ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα Οι επιμέρους στόχοι του κεφαλαίου αυτού για το μαθητή είναι οι εξής: Να προσθέτει ή να αφαιρεί γωνίες. Να βρίσκει το άθροισμα των γωνιών τριγώνου και τετραπλεύρου. Σημασία της ενότητας: H γεωμετρία εκφράζει και εκφράζεται μέσα από το αγκάλιασμα του χώρου μέσα στον οποίο ζούμε, αναπνέουμε και κινούμαστε. Ένα χώρο που οι μαθητές πρέπει να γνωρίσουν, να διερευνήσουν και να κατακτήσουν, ώστε να ζουν, να αναπνέουν και να κινούνται καλύτερα μέσα σε αυτόν. H γεωμετρία, λοιπόν, είναι ταυτόχρονα ένα εργαλείο ανάλυσης, σχολιασμού αλλά και ερμηνείας του καθημερινού μας κόσμου. Ακόμη, οι μαθητές πραγματοποιούν συχνά στην καθημερινή τους ζωή μετρήσεις και γενικότερα άτυπες και τυπικές συγκρίσεις μεγεθών. Με τις αυθόρμητες ποιοτικές συγκρίσεις επιδιώκουν να αντιληφθούν, για παράδειγμα, ποια διαδρομή είναι πιο μεγάλη, πόσο ψηλά είναι ή μπορούν να φθάσουν ή ποιο αντικείμενο είναι πιο μεγάλο. Αυτή η αυθόρμητη και φαινομενικά απλή διαδικασία ποιοτικής σύγκρισης και αργότερα μέτρησης με τη χρήση οργάνων (χάρακα, μεζούρα ή μέτρο και μοιρογνωμόνιο) κρίνεται συχνά επαρκής με αποτέλεσμα η εκπαίδευση να οδηγείται σε ελλιπή διδακτική προσέγγιση της μέτρησης με την ένταξή της στο γεωμετρικό περιεχόμενο ως μέτρησης μηκών, επιφανειών και όγκων. Το νέο ΠΣ των Μαθηματικών στοχεύει στην ουσιαστική κατανόηση της διαδικασίας μέτρησης με την προσέγγιση και χρήση μεθόδων και εργαλείων, την ανάπτυξη δεξιοτήτων εκτίμησης και υπολογισμών κατά προσέγγιση. Η διδακτική αυτή πρόταση ξεκινά από άμεσες συγκρίσεις για την κατανόηση του προς μέτρηση μεγέθους, τις έμμεσες συγκρίσεις με συστηματικές επικαλύψεις με μονάδες όπως και τη σύνδεση των επικαλύψεων ή στη συνέχεια των επαναλήψεων των μονάδων με ένα αριθμητικό αποτέλεσμα. Μια τέτοια διαδικασία βοηθά τους μαθητές να συνδέσουν τα συνεχή χαρακτηριστικά των γεωμετρικών αντικειμένων με διακριτά μεγέθη που αποτελούν τις μονάδες. Συγκεκριμένα, στο νέο ΠΣ των Μαθηματικών, η θεματική ενότητα των Μετρήσεων αναπτύσσεται σε τέσσερις τροχιές: Μέτρηση γωνίας, μήκους, επιφάνειας και όγκου.
