Εκπαιδευτικό Υλικό. Εισαγωγή στο GeoGebra

Εκπαιδευτικό Υλικό Εισαγωγή στο GeoGebra Περιεχόμενα: A.Εισαγωγή B.Τα πρώτα βήματα με το GeoGebra C.Εισαγωγική Άσκηση D.Εξαγωγή E.Αναπαράσταση και μετακίνηση αντικειμένων F.Παράθυρο Άλγεβρας G.Προτεινόμενες Ασκήσεις H.Συναρήσεις I I.Συναρτήσεις II J.Εισαγωγή της τυχαίας συνάρτησης σε ένα applet GeoGebra K.Αναφορές A. Εισαγωγή Ο σκοπός αυτού του κειμένου είναι να μεταδώσει στο διδακτικό προσωπικό τις απαραίτητες γνώσεις, οι οποίες θα τους δώσουν τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουν ή/και να τροποποιήσουν τις προτεινόμενες ασκήσεις και να τις προσαρμόσουν στις διδακτικές τους ανάγκες. Γενικά, μία άσκηση ή δραστηριότητα που απευθύνεται σε μαθητές συγκεκριμένου επιπέδου αποτελεί σημείο αναφοράς για να γνωρίσει κανείς κάποιες από τις δυνατότητες που προσφέρει το πρόγραμμα Geogebra. Το πρόγραμμα μπορει να δημιουργεί αρχεία html απο έγγραφα Geogebra, μαζί με άλλες δυνατότητες. Αυτή η δωρεάν εφαρμογή λογισμικού, που υπάγεται στην General GNU Public License, δημιουργήθηκε από τον Markus Hohenwarter από το Πανεπιστήμιο του Salzburg (Austria). Συνδυάζει τα οφέλη του δυναμικού λογισμικού γεωμετρίας με αυτά των αλγεβραϊκών συστημάτων υπολογισμών. Τα αντικείμενα στο GeoGebra εξετάζονται δυναμικά από αυτες τις δύο πλευρές, γραφική αναπαράσταση και αναλυτικός ορισμός. Η τελευταία σταθερή έκδοση - GeoGebra 3.RC1 (Release Candidate μπορεί να κατεβαστεί από τον ιστότοπο του λογισμικού: http://www.geogebra.org, και, στην περίπτωση που αυτό είναι δυνατόν, οι εκδόσεις WebStar οι οποίες αναφέρονται στον ιστότοπο (WebStar), μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να σιγουρευτεί η χρήση της πιο πρόσφατης σταθερής έκδοσης. Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι το παρόν έγγραφο δεν είναι εκμάθηση της GeoGebra, οπότε δεν θα εξαντλήσουμε τις δυνατότητες του λογισμικού. Θα προσπαθήσοθμε να επικεντρωθούμε στα σημεία τα οποία θα μας επτιρέψουν να τροποποιήσουμε ή/και να δημιουργήσουμε ασκήσεις παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζονται. Οι χρήστες θα έχουν στη διάθεσή τους ένα Help file (σε μορφή pdf και html), μετά την εγκατάσταση του προγράμματος. Επίσης, ο οδηγός Quick Reference και η Βοήθεια μπορούν να κατεβαστούν από τον ιστότοπο (Help). Στον ίδιο μέρος του ιστότοπου υπάρχουν άλλα τρία έγγραφα GeoGebra: GeoGebra Applet parameter, GeoGebra Applets and Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 1/56

JavaScript, GeoGebra XML file format τα οποία μπορούν να φανούν χρήσιμα για όσους ενδιαφέρονται για τις ιδιότητες των αρχείων Geogebra και όλες τις δυνατότητες χρήσης τους. Θα αφιερώσουμε μερικά κεφάλαια για να εξηγήσουμε πώς η εφαρμογή δουλεύει με γενικό τρόπο και πώς μπορούμε να δημιουργήσουμε διαδραστικές ασκήσεις σε μορφη html. Προτείνουμε τη δημιουργία 3 φακέλων: activities(δραστηριότητες), solutions(λύσεις) και work(εργο) και στη συνέχεια την αποσυμπίεση: όλωντων αρχείων από το activities.zip στον φάκελο activities. όλων των αρχείων από το solutions.zip στον φάκελο solutions. Ο φάκελος work θα περιέχει τις προτεινόμενες δραστηριότητες. A1. Χρησιμοποιούμενα Εικονίδια Θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα εικονίδια Αναφέρεται σε υπάρχοντα εξωτερικό σύνδεσμο η προσπέλαση του οποίου απαιτεί σύνδεση στο Internet. Ανοίγει ένα αρχείο στον φάκελο activities Αποθηκεύει (ή Ανοίγει) ένα αρχείο στον φάκελο work Αρχείο του φακέλου solutions A2. Ρυθμίσεις και Προγράμματα Για την βελτίωση της λειτουργίας του GeoGebra, απαιτείται η μηχανή virtual Java. Αν δεν υπάρχει ήδη εγκατεστημένη μπορεί να κατεβαστεί από την. Sun Microsystems. Μηχανή Virtual Java για το Java Runtime Environment Version 6.0 Update 5. Η τροποποίηση των αρχείων html που δημιουργούνται από το Geogebra μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε λογισμικό τροποποίησης ιστοσελίδων. Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε το λογισμικό Microsoft FrontPage 2003. Υποθέτουμε ότι ο χρήστης γνωρίζει πώς να χρησιμοποιήσει το πρόγραμμα, τουλάχιστον σε βασικό επίπεδο (άνοιγμα, αποθήκευση, τροποποίηση...). B. Τα πρώτα βήματα με το GeoGebra B1. Αρχείο Εγγράφου Για την έναρξη της εφαρμογής GeoGebra κάντε διπλό κλικ στο αντίστοιχο εικονίδιο στην επιφάνεια εργασίας. Ή ακολουθήστε το μονοπάτι: Start All Programs Geogebra Geogebra. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 2/56

Εικόνα 2 Έναρξη του GeoGebra Τα βασικά στοιχεία του γραφικού περιβάλλοντος της εφαρμογής είναι: Toolbar(γραμμή εργαλείων), Input field(πεδίο εισαγωγής), Algebra window(παράθυρο Άλγεβρας) και Drawing pad(πεδίο ζωγραφικής). Εικόνα 2 Τα βασικά στοιχεία της επιφάνειας του Geogebra Για την Απόκρυψη/Εμφάνιση των αξόνων επιλέξτε την εντολή Axes από το μενού View. Επιλέγοντας μία απο τις καταστάσεις λειτουργίας στη γραμμή εργαλείων, μπορείτε να κάνετε κατασκευές στο πεδίο ζωγραφικής. Οι συντεταγμένες ή οι εξισώσεις των αντικειμένων εμφανίζονται στο παράθυρο άλγεβρας. Στο πεδίο εισαγωγής μπορείτε να εισάγετε συντεταγμένες, εξισώσεις, εντολές και συναρτήσεις οι οποίες απεικονίζονται στο πεδίο ζωγραφικής αφού πληκτρολογήσετε Enter. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 3/56

