβολούμενη ισχύς, q το φορτίο του σωματιδίου και a η επιτάχυνσή του) να δείξετε ότι αυτή γενικεύεται για σχετικιστικές ταχύτητες με τη σχέση P = 2q2 3c 3 γ4 (α 2 + γ 2 α 2 ), (6.28) όπου α και α οι συνιστώσες της επιτάχυνσης κάθετα και παράλληλα ( στο άνυσμα της ταχύτητας v ενώ γ = 1 v v ) 1/2 είναι ο παράγοντας Lorentz του σωματιδίου. c 2 Υπόδειξη: Στο στιγμιαίο σύστημα ηρεμίας Κ του σωματιδίου ισχύει προφανώς η σχέση P = 2q2 α 2 όπου P η ισχύς και α το μέτρο του τετρανύσματος της επιτάχυνσης. Εάν P είναι η ισχύς ως προς σύστημα ακίνητου παρα- 3c 3 τηρητή Κ, τότε να δειχθεί [ ότι P ( = P )] και ότι το τετράνυσμα της επιτάχυνσης vα έχει μέτρο α 2 = γ 4 α 2 + γ 2 όπου α η (συνήθης) επιτάχυνση και η ταχύτητα του συστήματος Κ ως προς το σύστημα Κ. c 2 Άσκηση 6.2: Να λυθεί η εξίσωση (6.3) και να δειχθεί ότι το σωμάτιο εκτελεί ελικοειδή κίνηση [βλ. σχήμα 6.1] με συχνότητα περιστροφής (γυροσυχνότητα) ω B = qb γmc. (6.29) Επίσης να δειχθεί ότι η γυροακτίνα του σωματιδίου δίνεται από τη σχέση r g = Ev qcb (6.30) όπου E η ενέργεια του σωματιδίου και v η συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Άσκηση 6.3: Να αποδείξετε τη σχέση (6.6).

18 80 Ακτινοβολία Σύγχροτρον Άσκηση 6.4: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση de dt = P = 4 3 σ T cγ 2 u B με αρχικές συνθήκες γ(t = 0) = γ 0. Στη συνέχεια να αντικατασταθεί ο χρόνος με την έκφραση από τη σχέση (6.7) και να δειχθεί ότι γ(τ syn ) = γ 0. Άσκηση 6.5: Εστω πηγή, η οποία εκπέμπει ισοτροπικά στο σύστημα αναφοράς της K. Να βρεθεί εάν διατηρεί την ισοτροπία της στο σύστημα αναφοράς K το οποίο κινείται με ταχύτητα u ως προς το K. Άσκηση 6.6: Να δειχθεί στη σχέση 6.18 το A = σ T mc 2 3 q B. Άσκηση 6.7: Να αποδειχτεί η σχέση (6.19). Άσκηση 6.8: Να αποδείξετε ότι εάν ένας πληθυσμός σχετικιστικών ηλεκτρονίων και πρωτονίων έχει την ίδια ταχύτητα, τότε οι ενεργειακές τους πυκνότητες συνδέονται με τη σχέση u p = (m p /m e )u e. Αντίθετα, εάν έχουν την ίδια ενέργεια, τότε ισχύει u p u e. Άσκηση 6.9: Ξεκινώντας από τη σχέση (6.26) να αποδείξετε την (6.27). Σε αυτήν την περίπτωση το μαγνητικό πεδίο δίνεται από τη σχέση B eq = (1 + k) 2/7 L 2/7 ν 1/7 R 6/7 Gauss, (6.31) όπου R η ακτίνα της πηγής (θεωρούμενης ως σφαιρικής). Άσκηση 6.10: Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων που κινούνται με την ταχύτητα της έκρηξης. Θα μπορούσαν αυτά να δημιουργούν τη ραδιοεκπομπή; Άσκηση 6.11: Να αποδείξετε ότι η τροχιά ενός σχετικιστικού σωματιδίου εντός ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου είναι ελικοειδής. Υπόδειξη: Θεωρήστε ότι B = B 0 ẑ και ότι το σωματίδιο ξεκινάει από την αρχή των αξόνων με ταχύτητα u 0 = (u x0, 0, u z0 ). Κατα μήκος των δυναμικών γραμμών, τι ισχύς εκπέμπεται;

