Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε Βˆ = Γˆ. Αν Α είναι το ύψος και ΑΜ η διάµεσος τότε να εξεταστεί αν ισχύουν τα παρακάτω: i) To τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισόπλευρο Μ = Β i ΑΓ = Α iv) ΑΓ = 3ΑΒ v) Α + ΑΜ = 6 7 ΒΓ 3. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΑΒ = 5 και ΒΓ = 3. Αν Α είναι το ύψος του να υπολογισθούν τα Β, Γ, Α. 4. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε AB = 3. Αν Α είναι το ύψος του και επιπλέον Α = 5 να υπολογισθούν τα ΑΓ, ΒΓ, Β, Γ. 5. Να υπολογισθούν οι πλευρές ορθογώνιου τρίγωνου ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) αν γνωρίζουµε ότι έχουν µήκη α = x+3, β = x+, γ = x. (Απ: 5,, 3) 6. Oρθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) έχει περίµετρο 40 και ΒΓ = 7. Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές του αν β > γ. (Απ: β = 5, γ = 8) 7. Τα µήκη των καθέτων πλευρών ορθογωνίου τρίγωνου ΑΒΓ είναι β = 4λ και γ = 3λ. Να υπολογιστούν: i) Η υποτείνουσα Οι προβολές των καθέτων πλευρών στην υποτείνουσα. i Το ύψος Α. 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) φέρνουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. i) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΑ είναι όµοια. ΑΒ ΑΓ = Α ΒΓ i ΑΒ + ΑΓ = Α

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Â = 90 ο, α = 4 και β + γ = 8. Ν.δ.ο. βγ =.. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ =, ΑΓ = 3. Φέρουµε το ύψος Α. Αν είναι Α = 3 ν.δ.ο. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) είναι ΑΒ = ΑΓ. Αν Α είναι το ύψος του ν.δ.ο. Β = 4Γ. 4. Στη διαγώνιο Β τετραγώνου ΑΒΓ παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ο. Ν.δ.ο. Γ ΓΟ = ΒΟ Ο. 5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η υποτείνουσα ΒΓ = 7 και η περίµετρος του µε 40. Να βρεθούν οι κάθετες πλευρες. (Απ.: 8, 5) 6. Οι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου είναι x, x +, x +. Να βρεθεί η περίµετρος 7. Αν υ το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α, ν.δ.ο. 3 α = 4υ. 8. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ) είναι ΑΒ = 50, Γ = 4 και ΒΓ = Α = 30. Ν.δ.ο. οι διαγώνιες του τραπεζίου είναι κάθετες στις µη παράλληλες πλευρές. 9. Αν Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ ν.δ.ο. ΗΒ ΗΓ = ΑΒ ΑΓ. 0. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) φέρνουµε το ύψος Α και ισχύει ΑΒ Β = 3. Ν.δ.ο. = 9. ΑΓ Γ α β α+ β. Τα µήκη των πλευρών τριγώνου είναι,, αβ i) Ποια είναι η µεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου; Ν.δ.ο. το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. όπου α > β > 0.. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) ν.δ.ο. i) α υα = β γ α + υ α > β + γ 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Bˆ < 90 ο φέρνουµε το ύψος Α. Αν ισχύει ΑΒ = Β ΒΓ ν.δ.ο. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος Α και το βρίσκεται µεταξύ των Β και Γ. Αν ισχύει Α = Β Γ ν.δ.ο. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. 5. Αν Α το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Â = 90 ο ), ν.δ.ο.: i) ΑΒ ΑΓ = Α ΒΓ ΑΒ + ΑΓ = Α