B2. Αναπαράσταση Σημείων Κάντε κλικ στο κουμπί New Point. Τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο ζωγραφικ ς και κάντε αριστερό κλικ. Το Σημειο Α απεικονίζεται όπως στην εικόνα: Εικόνα 3 Αναπαράσταση σημείων Η τελευταία επιλεγμένη κατάσταση λειτουργίας παραμένει ενεργή μέχρι να επιλεχθεί κάποια άλλη, το οποίο σημαίνει ότι αν μετακινήσουμε το ποντίκι και ξανακάνουμε αριστερό κλικ, ένα καινούριο σημείο θα δημιουργηθεί. Τα δύο βελάκια πάνω δεξιά στη γραμμή εργαλείων μας επιτρέψουν να αναιρέσουμε ή να επαναλάβουμε τις πρόσφατες μας ενέργειες. B3. Αλλαγή Ονόματος Το GeoGebra δίνει ονόματα στα αντικείμενα κατ'αλφαβητική σειρά. Στην περίπτωση των σημείων: A, B, C Για να αλλάξετε το όνομα ενός αντικειμένου: Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 4/56

Κάντε κλικ στο κουμπί Move. Τοποθετήστε τον κέρσορα στο αντικείμενο και κάντε δεξί κλικ. Επιλέξτε το Rename Στο παράθυρο Rename, πληκτρολογήστε το καινούριο όνομα του αντικειμένου και πατήστε. Σε αυτήν τη περίπτωση, μετονομάσαμε το σημείο A σε Andrés. B4. Τροποποίηση ιδιοτήτων Όπως φαίνεται στην προηγούμενη εικόνα, μετά το δεξί κλικ σε ένα αντικείμενο, εμφανίζεται ένα μενού με αρκετές επιλογές. Το τελευταίο, Ιδιότητες, επιτρέπει πρόσβαση σε όλες τις ιδιότητες ενός αντικειμένου. Εικόνα 4 Τροποποίηση ιδιοτήτων Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 5/56

Ας αλλάξουμε το χρώμα και το μέγεθος αυτού του σημείου. Για να αλλάξετε το χρώμα, κάντε κλικ στην καρτέλα και επιλέξτε ένα νέο χρώμα κάνοντας κλικ στο κατάλληλο κελί. Για να τελειώσετε, πατήστε. Εικόνα 5 Αλλαγή Χρώματος Για να αλλάξετε το μέγεθος ενός σημείο, κάντε κλικ στην καρτέλα και μετακινήστε τη μπάρα κύλισης στο σημείο που θέλετε. Για να τελειώσετε, πατήστε. Εικόνα 5 Αλλαγή μεγέθους σημείου Μετά τις τροποποιήσεις, το σημείο Andrés, παρουσιάζεται ως εξής: Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 6/56

C. Introduction drill Εικόνα 6 Η εμφάνιση του σημείου Andres Η εικόνα δείχνει μία γραφική παράσταση ύψους (σε μέτρα) βάρους (σε κιλά) που αναφέρεται σε μία ομάδα 5 φίλων. Κοιτάξτε στο πίνακα στην εικόνα 7 και απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: - Πόσο ψηλος είναι ο Alberto; - Πόσο ζυγίζει η Mónica; - Ποιος είναι ο ψηλότερος/κοντύτερος; - Ποιος είναι ο ελαφρύτερος/βαρύτερος; - Τι συμβαίνει αν ενώσουμε τα σημεία; - Θεωρείτε την κλίμακα του γραφήματος κατάλληλη; Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 7/56

C1. Βασικές Εντολές Εικόνα 7 Άσκηση Σκοπός μας είναι να δημιουργήσουμε μία αναπαράσταση όπως η προηγούμενη. Έχουμε ήδη εξηγήσει πώς ξεκινάμε το GeoGebra και πώς αλλάζουμε το χρώμα, το μέγεθος και τη θέση ενός σημείου. Ας δούμε πώς αλλάζουμε το χρώμα φόντου, το χρώμα των αξόνων και του πλέγματος, πώς εισάγουμε κείμενο και τροποποιούμε τις ιδιότητές του και πώς αποκρύπτουμε το παράθυρο άλγεβρας έτσι ώστε ολόκληρο το παράθυρο να καλύπτεταιι από το πεδίο ζωγραφικής. Επίσης, θα περιγράψουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να εξάγουμε τις κατασκευές μας κωδικοποιημένες σε μορφή html. Γι'αυτό το λόγο θα τροποποιήσουμε ένα αρχείο GeoGebra το οποίο αργότερα θα αποθηκεύσουμε. C2. Άνοιγμα αρχείου Για να ανοίξουμε ένα αρχείο μπορούμε: να επιλέξουμε την εντολή Open από το μενού File, στην περίπτωση που η εφαρμογή έχει ήδη ξεκινήσει ή. Με οποιονδήποτε τρόπο, ανοίγουμε τελικά το αρχείο activ01.ggb. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 8/56

Εικόνα 9 Άνοιγμα αρχείου Εικόνα 9 Ένα αρχείο GeoGebra Αν δεν εμφανίζεται πλέγμα, επιλέξτε την εντολή Grid από το μενού View. C3. Απόκρυψη Στοιχείων Ας κρύψουμε τα στοιχεία τα οποία δεν χρησιμοποιούνται προς το παρόν (παράθυρο άλγεβρας και πεδίο εισαγωγής). Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 9/56

Για να κλείσουμε το παράθυρο άλγεβρας: Επιλέγουμε την εντολή Algebra window από το μενού View. Για να κλείσουμε το πεδίο εισαγωγής: Επιλέγουμε την εντολή Input field από το μενού View. Τα τικς που εμφανίζονται σε αυτή την εικόνα, δίπλα στα συγκεκριμένα αντικείμενα πρέπει να εξαφανιστούν. C4. Χρώμα φόντου Εικόνα 10 Το μενού View Για να αλλάξουμε το χρώμα φόντου: επιλέγουμε το Drawing Pad από το μενού Options ή, κάνουμε δεξί κλικ σε οποιοδήποτε ελεύθερο σημείο του πεδίου ζωγραφικής και επιλέγουμε την εντολή Properties. a) b) Εικόνα 11 a) Μενού Options και b)μενού context Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 10/56

Στο παράθυρο με την ετικέτα Drawing Pad (πεδίο ζωγραφικής), κάντε κλικ στο κουμπί Χρώμα Φόντου και συνεχίστε όπως κάνατε στα σημεία (Πρώτα βήματα). Εικόνα 12 Το παράθυρο του πεδίου ζωγραφικής Εικόνα 13 Αλλαγή του χρώματος φόντου σε πράσινο C5. Χρώμα Αξόνων Για να αλλάξουμε το χρώμα των αξόνων: επιλέγουμε το Drawing Pad από το μενού Options ή, κάνουμε δεξί κλικ σε οποιοδήποτε ελεύθερο σημείο του πεδίου ζωγραφικής και επιλέγουμε την εντολή Properties. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 11/56

a) b) Εικόνα 14 a) Μενού Options και b)μενού context Στο παράθυρο Drawing Pad (πεδίο ζωγραφικής), κάντε κλικ στο πεδίο Colour και συνεχίστε όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Εικόνα 15 Tο παράθυρο πεδίου ζωγραφικής.η καρτέλα Άξονες Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 12/56

