Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ Δέντρα Τρόποι Αρίθμησης Δέντρων 2
ΔΕΝΤΡΑ Ελεύθερα δέντρα Δέντρα με ρίζα 3
ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΔΕΝΤΡΑ Ορισμός: Ελεύθερο δέντρο είναι ένα άκυκλο συνεκτικό γράφημα. Θεώρημα: Έστω ένα γράφημα G με n κορυφές. Οποιεσδήποτε δυο από τις παρακάτω συνθήκες συνεπάγονται την Τρίτη και ότι το G είναι ελεύθερο δέντρο: To G είναι συνεκτικό. Το G έχει n-1 πλευρές. Το G είναι άκυκλο. 4
ΔΕΝΤΡΑ ΜΕ ΡΙΖΑ Ορισμός Δέντρο με ρίζα είναι ένα ελεύθερο δέντρο με μια ειδικά επιλεγμένη κορυφή τη ρίζα του δέντρου. 5
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Σε δέντρα με ρίζα οι κορυφές ιεραρχούνται σε επίπεδα με πρώτο τη ρίζα. Αν αριθμήσω επίπεδα θέτοντας 0 στη ρίζα τελειώνω με δείκτη d που καλείται βάθος ή ύψος του δέντρου. Αναδρομικά για κάθε κορυφή σε ένα επίπεδο στο επόμενο επίπεδο είναι τα παιδιά της. Η κορυφή V είναι πρόγονος της κορυφής W αν από τη V υπάρχει διαδρομή προς την W που όμως δεν επιστρέφει σε προηγούμενο επίπεδο. Μια κορυφή χωρίς παιδιά λέγεται φύλλο, αλλιώς κόμβος ή εσωτερική κορυφή. 6
ΔΕΝΤΡΑ ΜΕ ΡΙΖΑ-ΔΥΑΔΙΚΑ Αν κάθε εσωτερικός κόμβος έχει μέχρι δυο παιδιά τότε το δέντρο είναι δυαδικό. Αν όλα τα φύλλα του δυαδικού δέντρου είναι στο τελευταίο επίπεδο και όλοι οι κόμβοι στα προηγούμενα επίπεδα έχουν δυο παιδιά, τότε το δέντρο είναι ένα πλήρες δυαδικό δέντρο. 7
ΑΡΙΘΜΗΣΕΙΣ Ή ΤΡΟΠΟΙ ΕΠΙΣΚΕΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΚΟΜΒΟΥΣ ΔΕΝΤΡΩΝ Υποθέσεις: Αν το δέντρο είναι κενό θεωρείται αριθμημένο. Αν το δέντρο έχει μια κορυφή αυτή αριθμείται πρώτη. Θεωρούμε ότι τα δέντρα που εξετάζουμε δεν έχουν κενά υποδέντρα. ρίζα T 1 T 2... T r 8
ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΠΡΟΔΙΑΤΑΞΗΣ (PREORDER) Αναδρομικός Ορισμός: Πρώτα αρίθμηση ρίζας και μετά αρίθμηση προδιάταξης των υποδέντρων με τη σειρά Τ 1,, Τ r. Διαισθητικός Ορισμός: Αριθμώ κορυφή μόλις τη συναντήσω. 9
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 2 7 12 3 6 8 11 13 16 4 5 9 10 14 15 10
ΑΡΙΘΜΗΣΗ METAΔΙΑΤΑΞΗΣ (POSTORDER) Αναδρομικός Ορισμός: Πρώτα αρίθμηση μεταδιάταξης των υποδέντρων με τη σειρά Τ 1,, Τ r και μετά αρίθμηση ρίζας. Διαισθητικός Ορισμός: Αριθμώ κορυφή την τελευταία φορά που τη συναντώ. 11
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16 5 10 15 3 4 8 9 13 14 1 2 6 7 11 12 12
ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΕΣΩΔΙΑΤΑΞΗΣ (ΙΝORDER) Αναδρομικός Ορισμός: Πρώτα αρίθμηση εσωδιάταξης του Τ 1 ακολουθούμενη από ρίζα και μετά αρίθμηση εσωδιάταξης των υποδέντρων με τη σειρά Τ 2,, Τ r. Διαισθητικός Ορισμός: Αριθμώ τα φύλλα όταν τα πρωτοσυναντώ και τις υπόλοιπες κορυφές τη δεύτερη φορά που τις συναντώ. 13
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 4 10 15 2 5 8 11 13 16 1 3 7 9 12 14 14
ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΥΑΔΙΚΟΥ ΔΕΝΤΡΟΥ Το δυαδικό δέντρο είναι ένα γράφημα G=(V, Ε) που είτε είναι κενό είτε υπάρχει μια ειδική κορυφή που καλείται ρίζα και ισχύει ότι: το γράφημα που προκύπτει αν από το G αφαιρεθούν η ρίζα και οι πλευρές που συντρέχουν σε αυτή μπορεί να χωριστεί σε δυο ξένα μεταξύ τους υπογραφήματα καθένα από τα οποία είναι δυαδικό δέντρο. 15
ΑΛΛΕΣ ΔΟΜΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ουρές Στοίβες 16
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 17
ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΙΣΤΟΥΡΙΚΟΥ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΕΡΓΟΥ Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. 18
ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Δημήτριος Κουκόπουλος. «Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/culture109/. 19
ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΔΕΙΟΔΟΤΗΣΗΣ Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 20
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΩΝ Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 21