Ασκήσεις Γενίκευση του Πυθαγορείου Θεωρήµατος. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες, αν οι πλευρές του είναι ανάλογες των αριθµών: i), 3, 4 (Απ.: οξυγώνιο) 5, 8, 7 (Απ.: ορθογώνιο). Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α =, γ = 5. Μεταξύ ποιων τιµών µπορεί να κυµαίνεται η πλευρά β ώστε η γωνία Bˆ του τριγώνου να είναι οξεία; 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ φέρνουµε το ύψος ΒΕ. Ν.δ.ο. i) η γωνία Â είναι οξεία ΑΕ = 7ΕΓ 4. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ =, ΑΓ = 8 και ΒΓ = 0. i) Να βρεθεί η γωνία Bˆ. (Απ.: 0 ο ) i Η προβολή της ΑΓ στη ΒΓ. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 5. Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ η γωνία Γˆ είναι οξεία και οι πλευρές έχουν µήκη ΑΒ = 3, ΒΓ = 0, Γ = 7 και Α = 5. Τι είδους γωνία είναι η Â ; (Απ.: οξεία) 6. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του, αν οι πλευρές α, β, γ είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 6, 5, 4 αντίστοιχα. Αν Α είναι η προβολή α + β+ γ της πλευράς γ πάνω στη β ν.δ.ο. Α =. 30 7. Τα µήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι α = 7, β = 5, γ = 3. i) Να προσδιοριστεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. Να υπολογίσετε την γωνία του τριγώνου σε µοίρες που βρίσκεται απέναντι από την µεγαλύτερη πλευρά του. i Το εµβαδόν του τριγώνου. 8. ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ µε ΑΒ = Β = ΒΓ = 4 και Α = Γ = 8. i) Ν.δ.ο. η Β είναι µεσοκάθετος της ΑΓ. Να υπολογίσετε το µήκος της ΑΓ.

Ασκήσεις Θεωρήµατα ιαµέσων. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β + γ = α µ α. Ν.δ.ο. Â = 90 ο.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 6, β = 7 και γ = 5. Φέρουµε το ύψος Α και τη διάµεσο ΑΜ. Να βρεθεί το µήκος του Μ. (Απ.: Μ = ) 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 9, β = 7 και γ = 4. Να βρεθεί η διάµεσος ΑΜ. 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 3, β = 5 και γ = 7. Ν.δ.ο. το µήκος της προβολής της διαµέσου ΑΜ πάνω στη ΒΓ είναι 4. 5. Να υπολογισθεί η γωνία Α τριγώνου ΑΒΓ αν ισχύει β + γ = 4µ α. (Απ.: Αˆ =90 ο ) 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Â = 60 ο, β = 5 και γ = 3. Ν.δ.ο. µ α = 7. 7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β = 6, γ = 8 και µ α = 5. Να βρεθεί η πλευρά α. (Απ.: α = 0) 8. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β µ γ µ α µ + = ν.δ.ο. β + γ = α. 9. Αν Κ είναι το σηµείο τοµής των διαµέσων τριγώνου ΑΒΓ ν.δ.ο. α + β + γ = 3(ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ ). 0. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β + α = 4µ ν.δ.ο. το τρίγωνο είναι ισοσκελές.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α + β + γ = 8µ α. i) Να υπολογίσετε τη γωνία Α. (Απ.: Αˆ = 90 o ) β Ν.δ.ο. β + µ γ 5µ α µ =. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε β > α ν.