Εικόνα 16 Αλλαγή του χρώματος του άξονα σε πράσινο C6. Χρώμα πλέγματος Εργαστείτε όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις μέχρι να εμφανιστεί το παράθυρο Drawing Pad. Κάντε κλικ στην καρτέλα, στη συνέχεια στο κουμπί Colour και συνεχίστε όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις. Άλλάξτε το γκρι χρώμα σε σκούρο μπλε. Εικόνα 17 Tο παράθυρο πεδίου ζωγραφικής.η καρτέλα Πλέγμα C7. Αποθήκευση Αρχείου Για να αποθηκεύσετε ένα αρχείο: Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 13/56

Επιλέξτε την εντολή Αποθήκευση από το μενού File για να το αποθηκεύσετε με το ίδιο όνομα ή, Επιλέξτε την εντολή Αποθήκευση Ώς από το μενού File, για να το αποθηκεύσετε με διαφορετικό όνομα. Αποθηκεύστε το αρχείο με όλες τις τροποποιήσεις που έγιναν με το όνομα activ01_01.ggb. Αλλάξτε το όνομα, το χρώμα και τομέγεθος των σημείων έτσι ώστε να είναι όμοια με την εικόνα στην εισαγωγή (για να αντιγράψετε το στιλ ενός σημείου μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εντολή Copy visual style τελευταίο κουμπί της γραμμής εργαλείων) και αποθηκεύστε το νέο αρχείο με το προηγούμενο όνομα(activ01_1.ggb). C8. Κείμενο Εικόνα 18 Αποθήκευση αρχείου Για να εισάγετε κείμενο χρησιμοποιείτε το εργαλείο Insert text (προτελευταίο κουμπί της γραμμής εργαλείων). Αφού το επιλέξετε, κάντε αριστερό κλικ σε ένα σημείο του πεδίου ζωγραφικής. Πληκτρολογήστε το κείμενο που θέλετε στο παράθυρο κειμένου που εμφανίζεται και πιέστε. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 14/56

Εικόνα 19 Το παράθυρο κειμένου Για να τελειώσουμε την εισαγωγική άσκηση, πρέπει να βάλουμε το κείμενο 1.80 στον άξονα Χ και το 80 στον άξονα Υ. Πληκτρολογούμε το κείμενο στα κατάλληλα σημεία και στη συνέχεια τροποποιούμε τις ιδιότητες του έτσι ώστε να μοιάζουν με την αρχική εικόνα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το εργαλέιο Copy visual style για να αντιγράψουμε τις ιδιότητες υπάρχοντων κειμένων. Αφού επιλέξουμε το εργαλείο, τοποθετούμε τον κέρσορα στο κείμενο, κάνουμε δεξί κλικ και επιλέγουμε Ιδιότητες από το context menu. Εικόνα 20 Παράθυρο Ιδιοτήτων Στο παράθυρο Ιδιοτήτων, επιλέγουμε την καρτέλα και απενεργοποιούμε το Absolute position on screen cell. Στο πεδίο Starting point γράφουμε τις συντεταγμένες του κειμένου, (6.8, -0.5) και κάνουμε κλικ στο. Κάνουμε το ίδιο για τον άξονα Υ με τις συντεταγμένες (-0.5, 7). Αποθηκεύουμε το νέο αρχείο με το όνομα activ01_2.ggb. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 15/56

D. Εξαγωγή VccSSe Το GeoGebra επιτρέπει την εξαγωγή των κατασκευων στο πεδίο ζωγραφικής ή σε τμήματα σε αρχεία εικόνας (png, eps, svg, emf), και την αντιγραφή τους στο Windows clipboard και την μετατροπή τους σε διαδραστική σελίδα html. ή Ανοίξτε το αρχείο activ01_2.ggb το αρχείο λύσεων activ01_2sol.ggb. Πρέπει να έχει την παρακάτω μορφή Εικόνα 21 Το αρχείο activ01_2sol.ggb Επιλέξτε την εντολή Export από το μενού File. Εικόνα 22 Εξαγωγή αρχείου στο GeoGebra Επιλέγοντας την επιλογή Drawing Pad as Picture (png, eps), το πεδίο ζωγραφικής αποθηκεύεται σαν αρχείο εικόνας. Το παράθυρο Export: Drawing Pad επιτρέπει την επιλογή μορφής αρχείου (png, eps, svg, emf), και, στην περίπτωση της μορφής png, την ανάλυση και την κλίμακα. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 16/56

Εικόνα 23 Το παράθυρο Export: Drawing Pad Πατώντας το κουμπί εμφανίζετε το παράθυρο Αποθήκευση όπου μπορούμε να επιλέξουμε το όνομα και την τοποθεσία του αρχείου. Εικόνα 24 Το παράθυρο Αποθήκευσης Η επιλογή Dynamic Worksheet as Webpage (html) επιτρέπει τη δημιουργία ενός αρχείου html το οποίο περιέχει την κατασκευή και την κίνηση των ελεύθερων αντικειμένων. Είναι δυνατόν να ενεργοποιηθεί η εφαρμογή μέσω κουμπιού και να εκτελεστεί ολόκληρο το πρόγραμμα μετά από διπλό κλικ. Στο παράθυρο Export: Dynamic Worksheet (html) μπορούμε να γράψουμε τον τίτλο, συγγραφέα και ημερομηνία στα αντίστοιχα πεδία, τα οποία θα εμφανιστούν στην κορυφή και στο κάτω μέρος της σελίδας. Είναι επίσης δυνατό να ενσωματώσουμε κείμενο πριν και μετά την κατασκευή καθώς και κώδικα html. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 17/56

a) b) Εικόνα 25 Το παράθυρο Export: Dynamic Worksheet (html) window. a) Καρτέλα για προχωρημένους, b)γενική καρτέλα Με το πάτημα του κουμπιού export δημιουργούνται διάφορα αρχεία. Αν το όνομα του αρχείου είναι activ01_03.html, τότε τα αρχεία activ01_03.ggb, geogebra.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_properties.jar. Αποθηκεύονται στον ίδιο φάκελο. Στη συνέχεια, δύο εικόνες εμφανίζονται ως αποτέλεσμα της εξαγωγής. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 18/56

Εικόνα 26 Αποτέλεσμα εξαγωγής Εικόνα 27 Αποτέλεσμα εξαγωγής Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 19/56