19 6.6 Ασκήσεις 81 Άσκηση 6.12: Οι κοσμικές ακτίνες αποτελούνται κατά κύριο λόγο από πρωτόνια και βαρύτερους πυρήνες. Ασφαλώς, όμως, θα πρέπει να υπάρχουν και κάποια ηλεκτρόνια. Τι περιμένουμε από αυτά; Οι υψηλότερες ενέργειες κοσμικών ακτίνων φτάνουν τα E p,max = ev. Αν υποθέσουμε ότι τα ηλεκτρόνια φτάνουν μέχρι E e,max = ev, αυτά πρέπει να μετακινηθούν μέσα στο μαγνητικό πεδίο του διαγαλαξιακού χώρου και του γαλαξία μας, μέχρι να φτάσουν στη Γη. α) Η Τοπική Ομάδα Γαλαξιών έχει διαστάσεις της τάξης του Mpc, ενώ το διαγαλαξιακό μαγνητικό πεδίο έχει ένταση της τάξης του B = 10 7 G. Υπολογίστε τον χρόνο ενεργειακών απωλειών σύγχροτρον E/Ė για τα ηλεκτρόνια ενέργειας E e,max. Συγκρίνετέ τον με τον χρόνο διέλευσης από την Τοπική Ομάδα, θεωρώντας σε πρώτη προσέγγιση ότι η κίνηση των ηλεκτρονίων είναι ευθύγραμμη. β) Ο Γαλαξίας μας έχει διαστάσεις της τάξης του kpc, ενώ το γαλαξιακό μαγνητικό πεδίο έχει ένταση της τάξης του B = G. Επαναλάβετε τους προηγούμενους υπολογισμούς. γ) Επαναλάβετε τους υπολογισμούς των ερωτημάτων (α) και (β) για πρωτόνια ίδιας ενέργειας. Τι συμπεράσματα βγάζετε; Άσκηση 6.13: Ενας ραδιοαστρονόμος παρατηρεί μια αστροφυσική πηγή που θεωρείται ότι εκπέμπει ακτινοβολία σύγχροτρον. Η λαμπρότητα της πηγής φθίνει σε κλίμακα χρόνου ενός μήνα. Τό φάσμα της παρουσιάζει κορυφή σε μια χαρακτηριστική συχνότητα, 1 GHz. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο αυτής και την ενέργεια των ηλεκτρονίων που ακτινοβολούν. Άσκηση 6.14: Μια αστροφυσική πηγή παρουσιάζει φάσμα της μορφής νόμου δύναμης με εκθέτη α και μεταξύ των ενεργειών ϵ min και ϵ max. Αν η ακτινοβολία αυτή παράγεται από σχετικιστικά ηλεκτρόνια που εκπέμπουν σύγχροτρον ακτινοβολία, τότε αυτά θα είναι της μορφής: dn e /dγ = k e γ p, γ min < γ < γ max (6.32) Ποιος ο δείκτης p και η ελάχιστη και μέγιστη ενέργεια των ηλεκτρονίων σε σχέση με το μαγνητικό πεδίο; Αν ο δείκτης p έχει μια τιμή αρκετά μεγαλύτερη του 2, (π.χ. 3 ή 4) να υπολογιστεί η ενεργειακή πυκνότητα των ηλεκτρονίων u e που είναι απαραίτητη για να ακτινοβολήσουν εντός του μαγνητικού πεδίου λαμπρότητα L syn. Θεωρώντας ισοκατανομή της ενέργειας μεταξύ ηλεκτρονίων και μαγνητικού πεδίου βρείτε το μαγνητικό πεδίο B. Τέλος, υπολογίστε

20 82 Ακτινοβολία Σύγχροτρον και τον αριθμό k e των ηλεκτρονίων. Θεωρήστε ότι η πηγή είναι σφαιρική και έχει ακτίνα R. Δίνονται: R = cm, L = erg/sec, p = 4, ϵ min = kev, ϵ max = kev. 6.7 Βιβλιογραφία Longair, M. S., (2011), High Energy Astrophysics. Cambridge University Press (3rd edition). Blumenthal, G. B., & Gould, R. J. (1970). Bremsstrahlung, Synchrotron Radiation, and Compton Scattering of High-Energy Electrons Traversing Dilute Gases. Reviews of Modern Physics, 42, 237. Rybicki, B. G. & Lightman, P. A., (1985), Radiative Processes in Astrophysics. Wiley.