δ.ο. η προβολή της µ γ στη πλευρά γ είναι ίση µε 3 µ α γ µ β. 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ α = βγ και β γ = 5. Να βρεθεί το µήκος της πλευράς α. (Απ.: α = 0) 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διάµεσοι έχουν µήκη µ α = 9, µ β = και µ γ = 5. Να υπολογίσετε την πλευρά γ του τριγώνου ΑΒΓ. (Απ.: γ = 0) 5. Ν.δ.ο. σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ και διάµεσο µ α ισχύει: µ α + βγ > α > 4 µ α βγ. 6. Να υπολογισθούν οι διαγώνιες ενός παραλληλογράµµου αν γνωρίζουµε ότι η µία είναι διπλάσια της άλλης και οι δύο πλευρές του έχουν µήκη 9 και 3. (Απ.: δ = 0, δ = 0)

Ασκήσεις Θεωρήµατα ιαµέσων. Αν Κ το µέσο της διαµέσου Α τριγώνου ΑΒΓ ν.δ.ο. ΑΒ + ΚΓ = ΑΓ + ΚΒ.. Έστω ΑΒ διάµετρος κύκλου, Γ και σηµεία αυτής που ισαπέχουν από το κέντρο του και Μ τυχαίο σηµείο του κύκλου. Ν.δ.ο. (ΜΓ + Μ ) = ΜΑ + ΜΒ + Γ. 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Â = 90 ο και Βˆ = 3Γˆ. i) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ. Αν ΑΗ είναι το ύψος και ΑΜ η διάµεσος του τριγώνου ΑΒΓ ν.δ.ο. το τρίγωνο ΑΗΜ είναι ισοσκελές. i Ν.δ.ο. β γ = βγ. 4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) φέρνουµε τη διάµεσο ΒΕ. i) Ν.δ.ο. BE 3 + AΓ = ΒΓ 4 Αν Α είναι διάµεσος του ΑΒΓ µε Α ˆ Β = 60 ο και ΒΕ = 4 να βρεθούν τα µήκη των πλευρών του ΑΒΓ. (Απ. γ =, α = 4, β = 6 ) 5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) φέρνουµε τη διάµεσο ΑΜ και προς την ΑΜ στο σηµείο Μ κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Σ. Ν.δ.ο. ΣΒ + ΣΓ = ΣΑ. 6. Στην υποτείνουσα ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε τα σηµεία και Ε, ώστε Β = Ε = ΕΓ. Ν.δ.ο. Α + ΑΕ = 9 5 ΒΓ. 7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β > γ. Αν Μ είναι το µέσο της πλευράς ΒΓ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου ν.δ.ο. β γ = 3(ΘΓ ΘΒ ). 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β + γ = α. Ν.δ.ο. i) β + µ γ µ α µ = µ α = i 3 α, µβ = 3 γ και µγ = 3 β. το τρίγωνο µε πλευρές τις µ α, µ β, µ γ είναι όµοιο µε το ΑΒΓ. 9. Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΒΓ και ΕΒΓ. Ν.δ.ο. i) Ε = α 3 Α + ΑΕ = α + β + γ

Ασκήσεις Μετρικές Σχέσεις στον Κύκλο. Από σηµείο Σ εκτός κύκλου (O, R) φέρνουµε δύο τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ. Αν είναι ΑΒ = 9, Γ = 5 και ΣΓ = 4 i) Να βρείτε το ΣΑ (Απ.: ΣΑ = 3) Αν ΣΕ εφαπτοµένη, να βρείτε το µήκος της ΣΕ (Απ.: ΣΕ = 6) i Αν R = 3 να βρείτε το µήκος ΣΟ (Απ.: ΣΟ = 7). ύο χορδές ΑΒ και Γ τέµνονται σ ένα σηµείο Σ εσωτερικό του κύκλου. Αν είναι Γ = 6, ΣΑ = 0 και ΣΒ = να υπολογιστούν τα µήκη των τµηµάτων ΣΓ και Σ. (Απ.: 6 και 0) 3. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 6 και ΑΓ = 9. Σηµείο της ΑΓ τέτοιο ώστε Α =. Ν.δ.ο. ο κύκλος που περνά από τα σηµεία Β, Γ και διχοτοµεί την ΑΒ. 4. ίνεται κύκλος (Ο, 8cm) και σηµείο Ρ απέχει από το Ο cm. Τέµνουσα ΡΒΑ ορίζει στον κύκλο χορδή ΑΒ = cm. Ν.δ.ο. ΡΑ = 0. 5. Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Γ τέµνονται στο Ο. Αν ΑΒ = 0, Γ = 9, ΑΟ = 6 και ΓΟ = 7 ν.