E. Αναπαράσταση και μετακίνηση αντικειμένων E1. Αναπαράσταση σημείων 1. Στην ακόλουθη εικόνα μπορείτε να δείτε την αναπαράσταση του σημείου P (3, 2). Θυμηθείτε ότι ο πρώτος αριθμός, η τετμημένη ή x-συντεταγμένη, αναπαρίσταται στον οριζόντιο άξονα (τετμημένων); και είναι θετική δεξιά της αρχής και αρνητική αριστερά της. Η τεταγμέν ή y-συντεταγμένη αναπαρίσταται στον κατακόρυφο άξονα και είναι θετική πάνω από την αρχή του και αρνητική κάτω από αυτήν. Αν μετακινήσετε το σημείο P με το ποντίκι, μπορείτε να δείτε πώς αλλάζουν οι συντεταγμένες και να επιβεβαιώσετε την αλλαγή προσήμου της τετμημένης και της τεταγμένης ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεστε. Εικόνα 28 Παράδειγμα 2. Η ακόλουθη εικόνα έχει 4 σημεία: δύο στο πρώτο τεταρτημόριο, B και D, και δύο στο δεύτερο, A και C. Θέλουμε να μετακινήσουμε τα σημεία έτσι ώστε να είναι το καθένα σε διαφορετικό τεταρτημόριο, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα: Point Quadrant A 1 B 2 C 3 D 4 Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 20/56

Εικόνα 29 Παράδειγμα Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Point Sign of x Sign of y A B C D E2. Μετακίνηση αντικειμένων, τμημάτων και κειμένων Ας δούμε πώς μπορούμε να φτιάξουμε ασκήσεις όπως αυτές που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες παρααγράφους. Ήδη ξέρουμε πώς να φτιάχνουμε σημεία και πώς να αλλάζουμε τα ονόματα τους. Ας δούμε πώς μπορούμε να περιορίσουμε την μετακίνηση. Θα εξηγήσουμε στη συνέχεια τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να ορίσουμε τμήματα και να προσθέσουμε κείμενα με ιδιότητες που αναφέρονται στα υπάρχοντα αντικείμενα. E3. Περιορισμός της μετακίνησης πάνω στο πλέγμα Ανοίγουμε το αρχείο activ02.ggb. Θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα σημείο P, το οποίο μπορεί να μετακινηθεί με το ποντίκι. Επίσης, θέλουμε η μετακίνηση να περιορίζεται από τα όρια του πλέγματος. Ας θυμηθούμε τον τρόπο ορισμού σημείου. Επιλέξτε New Point, μετακινήστε τον κέρσορα στις συντεταγμένες (3, 2) και κάντε αριστερό κλικ. Αλλάξτε το όνομα, μέγεθος και χρώμα του σημείου μέχρι να γίνει ίδιο με την εικόνα αυτής της δραστηριότητας. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 21/56

Για να περιορίσετε την μετακίνηση μόνο στα σημεία του πλέγματος, πρέπει να επιλέξουμε την εντολή Point capturing από το μενού Options και να την ενεργοποιήσουμε. Αν μετακινήσουμε το σημείο P θα δούμε ότι έλκεται από τα σημεία του πλέγματος όταν βρίσκεται κοντά τους. Αν θέλοθμε να πηγαίνουμε από το ένα σημείο του πλέγματος στο άλλο, χωρίς ενδιάμεσες θέσεις, πρέπει να επιλέξουμε το on (Grid). Εικόνα 30 Επιλογή πάνω στο πλέγμα Η απόσταση μεταξύ των αξόνων X και Υ έχει default τιμή 2 μονάδες και η απόσταση μεταξύ των σημείων του πλέγματος 1 μονάδα σε κάθε άξονα. Αν θέλουμε να το αλλάξουμε αυτό, πρέπει να εισάγουμε νέα τιμή (π.χ 0.5) στην καρτέλα. Εικόνα 31 Παράδειγμα Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 22/56

E4. Εμφάνιση των συντεταγμένων ενός σημείου Στο παράθυρο ιδιοτήτων του σημείου P, στο πεδίο Show label (στην καρτέλα ), επιλέγουμε το Name & Value, και η ετικέτα του σημείου P υιοθετεί το στιλ που βλέπουμε στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 32 Εμφάνιση των συντεταγμένων ενός σημείου Υπάρχει δυνατότητα να κρύψουμε την ετικέτα (απενεργοποιώντας το κελί Show label) και να εισάγουμε κείμενο στη θέση του σημείου. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να αποκτήσουμε κείμενα με διαφορετικό στιλ από αυτά του σημείου. Ορίζουμε ένα κείμενο και γράφουμε P + P. Ό,τι βρίσκεται ανάμεσα σε εισαγωγικά εμφανίζεται όπως είναι; το GeoGebra αντικαθιστά το P που έπεται του + με την τιμή του σημείου (δηλαδή τις συντεταγμένες του). Στη συνέχεια, στο παράθυρο Ιδιοτήτων, κάντε κλικ στο T1 (στη λίστα αντικειμένων), επιλέξτε την καρτέλα ( ). και επιλέξτε την έντονη γραφή Εικόνα 33 Ορισμός κειμένου Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 23/56

Εικόνα 34 Το παράθυρο ιδιοτήτων Στην καρτέλα επιλέγουμε μία πράσινη απόχρωση και στην καρτέλα απενεργοποιούμε το κελί Absolute position on screen. Εικόνα 35 Το παράθυρο ιδιοτήτων. Η καρτέλα Position E5. Συντεταγμένες Σημείου Στην τελευταία εικόνα, στο πεδίο Starting point field, εμφανίζεται η παράσταση: (x(p)) + 0.25, y(p) + 0.25) Το x(p) είναι η τετμημένη του σημείου P και το y(p) η τεταγμένη του. Αυτές οι τιμές αλλάζουν δυναμικά με τη μετακίνηση του σημείου. Αποθηκεύστε το αρχείο ωςactiv02_01.ggb. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 24/56

E6. Τμήματα Θέλουμε να δημιουργήσουμε ευθύγραμμα τμήματα που να αποτελούν την τεταγμένη και την τετμημένη του σημείου P. Επιλέγουμε το εργαλείο Segment between two points και σχεδιάζουμε τα δύο ευθύγραμμα τμήματα. Εικόνα 36 Το παράθυρο Ιδιοτήτων E7. Κείμενο με παραμέτρους Με τον κέρσορα πάνω στο a, επιλέγουμε το εργαλείο Insert text και γράφουμε: y_p = + y(p) Θυμηθείτε ότι ό,τι περιβάλλεται από εισαγωγικά θα εμφανιστεί όπως είναι και η έκφραση μετά το + αντικαθίσταται από την τιμή του y(p). Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 25/56

Εικόνα 37 Το παράθυρο Ιδιοτήτων Το αντίστοιχο ισχύει για την τεταγμένη του σημείου. Αποθήκευση του αρχείου ως activ02_02.ggb. Κάντε Export το αρχείο ως Dynamic Worksheet as Webpage (html) και αποθηκεύστε το ως activ02_03.html. Ελέγξτε τη λειτουργία του με τον browser σας. F. Παράθυρο Άλγεβρας Στις προηγούμενες ασκήσεις δεν χρησιμοποιήσαμε το παράθυρο άλγεβρας. Ας δούμε τώρα τις δυνατότητές του. Για να το ανοίξετε, επιλέξτε την εντολή Algebra Window από το μενού View. Υπάρχει ένα ελεύθερο αντικείμενο, το σημείο P και δύο εξαρτημένα, τα τμήματα a και b που αποτελούν την τετμημένη και τεταγμένη αντίστοιχα του σημείου. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 26/56