Η πρώτη τροχιά της Μέτρησης γωνίας αφορά τη σύγκριση γωνιών μεταξύ τους και με την ορθή, τη μέτρηση με τυπικές μονάδες και τη χρήση εργαλείων, την εκτίμηση γωνιών όπως και εφαρμογές με τριγωνομετρικούς αριθμούς. Έτσι, στον πρώτο κύκλο οι μαθητές αναγνωρίζουν τις ίσες γωνίες και συγκρίνουν με την ορθή και, στη συνέχεια, στο δεύτερο κύκλο συγκρίνουν με τη χρήση διαφόρων (υλικών και μη) μέσων και τις μετρούν με τυπικές μονάδες και μοιρογνωμόνιο (βλ, ΜΔ1, Δ Δημοτικού, ΓΔ6, ΣΤ Δημοτικού). Σε όλους τους κύκλους ενθαρρύνονται οι συγκρίσεις γωνιών κατ εκτίμηση, ανεξάρτητα από το μήκος των πλευρών τους ή τον προσανατολισμό. Πιθανές δυσκολίες Η γωνία αποτελεί μια ιδιαίτερη έννοια, η κατανόηση της οποίας δυσκολεύει τους μαθητές, οι οποίοι την αντιλαμβάνονται ως δύο τεμνόμενες γραμμές και όχι ως ένα γεωμετρικό σχήμα στο επίπεδο. Έρευνες στο θέμα αυτό υποδεικνύουν ότι οι μαθητές αντιλαμβάνονται το χώρο που περιβάλλει τα σχήματα ως κενό ή περιορισμένο από τις γραμμές των σχημάτων. Το γεγονός αυτό οδηγεί τους μαθητές στο να αντιλαμβάνονται τις πλευρές της γωνίας ως την ίδια τη γωνία και κατά συνέπεια να θεωρούν ότι το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το «μήκος» αυτών των πλευρών. Επιπλέον, τα ιδιαίτερα μέρη των σχημάτων όπως οι πλευρές, οι κορυφές ή οι γωνίες γίνονται αντιληπτές με πρακτικό τρόπο, για παράδειγμα, οι μαθητές θεωρούν τη γωνία ως «μύτη» ή μέρος συνάντησης ή σπαστή γραμμή ή κίνηση, δηλαδή της δίνουν αρκετά νοήματα που κατά περίπτωση είναι διαφορετικά από τη γεωμετρική τους διάσταση. Τα γεωμετρικά στοιχεία επηρεάζονται σημαντικά από τη φυσική τους υπόσταση στις πρακτικές εμπειρίες και δημιουργούν λανθασμένες αντιλήψεις που ξεπερνιούνται δύσκολα. Τα ευρήματα αυτά ενισχύουν την άποψη ότι για την ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης σε επίπεδο μερών και ιδιοτήτων των σχημάτων είναι σημαντικό οι μαθητές να έχουν τις κατάλληλες δράσεις και, κατά συνέπεια, προσανατολισμένες εμπειρίες. Προτάσεις για διδακτική διαχείριση Ακούμε συχνά ότι «μια εικόνα είναι χίλιες λέξεις». Πόσο μάλλον πολλές εικόνες μαζί. Κάθε φορά που αναπαριστούμε μια γεωμετρική έννοια, όμως, υπάρχει απώλεια πληροφοριών, καθώς είναι αδύνατον να σχεδιάσουμε μια γενικευμένη αναπαράσταση ακόμη και της πιο απλής έννοιας. Η πειστικότητα των αναπαραστάσεων στη γεωμετρία σε συνδυασμό με τη διδασκαλία που ασχολείται κυρίως με την ταξινόμηση και την ονοματολογία των εννοιών περιορίζει τη σκέψη των μαθητών σε προτυπικές εννοιολογήσεις. Η διδασκαλία των γεωμετρικών σχημάτων θα πρέπει λοιπόν να εστιαστεί στην ανάπτυξη μιας σκέψης που θα στηρίζεται στις κλάσεις και στις ιδιότητες των σχημάτων. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν την ευκαιρία να συναρμολογήσουν και να αποσυναρμολογήσουν σχήματα και να τα σχεδιάσουν σε διάφορους καμβάδες. Παράλληλα, και ιδιαίτερα προς το τέλος του δεύτερου κύκλου σπουδών, οι μαθητές θα πρέπει να διερευνήσουν τις ιδιότητες των σχημάτων χρησιμοποιώντας περιβάλλοντα δυναμικής γεωμετρίας. Σε ανάλογα περιβάλλοντα οι μαθητές μπορούν να τροποποιούν