δ.ο. τα Α, Β, Γ, είναι σηµεία οµοκυκλικά. 6. ύο κύκλοι έχουν κοινή χορδή ΒΓ. Αν Σ σηµείο της προέκτασης ΒΓ ν.δ.ο. τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ και Σ είναι ίσα. 7. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R). Η ευθεία του ύψους Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. Αν ΑΒ = ΑΓ = 0 και ΒΓ = ν.δ.ο. i) Ε = 9/ R = 5/4 8. Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ, προς το σηµείο Β, ενός κύκλου µε κέντρο Ο παίρνουµε σηµείο. Από το φέρνουµε την εφαπτοµένη Γ του κύκλου. Αν ΑΓ = Γ, ν.δ.ο. ΑΒ = 3Β. 9. ίνονται οι οµόκεντροι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, ρ) µε R = 4 και ρ = 3. Από σηµείο Μ που βρίσκεται εντός του (Ο, R) και εκτός του (Ο, ρ) φέρνουµε εφαπτοµένη ΜΒ στον (Ο, ρ) που τέµνει τον (Ο, R) στα Α και Γ. Ν.δ.ο. ΜΑ ΜΓ + ΜΒ = 7. 0. ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R) και το µέσο Ε της ΒΓ. AE Αν Μ είναι η τοµή της ΑΕ µε τον κύκλο τότε ν.δ.ο. ο λόγος ισούται µε. EM. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ). Γράφουµε κύκλο (Α, ΑΓ) ο οποίος τέµνει την ΒΓ στο. Ν.δ.ο. ΓΒ Γ = ΓΑ.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β + γ = κύκλος που περνά από τα Α, Β, Θ εφάπτεται της ΒΓ. α. Αν Θ το βαρύκεντρο του ΑΒΓ ν.δ.ο. ο

Ασκήσεις Μετρικές Σχέσεις στον Κύκλο. Τα ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Η. Ν.δ.ο. i) Τα τετράπλευρα ΑΖΗΕ, Β ΗΖ, ΓΕΗ, ΒΖΕΓ, ΑΖ Γ και ΑΕ Β είναι i εγγράψιµα. ΗΑ Η = ΗΒ ΗΕ = ΗΓ ΗΖ ΑΖ ΑΒ = ΑΓ ΑΕ. ίνεται κύκλος (Κ, R). Από σηµείο Α εξωτερικό του κύκλου φέρνουµε τέµνουσα ΑΒΓ τέτοια ώστε ΑΓ ˆ Κ = 60 ο. Αν ΑΚ = 4 και ΒΓ = 6 ν.δ.ο. ΑΒ = 0. 3. Από ένα σηµείο Μ της κοινής εσωτερικής εφαπτοµένης δύο κύκλων που εφάπτονται εξωτερικά φέρνουµε δύο τέµνουσες ΜΑΒ και ΜΓ. Ν.δ.ο. αν οι χορδές ΑΒ και Γ που ορίζονται στους δύο κύκλους είναι ίσες, τότε και τα συνολικά µήκη των τεµνουσών αυτών θα είναι ίσα. 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διάµεσο ΑΜ και τη διχοτόµο Α. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Μ τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. ΒΕ = ΓΖ. 5. Αν η διάµεσος ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ προεκτεινόµενη τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε, ν.δ.ο. ΑΕ ΑΜ = ΑΒ + ΑΓ. 6. Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Αν το σηµείο τοµής Μ των διαγωνίων είναι µέσο της διαγωνίου Β ν.δ.ο. i) Β = 4ΜΑ ΜΓ ΑΒ + ΒΓ + Γ + Α = ΑΓ 7. Έστω ΑΒΓ οξυγώνιο τρίγωνο, Α και ΒΕ τα ύψη και Η το ορθόκεντρο. Ν.δ.ο. i) AH A = ΑΕ ΑΓ ΑΗ Α = β + γ α 8. Έστω ΑΒ διάµετρος κύκλου (Ο, R) και Μ σηµείο του κύκλου διαφορετικό των Α και Β. Από το Μ φέρνουµε κάθετη στη διάµετρο ΑΒ, που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ζ και τη διάµετρο στο σηµείο. Θεωρούµε τα σηµείο Γ της διαµέτρου έτσι ώστε ΟΓ = Ο. Αν η ΜΓ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε ν.δ.ο. i) Μ = Α Β ΜΓ ΓΕ = Μ Ζ = R Ο i ΜΓ + Μ = (R + Ο ) iv) ΜΓ Μ R + Ο + = (Θέµα Εξετάσεων 000) ΓΕ Ζ R Ο