Εικόνα 38 Παράδειγμα Αν κάνουμε δεξί κλικ στο σημείο P στο παράθυρο άλγεβρας, θα εμφανιστεί το μενού context του σημείου. Εικόνα 39 Το μενού context για το σημείο P Όλες οι αλλαγές που γίνονται στο παράθυρο άλγεβρας ή στο πεδίο ζωγραφικής εφαρμόζονται αυτόματα και στα δύο σημεία. (π.χ μετακίνηση, αλλαγή χρώματος/ιδιοτήτων.) Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 27/56

Εικόνα 40 Παράδειγμα F1. Πρωτόκολλο Κατασκευής Επιλέγοντας την εντολή Construction Protocol από το μενού View εμφανίζεται ένα μενού με όλα τα αντικείμενα του αρχείου. Μπορούμε να δούμε τα παρακάτω πεδία: Εικόνα 41 Το Πρωτόκολλο Κατασκευής Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 28/56

Εικόνα 42 Το Πρωτόκολλο Κατασκευής Με την εντολή Export as Webpage (html) στο μενού File μπορούμε να κάνουμε εξαγωγή του πρωτοκόλλου. Εικόνα 43 Το παράθυρο Export as Webpage (html) Η επόμενη εικόνα δείχνει τον browser Εξαγωγής που εμφανίζεται. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 29/56

Εικόνα 44 Browser Εξαγωγής G. Προτεινόμενες Ασκήσεις Στη συνέχεια παρουσιάζονται προτεινόμενες ασκήσεις για χρήση στην τάξη όπως είναι ή/και μετά από τροποποιήσεις. Ανοίξτε το αρχείο activ03.html. Κάντε εξαγωγή της κατασκευής στο αρχείο activ03_1.html. Κλείστε το GeoGebra και ανοίξτε το αρχείο html. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 30/56

Εικόνα 45 Άσκηση Οι συντεταγμένες δέχονται μόνο ακέραιους αριθμούς. Αφαιρέστε αυτόν τον περιορισμό χρησιμοποιώντας διαστήματα των 0.25 μονάδων. Αποθηκεύστε το αρχείο με το ίδιο όνομα, activ03_1.ggb. Επιβεβαιώστε τις αλλαγές ανοίγοντας ξανά το αρχείο activ03_1.html. Το αρχείο activ03_1sol.html περιέχει τη λύση. Τροποποιήστε το αρχείο activ03_1.html για να δημιουργήστε μία άσκηση όπως αυτή στην εικόνα. Tα σημεία A, B, C και D έχουν συντεταγμένες στο διάστημα [-5, 5] και δέχονται μόνο ακέραιους αριθμούς. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 31/56

Εικόνα 46 Άσκηση Αποθηκεύστε το τροποποιημένο αρχείο με το όνομα activ03_2.html. Key: Το αρχείο activ03_2sol.html έχει τη λύση. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 32/56

Εικόνα 47 Άσκηση Note: Για να ζωγραφίσετε την περίμετρο, πληκτρολογήστε x^2+y^2=x(p)^2+y(p)^2, στη γραμμή εισαγωγής. Κάντε εξαγωγή το αρχείο με το όνομα activ03_3.html. Key: Το αρχείο activ03_3sol.html έχει τη λύση. Δημιουργήστε μία άσκηση όπως αυτή στην εικόνα. Τα σημεία A και C κινούνται στον άξονα των χ και τα Β και D στον άξονα των ψ. Και τα 4 σημεία περιορίζονται στην κίνηση τους στο διάστημα [-5, 5] και οι συντεταγμένες αλλάζουν κάθε 0.1 μονάδες. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 33/56

Εικόνα 48 Άσκηση Αποθηκεύστε το τροποποιημένο αρχείο με το όνομα activ03_4.html. Key: Το αρχείο activ03_4sol.html περιέχει τη λύση. H. Συναρτήσεις I H1. Συναρτήσεις. Πίνακες Στις παρακάτω δραστηριότητες, οι πίνακες αναφέρονται σε γραφικές παραστάσεις και τύπους που απευθύνονται σε μαθητές γυμνασίου, οπότε θα περιοριστούμε σε πολυωνυμικές συναρτήσεις πρώτου βαθμού. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 34/56

H2. Γραφικές Παραστάσεις και Πίνακες Ας δούμε πως δημιουργούμε γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Θα δούμε επίσης τη χρήση των μπαρών κύλισης για τη μετακίνηση αντικειμένων. Graphic-Table (1). Θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα έγγραφο Geogebra το οποίο αντιστοιχεί στο πρόβλημα που παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα: Εικόνα 49 Άσκηση Ορίζουμε αρχικά τη συνάρτηση y = 2 x στο πεδίο εισαγωγής. Απλά γράφουμε f(x)=2 * x (ή απλά f(x) = 2x) και κάνουμε κλικ στο κουμπί Enter: To Geogebra αυτόματα δημιουργεί τη συνάρτηση στην κατηγορία Free objects(ελεύθερα αντικείμενα). Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 35/56

Εικόνα 50 Άσκηση Στο παράθυρο Ιδιοτήτων της συνάρτησης f, στην καρτέλα, έχουμε αυξήσει το πάχος γραμμής(line thickness) για να βελτιώσουμε την αναπαράσταση, και στην καρτέλα έχουμε επιλέξει το κόκκινο. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 36/56

Εικόνα 51 Το παράθυρο Ιδιοτήτων Στο παράθυρο Πεδίο Ζωγραφικής, στην καρτέλα, στην υποκαρτέλα, έχουμε ενεργοποιήσει το κελί Numbers και έχουμε εισάγει την τιμή 3 στο πεδίο Distance(απόσταση). Στην υποκαρτέλα έχουμε νεργοποιήσει το κελί Numbers και έχουμε εισάγει την τιμή 4 στο πεδίο Distance (απόσταση). Και στις δύο περιπώσεις, τα κείμεα για τους άξονες τα έχουμε εισάγει στην καρτέλα Labels. Εικόνα 52 Tο παράθυρο πεδίου ζωγραφικής Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 37/56

Εικόνα 53 Ορισμός Απόστασης Προσθέτουμε μία μπάρα κύλισης για τον ορισμό της απόστασης. Για να ορίσουμε μία μπάρα κύλισης κάνουμε κλικ στο ομώνυμο κουμπί στη γραμμή εργαλείων και τροποποιούμε τις ιδιότητες του. Εικόνα 54 Ιδιότητες Μπάρας Κύλισης Interval min: ελάχιστη τιμή max: μέγιστη τιμή Increment: κατα πόσο αυξάνεται η τιμή με την κύλιση κάθε φορά Slider fixed: σταθεροποίηση vertical/horizontal: προσανατολισμός της μπάρας κύλισης Width: μέγεθος Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 38/56