τις ιδιότητες των σχημάτων εικάζοντας κάθε φορά τις αλλαγές που θα επέλθουν στη γεωμετρία τους. Τέλος, εκτός από τα φυσικά, τα χειραπτικά και τα ψηφιακά υλικά αναπαράστασης, η γλώσσα που θα χρησιμοποιήσουν οι μαθητές για να περιγράφουν τις εμπειρίες τους και να αναπτύσσουν υποθέσεις και συλλογισμούς είναι εξίσου σημαντική. Η διδασκαλία σε αυτόν τον κύκλο σπουδών θα πρέπει να στοχεύει, λοιπόν, εκτός από την κατάκτηση της ορολογίας που αφορά στις ιδιότητες των σχημάτων, στην ανάπτυξη μιας ανεπίσημης παραγωγικής γλώσσας (όλα, μερικά, κανένα, αν... τότε..., κ.ο.κ.). Μικροπειράματα με ψηφιακά εργαλεία Η αξιοποίηση των ψηφιακών τεχνολογιών υποστηρίζει την έμφαση που δίνεται στο νέο ΠΣ στην εμπλοκή των μαθητών σε μαθηματικές δραστηριότητες, διερεύνηση μαθηματικών ιδεών και επίλυση προβλήματος μέσα από τη χρήση εξειδικευμένων λογισμικών για μαθηματική διερεύνηση και εργαλείων κοινωνικού λογισμικού για συλλογική διαπραγμάτευση και συνεργασία. Ένας τρόπος αξιοποίησης των εργαλείων αυτών είναι με τη μορφή μικροπειραμάτων που ενσωματώνονται σε διαφορετικά σημεία της ύλης και μπορεί να συνδέονται είτε με ορισμούς και μαθηματικές ιδιότητες είτε με δραστηριότητες και ασκήσεις των σχολικών βιβλίων. Τα μικροπειράματα εμπεριέχουν διασυνδεδεμένες αναπαραστάσεις και η βασική χρήση τους από μαθητές προβλέπει δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων ώστε συμπεριφορές, σχέσεις και ιδιότητες να γίνονται αντικείμενο προβληματισμού, διερεύνησης και διαπραγμάτευσης (τι μένει σταθερό και τι αλλάζει, καθώς μετεξελίσσονται τα μαθηματικά αντικείμενα). Για παράδειγμα, με αφετηρία μια δραστηριότητα άσκηση του σχολικού βιβλίου, ένα μικροπείραμα μπορεί να στοχεύει στην επεξήγηση μιας έννοιας ή στην απαραίτητη εμβάθυνση για την κατανόησή της από τους μαθητές. Έτσι, το κάθε μικροπείραμα μπορεί να καλύπτει μια έννοια στενά ή σε ένα ευρύτερο εννοιολογικό πεδίο όπου εμπλέκονται συνδεδεμένες μαθηματικές έννοιες. Τα μικροπειράματα σε κάποιες περιπτώσεις βασίζονται στη χρήση έτοιμων εφαρμογών (applets) από έγκυρες ιστοσελίδες. Αυτό συμβαίνει κυρίως στους κύκλους Α και Β όπου η πλαισίωση των μαθηματικών εννοιών με μοντέλα και καταστάσεις απαιτεί μεγάλη ποικιλία αναπαραστάσεων και σχέσεων. Με αυτό τον τρόπο επιδιώκεται η ενίσχυση των ευκαιριών μάθησης των αντίστοιχων μαθηματικών εννοιών από τους μαθητές. Τα μικρο πειράματα λοιπόν προορίζονται για χειρισμό από το μαθητή (εξατομικευμένα ή σε συνεργασία σε ομάδα) με δια ζώσης διδακτική υποστήριξη από τον εκπαιδευτικό, ενώ μπορεί να χρησιμοποιηθούν κατά την παραδοσιακή μετωπική διδασκαλία με χρήση διαδραστικού πίνακα ως μέσα επεξήγησης εννοιών, αλλά και ως μέσα για σχεδιασμό μιας διευρυμένης μαθηματικής διερεύνησης ενώπιον όλης της τάξης. Τα μικροπειράματα είναι σχεδιασμένα ώστε οι όποιες απαντήσεις των μαθητών να αφήνουν πεδίο παρέμβασης στον εκπαιδευτικό και αφορμές για διενέργεια συζήτησης στην ολομέλεια της τάξης (π.χ. μέθοδος επίλυσης ενός προβλήματος ή εύρεσης μιας απάντησης, γενίκευση της λύσης, ερμηνεία αποτελεσμάτων και συμπεριφορών μαθηματικών αντικειμένων).
Δραστηριότητες 1. Εισαγωγικές δραστηριότητες: Προτείνεται να γίνουν κάποιες δραστηριότητες με χειραπτικό υλικό και με γεωμετρικά όργανα ώστε το ζήτημα να αντιμετωπιστεί, κατά το δυνατόν, πιο σφαιρικά. Από την πρώτη Δραστηριότητα αναμένεται μια σχετική ακρίβεια στις απαντήσεις (ο διδάσκων δεν θα παρουσιάσει την ακριβή απάντηση). Επιπλέον μέσα από αυτές τις δραστηριότητες θα προκύψουν ζητήματα: αναξιοπιστίας των γεωμετρικών οργάνων και των χειραπτικών υλικών δυσκολίες στο σχεδιασμό ή το χειρισμό των σχημάτων δυσκολίες που αφορούν τη γενίκευση των αποτελεσμάτων Έτσι, θα προκύψει φυσιολογικά η ανάγκη αναζήτησης κάπου μέσου που θα μπορεί με ευκολία και ακρίβεια να αποδώσει τους ζητούμενους μετασχηματισμούς και να δώσει τα αποτελέσματα. Εισαγωγική Δραστηριότητα 1 Σχεδιάστε ένα τρίγωνο, μετρήστε τις γωνίες του με το μοιρογνωμόνιο και υπολογίστε το άθροισμά τους. Εισαγωγική Δραστηριότητα 2 Σχεδιάστε ένα τρίγωνο, κόψτε με το ψαλίδι τις τρεις γωνίες του και τοποθετείστε τες έτσι ώστε η μία να είναι συνέχεια της άλλης. Τι γωνία σχηματίζεται από αυτό το άθροισμα; Εισαγωγική Δραστηριότητα 3 Σχεδιάστε ένα τρίγωνο, κόψτε το με το ψαλίδι και στη συνέχεια διπλώστε τις γωνίες του με τον τρόπο που φαίνεται στην εικόνα 1 έτσι ώστε η μία να είναι συνέχεια της άλλης. Τι γωνία σχηματίζεται από αυτό το άθροισμα; Εικ. 1 Τρόπος δίπλωσης γωνιών τριγώνου
2. Δραστηριότητα σχεδιασμού τριγώνου και μέτρησης των γωνιών του στο Cabri Με τη βοήθεια του δασκάλου τα παιδιά ανοίγουν το πρόγραμμα, το οποίο έχουν ήδη χρησιμοποιήσει για μετρήσεις γωνιών στο προηγούμενο μάθημα, και εξοικειώνονται με το εργαλείο σχεδιασμού τριγώνων (εικόνα 2) με το οποίο σχεδιάζουν τρίγωνα ορίζοντας με κλικ ένα ένα τα τρία σημεία των κορυφών του. Εικόνα 2. Το εργαλείο σχεδιασμού τριγώνων Ακολούθως, χρησιμοποιώντας το εργαλείο μέτρησης γωνιών, το οποίο επίσης χρησιμοποίησαν στο προηγούμενο μάθημα, εμφανίζουν τις μοίρες καθεμιάς από τις τρεις γωνίες του τριγώνου που κατασκεύασαν (εικόνα 3) Εικόνα 3. Το τρίγωνο που θα σχεδιάσουν με τις μοίρες στην κάθε γωνία 3. Δραστηριότητα αλλαγής σχήματος τριγώνου και άθροισης των μοιρών των γωνιών του στο Cabri Με τη βοήθεια του δασκάλου τα παιδιά ανοίγουν το «προκατασκευασμένο» πρόγραμμα, το οποίο εμφανίζει τις μοίρες κάθε γωνίας τόσο επάνω στη γωνία όσο και