Εικόνα 55 Το παράθυρο Ιδιοτήτων Για να μετακινήσουμε το σημείο P σύμφωνα με την τιμή της μπάρας κύλισης πάνω στη γραμμή, γράφουμε στο πεδίο εισαγωγής: P=(photocopies,f(photocopies)) Αυτό σημαίνει ότι η τετμημένη αντιστοιχεί στην τιμή της μπάρας κύλισης και η τεταγμένη από μια καθορισμένη συνάρτηση. Για να περιορίσουμε το πεδίο ορισμού, γράφουμε στη γραμμή εισαγωγής: Function[f, a, b] όπου a και b είναι τα άκρα του πεδίου ορισμού της f. Στη συνέχεια, θα κρύψουμε την αρχική συνάρτηση f. ( ). To GeoGebra ορίζει μία νέα συνάρτηση g ίση με την f στο δοσμένο πεδίο ορισμού. Για να ολοκληρώσουμε, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι συντεταγμένες εμφανίζονται με κόκκινο χρώμα. Αυτό γίνεται ορίζοντας τα δύο σημεία Α και Β πάνω στους άξονες και τροποποιώντας τις ιδιότητές τους όπως έχουμε δει.(χρώμα και στιλ) Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι ετικέτες των σημείων Α και Β: Points Text of the label Position of the label A(x(P), 0) +x(p) (x(p) - 0.25, -1) B(0, f(x(p)) +y(p) (-1, y(p) - 0.25) Key: Η λύση βρίσκεται στο αρχείο activ04_1.html ( με το αντίστοιχο αρχείο Geogebra, activ04_1.ggb). Graphic-Table (2). Εξετάστε το αρχείο Geogebra της προηγούμενης δραστηριότητας και τροποποιήστε το έτσι ώστε να αντιστοιχεί στην περίπτωση που περιγράφεται στην ακόλουθη εικόνα. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 39/56

Εικόνα 56 Άσκηση Κάντε εξαγωγή του τροποποιημένου αρχείου ως activ04_2.html. Key: Η λύση βρίσκεται στο αρχείο activ04_2sol.html( με το αντίστοιχο αρχείο Geogebra, activ04_2sol.ggb). Graphic-Table (3) Ανοίξτε το αρχείο activ04_3.html file και εξετάστε το αντίστοιχο αρχείο GeoGebra. Σκοπός μας είναι να απεικονίσουμε το τρόπο με τον οποίο ορίζουμε ένα σημείο που κινείται, όταν αλλάζει μία συντεταγμένη του. Σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιήσαμε μία αόρατη μπάρα κύλισης (δηλαδή που δεν εμφανίζει τις τιμές και η αυξομείωση γίνεται μετακινώντας το σημείο) και την ονομάσαμε PriceWithTaxes. Έχουμε ορίσει τη συνάρτηση f(x) = x / 1.16. Το σημείο P ορίζεται ως (f(x), x), με το x να είναι η τιμή που αντιστοιχεί στη μπάρα κύλισης, PriceWithTaxes. Αποθήκευση του τροποποιημένου αρχείου με διαφορετικό όνομα και εξαγωγή του ως activ04_4.html. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 40/56

Εικόνα 57 Άσκηση Key: Η λύση βρίσκεται στο αρχείο activ04_4sol.html. H3. Πίνακες και Γραφικά Ανοίξτε το αρχείο activ04_5.html file. Θέλουμε να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση που αντιστοιχεί σε έναν ορισμό. Έχουμε επιλέξει μία αναλογία 1 προς 2.54 μεταξύ των δύο αξόνων. Οσον αφορά το πλέγμα, οι αποστάσεις έχουν οριστεί ως εξής x: 2.5, y: 7.62, διότι κρίνονται οι πιο κατάλληλες για την αναπαράσταση του προβλήματος. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 41/56

Εικόνα 58 Άσκηση Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 42/56

Εικόνα 59 Το παράθυρο πεδίου ζωγραφικής Έχουμε ορίσει τις συναρτήσεις f, g, h (και τις αντίστοιχες με περιορισμένο πεδίο ορισμού οπως φαίνεται στην εικόνα f1, g1, h1) f(x) = 2.54 x, g(x) = f(x) + f(14), h(x) = f(x) f(14) Όπως μπορείτε να δείτε στο παράθυρο άλγεβρας, οι συναρτήσεις αυτές ανήκουν στην κατηγορία Εξαρτημένα Αντικείμενα, διότι ένα άλλο αντικείμενο εμπλέκεται στον ορισμό τους. Σημεία πάνω στους άξονες: X_1 = (14,0), X_2 = (20,0) X_5=(35,0) Y_1 = (0, f(x(x_1))),, Y_4 = (0, f(x(x_4))) Θυμηθείτε ότι το X_1 μετατρέπεται σε X1 στο παράθυρο GeoGebra. Το x(x_1) αναπαριστά την τετμημένη του Χ1, οπότε το f(x(x_1)) θα είναι η τεταγμένη του. Για τα κείμενα, εργαστείτε όπως και στις προηγούμενες ασκήσεις. Για την ετικέτα 35.56 στον άξονα Y πληκτρολογήστε +y(y_1), και για την ετικέτα 14 στον άξονα Χ +x(x_1). Τα ορισμένα σημεία και οι ετικέτες τους έχουν μετατραπεί σε σταθερά αντικείμενα για την αποφυγή της κίνησης. Πρέπει να επισημάνουμε ότι η λειτουργικότητα της άσκησης διατηρείται χωρίς να χρειαστεί να εισάγουμε εμείς τα κείμενα. Αρκεί να ενεργοποιήσουμε το πεδίο Numbers στο παράθυρο Drawing Pad και να χρησιμοποιήσουμε τις τιμές που εμφανίζονται. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 43/56

Εικόνα 60 Άσκηση H4. Πίνακες και Αναγνώριση Γραφικών Σε αυτήν την άσκηση, χρησιμοποιείται η μπάρα κύλισης για την εμφάνιση γραφημάτων τα οποία αντιστοιχούν σε δοθέντες καταστάσεις, τα οποία ο μαθητής καλείται να αναγνωρίσει. Ανοίξτε το αρχείο activ04_6.html. Η μπάρα κύλισης επιτρέπει τη σχεδίαση 4 γραφικών παραστάσεων για τις συναρτήσεις της οικογένειας f(x) = 4 sx, όπου το s παίρνει τις τιμές 1, 2, 3, 4. Εικόνα 61 Άσκηση Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 44/56