σε χωριστό πλαίσιο και επιπλέον σε χωριστό πλαίσιο εμφανίζει το άθροισμα των μοιρών και των τριών γωνιών. Στη συνέχεια ζητείται από τους μαθητές να μετακινήσουν με το ποντίκι κάθε κορυφή και να αλλάξουν το σχήμα (και το μέγεθος των γωνιών) του τριγώνου παρατηρώντας ταυτόχρονα τις τιμές και το άθροισμα των μοιρών (εικ. 4). Εικόνα 4. Το «προκατασκευασμένο» τρίγωνο με τις μοίρες των γωνιών και το άθροισμα Προτείνονται τρεις διαφορετικού τύπου δραστηριότητες, μία υπολογιστική, δύο κατασκευαστικές και μία μέσω Η/Υ ώστε το ζήτημα να αντιμετωπιστεί, κατά το δυνατόν, πιο σφαιρικά. Από την πρώτη κατηγορία δραστηριοτήτων αναμένεται μια σχετική ακρίβεια στις απαντήσεις (ο διδάσκων δεν θα παρουσιάσει την ακριβή απάντηση). Με τη δεύτερη, η ακρίβεια θα γίνει μεγαλύτερη, ενώ η τρίτη θα επικυρώσει την υπόθεση κάποιων μαθητών ότι ο ακριβής αριθμός είναι το 180 ο. Στο τέλος, αφού η τάξη καταλήξει στο 180, θα συζητηθεί και θα εξηγηθεί η έλλειψη ακρίβειας στην πρώτη Δραστηριότητα αναφορικά με την περιορισμένη ακρίβεια των μετρήσεων που γίνονται με το ανθρώπινο χέρι. 4. Δραστηριότητες υπολογισμού των γωνιών τετραπλεύρου Αντίστοιχες δραστηριότητες μπορούν να γίνουν και για τον υπολογισμό των γωνιών του τετραπλεύρου με την ίδια λογική ώστε να λειτουργήσει ως εμπέδωση και επέκταση της γνώσης που κατακτήθηκε από την ενασχόληση με τα τρίγωνα. Και στην περίπτωση των τετραπλεύρων τα παιδιά ανοίγουν το «προκατασκευασμένο» πρόγραμμα, το οποίο εμφανίζει τις μοίρες κάθε γωνίας τόσο επάνω στη γωνία όσο και σε χωριστό πλαίσιο και επιπλέον σε χωριστό πλαίσιο εμφανίζει το άθροισμα των μοιρών και των τεσσάρων γωνιών.
Στη συνέχεια ζητείται από τους μαθητές να μετακινήσουν με το ποντίκι κάθε κορυφή και να αλλάξουν το σχήμα (και το μέγεθος των γωνιών) του τετραπλεύρου παρατηρώντας ταυτόχρονα τις τιμές και το άθροισμα των μοιρών (εικ. 5). Εικόνα 5. Το «προκατασκευασμένο» τετράπλευρο με τις μοίρες των γωνιών και το άθροισμα Στην περίπτωση του τετραπλεύρου επισημαίνεται ότι αν η κορυφή συρθεί προς το εσωτερικό του σχήματος το άθροισμα των γωνιών αλλάζει καθώς το Cabri υπολογίζει ως γωνία την εξωτερική η οποία είναι <180 ο (εικ 6). Εικόνα 6. Η κορυφή έχει συρθεί στο εσωτερικό του σχήματος