Σχεδιάστε μία δραστηριότητα για τη γραφική παράσταση συναρτήσεων της οικογένειας y = 2 + bx, με το b να παίρνει τιμές από το -2 εώς το 2 (με βήμα 0.5 μονάδες). Χρησιμοποιήστε μπάρα κύλισης για την εναλλαγή των γραφημάτων. Αποθηκεύστε το αρχείο ως activ04_7.ggb και κάντε του εξαγωγή ως activ04_7.html. Key: Η λύση βρίσκεται στο αρχείο activ04_7sol.html. H5. Μερικές ασκήσεις γραμμών Τα αρχεία activ04_8.html, activ04_9.html και activ04_a.html διεκπαιρεώνουν ασκήσεις με τη χρήση πινάκων, τύπων, γραφημάτων και προφορικής περιγραφής συναρτήσεων. Επομένως, λύνονται εύκολα με την υπάρχουσα γνώση. Στο αρχείο activ04_8.html βλέπουμε πώς μπορεί να γίνει τροποποίηση σε μια δοθείσα συνάρτηση, έτσι ώστε να μπορεί να αναπαρασταθεί άνετα στον πίνακα. Η δοθείσα συνάρτηση είναι η f(x) = 0.6 x, αλλά αυτή που αναπαρίσταται είναι η f(x) = 1.2 x. Στην ακόλουθη εικόνα βλέπουμε το σημείο P να μετακινείται στη γραφική παράσταση της f υπό περιορισμούς: f(x) = 0.6 x, Το GeoGebra αναπαριστά το σημείο P(3,1.8) που ανήκει στο γράφημα της f(x) = 0.6 x. Εικόνα 62 Το σημείο P υπό περιορισμούς Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 45/56

Εικόνα 63 - Άσκηση Αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να αναπαραστήσουμε το σημείο P(3,3.6) που ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = 1.2 x Μπορείτε πάντα να ορίστε την αρχική συνάρτηση και να την τροποποιήσετε για πιο βολικά αριθμητικά αποτελέσματα, για παράδειγμα, g(x) = 2 * f(x) I. Συναρτήσεις II I1. Πολυωνυμικές συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις Σε αυτές τις δραστηριότητες θα αναλύσουμε τις πολυωνυμικές συναρτήσεις και το σχήμα που έχουν οι γραφικές τους παραστάσεις. Ανοίξτε το αρχείο activ05_1.html. Στόχος μας είναι, αν το n είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος, να συγκρίνουμε τη μορφή του γραφήματος συναρτήσεων του τύπου f(x) = x n, ανάλογα με το αν το n είναι άρτιο ή περιττό. Συγκρίνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 2, y = x 4 και y = x 6 με τις γραφικές παραστάσεις των y = x 3 and y = x 5 και καταγράψτε τις διαφορές και τις ομοιότητες που βρισκετε. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 46/56

Αν το n είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος, περιγράψτε τη μορφή του γραφήματος συναρτήσεων του τύπου f(x) = x n, ανάλογα με το αν το n είναι άρτιο ή περιττό. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχεί στην f(x) = x n άρτιο? Και με n περιττό? με n Έχουμε ορίσει μία μπάρα κύλισης για το n (για ακέραιες τιμές μεταξύ 2 και 6)και η συνάρτηση f(x) =x n αντιπροσωπεύεται από το αντίστοιχο κείμενο. Ανοίξτε το αρχείο activ05_2.html. Στόχος μας είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την επιρροή του προσήμου του k στις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων τύπου f(x) = (x k) 2. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 47/56

Περιγράψτε με λεπτομέρειες τα χαρακτηριστικά των γραφημάτων των συναρτήσεων y = (x k) 2, με k οποιονδήποτε μη μηδενικό ρητό. Περιγράψτε την επιρροή του προσήμου k στο γράφημα των συναρτήσεων f(x) = (x - k) 2 Αναγνωρίστε ποιο από τα παρακάτω γραφήματα αντιστοιχεί f(x) = (x - k) 2 όπου k θετικό και k αρνητικό. Για να αποφύγουμε την απεικόνιση της f(x) = (x-0) 2 εισάγουμε δύο κείμενα. Το πρώτο, που αντιστοιχεί σε όλες τις μη μηδενικές τιμές του k: - "f(x) = " + f και το δεύτερο για k = 0 - f(x) = x^2. Για να πετύχετε αυτό το αποτέλεσμα πρέπει να τροποποήσετε την καρτέλα στο παράθυρο Ιδιοτήτων του αντίστοιχου αντικειμένου. Εικόνα 64 Η καρτέλα Advanced στο παράθυρο Ιδιοτήτων Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 48/56

Ανόιξτε το αρχείο activ05_3.html. Θέλουμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την επιρροή του προσήμου k στη γραφική παράσταση συναρτήσεων του τύπου f(x) = kx 2. Περιγράψτε με λεπτομέρειες τα χαρακτηριστικά των γραφημάτων των συναρτήσεων y = kx 2, με το k να είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός ρητός αριθμός. Περιγράψτε την επιρροή του προσήμου k στο γράφημα των συναρτήσεων f(x) = kx 2. Αναγνωρίστε ποιο από τα παρακάτω γραφήματα αντιστοιχεί f(x) = kx 2 όπου k θετικό και k αρνητικό. Έχουμε ορίσει μία μπάρα κύλισης για το k (από το -3 εώς το 3 με βήμα 0.5) την συνάρτηση f(x) = kx 2 και το αντίστοιχο κείμενο. Σε αυτήν την περίπτωση η εξαίρεση αφορά και το κείμενο και την συνάρτηση f. Ανοίξτε το αρχείο activ05_4.html. Θέλουμε να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με την επιρροή του προσήμου k στα γραφήματα συναρτήσεων τύπου f(x) = x 2 + k. Έχουμε ορίσει μία μπάρα κύλισης για το k (από το -4 εώς το 4), τη συνάρτηση f(x) = x 2 + k και το αντίστοιχο κείμενο σύμφωνα με τους περιορισμούς της προηγούμενης άσκησης(βλέπε εικόνα). Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 49/56

Περιγράψτε τα χαρακτηριστικά των συναρτήσεων y = x 2 + k, με k μη μηδενικό ακέραιο. Dεριγράψτε την επιρροή του προσήμου k στο γράφημα των συναρτήσεων f(x) = x 2 + k Αναγνωρίστε ποιο από τα παρακάτω γραφήματα αντιστοιχεί f(x) = x 2 +k όπου k θετικό και k αρνητικό. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 50/56

Ανοίξτε το αρχείο activ05_5.html. Θέλουμε, όπως και με τις προηγούμενες ασκήσεις, να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με την επιρροή των προσήμων a, b και c στα γραφήματα των συναρτήσεων τύπου f(x) = a (x b) 2 + c Έχουμε ορίσει δύο μπάρες κύλισης b και c (για τιμές μεταξύ -4 και 4), τη συνάρτηση f(x) = a (x b) 2 + c και τα αντίστοιχα κείμενα όπως στις προηγούμενες ασκήσεις. DΠεριγράψτε τα χαρακτηριστικά των συναρτήσεων y = a(x - b) 2 + c, με a, b και c πραγματικούς αριθμούς με a μη μηδενικό. Περιγράψτε την επιρροή των παραμέτρων a, b και c στο γράφημα των συναρτήσεων f(x) = a(x - b) 2 + c όσον αφορά το πρόσημο. Αναγνωρίστε ποια γραφική παράσταση αντιστοιχεί στην f(x) = (x -2) 2 + 2 και ποια στην f(x) = - (x +2) 2-2. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 51/56

Έχουμε ορίσει έναν αριθμό n χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση random του προγράμματος Geogebra η οποία επιλέγει τυχαία έναν αριθμό ανάμεσα στο 0 και το 1: n = random() Ο συντελεστής a παίρνει μόνο τις τιμές 1 και -1. Για να τον ορίσουμε χρησιμοποιούμε τον τυχαίο αριθμό n μαζί με τη συνθήκη: If [n < 0.5, 1, -1] Η σύνταξη των συνθηκών γίνεται ως εξής: If [condition, action_1, action_2], όπου η action_1 διεκπαιρεώνεται όταν η condition είναι αληθής και η action_2 διεκπαιρεώνεται όταν είναι ψευδής. Το σύμβολο reset - επιλέξτε το κελί Show icon για να κάνετε reset στην κατασκευή, η καρτέλα στο παράθυρο Export: Dynamic Worksheet (html) επαναεπιλέγει τυχαίο αριθμό n και επομένως, και την τιμή του a. Εικόνα 65 Το παράθυρο Ιδιοτήτων Ένας διαφορετικός τρόπος: Ορίστε το b και το c ως τυχαίους ακέραιους με τιμές από -4 εώς 4 και καταγράψτε τις τιμές τους. Για να αλλάξετε τις τιμές των συντελεστών πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το κουμπί reset. Οι ορισμοί των b και c, θα γίνονταν ως εξής: b = ceil(8 random() - 4) c = ceil(8 random() - 4) Το ίδιο θα μπορούσαμε να είχαμε κάνει και σε όλες τις προηγούμενες ασκήσεις. Εικόνα 66 Άσκηση Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 52/56

J. Εισαγωγή της τυχαίας συνάρτησης σε ένα applet GeoGebra Αν και μπορείτε πάντα να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση random, τοgeogebra μετατρέπει τα αντικείμενα στα οποία χρησιμοποιείται η συγκεκριμένη συνάρητση σε εξαρτημένα, καθιστώντας αδύνατη τη μετακίνησή τους. Ας μια εναλλακτική, ας δούμε πώς να εισάγουμε τυχαία αντικείμενα τροποποιώντας των κώδικα html σε μια σελίδα που περιέχει ένα applet GeoGebra. Θα αρχίσουμε χρησιμοποιώντας το αρχείο activ03.html σαν βάση. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν οποιονδήποτε επεξεργαστή κειμένου, αλλά εμείς θα χρησιμοποιήσουμε το FrontPage 2003. Στο μενού File, επιλέξτε την εντολη Open ή απλά κάντε κλικ στο εικονίδιο Open. Όταν εμφανιστεί το παράθυρο Open File ψάξτε για τον φάκελο που περιέχει το αρχείο και επιλέξτε το. Εικόνα 67 Το παράθυρο Open Κάντε κλικ στην καρτέλα Code στο κάτω μέρος του παραθύρου για να εμφανιστεί ο κώδικας της ιστοσελίδας. Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 53/56

Εικόνα 68 Κώδικας ιστοσελίδας Το τμήμα του κώδικα που αναφέρεται στο applet του GeoGebra είναι το εξής: Εικόνα 69 Το applet του GeoGebra Η μέθοδος αυτή αποτελείται από 3 βήματα: Βήμα 1: Δώστε όνομα στο applet για γρήγορη και εύκολη εύρεση. Ανάμεσα στις λέξεις applet και code, γράψτε: name= applet_ticmates όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 70 Ονομασία του applet Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 54/56

Βήμα 2: Κάτω από των κώδικα του applet, εισάγετε τον κώδικα JavaScript που θα μας επιτρέψει να υπολογίσουμε έναν τυχαίο ακέραιο για να τον περάσοθμε στα σημεία A, B, C και D έτσι ώστε αυτά τα συμεία να αποκτούν τυχαίες συντεταγμένες σε κάθε επαναφόρτωση ή ανανέωση της σελίδας. Αντιγράψτε τον παρακάτω κώδικα: <script type="text/javascript"> //function to obtain an integer among -6 and 6 function entero_azar(){ var el_entero = Math.floor(Math.random()*(13)-6); return el_entero; } //Function to assign ramdom values to points A, B, C & D //it will be called from the "body" tag after loading the page function coordenadas_puntos_azar(){ var applet=document.ticmates; applet.evalcommand("a = (" + entero_azar() + ", " + entero_azar() + ")"); applet.evalcommand ("B = (" + -entero_azar() + ", " + entero_azar() + ")"); applet.evalcommand ("C = (" + -entero_azar() + ", " + -entero_azar() + ")"); applet.evalcommand ("D = (" + entero_azar() + ", " + -entero_azar() + ")"); } </script> Το κάνουμε επικόλληση κάτω από τον υπάρχοντα κώδικα όπως φαίνεται στην εικόνα: Εικόνα 71 Εισαγωγή κώδικα JavaScript Βήμα 3: Για να μπορεί η ιστοσελίδα να εκτελέσει τη συνάρτηση coordenadas_puntos_azar(), πρέπει να τροποποιήσουμε τον κώδικα της καρτέλας body. Γράψτε onload="coordenadas_puntos_azar()" όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα: Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 55/56

Όταν έχουν ολοκληρωθεί και τα τρία βήματα, αποθηκεύστε το αρχείο ως activ03random.html. Key: Το αρχείο activ03randomsol.html περιέχει τη λύση. Για να ελέγξουμε το αποτέλεσμα θα ανοίξουμε το φάκελο με τον φυλλομετρητή για να επιβεβαιώσουμε ότι τα σημεία αντικαθίστανται απο τυχαία σημεία κάθε φορά που ανοίγουμε ή ανανεώνουμε τη σελίδα. Σύμφωνα με τον τρόπο που έχουμε ορίσει τη συνάρτηση coordenadas_puntos_azar, οι συντεταγμένες των σημείων A, B, C και D παίρνουν τιμές στα διαστήματα που εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα: A B C D x [1, 5] [-1, -5] [-1, -5] [1, 5] y [1, 5] [1, 5] [-1, -5] [-1, -5] Μπορείτε να δείτε επιπλέον παραδείγματα χρήσης JavaScript στο παρακάτω url: http://www.geogebra.org/source/program/applet/geogebra_applet_javascript.html K. Αναφορές 1. Η ιστοσελίδα του GeoGebra: http://www.geogebra.org/ 2. Hohenwarter Markus, Hohenwarter Judith, Introduction to Geogebra, second edition, Unites States, 2008; 3. GeoGebra, http://notropis.net/geogebra/ Εκπαιδευτικό Υλικό: Εισαγωγή στο GeoGebra 56/56